Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 9 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.48 KB, 28 trang )
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 223
Nhu
.
vˆa
.
y L(x)=−x v`a do d´o x l`a vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng
λ = −1.
2) 1
+
Ta c´o ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
il`a
54
89
.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng c´o da
.
ng
5 −λ 4
89−λ
=0⇔ λ
2
− 14λ +13=0
⇔
λ
1
=1,
λ
2
=13.
2
+
Ca
’
hai gi´a tri
.
λ =1v`aλ =13dˆe
`
u l`a c´ac gi´a tri
.
riˆeng.
3
+
Dˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta c´o hai hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
tuyˆe
´
n t´ınh
(I)
(5 − λ
1
)ξ
1
+4ξ
2
=0,
8ξ
1
+(9− λ
1
)ξ
2
=0.
(II)
(5 −λ
2
)ξ
1
+4ξ
2
=0,
8ξ
1
+(9− λ
2
)ξ
2
=0.
i) V`ı λ
1
=1nˆen hˆe
.
(I) c´o da
.
ng
4ξ
1
+4ξ
2
=0,
8ξ
1
+8ξ
2
=0.
T`u
.
d´o suy ra ξ
2
= −ξ
1
,dod´o nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
n`ay c´o da
.
ng ξ
1
= α
1
,
ξ
2
= −α
1
, trong d´o α
1
l`a da
.
ilu
.
o
.
.
ng t`uy ´y. V`ı vecto
.
riˆeng kh´ac khˆong
nˆen c´ac vecto
.
´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng λ
1
= 1 l`a c´ac vecto
.
u(α
1
, −α
1
),
trong d´o α
1
=0l`at`uy ´y.
ii) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
khi λ
2
=13hˆe
.
(I I) tro
.
’
th`anh
−8ξ
1
+4ξ
2
=0,
8ξ
1
−4ξ
2
=0,
224 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
t´u
.
cl`aξ
2
=2ξ
1
.D˘a
.
t ξ
1
= β ⇒ ξ
2
=2β.Vˆa
.
yhˆe
.
(I I) c´o nghiˆe
.
ml`a
ξ
1
= β, ξ
2
=2β.V`ı vecto
.
riˆeng kh´ac khˆong nˆen c´ac vecto
.
riˆeng ´u
.
ng
v´o
.
i gi´a tri
.
λ
2
= 13 l`a c´ac vecto
.
v(β,2β).
V´ı d u
.
6. T`ım gi´a tri
.
riˆeng v`a vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n
t´ınh L v´o
.
i ma trˆa
.
n
A =
12
54
.
Gia
’
i. D
ath´u
.
cd˘a
.
c tru
.
ng cu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L
P (λ)=
1 −λ 2
54− λ
= λ
2
− 5λ −6.
N´o c´o hai nghiˆe
.
m thu
.
.
c λ
1
=6,λ
2
= −1. C´ac vecto
.
d
˘a
.
c tru
.
ng d
u
.
o
.
.
c
t`ım t `u
.
hai hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(1 −λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
=0,
5ξ
1
+(4− λ
i
)ξ
2
=0,
i =1, 2.
V`ıd
i
.
nh th ´u
.
ccu
’
ahˆe
.
= 0 nˆen mˆo
˜
ihˆe
.
chı
’
thu vˆe
`
mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh.
1
+
V´o
.
i λ
1
= 6 ta c´o 5ξ
1
− 2ξ
2
=0⇒
ξ
1
ξ
2
=
2
5
v`a do d´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a u =(2, 5) (ho˘a
.
cmo
.
i vecto
.
αu, α ∈ R,
α =0)
2
+
V´o
.
i λ
2
= −1 ta c´o ξ
1
+ξ
2
=0⇒
ξ
1
ξ
2
= −1 v`a vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng
´u
.
ng l`a v =(1, −1) (hay mo
.
i vecto
.
da
.
ng βv, β = 0).
V´ı d u
.
7. T`ım c´ac gi´a tri
.
riˆeng v`a vecto
.
riˆeng cu
’
aph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n
t´ınh L trˆen R
3
v´o
.
i ma trˆa
.
n theo co
.
so
.
’
ch´ınh t˘a
´
cl`a
A =
114
20−4
−11 5
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 225
Gia
’
i. Ta c´o dath´u
.
cd˘a
.
c tru
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n A l`a
det(A −λE)=
1 −λ 14
2 −λ −4
−115−λ
= −λ
3
+6λ
2
−11λ +6
v`a
det(A −λE)=0⇐⇒
λ
1
=1,
λ
2
=2,
λ
3
=3.
Gia
’
su
.
’
x =(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
) = 0 l`a vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng λ.
Khi d
´o x l`a nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
thuˆa
`
n nhˆa
´
t
(1 −λ)ξ
1
+ ξ
2
+4ξ
3
=0,
2ξ
1
− λξ
2
− 4ξ
3
=0,
−ξ
1
+ ξ
2
+(5− λ)ξ
3
=0.
(*)
1
+
Khi λ = 1 ta c´o
(∗) ⇒
ξ
2
+4ξ
3
=0,
2ξ
1
− ξ
2
− 4ξ
3
=0,
−ξ
1
+ ξ
2
+4ξ
3
=0.
⇒ nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at l`a (0, −4α, α), α =0t`uy ´y.
Vˆa
.
yv´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng λ
1
= 1 ta c´o c´ac vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
in´ol`a
(0, −4α, α), α ∈ R, α =0.
