Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 44 doc

Câu I.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x
3
-3x
2
-9x+1.
2) Tìm điều kiện đối với a và b, sao cho đỷờng thẳng y = ax + b cắt đồ thị trên tại 3 điểm khác nhau A, B, C,
với B là trung điểm của đoạn AC.
Câu II. 1) Giải và biện luận theo a, b, phỷơng trình cosax + cos2bx - cos(a + 2b)x = 1.
2) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù, thì(1 + sin
2
A)(1 + sin
2
B)(1 + sin
2
C)>4.
Câu III. 1) Cho
a=x
2
+2x+3, b=x
2
+1, c=x
2
+4x+5.
a) Với giá trị nào của x thì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ?
b) Chứng minh rằng khi đó bán kính r của đỷờng tròn nội tiếp của tam giác đỷợc tính theo công thức
r=
3
6
(x - 2x - 1) (x + 6x + 7)
22

.
2) Giải và biện luận theo tham số a hệ phỷơng trình
xya
xya
+=
+=
ỡ
ớ
ù
ợ
ù
444
Câu IVa. Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(1, 1). Hãy tìm điểm B trên đỷờng thẳngy=3,vàđiểm C trên trục
hoành, sao cho ABC là tam giác đều.
Câu Va. Tính tích phân I(m) =
xxmdx
2
0
2-+
ũ
Câu IVb.
Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, ngỷờitalấyđiểmMvớiAM=x(0<x<a),vàtrên nửa đỷờng thẳng
Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho AS=y>0.
1) Chứng minh rằng nhị diện cạnh SB của hình chóp S.ABCM là nhị diện vuông.
2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
3) Gọi I là trung điểm đoạn SC, H là hình chiếu vuông góc của I lên CM. Tìm tập hợp điểm H khi M chạy trên AD và
S chạy trên Ax.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________

Câu I. 1) Đề nghị bạn hãytự giải nhé!
2) Khi đó phỷơng trình x
3
-3x
2
-9x+1=ax+b (1)
phải có ba nghiệm phân biệt x
1
<x
2
<x
3
trong đó 2x
2
=x
1
+x
3
(1) tỷơng đỷơng với:x
3
-3x
2
-(9+a)x+1-b=0.(2)
Vì đỷờng cong y
1
=x
3
3x
2
-(9+a)x+1-bnhận điểm uốn là tâm đối xứng nên để có 2x

2
=x
1
+x
3
thì cần thiết là
điểm uốn phải thuộc trục hoành (x
2
là hoành độ điểm uốn).
y"
1
=6x-6;y"
1
=0 x
2
=1, y
1
(1)=0ị -10-a-b=0ị a+b=-10.
Điều kiện đủ : thay a = -(b + 10) vào (2) ta có:
x
3
-3x
2
-[9-b-10]x+1-b=0x
3
-3x
2
+(1+b)x+1-b=0
(x-1)[x
2

-2x-1+b]=0. (3)
Để (3) có ba nghiệm phân biệt, đối với f(x) =x
2
-2x-1+b, ta phải có:
D'
()
=->
=-ạ
ỡ
ớ
ù
ù
ợ
ù
ù
<
20
120
2
b
fb
b
Vậy điều kiện đối với a và b là: a+b=-10 ;b<2.
Khi đó đỷờng thẳngy=ax+blàđỷờng thẳng:
y=ax+(-a-10) y = a(x - 1) - 10 luôn đi qua điểm (1, - 10) cố định.
Câu II. 1) Biến đổi phỷơng trình nhỷ sau:
(cosax + cos2bx) - [cos(a + 2b)x + 1] = 0
2cos
a
2

+ b xcos
a
2
- b x - 2cos
a
2
+b
2
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ

ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
x
=0
cos
a
2
+bxcos
a
2
-bx-cos
a
2
+b
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ

ữ
ữ
ữ
ữ
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
ộ
ở
ờ
ờ

ự
ỷ
ỳ
ỳ
x
=0
cos
a
2
+bx sin
a
2
x . sinbx
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
ộ
ở
ờ
ờ
ự
ỷ

