Hướng dẫn các chứng minh mà không cần tiết lộ thông tin phần 6 pot

Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 26
Ta sẽ mô tả hai sơ đồ ràng buộc bit thuộc loại này và sau đó đánh giá
các kiểu sử dụng chúng trong giao thức tô đồ thị bằng ba màu.

Sơ đồ đầu tiên đợc xây dựng trên bái toán các thặng d bậc hai. Giả
sử n = pq, trong đó p và q là các số nguyên tố và cho m QR(n) (chú ý rằng
trong sơ đồ trớc m là một thặng d giả bậc hai). Trong sơ dồ nàyPeggy
không nhất thiết phải biết phân tích của n và căn bậc hai của m. Bởi vậy Vic
hoặc phải xây dựng đợc các giá trị này hoặc chúng phải đợc thu nhận từ
một ngời thứ ba (tin cậy đợc).

Cho X= Z
n
*
và Y= QR(n) và định nghĩa

f(b ,n) =m
b
x
2
mod n

Cũng nh trớc đây, Peggy sẽ mã hoá giá trị b bằng cách chọn một giá
trị ngẫu nhiên x và tính blob y = f(b,x). Trong sơ đồ này, tất cả các blob đều
là các thặng d bậc hai. Hơn nữa một giá trị bất kỳ y QR(n) có thể là bản
mã hoá của 0 hay của 1. Giả sử y= x
2
mod n và m= k
2
mod n. Khi đó:

y= f(0,x) = f(1,x,k
-1
mod n)

Điều đó có nghĩa là sơ đồ này đạt đợc tính dấu kín không điều kiện.
Vậy điều kiện gì sẽ xảy ra đối với tính ràng buộc ? Peggy có thể mở một blob
bất kỳ cho trớc thành 0 hoặc 1 khi và chỉ khi cô ta có thể tính đợc k (là một
căn bậc hai của m). Nh vậy, để cho sơ đồ này là ràng buộc (về mặt tính
toán), cần phải giả thiết rằng Peggy không có khả năng tính căn bậc hai của
m. (Nếu Peggy có đầy đủ sức mạnhthì dĩ nhiên cô ta có thể làm đợc điều đó.
Đó là lý do phải giả thiết Peggy có khả năng tính toán hạn chế).

Để làm ví dụ cho một sơ đồ cam kết bit thứ hai thuộc loại này, xét một
sơ đồ xây dựng trên bái toán logarithm rời rạc. Cho p là một số nguyên tố sao
cho bái toán logarithm rời rạc trong Z
p
*
là một bái toán bất khả giải, cho là
một phần tử nguyên thuỷ của Z
p
*
và cho Z
p
*
. Giá trị phải đợc chọn bởi
Vic hoặc một ngời thứ ba tin cậy (chứ không phải bởi Peggy). Sơ đồ này sẽ
có X= {0, ,p-1}, Y= Z
p
*
và f đợc xác định bằng:

f(b,x) =
b

x
mod p

Không khó khăn lắm có thể thấy rằng sơ đồ này có tính dấu kín không
điều kiện, và nó có tính dàng buộc khi và chỉ khi Peggy không có khả năng
tính đợc logarit rời rạc log

.

Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 27
Bây giờ giả sử ta dùng một trong hai sơ đồ cam kết bit trên trong giao
thức về tính khả thi đồ thị bằng ba màu. Dễ dàng thấy rằng, giao thức vẫn giữ
đợc tính đầy đủ. Tuy nhiên điều kiện đúng đắn ở đây sẽ phụ thuộc vào mặt
giả thiết về mặt tính toán: giao thức là đúng đắn khi và chỉ khi sơ đồ dàng
buộc bit thoả mãn tính ràng buộc. Điều gì sẽ xảy ra đối với khía cạnh không
tiết lộ thông tin của giao thức? Bởi vì sơ đồ cam kết bit đảm bảo tính dấu kín
không điều kiện nên giao thức này sẽ trở thành một giao thức không tiết lộ
thông tin hoàn thiện chứ không chỉ là một giao thức không tiết lộ thông tin về
mặt tính toán nữa. Nh vật ta đã có một luận cứ không tiết lộ thông tin hoàn
thiện.
Bảng 13.1. So sánh các tính chất của phép chứng minh và các luận cứ

Tính chất Chứng minh không tiết
lộ thông tin
Luận cứ không tiết lộ

thông tin
Đầy đủ
Đúng đắn
Không tiết lộ thông tin
Giấu kín
Ràng buộc
Không điều kiện
Không điều kiện
Về mặt tính toán
Không điều kiện
Về mặt tính toán
Không điều kiện
Về mặt tính toán
Hoàn thiện
Về mặt tính toán
Không điều kiện