2
+
Khi λ = 2 ta c´o
(∗) ⇒
−ξ
1
+ ξ
2
+4ξ
3
=0,
2ξ
1
− 2ξ
2
− 4ξ
3
=0,
−ξ
1
+ ξ
2
+3ξ
3
=0
⇒ hˆe
.
c´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at l`a (β,β,0), β =0v`adod
´o vecto
.
riˆeng ´u
.
ng
v´o
.
i λ =2l`a(β,β,0), β =0.
226 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
3
+
Khi λ = 3, thu
.
.
chiˆe
.
ntu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
o
.
’
1
+
v`a 2
+
ta thu du
.
o
.
.
c
vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng (2γ,0,γ), γ =0t`uy ´y.
V´ı d u
.
8. T`ım gi´a tri
.
riˆeng v`a vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep bdtt v´o
.
i ma trˆa
.
n
A =
7 −12 6
10 −19 10
12 −24 13
.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng
P (λ)=
7 −λ −12 6
10 −19 −λ 10
12 −24 13 − λ
=0
c´o nghiˆe
.
m λ
1
= λ
2
=1,λ
1
= −1. C´ac vecto
.
d
˘a
.
c tru
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh
t`u
.
hai hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(7 −λ
i
)ξ − 12η +6ζ =0,
10ξ −(19 + λ
i
)η +10ζ =0,
12ξ −24η + (13 − λ
i
)ζ =0; i =1, 2.
1
+
Khi λ = 1 ta c´o
6ξ − 12η +6ζ =0,
10ξ − 20η +10ζ =0,
12ξ − 24η +12ζ =0.
Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n (go
.
i l`a ma trˆa
.
nd
˘a
.
c tru
.
ng) (A − λ
1
E)cu
’
ahˆe
.
n`ay
l`a b˘a
`
ng r = 1. Do d´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
imˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh
ξ − 2η + ζ =0.
T`u
.
d´o suy r˘a
`
ng hˆe
.
c´o hai nghiˆe
.
mdˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh, ch˘a
’
ng ha
.
n
u =(4, 5, 6),
v =(3, 5, 7).
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 227
2
+
Khi λ
2
= −1 ta c´o
8ξ − 12η +6ζ =0,
10ξ −18η +10ζ =0,
12ξ −24η +14ζ =0.
Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n(A−λ
3
E)cu
’
ahˆe
.
b˘a
`
ng r = 2. Do d´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
v´o
.
ihˆe
.
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh. Nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a n´o c´o da
.
ng w =(3, 5, 6).
Nhu
.
vˆa
.
y u, v, w l`a c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep bdtt d˜a cho.
V´ı d u
.
9. Cho ma trˆa
.
n
A =
01
10
.
T`ım ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh L tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ma trˆa
.
nd´o.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
x = ae
1
+ be
2
l`a vecto
.
t`uy ´y cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng. Dˆe
’
t`ım
ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh ta cˆa
`
nchı
’
r˜o a
’
nh y = Ax.Tac´o
y =
01
10
a
b
=
b
a
= be
1
+ ae
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L c´o t´ınh chˆa
´
t l`a: thay dˆo
’
i vai tr`o cu
’
a c´ac to
.
a
dˆo
.
cu
’
amˆo
˜
i vecto
.
x ∈ R
2
.T`u
.
d´o suy r˘a
`
ng L l`a ph´ep pha
’
nxa
.
gu
.
o
.
ng
dˆo
´
iv´o
.
idu
.
`o
.
ng phˆan gi´ac th´u
.
nhˆa
´
t.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Trong c´ac b`ai to´an (1 - 11) h˜ay ch´u
.
ng to
’
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
id˜a c h o l `a
ph´ep bdtt v`a t`ım ma trˆa
.
ncu
’
ach´ung theo co
.
so
.
’
ch´ınh t˘a
´
c.
1. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L l`a ph´ep quay mo
.
i vecto
.
cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng xOy xung
quanh gˆo
´
cto
.
adˆo
.
mˆo
.
t g´oc ϕ ngu
.
o
.
.
cchiˆe
`
u kim dˆo
`
ng hˆo
`
.
(DS. A
L
=
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
)
228 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
2. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L l`a ph´ep quay khˆong gian thu
.
.
cbachiˆe
`
umˆo
.
t g´oc ϕ
xung quanh tru
.
c Oz.
(D
S.
cos ϕ −sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
001
)
3. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a ph´ep chiˆe
´
u vuˆong g´oc vecto
.
a ∈ R
3
lˆen m˘a
.
t
ph˘a
’
ng xOy.
(D
S.
100
010
000
)
4. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a t´ıch vecto
.
y =[a, x], trong d
´o a = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+
a
3
x
3
l`a vecto
.
cˆo
´
d
i
.
nh cu
’
a R
3
.
(D
S.
0 −a
3
a
2
a
3
0 −a
1
−a
2
a
1
0
)
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n t´ıch vecto
.
du
.
´o
.
ida
.
ng di
.
nh th´u
.
c.
5. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
idˆo
`
ng nhˆa
´
t trong khˆong gian
n-chiˆe
`
u R
n
trong mo
.
ico
.
so
.
’
.
(DS. E =
10 0
01 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 1
)
6. L l`a ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
idˆo
`
ng da
.
ng L(x)=αx trong khˆong gian n-chiˆe
`
u.
