ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN ĐẠI HỌC LẤN 2 NĂM 2011 MÔN: TOÁN - TRƯỜNG THPT NGA SƠN potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.01 KB, 5 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC
NĂM: 2010 – 2011
Môn TOÁN - Khối A, Lần 02.
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
CâuI. (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2 2 2
( 2) 1 ( )
y x m x m Cm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
2
m
.
2. Tìm các giá trị của
m
để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi
( )
m
C
với trục hoành phần phía trên
Ox
có diện tích bằng
96
15
.
CâuII. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2
2sin 1 4cos
2 4 3 6
x x
.
2. Giải hệ phương trình sau:
6 2 2
2 2 6 0
x y x y
x y x y
.
CâuIII. (1,0 điểm) Tính giới hạn sau:
3
2
2
6 2
lim
3 2
x
x x
I
x x
.
CâuIV. (1,0 điểm) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
;
SA
vuông góc với đáy,
AB a
,
2
SA BC a
. Trên tia đối của tia
BA
lấy điểm
M
sao cho
·
ACM
0 0
(0 90 )
. Gọi
I
và
K
lần lượt là trung điểm của
AC
và
SC
,
H
là hình chiếu của
S
lên
CM
. Xác định
để thể tích
khối chóp
AHIK
đạt GTLN. Tính thể tích khối chóp khi đó.
CâuV. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực
x
ta luôn có:
2
ln 1 1
x x
e e x
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A. Theo chương trình Chuẩn
CâuVI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có diện tích
96
ABC
S
;
(2;0)
M là trung điểm
của
AB
, đường phân giác trong góc
A
có phương trình
( ): 10 0
d x y
, đường thẳng
AB
tạo với
( )
d
một góc
thoả mãn
3
cos
5
. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC
.
2. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho
(0;1;1)
M đường thẳng
1
1 2
( ):
3 1 1
x y z
d
; đường thẳng
2
( )
d
là giao của mặt phẳng
1
( ): 2 0
P x y z
với mặt phẳng
2
( ) : 1
P x
. Viết phương trình đường
thẳng qua
M
vuông góc với
1
( )
d
và cắt
2
( )
d
.
CâuVII.a (1,0 điểm) Giải phương trình:
3 2
3(1 2 ) (3 8 ) 2 5 0
z i z i z i
trên tập số phức.
B. Theo chương trình Nâng cao.
CâuVI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có
( 1; 3)
A
, trọng tâm
(4; 2)
G
, trung trực
của
AB
là
( ):3 2 4 0
d x y
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
2. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, viết phương trình đường thẳng
( )
d
vuông góc với mặt phẳng
( ) : 1 0
P x y z
và cắt cả hai đường thẳng
1
1 1 4
( ):
2 3 4
x y z
d
;
2
1 2 5
( ):
2 3 1
x y z
d
.
CâuVII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z có môđun lớn nhất thoả mãn:
1
2
3 4 1
log 1
3 3 4 3
z i
z i
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………, Số báo danh…………www.laisac.page.tl
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN - KHỐI A
LẦN 02 – NĂM HỌC 2010 – 2011
Ý Nội dung Điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi
2
m
1,0
Khi
2
m
ta được
4 2
6 5
y x x
+) TXĐ: R
+) Sự biến thiên
)
Chiều biến thiên
Có
3
' 4 12 0 0; 3
y x x x x
.
' 0 3 0; 3
y x x
Hàm số đồng biến trên
( 3;0)
và
( 3; )
, nghịch biến trên
( ; 3)
và
(0; 3)
0,25
)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại
0
CD
x
, giá trị cực đại
(0) 5
CD
y y
Hàm số đạt cực tiểu tại
3
CT
x
, giá trị cực tiểu
4
CT
y
)
Giới hạn tại vô cực:
4 2
lim( 6 5)
x
x x
0,25
1
+) Đồ thị: Giao với
Ox
tại
( 5;0); ( 1;0)
;
Giao với
Oy
tại
(0;5)
0,50
Tìm
m
để diện tích bằng …….
1,0
+) Có
4 2 2 2 2 2 2
( 2) 1 ( 1)( 1)
y x m x m x x m
. Phương trình
2 2 2
0 ( 1)( 1) 0
y x x m
có 4 nghiệm phân biệt là
2
1; 1
m
khi
0
m
.
