Hướng dẫn các chứng minh mà không cần tiết lộ thông tin phần 5 pps

Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 21
định một mầu là một hoán vị của phép tô màu xác định .Vic sẽ yêu cầu
Peggy mở các blob ứng với các điểm cuối của một cạnh nào đó đợc chọn
ngẫu nhiên.Peggy sẽ thực hiện các điều đó và rồi Víc sẽ kiểm tra xem các
quy định có tuân thủ theo dòng đòi hỏi không.Chú ý rằng mọi tính toán của
Víc là theo thời gian đa thức và tính toán của Peggy cũng vậy ,miễn là cô ta
biết đợc sự tồn tại của một phép tô 3 mầu .

Sau đây là một ví dụ nhỏ để minh hoạ:

Ví dụ 13.3

Giả sử G là một đồ thị (V,E) trong đó :
V = {1, 2, 3, 4, 5}
và
E = {12, 14, 15, 23, 34, 45}.
Giả sử Peggy biết phép tô 3 mầu ? trong đó (1)=1, (2)= (4)=2,
và (3)= (5)=3.Ta cũng giả sử rằng các tham số của sơ đồ ràng buộc bít
là n=321389 và m=156897 ,bởi vậy f(b,x)=m
b
x
2
mod n,trong đó b=0,1 và
xZ
n
*
.

Giả sử Peggy chọn phép hoán vị =(1, 3, 5) ở một vòng nào đó cho
phép chứng minh. Khi đó cô ta tính :

C
1
= 1
C
2
= 3
C
3
= 2
C
4
= 3
C
5
= 2
và sẽ mã hoá phép tô mầu này ở dạnh nhị phân bằng một bộ 10:

0 1 1 1 1 0 1 1 1 0

sau đó tính các ràng buộc cho 10 bít này .Giả sử cô làm nh sau:

b x F(b,x)
0
1
1
1
1
0
147658
318856

14497
285764
128589
228569
176593
205585
189102
294039
230968
77477
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 22
1
1
1
0
53369
194634
202445
177561
305090
276484
292707
290599

Say đó Peggy trao cho Vic 10 giá trị f(b,x) đã tính ở trên

Tiếp theo ,giả sử rằng Víc chọn cạnh 34 làm yêu cầu của mình.Sau đó
Peggy sẽ mở 4 blob :2 lob ứng với đình 3 ,2 lob ứng với đỉnh 4.Nh vậy
Peggy sẽ trao cho Víc các cặp đợc sắp sau:

(b,x) = (1,128089), (0, 228569), (1, 53369), (1, 194634)

Víc sẽ kiểm tratrớc hết xem 2 mấu có khác nhau không :10 là mã
hoá của mầu 2 và 11 là mã hoá của mầu 3 .Nh vậy diều vừa kiểm tra là đợc
thỏ mãn. Tiếp theo, Víc sẽ kiểm tra thấy rằng 4 cam kết là hợp lệ.Đây là điều
phải chứng minh.

Cũng nh trong các hệ thống chứng minh đã đợc nghiên cứu ở trên
Víc sẽ chấp nhận một phép chứng minh hợp lệ với xác suất =1 ,bởi vậy ta có
đợc tính đầy đủ .Xác suất để Víc sẽ chấp nhận bằng bao nhiêunếu G không
thể tô bằng 3 mầu ? Trong trờng hợp này ,đối với phếp tô mầu bất kì phải có
ít nhâts một cạnh ij để i và j có cùng mầu .Cơ hội để Víc chọn một cạnh nh
vậy it nhất là 1/m.Xác xuất để Peggy đánh lừa đợc Víc trong toàn bộ m
2

vòng nhièu nhất là

(1- 1/m )
n
vì (1- 1/m )
m
ặe
-1
khi mặ nên ta thấy rằng (1- 1/m )
n
ặe
-m
và giá trị này
tiến tới 0 theo hàm mũ nh là hàm của m | E | .Bởi vậy ta cũng có đợc tính

đúng đắn.

Trở lại xem xét khía cạnh không tiết lộ thông tin của hệ thống chứng minh.
Tất cả những cái mà Víc thấy trong mỗi vòng đã cho của giao thức là một
phép tô 3 mầu đã mã của G, cùng với hai mầu phân biệt của các đỉnh trên
một cạnh cụ thể nh đã đợc Peggy cam kết trớc đó. Vì các mầu đợc
hoán vị ở mỗi vòng nên dờng nh là Víc không thể kết hợp các thông tin từ
các vòng khác nhau để xây dựng phép tô 3 mầu .