(DS.
α 0 0
0 α 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 α
)
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 229
7. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L c´o da
.
ng L(x)=x
2
e
1
+ x
3
e
2
+ x
4
e
3
+ x
1
e
4
trong d´o
x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
+ x
4
e
4
.
(DS.
0100
0010
0001
1000
)
8. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a ph´ep chiˆe
´
u vuˆong g´oc khˆong gian 3-chiˆe
`
ulˆen
tru
.
c∆lˆa
.
pv´o
.
i c´ac tru
.
cto
.
adˆo
.
nh˜u
.
ng g´oc b˘a
`
ng nhau, t´u
.
cl`a(
Ox,∆) =
(
Oy, ∆)=(
Oz, ∆) = α.
(DS.
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
)
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng t´ınh chˆa
´
tcu
’
a cosin chı
’
phu
.
o
.
ng cu
’
a g´oc bˆa
´
tk`y
cos
2
α + cos
2
α + cos
2
α =1.
9. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L l`a ph´ep chiˆe
´
u R
3
theo phu
.
o
.
ng song song v´o
.
im˘a
.
t
ph˘a
’
ng vecto
.
e
2
,e
3
lˆen tru
.
cto
.
adˆo
.
cu
’
a vecto
.
e
1
(DS.
100
000
000
)
10. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a ph´ep quay R
3
mˆo
.
t g´oc ϕ =
2π
3
xung quanh
d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng cho trong R
3
bo
.
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh x
1
= x
2
= x
3
.
(D
S. a)
001
100
010
nˆe
´
u quay t `u
.
e
1
dˆe
´
n e
2
,
b)
010
001
100
nˆe
´
u quay t `u
.
e
2
dˆe
´
n e
1
)
230 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
Trong c´ac b`ai to´an (12-22) cho hai co
.
so
.
’
(e):e
1
,e
2
, ,e
n
v`a
(E):E
1
, E
2
, ,E
n
cu
’
a khˆong gian R
n
v`a ma trˆa
.
n A
L
cu
’
a ph´ep biˆe
´
n
dˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh L trong co
.
so
.
’
(e). T`ım ma trˆa
.
ncu
’
a L trong co
.
so
.
’
(E).
Phu
.
o
.
ng ph´ap chung l`a: (i) t`ım ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n T t`u
.
co
.
so
.
’
(e)dˆe
´
nco
.
so
.
’
(E); (ii) T`ım ma trˆa
.
n T
−1
; (iii) T`ım B
L
= T
−1
AT .
11. A
L
=
17 6
68
, E
1
= e
1
− 2e
2
, E
2
=2e
1
+ e
2
). (DS.
50
020
)
12. A
L
=
−31
2 −1
, E
1
= e
2
, E
2
= e
1
+ e
2
.(DS.
−23
1 −2
)
13. A
L
=
24
−33
, E
1
= e
2
− 2e
1
, E
2
=2e
1
− 4e
2
.(DS.
−314
−38
)
14. A
L
=
10
2 −4
, E
1
=3e
1
+2e
2
, E
2
=2e
1
+2e
2
.(DS.
56
−6 −8
)
15. A
L
=
0 −21
310
2 −11
, E
1
=3e
1
+ e
2
+2e
3
, E
2
=2e
1
+ e
2
+2e
3
,
E
3
= −e
1
+2e
2
+5e
3
.(DS.
−85 −59 18
121 84 −25
−13 −93
)
16. A
L
=
15 −11 5
20 −15 8
8 −76
, E
1
=2e
1
+3e
2
+ e
3
, E
2
=3e
1
+4e
2
+ e
3
,
E
3
= e
1
+2e
2
+2e
3
.(DS.
100
020
003
)
17. A
L
=
2 −10
01−1
00 1
. E
1
=2e
1
+ e
2
− e
3
, E
2
=2e
1
−e
2
+2e
3
,
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 231
E
3
=3e
1
+ e
3
.(DS.
−211 7
−414 8
5 −15 −8
)
18. A
L
=
21
03
, e
1
=3E
1
−E
2
, e
2
= E
1
+ E
2
.(DS.
33
02
)
19. A
L
=
−14
50
, e
1
= E
1
+ E
2
, e
2
=2E
1
.(DS.
27
2 −3
)
20. A
L
=
12−3
031
−12 5
, e
1
= E
1
, e
2
=3E
1
+ E
2
, e
3
=2E
1
+ E
2
+2E
3
.
(D
S.
−118−3
−18 0
−210 2
)
21. A
L
=
2 −10
01−1
00 1
, e
1
=2E
1
+ E
2
−E
3
, e
2
=2E
1
−E
2
+2E
3
,
e
3
=3E
1
+ E
2
.(DS.
3 −10 −8
−18 5
2 −13 −7
)
22. Trong c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i sau dˆay t `u
.
R
3
→ R
3
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i n`ao
l`a tuyˆe
´
n t´ınh (gia
’
thiˆe
´
t x =(x
1
,x
2
,x
3
) ∈ R
3
)
1) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+2x
2
+3x
3
, 4x
1
+5x
2
+6x
3
, 7x
1
+8x
2
+9x
3
);
2) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+3x
2
+4, 5x
3
;6x
1
+7x
2
+9x
3
;10,5x
1
+12x
2
+
13x
3
)
3) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
2
+ x
3
,x
1
+ x
3
,x
1
+ x
2
).
4) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
,x
2
+1,x
3
+ 2).
5) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
2
+ x
3
, 2x
1
+ x
3
, 3x
1
− x
2
+ x
3
).
6) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(2x
1
+ x
2
,x
1
+ x
3
,x
2
3
).
7) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
− x
2
− x
3
,x
3
,x
2
).
232 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
(DS. 1), 2), 3), 5), 7) l`a ph´ep bdtt; 4), 6) - khˆong)
23. T`ım phu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng v`a sˆo
´
d˘a
.
c tru
.
ng cu
’
a ph´ep bdtt L
nˆe
´
u
1) L(e
1
)=2e
1
; L(e
2
)=5e
1
+3e
2
; L(e
3
)=3e
1
+4e
2
− 6e
3
, trong
d´o e
1
,e
2
,e
3
l`a co
.
so
.
’
cu
’
a khˆong gian. (D
S. (λ + 6)(λ −2)(λ −3) = 0)
2) L(e
1
)=−e
1
, L(e
2
)=2e
1
+5e
2
, L(e
3
)=2e
1
− e
2
+3e
3
+5e
4
,
L(e
4
)=e
1
+7e
2
+4e
3
+6e
4
, trong d´o e
1
,e
2
,e
3
,e
4
l`a co
.
so
.
’
cu
’
a khˆong
gian.
(D
S. (λ + 1)(λ − 5)(λ
2
− 9λ −2) = 0)
3) L(e
1
)=2e
1
+2e
3
, L(e
2
)=2e
1
+2e
2
, L(e
3
)=−2e
2
+2e
3
;
e
1
,e
2
,e
3
l`a co
.
so
.
’
cu
’
a khˆong gian. (DS. λ
3
−6λ
2
+12λ =0)
24. Gia
’
su
.
’
trong co
.
so
.
’
e = {e
1
,e
2
} ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.
nl`a
A
L
=
35
−14
c`on trong co
.
so
.
’
E = {E
1
, E
2
}, E
1
= e
1
− e
2
, E
2
= e
1
+2e
2
ph´ep bdtt
L
∗
c´o ma trˆa
.
n
A
L
∗
=
0 −2
11
.
T`ım ma trˆa
.
ncu
’
a c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i:
1) L + L
∗
trong co
.
so
.
’
e
1
, e
2
;
2) L + L
∗
trong co
.
so
.
’
E
1
, E
2
.
(DS. 1)
1
3
10 13
514
;2)
1
3
113
−323
)
25. Gia
’
su
.
’
trong co
.
so
.
’
e = {e
1
,e
2
,e
3
} ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.
n
A
L
=
20−2
11 0
30−1
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 233
c`on trong co
.
so
.
’
E = {E
1
, E
2
, E
3
}, E
1
= e
1
+2e
2
, E
2
= e
1
−e
3
, E
3
= e
2
+e
3
ph´ep bdtt L
∗
c´o ma trˆa
.
n
A
L
∗
=
03 0
01−2
12 0
.
T`ım ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i:
1) L + L
∗
trong co
.
so
.
’
e.(D
S.
6 −2 −2
16 −67
8 −23
)
2) L + L
∗
trong co
.
so
.
’
E.(DS.
−2 −44
412−8
817−7
)
26. Gia
’
su
.
’
trong co
.
so
.
’
e = {e
1
,e
2
} ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.
n
A
L
=
−12
01
c`on trong co
.
so
.
’
E = {E
1
, E
2
}, E
1
=2e
1
+ e
2
, E
2
= e
1
− e
2
ph´ep bdtt
L
∗
c´o ma trˆa
.
n
A
L
∗
=
3 −2
10
.
T`ım ma trˆa
.
ncu
’
a c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
1) L◦L
∗
trong co
.
so
.
’
e.(DS.
−1 −1
02
)
2) L
∗
◦Ltrong co
.
so
.
’
e.(DS.
−17
02
)
3) L◦L
∗
trong co
.
so
.
’
E.(D
S.
1
3
−1 −2
−74
)
234 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
4) L
∗
◦Ltrong co
.
so
.
’
E.(DS.
1
3
7 −10
1 −4
)
27. Gia
’
su
.
’
ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.
n
2 −1
5 −3
trong co
.
so
.
’
E =
{E
1
, E
2
}, E
1
=(−3, 7), E
2
=(1, −2) v`a trong co
.
so
.
’
E
∗
= {E
∗
1
, E
∗
2
},
E
∗
1
=(−6, −7), E
∗
2
=(−5, 6) ph´ep bdtt L
∗
c´o ma trˆa
.
nl`a
13
27
.T`ım
ma trˆa
.
ncu
’
a L◦L
∗
trong co
.
so
.
’
m`a c´ac vecto
.
trˆen du
.
o
.
.
c cho.
(DS.
109 93
34 29
)
Chı
’
dˆa
˜
n. T`ım c´ac ma trˆa
.
n chuyˆe
’
nco
.
so
.
’
T
ea
, T
eb
v`a ´ap du
.
ng
cˆong th´u
.
c (5.22) dˆe
’
t`ım ma trˆa
.
n A
L
v`a A
L
∗
trong co
.
so
.
’
e.T`u
.
d´o
A
L◦L
∗
= A
L
· A
L
∗
.