0,25
+) Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi
( )
m
C
với trục hoành phần phía trên trục hoành
là:
1
2
4 2 2 2
0
20 16 96
2 ( 2) 1 2
15 15
m
S x m x m dx m
0,50
2
Vậy
2
m
là giá trị cần tìm
0,25
Giải phương trình
2 2
2sin 1 4cos
2 4 3 6
x x
1,0
Đặt
2
t x
khi đó phương trình đã cho trở thành
2 2
2sin 1 4cos
2 3
t t
0,25
2 2
cos 4cos cos3. 4cos 0
3 3 3
t t t
t
3 2
4cos 4cos 3cos 0
3 3 3
t t t
3
cos 0
3
3
( )
2
1
6
cos
3 2
t
t k
k
t
t k
¢
0
0,50
1
3
( )
6
2
x k
k
x k
¢
0,25
3
3
1
1
5
4
Giải hệ phương trình
6 2 2 (1)
2 2 6 0 (2)
x y x y
x y x y
1,0
Đặt 6 ; 2
a x y b x y
2 2
2
2 1
2 1
4
a b
a b a x
a b x b x
a b x
0,25
(2)
2 6 0 1 2 6 0 7
b x y x x y y x
0,25
thay vào (2) ta được
3 7 1 1
x x x
6
y
0,25
2
Thử lại thấy thoả mãn. Vậy
( ; ) ( 1;6)
x y
là nghiệm của hệ phương trình
0,25
Tính giới hạn
3
2
2
6 2
lim
3 2
x
x x
I
x x
1,0
3 3
2 2 2
2 2 2
6 2 6 2 2 2
lim lim lim
3 2 3 2 3 2
x x x
x x x x
I
x x x x x x
0,25
3
1
2
2 2
2
3
3
6 2 2 1
lim lim
3 2 12
( 1)( 2) ( 6) 2 6 4
x x
x x
I
x x
x x x x
0,25
2
2
2 2
2 2 2 1
lim lim
3 2 4
( 1)( 2) 2 2
x x
x x
I
x x
x x x
0,25
Vậy
1 2
1
6
I I I
0,25
Tính thể tích khối chóp….
1,0
Có
CM SH
CM AH CH AH
CM SA
H
chạy trên nửa đường tròn đường kính
AC
phần có chứa điểm
B
2 2
1 1 5
2 2 2
a
HI AI IC AC AB BC
0, 5
3
( , )
1 1 1 1 1 5 5 5
. . ( . ). ( . ) .2 . .
3 2 12 12 12 2 2 24
AHIK AIH H AC
a a a
V SA S SA AI d SA AI HI a
. Dấu
“=” xảy ra khi và chỉ khi
HI AI
kết hợp với
HI AI
suy ra
0
45
0,5
Chứng minh rằng:
2
ln 1 1
x x
e e x
1,0
Đặt
x
t e
bài toán trở thành CMR
0
t
luôn có
2
1
ln 1 1 ln
t t
t
. Xét hàm số
2
1
( ) ln 1 1 ln
f t t t
t
có
2
2
2 2 2 2
2 1 1 1
'( ) 0
2 1 (1 1 ) 1
t t t
f t
t t
t t t t
0,25
S
A
B
C
K
H
I
M
Mặt khác
2 2
1 1 1 1
lim 1 lim ln 0
t t
t t
t t
0,25
Suy ra
2
1 1
lim ln
t
t
t
-
1
lim 0
t
t
điều này chứng tỏ hàm số
( )
y f t
nhận
Ox
làm một
tiệm cận ngang
0,25
Ta thấy
( )
y f t
đồng biến trên
(0; )
và hàm số có tiệm cận ngang là
0
y
khi
t
nên
( ) 0 0
f t t
0,25
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác….
1,0
'
M
đối xứng với )0;2(M qua 010:)(
yxd nên )8;10('
M
Đường thẳng qua )0;2(M với vectơ pháp tuyến );( ban có phương trình
0)2(
byxa tạo với 010:)(
yxd góc
khi đó
ab
ba
ba
ba
7
7
5
3
cos
2
22
0,25
Với
ba 7
chọn
71
ab
, đường thẳng
AB
có phương trình 0147
yx cắt
010:)(
yxd tại
A
có tọa độ )7;3(
A khi đó
B
đối xứng với )7;3(
A qua )0;2(M
có tọa độ )7;1(B
210 AB
ABCABMBAM
SdABS
2
1
48.