Hệ thống chứng minh này không phải là một hệ thống chứng minh không
tiết lộ thông tin hoàn thiện mà chỉ là một dạng yếu hơn của nó và đợc gọi là
một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin về mặt tính toán .Tính
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 23
không tiết lộ thông về mặt tính toán đợc định nghĩa giống nh tính không
tiế lộ thông tin hoàn thiện ngoại trừ một điểm là các phân bố xác suất tơng
ứng của các bản sao chỉ đòi hỏi không phân phân biệt theo đa thức (theo cách
hiểu ở chơng 12) chứ không nhất thiết phải là đồng nhất .
Hình 12.13.một hệ thống chứng minh tơng hỗ không tiết lộ thông tin
về mặt tính toán cho bái toán xét khả năng tô đồ thị bằng 3 mầu .

Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra cách các bản sao có thể đợc giả mạo nh
thế nào. Sau đây sẽ đa ra một thuật toán trực tiếp giả mạo bản sao (các bản
sao này không thể phân biệt đợc với các bản sao đợc tạo bởi Vic trung
thực). Nếu Vic không tuân theo giao thức thì có thể xây dựng một bộ mô
phỏng dùng thuật toán V
ì
nh một chơng trình con có thể gọi lại đợc để
xây dựng các bản sao giả mạo. Cả hai thuật toán giả mạo này đều theo dạng
các thuật toán tơng đối cho hệ thống chứng minh tính đẳng cấu đồ thị.

Đầu vào : Một đồ thị G = (E,V) trên tập đỉnh {1,. . .,n}

1. lặp lại các bớc sau m
2
lần .

2. Cho là một đồ thị tô 3 mầu của G .Peggy sẽ chọn một hoán vị ngẫu nhiên
của {1,2,3}.Với 1in,cô ta xác định
C
i
= ((i))
Và viết c
i
nh một xâu bít có độ dái hai:
C
i
=c
i1
c
i2

Sau đó ,với i1n cô ta chọn 2 phần tử ngẫu nhiên r
i1,
r
i2
?thuộc X và tính
r
ij=
f(c
ij,
r
ij
),j=1,2rồi gửi danh sách cho Víc
(r
11
,r

12
,. . .,r
n1
,r
n2
)
3. Víc chọn một cách ngẫu nhiên {u,v} E và gửi nó cho Peggy.
4. Peggy gửi (c
u1
,c
u2
,r
u1
,r
u2
) và (c
v1
,c
v2
,r
v1
.r
v2
) cho Víc.
5. Víc kiểm tra xem có thoả mãn các bất đẳng thức ,và đẳng thức sau không?
(c
u1
,c
u2
)# (c

v1
,c
v2
)
(c
u1
,c
u2
)# (0,0)
(c
v1
,c
v2
)#(0,0)
R
u,j
=f(c
uj
,r
uj
),j=1,2
R
v,j
=f(c
vj
,r
vj
),j=1,2
6. Víc sẽ chấp nhận phép chứng minh của Peggy nếu toán ở bớc 5 đợc kiểm
tra ở mỗi một trong m

2
vòng .
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 24
ở đây ta chỉ xem xét trờng hợp khi Vic tuân thủ giao thức. Một bản sao T
của phép chứng minh tơng hỗ về tính khả tô đồ thị (bằng ba màu) sẽ có
dạng:
(G:A
1
, ,A
m2
)
trong đó A
j
chứa 2m blob đã đợc tính bởi Peggy, cạnh u v đợc Vic chọn,
các màu đợc Peggy gán cho các đỉnh u và v ở vòng j, và 4 số ngẫu nhiên
đợc Peggy dùng để mã hoá các màu của hai đỉnh này. Một bản sao đợc giả
mạo bằng thuật toán giả mạo đợc mô tả trên hình 13.13.
Hình 13.13. Thuật toán giả mạo các bản sao về tính khả tô đồ thị bằng ba
màu.