Trong c´ac b`ai to´an (28-31) h˜ay x´ac d
i
.
nh trong c´ac vecto
.
d˜a c h o
vecto
.
n`ao l`a vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep bdtt v´o
.
i ma trˆa
.
nd˜a cho (trong co
.
so
.
’
n`ao d´o).
28. A =
10
−21
; x
1
=
1
2
, x
2
=
0
3
, x
3
=
0
−1
.(DS. x
2
v`a x
3
)
29. A =
1 −1
−62
; x
1
=
−1
3
, x
2
=
2
−4
, x
3
=
1
2
.
(D
S. x
1
v`a x
3
)
30. A =
002
200
020
; x
1
=
1
1
3
, x
2
=
1
0
5
, x
3
=
2
2
2
.(D
S. x
3
)
31. A =
010
632
301
; x
1
=
−1
2
0
, x
2
=
1
0
−3
, x
3
=
−4
0
1
.(D
S. x
2
)
Trong c´ac b`ai to´an (32-35) h˜ay t`ım c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep biˆe
´
n
dˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınhdu
.
o
.
.
c cho trong mˆo
.
tco
.
so
.
’
n`ao d´obo
.
’
i ma trˆa
.
n A.
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 235
32. A =
24
−1 −3
.(DS.
4
−1
α,
1
−1
β v´o
.
i α =0,β =0bˆa
´
tk`y)
33. A =
3 −4
−21
.(D
S.
−2
1
α,
1
1
β v´o
.
i α =0,β =0bˆa
´
tk`y)
34. A =
12−2
10 3
13 0
.(D
S.
−2
1
1
α,
0
1
1
β,
6
−7
5
γ,
α =0,β =0,γ =0bˆa
´
tk`y)
35. A =
102
030
000
.(D
S.
−2
0
1
α,
0
1
0
β; α =0,β =0bˆa
´
tk`y)
36. Cho ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh L : R
2
→ R
2
nhu
.
sau
L :(x
1
,x
2
) −→ (5x
1
+4x
2
, 8x
1
+9x
2
).
T`ım gi´a tri
.
riˆeng v`a vecto
.
riˆeng cu
’
a L.
(DS. λ
1
=1,u =(α, −α), α =0;λ
2
= 13, v =(β,2β), β =0)
37. T`ım gi´a tri
.
riˆeng v`a vecto
.
riˆeng cu
’
a ma trˆa
.
n
A =
2 −11
−12−1
001
(D
S. λ
1
= λ
2
=1,u =(α, α), α =0;λ
3
=3,v =(β,−β), β =0).
Chu
.
o
.
ng 6
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a´u
.
ng
du
.
ng d
ˆe
’
nhˆa
.
nda
.
ng du
.
`o
.
ng v`a
m˘a
.
tbˆa
.
c hai
6.1 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
Dath´u
.
cd˘a
’
ng cˆa
´
pbˆa
.
c hai cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
,x
2
, ,x
n
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a da
.
ng
to`an phu
.
o
.
ng cu
’
a n biˆe
´
nd
´o :
ϕ(x
1
, ,x
n
)=
n
i=1
n
j=1
a
ij
x
i
x
j
=
n
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
. (6.1)
D´ol`aph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d˘a
.
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
˜
i vecto
.
x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) ∈
R
n
v´o
.
isˆo
´
ϕ(x
1
, ,x
n
).
Nˆe
´
ud˘a
.
t
X =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
,A=
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
nn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 237
th`ı thu du
.
o
.
.
c
ϕ(x
1
,x
2
, ,x
n
)=X
T
AX. (6.2)
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
u C l`a ma trˆa
.
ncu
’
aph´epbd
tt thu
.
.
chiˆe
.
ntrˆen c´ac biˆe
´
n
cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng (6.1) v´o
.
i ma trˆa
.
n A th`ı da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng m´o
.
i
thu du
.
o
.
.
c c´o ma trˆa
.
nl`aC
T
AC.
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng da
.
ng
α
1
x
2
1
+ α
2
x
2
2
+ ···+ α
n
x
2
n
(6.3)
khˆong ch´u
.
a c´ac sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
i t´ıch cu
’
a c´ac biˆe
´
n kh´ac nhau (v`a do d
´on´o
c´o ma trˆa
.
ndu
.
`o
.
ng ch´eo) du
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ch´eo hay da
.
ng
ch´ınh t˘a
´
c.
Tiˆe
´
p theo ta tr`ınh b`ay nˆo
.
i dung cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap du
.
ada
.
ng
to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange
D
-
i
.
nh l´y Lagrange. B˘a
`
ng ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınh khˆong suy biˆe
´
n
dˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
n x
1
, ,x
n
mo
.
ida
.
ng to`an phu
.
o
.
ng dˆe
`
udu
.
adu
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Tinh thˆa
`
nco
.
ba
’
ncu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange l`a nhu
.
sau.
1
+
´
It nhˆa
´
tmˆo
.
t trong c´ac hˆe
.
sˆo
´
a
ii
kh´ac khˆong.
Khˆong gia
’
mtˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
11
=0(nˆe
´
u khˆong th`ı
d
´anh sˆo
´
la
.
i). Khi d´ob˘a
`
ng ph´ep tr´ıch mˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng d
u
’
t`u
.
cu
.
mtˆa
´
t
ca
’
c´ac sˆo
´
ha
.
ng ch´u
.
a x
1
ta c´o
ϕ(·)=αy
2
1
+ ϕ
2
(x
2
,x
3
, ,x
n
)
y
1
= λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ ···+ λ
n
x
n
trong d´o λ
1
,λ
2
, ,λ
n
l`a c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
, ϕ
2
(x
2
, ,x
n
) l`a da
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng chı
’
c`on n − 1biˆe
´
n (khˆong c`on x
1
). Dˆo
´
iv´o
.
i ϕ
2
(x
2
, ,x
n
)ta
la
.
i thu
.
