Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 41 doc

Câu I. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
2
+
1
x
.
Câu II. Giải và biện luận theo tham số a bất phỷơng trình
2x + 3
2
<x-a.
Câu III.
1) Chứng minh rằng tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 60
o
khi và chỉ khi
sinA + sinB + sinC
cosA + cosB + cosC
=3
.
2) Một tứ giác lồi có 4 cạnh là a, b, c, d, và diện tích là S. Chứng minh rằng
S Ê
1
2
(ab + cd).Khi nào thì xảy ra dấu đẳng thức?
Câu IVa.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, xem điểm A(2, 0) và điểm M di chuyển trên đỷờng tròn (C) tâm
O, bán kính 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên Oy.
1) Tính các tọa độ của giao điểm P của các đỷờng thẳng OM và AH theo góc a=
OA OM
đđ
ổ
ố

ỗ
ử
ứ
ữ
,
.
2) Xác định và vẽ tập hợp điểm P khi M chạy trên (C).
Câu IVb.
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, cạnh SA = h vuông góc với đáy. Gọi D
là trung điểm cạnh AB.
1) Tính góc nhọn j giữa các đỷờng thẳng AC và SD.
2) Tính khoảng cách giữa các đỷờng thẳng AC và SD.
3) Tính khoảng cách giữa các đỷờng thẳng BC và SD.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
__________________________________________________________________

Câu I . Bạn hãy tự giải nhé!
Câu II . Bất phơng trình xác định với x. Vì vế trái dơng nên ta chỉ có thể tìm nghiệm trong khoảng
a < x < + .
Khi đó, ta có thể bình phơng 2 vế đợc :
22 2
2x 3 x 2ax a+< +
22
x2ax3a0++< (*)
222
'a (3a)2a 3= = .
Nếu ' 0

6
|a|
2

thì bất phơng trình (*) vô nghiệm.
Nếu ' > 0
6
|a|
2
>
thì (*) nghiệm đúng với
22
a2a3xa2a3


+<<+


.
Xét
22
f(x) x 2ax 3 a=+ +
, ta có
2
f(a) 2a 3 0=+>
và s/2 = a.
Xem hình vẽ ta kết luận :
Nếu
6
a

2
>
thì bất phơng trình (*) vô nghiệm.
Nếu
6
a
2

<
thì nghiệm của bất phơng trình (*) là :
22
a2a3xa2a3


+<<+


.
Câu III.
1) (Đề nghị bạn đọc tự chứng minh rằng với mọi tam giác ABC,
2) ta luôn có : cosA + cos B + cosC > 1).
Khi đó
sinA sinB sinC
3
cosA cosB cosC
++
=
++

( 3 cos A sin A) ( 3 cosB sin B) ( 3 cosC sin C) 0+ + =

++ ++ +=


2cos A 2cos B 2cos C 0
666


(A B / 3) (B C / 3) (C A / 3)
8cos cos cos 0
222
++ ++ ++
=


43C 43B 43A
cos cos cos 0
666


=


.
Chẳng hạn,
43C
cos 0
6

=


. (*)
Mặt khác :
43C4
66 6

<<
. Vì vậy (*)
43C
62


=

o
C60
3

== .
2) a) Trờng hợp 1 : a đối diện với e. Khi đó
11
(sin sin) ( )
22
SabBcdD abcd=++
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

l
l
o
BD90== .
b) Trờng hợp 2 : a đối diện với b.
Ta chọn điểm D' sao cho ACD = CAD' và đa về trờng hợp trên.

b
b
Câu IVa. 1) Điểm P có tọa độ
x
P
= OPcosa, y
P
= OPsina.
Để tính OP, xét các tam giác đồng dạng PMH và POA (Hình vẽ).
Ta có
OP
OM
=
OA
OA - MH
=
2
2(1 + cos )a
(MH
=-HM= - 2cosa), vậy OP =
2
1+cosa
,dođó

x
P
=
2cos
1+cos
,
a
a
y=
2sin
1+cos
P
a
a
.
2) Ta có
y=
4sin
(1 + cos )
=
4(1 - cos )
(1 + cos )
=
4(1 - cos )
1
P
2
2
2
2

2
a
a
a
a
a
+cosa
=4-
8cos
1+cos
a
a
=4-4x
P
=4(1-x
P
).
Kết quả này chứng tỏ điểm P nằm trên parabol y
2
= 4(1 - x).
Ngỷợc lại, lấy P
o
là một điểm tùy ý thuộc parabol y
2
= 4(1 - x). Hiển nhiên phải có
x1
P
o
Ê
,dođó

-1<
x
2-x
P
P
o
o
Ê 1,
vậytồntạigóca(-p<a<p)saochocosa =
x
2-x
P
P
o
o

x=
2cos
1+cos
P
o
a
a
.
Ta xác định
y
P
o
bởi
y=

2sin
1+cos
P
o
a
a
,
thế thì P
o
là giao điểm của các đỷờng thẳng OM
o
và AH
o
, với M
o
= (2cosa , 2sina) và H
o
là hình chiếu vuông góc của M
o
lên
Oy.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
Thành thử tập hợp điểm P là toàn bộ parabol y
2
= 4(1 - x).
Câu IVb. 1) Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm H sao cho
AH^AC và DH ^ AC. Khi đó j =
SDH

^
.VìAH^ DH, nên theo
định lí ba đỷờng vuông góc, SH ^ DH, vậy
tgj =
SH
DH
=
b+4h
a
22
.
2) Vì AC // DH, nên AC // (SDH), khoảng cách giữa AC và SD là
khoảng cách từ AC đến mặt phẳng (SDH), cũng là khoảng cách từ A
đến (SDH). Trong tam giác vuông SAH, kẻ AK ^ SH. Vì AK ^ DH
nên AK ^ (SDH), vậy khoảng cách phải tìm là AK. Ta có
1
AK
=
1
AS
+
1
AH
22 2
ị AK =
bh
b+4h
22
.
3) Gọi I là trung điểm của AC, ta có DI // BC, vậy khoảng cách

giữa BC và SD là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SID), suy ra
đó là khoảng cách từ C đến SI. Tam giác SIC có diện tích
S=
1
2
IC.SA =
1
4
ah,vậy khoảng cách phải tìm bằng
d=
2S
SI
=
ah
a+4h
22
.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________