ỳ
ỳ
=0.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
a) sinbx = 0 (1)
Nếub=0thì(1)nghiệm đúng với mọi x.
Nếu b ạ 0 thì có x
1
=
kp
b
(kẻ Z).
b) sin
a
2
x=0. (2)
Nếua=0thì(2)nghiệm đúng với mọi x. Nếu a ạ 0 thì có x
2
=
2mp
a
(m ẻ Z).
c) cos
a
2
+b x
ổ
ố

ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
= 0. (3)
Nếu
a
2
+b=0(a+2b=0)thì(3)vônghiệm.
Nếu
a
2
+bạ 0(a+2bạ 0) thì có x
3
=
(1 + 2n)
a+2b
p
(n ẻ Z).
Kết luận : Nếua=0hoặcb=0thìphỷơng trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x.
Nếu a, b ạ 0 thì:khia+2b=0,cómộthọnghiệm:x
1
=
k
b

p
(k ẻ Z)
(vì lúc đó x
1
=x
2
);khia+2bạ 0 thì đỷợc ba họ nghiệm:
x
1
=
k
b
p
;x
2
=
2m
a
p
;x
3
=
(1 + 2n)
a+2b
p
(k, m, n ẻ Z).
2) Ta biết rằng sin
2
A + sin
2

B + sin
2
C=2+2cosA cosB cosC,
do vậy nếu ABC không phải là tam giác tù, thì
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C2ịsin
2
A + sin
2
B2-sin
2
C,
dấu đẳng thức chỉ xảy ra với tam giác vuông. Mặt khác
sinAsinB sinAsin B - cosAcosB = -cos(A + B) = cosC,
dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi hoặc A, hoặc B bằng 90
o
. Theo giả thiết cosA, cosB, cosC 0, nên
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
sin
2
A sin
2
B cos

2
C=1-sin
2
C,
thành thử (1 + sin
2
A) (1 + sin
2
B)=1+sin
2
A + sin
2
B + sin
2
A sin
2
B 4 - 2sin
2
C = 2(2 - sin
2
C),
vậy(1 + sin
2
A)(1 + sin
2
B)(1 + sin
2
C) 2(2 - sin
2
C)(1 + sin

2
C) = 2(2 + sin
2
C - sin
4
C) 4;
ở bất đẳng thức cuối cùng, dấu = chỉ xẩy ra khiC=90
o
.
Tam giác ABC không thể có hai góc vuông, vậy(1 + sin
2
A) (1 + sin
2
B) (1 + sin
2
C)>4.
Câu III. 1) a) Để a, b, c tạo thành ba cạnh của một tam giác ta phải có:
a+b>c 2x
2
+2x+4>x
2
+4x+5
b+c>a 2x
2
+4x+6>x
2
+2x+3
c+a>b 2x
2
+6x+8>x

2
+1
x
2
-2x-1>0
x
2
+2x+3>0
x
2
+6x+7>0.
Giải hệ này, ta đỷợc:-Ơ <x<-3-
2
hoặc-3+
2<x<1- 2
hoặc 1 +
2
<x<+Ơ.
b)Tacó:r=
S
p
=
p(p-a)(p-b)(p-c)
p
2
; (*)
p=
1
2
(a+b+c)=

1
2
(3x
2
+6x+9)=
3
2
(x
2
+2x+3);
p-a=
1
2
(x
2
+2x+3);
p-b=
1
2
(x
2
+6x+7);
p-c=
1
2
(x
2
-2x-1).
Thế vào (*) sẽ đỷợc:r =
3

6
(x - 2x - 1)(x + 6x + 7)
22
.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
2)Thếy=a-xvàophỷơng trình thứ 2 của hệ, ta có: x
4
+(x-a)
4
=a
4
.
Đặtt=x-
a
2
thì có
t+
a
2
+t-
a
2
44
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ

ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
ổ
ố
ỗ
ỗ
ỗ
ử
ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
=a
4
2t
4
+3a
2
t
2
-
7
8
a
4

=0.
Đặt t
2
=z(z 0) ta có: 2z
2
+3a
2
z-
7
8
a
4
=0.(1)
Nếua=0thìcóz
1
=z
2
=0ị t=0ị x=0,y=0.
Nếu a ạ 0 thì (1) luôn có hai nghiệm: z
1
<0<z
2
. (Loại z
1
);
z
2
=
-3a +4a
4