Tuỳ theo áp dụng cụ thể mà ngời ta có thể thích dùng một luận cứ
hơn là dùng một phép nhứng minh. Và khi nào thì ta phải đa ra một giả thiết
về mặt tính toán cho Peggy hay cho Vic? Một so sánh tóm lợc về các tính
chất của các phép chứng minhvà các luận cứ đợc nêu ở bảng 13.1. ở cột
chứng minh không tiết lộ thông tin ,các giả thiết về mặt tính toán có liên
quan tới năng lực tính toán của Peggy. Trong cột Luận cứ không tiết lộ
thông tin, các giả thiết về mặt tính toán có liên quan tới năng lực tính toán
của Vic.

__________________


13.6. Các chú giải v tái liệu hớng dẫn

Phần lớn các kiến thức trong chơng này đều dựa theo tái liệu của
Brassard, Chaum và Crépeau [BBC 88] và của Goldreich, Micali và
Wigderson [GMW 91]. Các sơ đồ cam kết (ràng buộc) bít và các thoả luận về
sự khác nhau giữa các phép chứng minh và các luận cứ có thể tìm thấy trong
[BBC 88](tuy nhiên cần để ý rằng thuật ngữ luận cứ lần đầu tiên đợc sử
dụng trong [BC 90]. Các chứng minh không tiết lộ thông tin cho tính đẳng
cấu đồ thị , tính không đẳng cấu đồ thị và tính khả tô đồ thị ba màu có thể tìm
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 28
đợc trong [GMW 91]. Một bái báo khác có liên quan là bái báo của
Goldwasser, Micali và Rackoff [GMR 89], trong bái báo này các hệ thống
chứng minh tơng hỗlần đầu tiên đợc định nghĩa một cách hình thức. Chứng
minh không tiết lộ thông tin cho bái toán các thặng d bậc hai đợc lấy từ bái
báo này.

ý tởng tung đồng tiền bằng điện thoại là của Blum [B1 28]. Một minh
hoạ có tính chất giải trí và rất không hình thức cho khái niệm không tiết lộ
thông tin đợc Quisquater và Guilỏutình bày trong [QG 90]. Cũng có thể
xem trong [Jo 88] của Johnson là một tổng quan chặt chẽ hơn về mặt toán
học cho các hệ thống chứng minh tơng hỗ.

Bái tập

13.1. Xét một hệ thống chứng minh tơng hỗ cho bái toán các thặng d
không bậc hai đợc mô tả ở hình 13.14. Hãy chứng tỏ rằng hệ thống là đúng
đắn và đầy đủ và giải thích tại sao giao thức này không tiết lộ thông tin.

13.2. Hãy tạo ra một hệ thống chứng minh tơng hỗ cho bái toán không là
thành viên của nhóm con. Hãy chứng mỉnh rằng giao thức của bạn là đúng

đắn và đầy đủ.

13.3. Xét một phép chứng minh không tiết lộ thông tin cho các thặng d bậc
hai đợc trình bày ở hình 13.8.

Hình 13.14. Một hệ thống chứng minh tơng hỗ cho các thặng d không bậc
hai.






1








Đầu vào: Một số nguyên n có phân tích n =pq cha biết, trong đó p và q là
các số nguyên tố, và x ?????????
1. Lặp lại các bớc sau log
2
n lần:
2. Vic chộn một số ngẫu nhiên vZ
n
*

và tính
y = v
2
mod n
Vic chọn ngẫu nhiên i= 0 hoặc 1 và gửi cho Peggy:
z = x
i
y mod n
3. Nếu z QR(n) thì Peggy xác định j= 0, ngợc lại Peggy
sẽ xác định j=1. Sau đó cô ta gửi j cho Vic.
4. Vic sẽ kiểm tra xem liệu i=j hay không.
5. Vic chấp nhận phép chứng minh của Peggy nếu tính toán ở bớc
4 đợc kiểm tra ở mỗi vòng trong log
2
n vòng.
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 29




a.) Xác định một bộ ba hợp lệ là một bộ ba có dạng (y,i,z), trong đó y
QP(n), i=0 hoặc 1, zZ
n
*
và z
2
x
i
y (mod n). Hãy chứng minh rằng số các bộ

ba hợp lệ là 2(p-1)(q-1), và mỗi một bộ ba nh vậy sẽ đợc tạo với xác suất
nh nhau nếu Peggy và Vic tuân theo giao thức.

b) Hãy chỉ ra rằng Vic có thể tạo đợc các bộ ba có cùng phân bố xác
suất mà không biết phân tích n = pq.
c) Hãy chứng minh rằng giao thức này là một giao thức không tiết lộ
thông tin hoàn thiên đối với Vic.

