ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC TOÁN - THPT chuyên Lương Văn Tụy ppsx

SỞ GD& ĐT NINH B ÌNH
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
KHỐI D -LẦN 2
NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 6 câu in trong 1 trang)
Câu I: ( 2 điểm ) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
( 1 )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y = mx-m+2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu II ( 2 điểm)
1) Giải phương trình:
2
os (cos 1)
2(1 sinx)
sinx cos
c x x
x
−
= +

+
2) Giải hệ phương trình :
3
3
(2 3 ) 1
( 2) 3
x y
x y

+ =


− =


Câu III ( 2 điểm)
1) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

2 2
10 8 4 (2 1) 1x x m x x+ + = + +
2) Tính tích phân:
5
2
1
1
3 1
x
I dx
x x
+

=
+
∫
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ
/ / /
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu
vuông góc của
/
A
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC.
1) Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng
/
( )A AO
.
2) Tính thể tích khối lăng trụ
/ / /
.ABC A B C
biết khoảng cách giữa
/
AA
và BC là
3
4
a
Câu V ( 2 điểm)
1) Khai triển
(1 3 )
n
x+

thành đa thức
2
0 1 2
( )
n
n
P x a a x a x a x= + + + +

trong đó
0 1
, , ,
n
a a a
là các hệ số, n là số nguyên dương thoả mãn điều kiện:

1 2 1 2 2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 40
n n n n
n n n n
C C C nC
− − −
− + − − =
. Tìm số lớn nhất trong các số
0 1
, , ,
n
a a a
2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng

1
1 2
:
1 2 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 1
:
1 3 1
x y z
d
− −
= =
−
a) Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc
1
d
, toạ độ điểm N thuộc
2
d
sao cho khoảng cách MN ngắn

nhất
Câu VI ( 1 điểm)
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó chữ số 1 có
mặt đúng 2 lần, chữ số 5 có mặt đúng 3 lần,các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN
LƯƠNG VĂN TỤY
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
Năm học 2010 - 2011
MÔN: TOÁN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút
(Hướng dẫn này gồm có 06 câu, 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
I
(2 điểm)
1) (1,0 điểm)
TXĐ: R /{1}; y' =
( )
2
2
x 1
−
−
< 0 ∀x ∈ D. Hàm số nghịch biến trên
( - ∞; 1) và (1 ; + ∞)
Cực trị: Không có
- Giới hạn, tiệm cận:
x 1 x 1
lim y ;lim y

− +
→ →
=− ∞ =+ ∞
; tiệm cận đúng: x = 1
x x
lim y lim y 2
→−∞ →+∞
= =
⇒ tiệm cận ngang: y = 2
- Bảng biến thiên
- Vẽ đồ thị
0.25
0.25
0.25
0.25
2) (1,0 điểm)
+ Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( d ) là:
2x
mx m 2
x 1
= − +
−
⇔
2
x 1
g(x) mx 2mx m 2 0 (1)
≠


= − + − =


+ Điều kiện đường thẳng ( d ) cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B.
⇔Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1: ⇔
m 0
' 0 m 0
g(1) 0
≠


∆ > ⇔ >


≠

Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của (1)⇒A (x
1
; mx
1
-m + 2); B (x
2
; mx
2
- m + 2)
⇒ AB
2
= (x

1
- x
2
)
2
+ m
2
(x
1
- x
2
)
2
=(1 + m
2
) [(x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1
x
2
]
+ Áp dụng Vi ét cho (1) ⇒
( )
2
2

8 m 1
AB
m
+
=
+ Xét hàm số f(m) =
( )
2
8 m 1
m
+
với m > 0 ⇒ AB ngắn nhất ⇔ m = 1
0.25
0.25
0.25
0.25
II
(2 điểm)
1) (1,0 điểm)
+ ĐK: sin x + cos x ≠ 0. Với điều kiện trên.
+ Phương trình đã cho ⇔
( )
( ) ( )
1 sin x cosx 1
1 sin x 2 0
sin x cos x
 − − 
+ − =
 ÷
+