=
a
4
222
ị t
1,2
=
a
2
.
Từ đó hệ có hai nghiệm x
1
=0,y
1
=avàx
2
=a,y
2
=0.
Kết luận : hệ luôn có hai nghiệm:x
1
=0,y
1
=avàx
2
=a,y
2
=0.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng

_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________

Câu IVa.
Giả sử ta tìm đợc điểm
B
B(x , 3) trên đờng thẳng y = 3
và điểm
C
C(x , 0)
trên trục hoành sao cho ABC là đều.
Do đờng thẳng (AC) không thể song song với trục tung
và trục hoành nên có phơng trình
y = k (x 1) + 1 (k 0) .
Từ đó
C
k1
x.
k

=

Gọi
MM
M(x , y ) là trung điểm đoạn thẳng AC, ta có :
M
M
2k 1
x

2k
1
y.
2


=




=



Vì đờng thẳng trung trực (d) của đoạn thẳng AC qua M và (d) (AC) nên (d) có phơng trình :
M
11
y(xx)
k2
= +
hay


=
+


12k11
yx

k2k2
,
Do B d nên
B
12k11
3x
k2k2


= +


hay
2
B
5k 2k 1
x
2k

+
=

Cuối cùng do AB = AC nên bằng cách viết đẳng thức này dới dạng tọa độ, ta đi đến phơng trình
42
25k 22k 3 0
+
=
k3/5=
.
Vậy, các cặp điểm tơng ứng B, C tìm đợc trên đờng thẳng y = 3 và trục hoành để tam giác ABC đều là :

2
5k 2k 1
B,3
2k

+



,
k1
C,0
k





với k3/5= và k3/5= .
Câu Va.
Đặt
2
f(x) x 2 m=+, ' = 1 m.
a) Khi ' 0 hay m 1: Do f() 0, x nên

===

11
00
I(m) | f(x) | dx f(x)dx

1
0
1
3
22
0
x2
(x 2x m)dx x mx m .
33

=+ =+ =





b) Khi '0> hay m < 1. Dấu của f(x) đợc cho bởi kết quả
x
11m

11m
+


f(x) + 0

0 +
và ta có :
A
B

C
M
x
y
O
d
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________

f(0) m
=
, 11m111m

<<+ .
Với m 0 : f (0) 0 nên 11m0 ; 11 1m

+ và ta có : f(x) 0, x [ 0 ; 1].
Vậy ===

11
00
2
1(m) | f(x) | dx f(x)dx m
3
.
Với 0 < m < 1 : f(0) > 0 nên 01 1m1< <, do đó
f(x) 0, x [0,1 1 m ]
f(x) 0, x [1 1 m;1]

>

Vậy
==

1
0
I(m) | f(x) | dx
11 1
22
0
11
(2 ) ( 2 )
m
m
x
xmdx x xmdx


+ + + =


11m 1
0
11m
33

22
xx
xmx xmx
33



=+ ++ =



4( ) 1 3 2
3
mmm

+

Câu IVb.
1)
BC SA
BC AD





BC (SAB)
(SBC) (SAB).
2) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD,
kẻ MK // BD.

Vì




BD AC
BD SA
BD (SAC) MK (SAC).
Độ dài MK là khoảng cách từ M tới (SAC) :
MK AM
OD AD
= hay
2MK x
a
a2
=
x2
MK
2
=
.
3) IO// SA IO (ABCD) ; IH MC OH MC (định lí ba đờng vuông góc). Vậy H nằm trên đờng
tròn đờng kính OC trong mặt phẳng (ABCD).
Nhận xét : Khi M AD,
q

1
HOHH trên hình 44.
Đảo lại : lấy H'
q

1
OHH , CH' cắt AD tại M'. Chứng minh IH' CM'. Điều này là hiển nhiên nhờ định lí đảo
của định lí ba đờng vuông góc.
Kết luận : Tập hợp hình chiếu H của I trên CM là
q
1
OHH .


A
B
C
D
M
S
I
K
H
H
O
1