.
chiˆe
.
n thuˆa
.
t to´an nhu
.
v`u
.
a tr`ınh b`ay,
238 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
2
+
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p a
ii
=0∀i = 1,n nh˜u
.
ng a
ij
=0(i = j)du
.
o
.
.
cdu
.
a
vˆe
`
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p trˆen b˘a
`
ng ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
x
j
= y
j
+ y
i
x
k
= y
k
,k = j
V´ı d u
.
1. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+4x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a x
1
th`anh mˆo
.
tcu
.
m v`a tr´ıch t`u
.
cu
.
md
´omˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng du
’
ta c´o
ϕ(·)=(x
2
1
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
)+x
2
2
+ x
2
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+ x
2
+2x
3
)
2
− (2x
2
+2x
3
)
2
+ x
2
2
+ x
2
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+2x
2
+2x
3
)
2
−3x
2
2
− 3x
2
3
− 4x
2
x
3
.
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a x
2
rˆo
`
i tr´ıch b`ınh phu
.
o
.
ng ta c´o
ϕ(·)=(x
1
+2x
2
+2x
3
)
2
−3(x
2
+
2
3
x
3
)
2
−
5
3
x
2
3
.
D`ung ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
y
1
= x
1
+2x
2
+2x
3
y
2
= x
2
+
2
3
x
3
y
3
= x
3
⇒
x
1
= y
1
− 2y
2
−
2
3
y
3
x
2
= y
2
−
2
3
y
3
x
3
= y
3
ta thu du
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
2
1
−3y
2
2
−
5
3
y
2
3
.
V´ı d u
.
2. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
x
2
+2x
1
x
3
+4x
2
x
3
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 239
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. V`ı a
11
= a
22
= a
33
=0nˆen dˆa
`
u tiˆen thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i
so
.
bˆo
.
khˆong suy biˆe
´
nthudu
.
o
.
.
csˆo
´
ha
.
ng c´o b`ınh phu
.
o
.
ng:
x
1
= y
1
x
2
= y
1
+ y
2
x
3
= y
3
(6.4)
v`a thu d
u
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
1
(y
1
+ y
2
)+2y
1
y
3
+4(y
1
+ y
2
)y
3
= y
2
1
+ y
1
y
2
+6y
1
y
3
+4y
2
y
3
.
Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng m´o
.
ithudu
.
o
.
.
c, tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong
v´ıdu
.
1 ta c´o
ϕ(·)=
y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
2
−
1
2
y
2
+3y
3
2
+4y
2
y
3
=
y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
2
−
1
4
y
2
+ y
2
y
3
− 9y
3
.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
n
z
1
= y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
,
z
2
= y
2
,
z
3
= y
3
v´o
.
i ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i ngu
.
o
.
.
c
y
1
= z
1
−
1
2
z
2
− 3z
3
,
y
2
= z
2
,
y
3
= z
3
(6.5)
ta thu d
u
.
o
.
.
c
ϕ(·)=z
2
1
−
1
4
z
2
2
+ z
2
z
3
− 9z
2
3
.
240 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a z
2
ta c´o
ϕ(·)=z
2
1
−
1
4
(z
2
− 2z
3
)
2
− 8z
2
3
.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
n
u
1
= z
1
,
u
2
= z
2
− 2z
3
,
u
3
= z
3
⇒
z
1
= u
1
,
z
2
= u
2
+2u
3
,
z
3
= u
3
(6.6)
Sau ba ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i liˆen tiˆe
´
p (6.4)-(6.6) da
.
ng d˜a cho c´o da
.
ng du
.
`o
.
ng
ch´eo
ϕ(·)=u
2
1
−
1
4
u
2
2
− 8u
2
3
.
Dˆe
’
t`ım ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
iho
.
.
p ta cˆa
`
n nhˆan c´ac ma trˆa
.
ncu
’
a
(6.4), (6.5) v`a (6.6). Ta c´o
100
110
001
1 −
1
2
−3
01 0
00 1
100
012
001
=
1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1
= C.
Do ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
ndu
.
ada
.
ng ϕ vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
cl`a
x
1
= u
1
−
1
2
u
2
− 4u
3
,
x
2
= u
1
+
1
2
u
2
− 2u
3
,
x
3
= u
3
.
D
ˆe
’
kiˆe
’
m tra ta t´ınh t´ıch C
T
AC.Tac´o
C
T
AC =
110
−
1
2
1
2
0
−4 −21
0
1
2
1
1
2
02
120
1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1
=
10 0
0 −
1
4
0
00−8
D
´o l`a ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng ch´ınh t˘a
´
cthudu
.
o
.
.
c.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 241
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi
Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay chı
’
´ap du
.
ng du
.
o
.
.
c khi mo
.
idi
.
nh th ´u
.
c con ch´ınh cu
’
a
ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng dˆe
`
u kh´ac 0, t´u
.
c l`a khi
∆
1
= a
11
=0, ∆
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
=0, ,∆
n
=
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn
=0.