 
⇔



=+++
=+
01cossincossin
0sin1
xxxx
x
0.25
0.25
0.25
+ Giải phương trình (1): ⇒ x = -
k2
2
π
+ π
+ Giải phương trình (2): Đặt sin x + cos x = t , t
∈
[ -
2
;
2
]
⇒ sin x cos x = t
2
- 1
Thay vào ⇒ t = - 1 ⇒





+=
=
π
π
π
2
2
2
kx
kx
0.25
2) (1,0 điểm)
+ Nếu y =
3
2
: hệ vô nghiệm
+Nếư y
≠

3
2
, từ phương trình: x (y
3
- 2) = 3 ⇒ x =
3
3

y 2−
thay vào
phương trình (1) ta có:
( )
( )
3
3
27 2 3y
1
y 2
+
=
−
(3)
Xét hàm số: f(y) =
( )
( )
3
3
27 2 3y
1
y 2
+
−
−
, ta có f '(y) =
( )
( )
3 2
3

3
81 8y 6y 2
y 2
+ +
−
f '(y) = 0 ⇔ y = - 1 → Bảng biến thiên
x
-∞
-1
3
2
+ ∞
f '(y) + 0 - -
f (y)
-∞
0
-∞
+∞
-∞
Từ bảng biến thiên ⇒ phương trình (3) có 1 nghiệm y = - 1 và có 1
nghiệm duy nhất trong khoảng (
3
2
; +∞) mà f(2) = 0.Vậy pt (3) có 2
nghiệm y=-1; y=2
Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm ( -1 ; - 1) và (
1
;2
2
)

0.25
0.25
0.25
0.25
1) (1,0 điểm)
III
(2 điểm)
+ Biến đổi phương trình về:
2 (2x + 1)
2
+ 2 (x
2
+ 1) = m (2x + 1) .
2
x 1+
⇔ 2 .
2
2 2
2x 1 2x 1
2 m.
x 1 x 1
 
+ +
+ =
 ÷
+ +
 
+ Đặt
2
2x 1

t
x 1
+
=
+
(*) đk: - 2 < t ≤
5
Với mỗi t thuộc
(
]
2;2−
hoặc t=
5
,pt (*) có duy nhất 1 nghiêm x.Với
0.25
0.25
mỗi t thuộc
( )
5;2
pt (*) có 2 nghiêm x
+ Rút m ta có: m =
2
2t 2
t
+
+ Xét hàm số f(t) =
2
2t 2
t
+

với -2 < t ≤
5
, t khác 0, lập bảng biến
thiên.
Kết luận:
(
]
5;4)4;5( ∪−−∈m
12
5
 
∪
 
 
0.25
0.25
2) (1,0 điểm)
+ Đặt
3x 1 t+ =
⇒ x =
2
t 1
3
−
⇒ dx =
2
3
tdt
- Đổi cận:
x 1 5

t 2 4
⇒ I =
4 4
2
2
2 2
2 t 1 dt
dt 2
3 3 t 1
−
+
−
∫ ∫
+ Tính A =
4
2
2
2 t 1 100
dt
3 3 27
−
=
∫
+ Tính B =
4
2
2
dt 3
2 ln
t 1 5

=
−
∫
⇒ I = A + B =
100 3
ln
27 5
+
0.25
0.25
0.25
0.25
IV
(1 điểm)
1) (0,25 điểm)
AO BC
A'O BC
⊥
⊥
⇒ BC ⊥ (A'AO)
2) (0,75 điểm)
d (AA' ; BC) = d (AA' ; (BC C'B'))
= d (A ; (BCC'B'))
+ Gọi M là trung điểm BC. ,N là trung
điểm
//
CB
Trong (AMA') kẻ AH ⊥ NM.,H thuộc
MN
CM: AH ⊥ (BCC'B')

