Tuyển tập 55 đề ôn thi đại học năm 2011 môn Toán có đáp án - Đề số 3 ppsx

Đề số 3

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
  
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B
song song với nhau và độ dài đoạn AB =
4 2
.
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
x x x
8
4 8
2
1 1
log ( 3) log ( 1) 3log (4 )
2 4
    .
2. Tìm nghiệm trên khoảng
0;
2

 
 
 

của phương trình:

x
x x
2 2
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
 

     
     
     
     

Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
4
f x f x x
( ) ( ) cos
   với mọi
x

R. Tính:
 
I f x dx
2
2






.
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm
O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a,
SA = a
2
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích
khối chóp O.AHK.
Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 .
Chứng minh rằng:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
   
   

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng
(d): 3x – y – 4 = 0.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và
mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua
hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình
z bz c
2
0
  
nhận số
phức
1
z i
 
làm một nghiệm.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm
G(2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0;
02y5x2



. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0);
C(2,4,6) và đường thẳng (d)
6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
  


   


. Viết phương trình đường
thẳng  // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.
Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức:
4 3 2
6 8 16 0
z z z z– – –
 
.

Hướng dẫn Đề sô 3


Câu I: 2) Giả sử
3 2 3 2
3 1 3 1
A a a a B b b b
( ; ), ( ; )
   
(a  b)
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra
y a y b
( ) ( )
 
 
a b a b
( )( 2) 0
   


a b

2 0
  
 b = 2 – a  a  1 (vì a  b).
AB b a b b a a
2 2 3 2 3 2 2
( ) ( 3 1 3 1)
       
= a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)
    
AB =
4 2
 a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)
     = 32 
a b
a b
3 1
1 3

   

   


 A(3; 1) và B(–1; –3)
Câu II: 1) (1) 
x x x

( 3) 1 4
    x = 3; x =
3 2 3
 

2) (2) 
x x
sin 2 sin
3 2
 
   
  
 
 
 
 

x k k Z a
x l l Z b
5 2
( ) ( )
18 3
5
2 ( ) ( )
6
 



  




  



Vì 0
2
x
;

 

 
 
nên x=
5
18

.
Câu III: Đặt x = –t 
        
f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2 2 2
2 2 2 2
   
   



 
      
   


f x dx f x f x dx xdx
2 2 2
4
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
  
  
 

 
   
 
  


x x x
4
3 1 1
cos cos2 cos4
8 2 8
    I
3
16

 .

Câu IV:
a
V AH AK AO
3
1 2
, .
6 27
 
 
 
  

Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

2
a ab c ab c ab c ab c ab abc
a a a a a
b c
1+b c b c
2 2
2
(1 )
(1)
2 4 4 4
2
1

          


Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1



2
bc d
b bc d bc d bc d bc bcd
b b b b b
c d
1+c d c d
2 2
2
1
(2)
2 4 4 4
2
1

          





2
cd a
c cd a cd a cd a cd cda
c c c c c
d a
1+d a d a

2 2
2
1
(3)
2 4 4 4
2
1

          





2
da b
d da b da b da b da dab
d d d d d
a b
1+a b a b
2 2
2
1
(4)
2 4 4 4
2
1

          


Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
b c c d d a a b
2 2 2 2
4
4 4
1 1 1 1
     
     
   

Mặt khác:

  
a c b d
ab bc cd da a c b d
2
4
2
 
  
       
 
 
. Dấu "=" xảy ra  a+c =
b+d

       

a b c d
abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a
2 2
2 2
   
 
          
   
   


     
a b c d
abc bcd cda dab a b c d a b c d
4 4
 
 
         
 
 


a b c d
abc bcd cda dab
2
4
2
 
  
     

 
 
. Dấu "=" xảy ra  a = b = c = d =
1.
Vậy ta có:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
4 4
4
4 4
1 1 1 1
     
   


a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
    
   
 đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Câu VI.a: 1) Ptts của d:
x t
y t
4 3




  

. Giả sử C(t; –4 + 3t)  d.

 
S AB AC A AB AC AB AC
2
2 2
1 1
. .sin . .
2 2
  
 
=
3
2
 t t
2
4 4 1 3
  

t
t
2
1

 





 C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)  (Q) có VTPT


p
n n AB
, 0; 8; 12 0
 
    
 
  


 Q y z
( ): 2 3 11 0
  

Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z
2
+ bx + c = 0 nên:

b c b
i b i c b c b i
b c
2
0 2
(1 ) (1 ) 0 (2 ) 0

2 0 2
 
   
           
 
  
 

Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
2) Phương trình mặt phẳng () chứa AB và song song d: (): 6x + 3y + 2z –
12 = 0
Phương trình mặt phẳng () chứa OC và song song d: (): 3x – 3y + z = 0
 là giao tuyến của () và ()  :
6x 3y 2z 12 0
3x 3y z 0
   


  


Câu VII.b:
4 3 2
6 8 16 0
z z z z– – –
 

2
1 2 8 0
z z z

( )( )( )
   

1
2
2 2
2 2
z
z
z i
z i

 






 