(6.7)
Cu
.
thˆe
’
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
uda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
, ,x
n
)=
n
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
nv`u
.
a nˆeu: ∆
i
=0∀i = 1,n th`ı tˆo
`
nta
.
iph´ep biˆe
´
n
d
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
nt`u
.
c´ac biˆe
´
n x
1
, ,x
n
dˆe
´
n c´ac biˆe
´
n
y
1
, ,y
n
sao cho
ϕ(·)=
∆
1
∆
0
y
2
1
+
∆
2
∆
1
y
2
2
+ ···+
∆
n
∆
n−1
y
2
n
, ∆
0
≡ 1.
Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i nˆeu trong di
.
nh l´y Jacobi c´o da
.
ng
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
+ ···+ α
n1
y
n
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
+ ···+ α
n2
y
n
,
x
n
= y
n
(6.8)
trong d
´o c´ac hˆe
.
sˆo
´
α
ji
cu
’
aph´ep b dtt (6.8) du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh theo c´ac cˆong
th ´u
.
c
α
ij
=(−1)
j+i
D
j−1,i
∆
j−1
(6.9)
242 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
o
.
’
dˆay ∆
j−1
l`a di
.
nh th´u
.
c con ch´ınh trong (6.7), c`on D
j−1,i
l`a di
.
nh th´u
.
c
con cu
’
a ma trˆa
.
n A lˆa
.
pnˆen bo
.
’
i c´ac phˆa
`
ntu
.
’
n˘a
`
m trˆen giao cu
’
a c´ac
h`ang th ´u
.
1, 2, ,j− 1 v`a c´ac cˆo
.
tth´u
.
1, 2, ,i−1,i+1, ,j
V´ı d u
.
3. Du
.
ada
.
ng to`an phuwo
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2
+2x
1
x
3
−2x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng d
˜a cho c´o da
.
ng
A =
2 −21
−23−1
1 −11
v´o
.
ic´acdi
.
nh th ´u
.
c con ch´ınh
∆
1
=2, ∆
2
=2, ∆
3
=1.
Khi d´oda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d˜achodu
.
adu
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c
ϕ(·)=2y
2
1
+ y
2
2
+
1
2
y
2
3
. (6.10)
Ta t`ım ph´ep bdtt du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜a cho vˆe
`
da
.
ng (6.10).
N´o c´o da
.
ng
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
,
x
3
= y
3
.
(6.11)
Ta t`ım c´ac hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a (6.11) theo cˆong th ´u
.
c (6.9). Ta c´o
α
21
=(−1)
3
D
1,1
∆
1
= −
−2
2
=1,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=
−21
3 −1
2
= −
1
2
,
α
32
=(−1)
5
D
2,2
∆
2
= −
21
−2 −1
2
=0.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 243
Nhu
.
vˆa
.
y
x
1
= y
1
+ y
2
−
1
2
y
3
,
x
2
= y
2
,
x
3
= y
3
.
V´ı d u
.
4. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
1
x
2
+4x
1
x
3
+ x
2
2
+ x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Ta c´o ma trˆa
.
ncu
’
a ϕ l`a
A =
2
3
2
2
3
2
10
201
v´o
.
i c´ac d
i
.
nh th´u
.
c con ch´ınh b˘a
`
ng
∆
1
=2, ∆
2
= −
1
4
, ∆
3
= −
17
4
·
Khi d´o theo di
.
nh l´y Jacobi ta thu du
.
o
.
.
cda
.
ng ch´ınh t˘a
´
cl`a
ϕ(·)=2y
2
1
−
1
8
y
2
2
+17y
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
,
x
3
= y
3
244 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
v´o
.
ic´achˆe
.
sˆo
´
du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh theo (6.9).
´
Ap du
.
ng (6.9) ta thu du
.
o
.
.
c
α
21
=(−1)
3
D
1,1
∆
1
= −
3
2
2
= −
3
4
,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=
3
2
2
10
−
1
4
=8,
α
32
=(−1)
4
D
2,2
∆
2
= −
22
3
2
0
−
1
4
= −12.
Vˆa
.
y ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
il`a
x
1
= y
1
−
3
4
y
2
+8y
3
,
x
2
= y
2
− 12y
3
,
x
3
= y
3
.
6.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao
V`ı ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng l`a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng, thu
.
.
cnˆen
b`ai to´an d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c c´o thˆe
’
quy vˆe
`
b`ai
to´an du
.
a ma trˆa
.
ndˆo
´
ix´u
.
ng A vˆe
`
da
.
ng du
.
`o
.
ng ch´eo. C´ac nghiˆe
.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng |A − λE| = 0 l`a c´ac sˆo
´
d˘a
.
c tru
.
ng, c`on c´ac
vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng d
´o l`a c´ac hu
.
´o
.
ng ch´ınh cu
’
a
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng (Lu
.
u´yr˘a
`
ng hai vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac gi´a
tri
.
riˆeng kh´ac nhau cu
’
a ma trˆa
.
ndˆo
´
ix´u
.
ng l`a tru
.
.
c giao v´o
.
i nhau). M˘a
.
t
kh´ac v`ı A l`a ma trˆa
.
ndˆo
´
ix´u
.
ng thu
.
.
c nˆen n´o c´o n sˆo
´
d˘a
.
c tru
.
ng thu
.
.
c
(nˆe
´
umˆo
˜
isˆo
´
d
u
.
o
.