13.4. Xét phép chứng minh không tiết lộ thông tin cho bái toán thành viên
của nhóm con đã đợc mô tả ở hình 13.10.

a) Hãy chứng tỏ rằng giao thức này đúng đắn và đầy đủ.
b) Xác minh một bộ ba hợp lệ là một bộ ba có dạng (, i, h), trong đó
Z
n
*
, i = 0 hoặc 1, 0 h l 1 và
h

i
(mod n). Hãy chứng tỏ rằng số
các bộ ba hợp lệ là 2l và mỗi bộ ba nh vậy sẽ đợc tạo với xác suất băng
nhau nếu Peggy va Vic tuân thhủ giao thức.
c) Hãy chứng tỏ rằng có thể tạo đợc các bộ ba có cùng phân bố xác
suất mà không cần biết logarithm rời rạc log

.
d) Chứng minh răng giao thức này là một giao thức không tiết lộ thông
tin hoàn thiệt đối với Vic.

13.5. Chứng minh rằng sơ đồ cam kết bít logarithm rời rạc đợc trình bày ở
phần 13.5 là có tính giấu kín không điều kiện và chứng minh rằng nó có tính
ràng buộc khi và chỉ khi Peggy không thể tính log

.

13.6. Giả sử ta sử dụng sơ đồ ràng buộc bịt theo các thặng d bậc hai đợc
mô tả ở phần 13.5 để có một luận cứ không tiết lộ thông tin cho phép tô đồ
thị bằng ba màu. Bằng cách dùng thuật toán giả mạo nêu ở hịnh 13.13. Hãy
chứng minh rằng giao thức này là một giao thức không tiết lộ thông tin hoàn
thiện đối với Vic.


Tái liệu đọc thêm
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 30
Kahn [KA 67], Koblit[Ko 87], Konheim[Ko 81], Kranakis[Kr 86],
Merezes[Me 93], Meyer và Matyas[MM 82], Patterson [Pa 87],
Pomerance[Po 90A], Rueppel [Ru 86], Salomaa[Sa 90], Schneier[Sc 93],
Seberry và Pieprzk[SP 89], Simmons [Si 92B], van Tilborg [vT 88] và Welsh
[We 88].


Bạn đọc nên đọc thêm một số giao trình và sách chuyên khảo khác về
mật mã học sau đây: BecKer và Piper [BP 93], Beutelspacher[Be 94],
Brassard[Br 88], Biham và Shamir[BS 93], Denning[De 82],
Các tạp chí nghiên cứu chủ yếu trong mật mã học là Journal of
Cryptology và Designs, Codes and Cryptography. Journal of Cryptography là
tạp chí của Hiệp hội nghiên cứu mật mã quốc tế (IACR). Hiệp hội này cũng
tái trợ hai Hội nghị chính về mật mã học đợc tổ chức hàng năm là CRYPTO

và EUROCRYPT.
CRYPTO đã đựoc tổ chức từ năm 1981 ở Santa Barabara. Các báo cáo khoa
học ở CRYPTO đã đợc xuất bản hàng năm đáng kể từ 1982:
CRYPTO 82[CRS 83] , CRYPTO 83[CH 84], CRYPTO 84[BC 85]
CRYPTO 85[WI 96], CRYPTO 86[Oo 87], CRYPTO [Po 88] CRYPTO
88[Go 90], CRYPTO 89[BR 90], CRYPTO 90[MV 91] CRYPTO 9[FE
92], CRYPTO 92[BR 93], CRYPTO 93[ST 94]
Và CRYPTO 94[DE 94].
EUROCRYPT đã đợc tổ chức hàng năm kể từ năm 1982 (trừ các năm 1983
và 1986), các bái báo khoa học đã công bố gồm:
EUROCRYPT 82[BE 83], EUROCRYPT 84[BCI 85], EUROCRYPT
85[PX86], EUROCRYPT 87[CP 88], EUROCRYPT 88[GU 88A],
EUROCRYPT 90[DA 91], EUROCRYPT 91[DA 91A], EUROCRYPT
92[RU 93] và EUROCRYPT 93[HE 94].
Loại hội nghị thứ ba là AUCRYPT / ASIACRYPT đã đợc tổ chức với
sự kết hợp của IACR. Các báo cáo khoa học đã đợc xuất bản bao gồm
AUCRYPT 90[SP90], ASIACRYPT 91[IRM 93] và AUCRYPT 92[SZ92]