Phép chứng minh tính không tiết lộ thông tin (về mặt tính toán) đối với
Vic đồi hỏi chứng tỏ rằng hia phân bố xác suất trên các bản sao (đợc tạo bởi
Vic khi tham gia vào giao thức và đợc tạo bởi bộ mô phỏng ) là không thể
phân biệt. ặ đây ta bỏ qua việc đó và chỉ đa ra vái nhận xét. Cần chú ý rằng
hai phân bố xác suất không đồng nhất. Sở dĩ nh vậy trên thực tế tất cả các
R
i,,j
trên một bản sao giả mạo là các blob mã hoá cho 1 ;trong khi đó các
Ri, j

trên một bản sao thực hiện là các blob mã hoá cho các số 1 và 0 với xác
suấtgần bằng nhau. Tuy nhiên có thể chỉ ra rằng, không thể phân biệt đợc
hai phân bố xác suất này trong thòi gian đa thức, nếu sơ đồ cam kết bítử
dụng là an toàn. Chính xác hơn, điều đó có nghĩa lầ phân bố xác xuất trên các
Đầu vào: Một đồ thị G=(V,E) có tập đỉnh V={1, ,n}
1. T=(G)
2. For j=1 to m
2
do
3. Chọn ngẫu nhiên một cạnh {u, v} E

4. Chọn ngẩu nhiên các màu khác nhau d = d
1
d
2
và e = e
1
e
2
trong đó
d
1
, d
2
, e
1
, e
2
, {0, 1}
5. Chọn r
i,j
là một phần tử ngẩu nhiên của X, với 1 i n, j = 1,2
6. Với 1 i n, j = 1,2, hãy xác định

v i nếu )r,f(e
u i nếu )r,f(d
vu, i nếu )rf(1,
R
ji,j
ji,j
ji,

ji,
=
=

=

7. Ghép (R
1,1
. . . .,R
n,2
, u, v, d
1
, d
2
, r
d,1
, r
d,2
, e
1
, e
2
, r
e,1
, r
e,2
) vào đầu cuối
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 25
blob mã hoá các màu c là không thể phân biệt với phân bố xác suât trên blob

mã hoá cho các màu d nếu c d.

Bạn đọc đã làm quen với lý thuyết NP- đây đủ sẽ nhận thấy rằng nếu
có một phép chứng minh không tiết lộ thông tin cho trớc một bái tóan NP-
đầy đủ nào đó thì ta có thể thu một phép chứng minh không tiết lộ thông tin
cho một bái toán NP-đầy đủ bất kỳ khá. Điều này có thể đợc thức hiên bằng
cách áp dụng phép biến đổi đa thức một bái toán NP-đầy đủ cho trớc vào
một bái toán tô đồ thị bằng ba màu.



13.5. Các luận cứ không tiết lộ thông tin


Ta sẽ nhắc lại các tính chất cơ bản của phép chứng minh không tiết lộ
thông tin về mặt tính toán cho bái toán về tính khả tô đồ thị bằng ba màu nêu
ở phần trên. ở đây không cần giả thiết nào để chứng minh cho tính đầy đủ và
tính đúng đắn của giao thức mà chỉ cần một giả thiết về mặt tính toán để
chứng minh tính không tiết lộ thông tin, đó là sơ đò cam kết bit phải là một
sơ đồ an toàn. Nhận thấy rằng, nếu Peggy và Vic tham gia trong giao thức thì
Vic sau đó có thể cố gắng phá sơ đồ ràng buộc bít đợc dùng (ví dụ, nêu sơ
đồ đợc xây dựng trên một sơ đồ thặng d bậc hai thì Vic sẽ cố gắng thức
hiên phân tích n). Nếu Vic có thể phá đợc sơ đồ ràng buộc bít thì anh có thể
giải mã đợc các blob (đợc Peggy dùng trong giao thức) và rút ra phép toán
tô ba màu.
Phân tích này sẽ phụ thuộc vào các tính chất của các blob dùng trong
giao thức. Mặc dù tính ràng buộc của các blob là không điều kiện song tính
dấu kín lại đa trên giả thiết về mặt tính toán.

Một phơng án khá thú vị là dùng các blob trong đó tính che dấu là

không điều kiện nhng tính ràng buộc lại đòi hỏi một giả thiết về mặt tính
toán. Điều này dẫn tới một giao thức gọi là luận cứ không tiếtlộ thông tin hơi
khác với phép chứng minh không tiết lộ thông tin. Bạn đọc nhớ lại rằng, cho
tới nay ta vẫn giả sử rằng Peggy có đầy đủ sức mạnh, còn trong luận cứ
không tiết lộ thông tin, ta sẽ coi rằng các tính toán của Peggy đợc thực hiện
theo thời gian đa thức (trên thực tế giả thiết này không gây ra một chút khó
khăn nào vì các tính toán của Peggy là theo thời gian đa thức nếu cô ta biết
phép tô màu của G).