⇒ d (A; (BCC'B')) = AH =
a 3
4
+ Đặt A'O = x , x > 0.
Ta có: AH . NM = A'O . AM (1)
AM =
a 3
2
; NM =
3
A
2
222//
a
xAOOAA +=+=

0.25
0.25
0.25
M
O
A
C
B
B'
C'
A
/
H
N

Thay vào (1) ⇒ x =
3
a
⇒ A'O =
3
a
Suy ra thể tích khối lăng trụ V = A'O . S
ABC
=

12
3
3
a
(đvtt)
0.25
1) (1,0 điểm)
+ Tìm n: Xét khai triển
f(x) = (2 - x)
2n
=
0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 2n
2n 2n 2n 2n
C 2 C .2 x C .2 .x C . x
− −
− + − +
⇒ f '(x) =
1 2n 1 2 2n 2 2 3 2n 3 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n
C .2 2x C .2 3x .C . 2 2n.x C

− − − −
− + − + +
⇒ f '(1) = -
( )
1 2n 1 2 2n 2 3 2n 3 2n
2n 2n 2n 2n
C .2 2C .2 3C .2 2n.C
− − −
− + − −
Mà f '(x) = -2n (2 - x)
2n-1
⇒ f ' (1) = - 2n
⇒
1 2n 1 2 2n 2 2n
2n 2n 2n
C .2 2C .2 2n.C 2n
− −
− + − =
⇒ n = 20
+ Xét triển khai: (1 + 3x)
20
=
( )
20 20
k
k k k k
20 20
k 0 k 0
C 3x C .3 x
= =

=
∑ ∑
⇒ a
k
=
k k
20
C .3

+ Xét tỉ số
1
k
k
a
a
+

+cho
1
1 0 14
k
k
a
k
a
+
≤ ⇔ ≤ ≤
suy ra hệ số lớn nhất là a
15
0.25

0.25
0.25
2. (1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
+ Đường thẳng d
1
qua M
1
(1 ; 0 ; -2) có VTCP:
1
U ( 1;2;1)= −
uur
+ Đường thẳng d
2
qua M
2
(0 ; 1 ; 1) có VTCP:
2
U ( 1;3; 1)= − −
uur
Chứng minh:
1 2 1 2
U ,U . M M 0
 
≠
 
uur uur uuuuuur
b) (0,5 điểm)
+ Viết phương trình tham số của đường thẳng d
1

, d
2
M ∈ d
1
⇒ M (1 - t
1
; 2t
1
; -2 + t
1
) ; N ∈ d
2
⇒ N (t
2
; 1 + 3t
2
; 1 - t
2
)
⇒
MN
uuuur
= (t
2
+ t
1
- 1 ; 1 + 3t
2
- 2t
1

; 3 - t
2
- t
1
)
+ Điều kiện MN ngắn nhất ⇔ MN là đoạn vuông góc chung của d
1
, d
2
⇔
1
1 1
2
2
2
7
t
MN d MN.U 0
5
MN d 3
MN.U 0
t
5

=
 
⊥ =

 
⇔ ⇔

  
⊥
=




=


uuuur uur
uuuur uur
⇒ M
2 14 3
; ;
5 5 5
−
 
−
 ÷
 
; N
3 14 2
; ;
5 5 5
 
 ÷
 
0.5
0.25

0.25
+ Chọn vị trí cho 2 chữ số 1: c ó
2
8
C
cách .Với mỗi cách chọn vị trí cho 2
VI
(1 điểm)
chữ số 1 có
3
6
C
cách chọn vị trí cho 3 chữ số 5. Với mỗi cách chọn trên có
3
6
A
cách chọn các chữ số còn lại.
Vậy có:
2 3 3
8 6 6
C .C .A
số, kể cả trường hợp số 0 đứng đầu.
+ Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu, lí luận tương tự có
2 3 2
7 5 5
C .C .A
số
Vậy tất cả có:
2 3 3
8 6 6

C .C .A
-
2 3 2
7 5 5
C .C .A
= 63000 số
0.5
0.5
Hết