2
1
);'('
'2AMAC
)9;17(
C
0,25
Với
ab 7
chọn
71
ba
khi đó 027:
yxAB cắt 010:)(
yxd tại
)1;9(
A )1;5(
B
210 AB
ABCBAM
SS
2
1
48
'
'2AMAC
)15;11(
C
0,25
1
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là:
)15;11(),1;5(),1;9(
)9;17(),7;1(),7;3(
CBA
CBA
0,25
Viết phương trình đường thẳng…
1,0
Mặt phẳng (P) qua M(0;1;1) và vuông góc với
1
d nhận vectơ chỉ phương )1;1;3(
1
u làm
vectơ pháp tuyến có phương trình: 3x +y+z-2=0
0,5
(P) cắt
2
d tại điểm N có tọa độ thỏa mãn hệ )3;2;1(
023
02
1
N
zyx
zyx
x
0,25
VI.a
2
Đường thẳng cần tìm qua M(0;1;1) và N(-1;2;3) có phương trình chính
tắc:
2
1
1
1
1
zyx
0,25
Giải phương trình:
3 2
3(1 2 ) (3 8 ) 2 5 0
z i z i z i
(*)
1,0
2
2
1
(*) ( 1) 2(1 3 ) 2 5 0
2(1 3 ) 2 5 0 (1)
z
z z i i
z i i
0,25
(1) có
2 2
' (1 3 ) (2 5) 3 4 (1 2 )
i i i i
0,25
; 2 5
z i z i
0,25
VII.a
Vậy
S={ ; 2 5 ;1}
i i
là tập nghiệm của phương trình.
0,25
Viết phương trình đường tròn….
1,0
VI.b
1
( 1; 3)
A
trọng tâm
(4; 2)
G
suy ra trung điểm
M
của
BC
có toạ độ
13 3
;
2 2
M
( ):3 2 4 0
d x y
là trung trực của AB nên AB nhận
(2; 3)
d
u
uur
làm vectơ pháp tuyến, AB
có phương trình:
2 3 7 0
x y
; AB cắt (d) tại trung điểm N của AB có toạ độ
0,5
A
B
C
'
M
M
2; 1
N
5;1
B
(8; 4)
C
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:
2 2
2 2 0
x y ax by c
khi đó
74
21
2 6 10
23
10 2 26
7
16 8 80
8
3
a
a b c
a b c b
a b c
c
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:
2 2
148 46 8
0
21 7 3
x y x y
0,5
Viết phương trình đương thẳng vuông góc và cắt….
1,0
Đường thẳng (d) vuông góc với (P): x+y+z-1=0 nên (d) có vectơ chỉ phương là
(1;1;1)
u
r
Mặt phẳng
1
( )
P
chứa
d
và
1
d
qua M(-1;1;4) nhận
(1;1;1)
u
r
và
1
(2;3;4)
u
ur
làm cặp vectơ chỉ
phương hay nhận
1 1
1 1 1 1 1 1
[ ; ] ; ; (1; 2;1)
3 4 4 2 2 3
n u u
ur r ur
làm vectơ pháp tuyến có
phương trình:
2 1 0
x y z
0,25
(
2
P
) nhận chứa d và
2
d
nhận
(1;1;1)
u
r
và
2
(2; 3;1)
u
uur
làm cặp vectơ chỉ phương nên nhận
2 2
[ ; ] (4;1; 5)
n u u
uur r uur
, qua N(1;-2;5) có phương trình:
4 5 23 0
x y z
0,25
(d) là giao của
1
( )
P
và (
2
P
) có phương trình thoả mãn hệ
2 1 0
4 5 23 0
x y z
x y z
đặt
z t
ta được
5
3
x t
y t
z t
0,25
2
Vậy đường thẳng cần tìm có phơng trình chính tắc là:
5 3
1 1 1
x y z
0,25
1
2
3 4 1
log 1
3 3 4 3
z i
z i
. (*) Tìm số phức có môđun lớn nhất
1,0
Đ ặt
( , )
z a bi a b
¡
.
Có (*)
3 4 1
1
3 4 5 ( 3) ( 4) 5
3 3 4 3 2
z i
z i a b i
z i
0,25
Do đó tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thoả mãn là đường tròn tâm
(3; 4)
I
bán kính
5
R
. Khi đó số phức z thoả mãn
1
2
3 4 1
log 1
3 3 4 3
z i
z i
là số phức có môđun lớn nhất thì điểm biểu diễn của z là điểm
đối xứng với
(0;0)
O qua
(3; 4)
I
0,25
N đối xứng với O qua I có toạ độ là: N(6;-8) 0,25
VII.b
Vậy số phức z cần tìm là z = 6 - 8i 0,25
Ghi chú:
- Câu IV thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điẻm
Các ý khác thí sinh giải cách khác đáp án mà đúng
3
4