.
c t´ınh mˆo
.
tsˆo
´
lˆa
`
nb˘a
`
ng bˆo
.
icu
’
a n´o).
T`u
.
d´ot`ımdu
.
o
.
.
cdu
’
n vecto
.
riˆeng dˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh. B˘a
`
ng ph´ep
tru
.
.
cchuˆa
’
nh´oatathudu
.
o
.
.
cmˆo
.
tco
.
so
.
’
gˆo
`
mt`u
.
c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a A.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 245
Ma trˆa
.
n T chuyˆe
’
nt`u
.
co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(e)dˆe
´
nco
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(E)
lˆa
.
pnˆent`u
.
c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
idˆo
´
ix´u
.
ng (v´o
.
i ma trˆa
.
n
A) l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao v`ıca
’
hai co
.
so
.
’
dˆe
`
u tru
.
.
cchuˆa
’
n.
Nhu
.
vˆa
.
yd
ˆo
´
iv´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng thu
.
.
c A c´o thˆe
’
t`ım mˆo
.
t
ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao T c`ung cˆa
´
p sao cho B = T
−1
AT l`a ma trˆa
.
n ch´eo.
D´oc˜ung ch´ınh l`a ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d˜a cho trong co
.
so
.
’
(E). T`u
.
d
´o ta c´o quy t˘a
´
c t`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao d
u
.
ada
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
1) Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a t`ım c´ac sˆo
´
d˘a
.
c tru
.
ng
cu
’
a n´o.
2) T`ım hˆe
.
vecto
.
riˆeng tru
.
.
cchuˆa
’
ncu
’
a A.
3) Lˆa
.
p ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao.
V´ı d u
.
5. Du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
)=27x
2
1
− 10x
1
x
2
+3x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. 1
+
Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng
A =
27 −5
−53
.
Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng
|A −λE| =
27 − λ −5
−53− λ
=0⇔ λ
2
− 30λ +56=0.
Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng ta c´o λ
1
=2,λ
2
= 28.
2
+
T`ım c´ac vecto
.
riˆeng chuˆa
’
nt˘a
´
c. Dˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(27 − λ
i
)ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
+(3− λ
i
)ξ
2
=0
246 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
khi λ
1
=2v`aλ
2
= 28.
a) Nˆe
´
u λ
1
= 2 th`ı ta c´o hˆe
.
25ξ
1
−5ξ
2
=0,
−5ξ
1
+ ξ
2
=0.
Do d´o ξ
2
=5ξ
1
.D˘a
.
t ξ
1
= α. Khi d´o ξ
2
=5α v`a do d´o vecto
.
riˆeng c´o
da
.
ng
u = αe
1
+5αe
2
.
b) Nˆe
´
u λ
2
= 28 th`ı ta gia
’
ihˆe
.
−ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
−25ξ
2
=0
v`a thu d
u
.
o
.
.
c ξ
1
= −5ξ
2
.D˘a
.
t ξ
2
= β th`ı ξ
1
= −5β v`a thu du
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng
v = −5βe
1
+ βe
2
.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c c´ac vecto
.
riˆeng chuˆa
’
n h´oa
E
1
=
1
√
26
e
1
+
5
√
26
e
2
, E
2
= −
5
√
26
e
1
+
1
√
26
e
2
.
3
+
Lˆa
.
p ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao.
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t ta lˆa
.
p ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n T t`u
.
co
.
so
.
’
(e) sang co
.
so
.
’
(E)
1
√
26
−
5
√
26
5
√
26
1
√
26
V`ı(e)v`a(E)d
ˆe
`
u l`a nh˜u
.
ng co
.
so
.
’
tru
.
.
c chuˆa
’
nnˆenT l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c
giao. N´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
v`a x
2
:
x
1
=
1
√
26
x
1
−
5
√
26
x
2
,
x
2
=
5
√
26
x
1
+
1
√
26
X
2
.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 247
T`u
.
d´o ta c´o
ϕ(·)=27
1
√
26
x
1
−
5
√
26
x
2
2
− 10
1
√
26
x
1
−
5
√
26
x
2
5
√
26
x
1
+
1
√
26
x
2
+3
5
√
26
x
1
+
1
√
26
x
2
2
=2x
1
2
+28x
2
2
.
Nhˆa
.
n x´et. Hˆe
.
th ´u
.
c cuˆo
´
ic`ung c´o thˆe
’
thu d
u
.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach t`ım ma
trˆa
.
n B cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng trong co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(E). Ta c´o
B = T
−1
AT = T
T
AT =
20
028
v`a do d
´o
ϕ(·)=2x
1
2
+28x
2
2
.
V´ı d u
.
6. Du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
2
1
+2x
2
2
+ x
2
3
+4x
1
x
2
+4x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. 1
+
Lˆa
.
p v`a gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
3 − λ 20
22−λ 2
021− λ
=0⇔ λ
1
=2,λ
2
= −1,λ
3
=5.
2
+
Dˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
c´ac vecto
.
riˆeng ta lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng
tr`ınh
(3 −λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
+0· ξ
3
=0,
2ξ
1
+(2− λ
i
)ξ
2
+2ξ
3
=0,
0 ·ξ
1
+2ξ
2
+(1− λ
i
)ξ
3
=0
(6.12)
v´o
.
i λ
1
=2,λ
2
= −1v`aλ
3
=5.
