Bài giảng: Lý thuyết đồ thị docx

1
Lý thuy t đ thế ồ ị
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
2
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Định nghĩa:
Đồ thị (graph) G = (V,E) là một bộ gồm 2 tập
hợp các đỉnh (vertices) V (V≠Ø) và các cạnh
(edges) E. Mỗi cạnh tương ứng với 2 đỉnh.
Nếu cạnh e tương ứng với 2 đỉnh v, w thì ta
nói v và w là 2 đỉnh liên kết hay kề (adjacent)
với nhau và e được gọi là tới các đỉnh v, w. Ký
hiệu hay v w.
vwe
=
e
3
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Các đỉnh: A, B, C, D

Các cạnh: AB, AC, AD,
BD, BC
A
B
C
D
Cạnh không phân biệt thứ tự của đỉnh được gọi
là cạnh vô hướng. Đồ thị bao gồm các cạnh vô
hướng được gọi là đồ thị vô hướng.

4
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Định nghĩa:
-
Cạnh uv tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau gọi
là vòng (loop) hay khuyên.
A
B
C
5
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
-
Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một
cặp đỉnh gọi là 2 cạnh song song (parallel
edge).
A
B
C
6
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
-
Đồ thị không có cạnh song song và khuyên
được gọi là đơn đồ thị (simple graph), ngược
lại là đa đồ thị (multi graph).
A
B
C
A B
C D

7
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
-
Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (sub
graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’ ⊂ V và E’
⊂ E.
A
B
CD
E
B’
C’
A’
E’
8
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
-
Đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là
đồ thị hữu hạn (finite graph), ngược lại là đồ
thị vô hạn (infinite graph).
9
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Biểu đồ
A B
CD
A’
B’
C’
D’

E’
A”
B”
C”
10
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Bậc của một đỉnh
-
Bậc (degree) của một đỉnh v, ký hiệu là d(v),
chính là số cạnh tới đỉnh đó. Mỗi vòng tại một
đỉnh sẽ được xem như 2 cạnh tới đỉnh đó.
-
Nếu d(v) = 0, v được gọi là đỉnh cô lập (isolated
vertex).
-
Nếu d(v) = 1, v được gọi là đỉnh treo (perdant
vertex), cạnh tới đỉnh treo được gọi là cạnh treo
(perdant edge).
-
Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập được gọi
là đồ thị rỗng (null graph).
11
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Bậc của các đỉnh:
A: 2
B: 5
C: 0 (đỉnh cô lập)
D: 2

E: 1 (đỉnh treo)
F: 4
A B C
D
E
F
X
Y
Z
T
G
G’
12
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
-
Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau được
gọi là đồ thị đầy đủ (complete graph). Đồ thị
đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là K
n
.
A
B
CD
E
13
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ
-
Đồ thị bù của một đồ thị G, ký hiệu là G, là
một đồ thị có cùng đỉnh với G và có các cạnh
là những cạnh mà ta phải bổ sung vàođể G

trở thành đầy đủ.
G G
14
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Định lý 1.1:
Với mọi đồ thị G = (V, E), ta có:

Hệ quả 1.1:
Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong 1 đồ
thị là 1 số chẵn

Hệ quả 1.2:
Mọi đồ thị đều có một số chẵn các đỉnh bậc
lẻ.
∑
∈
=
Vv
Evd 2)(
15
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Hệ quả 1.3:
Đồ thị K
n
có n(n-1) cạnh.
2
1
16

Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Biểu diễn đồ thị - Danh sách kề
A B B D E
B A A C D E
C C C B D
D A B C E
E A B D
A
B
C
D
E
17
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Biểu diễn đồ thị - Ma trận kề:
A B C D E
A 0 2 0 1 1
B 2 0 1 1 1
C 0 1 2 1 0
D 1 1 1 0 1
E 1 1 0 1 0
A
B
C
D
E
18
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ


Định lý 1.2:
Tổng các phần tử trên hàng (hoặc cột) thứ i
của ma trận kề của đồ thị G có n đỉnh bằng
bậc của đỉnh v
i
của đồ thị ấy, nghĩa là:
∑∑
==
==
n
k
ki
n
k
iki
mmvd
11
)(
19
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Đường đi và chu trình
Cho một đồ thị G. Một đường đi P trong G là
một dãy các cạnh nối tiếp có chung đầu mút
v
0
v
1
, v

1
v
2
, , v
k-1
v
k
.
Ký hiệu: P = v
0
v
1
v
k

hay P = v
0
v
1
v
k
k (số cạnh tạo thành P) được gọi là chiều dài
của P. Ký hiệu l(P) = k.
e
1
e
2
e
k
20

Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Đường đi P: EACB

l(P) = 3
A
B
C
E
D
21
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Một chu trình (cycle) trong G là một đường
đi trong G có dạng c=v
0
v
1
v
k-1
v
0
với l(c) ≥ 1.

Một đường đi (hoặc chu trình) được gọi là
sơ cấp nếu nó không đi qua đỉnh nào quá
một lần. Một đường đi (hoặc chu trình) được
gọi là đơn giản nếu nó không đi qua cạnh
nào quá một lần.
22

Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

ABCA là một chu trình đơn
giản và sơ cấp.

ACB là một đường đi đơn
giản và sơ cấp.

EABCAD là một đường đi
đơn giản nhưng không sơ
cấp.

EACBADE là một chu trình
đơn giản nhưng không sơ
cấp.
A
B
C
E
D
23
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Liên thông
Một đồ thị được gọi là liên thông (connected)
nếu mọi cặp đỉnh của nó đều được nối với
nhau bởi một đường đi.
A
B
C

E
D
24
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Xét G = (V, E) là một đồ thị vô hướng. Trên tập
hợp V, ta định nghĩa một quan hệ ~ như sau:
∀v, w ∈V, v ~ w ⇔ có 1 đường đi trong G giữa
v và w. Khi đó:
~ là một quan hệ tương đương trên V và ~ phân
hoạch V thành các lớp tương đương. Mỗi lớp
tương đương này ứng với một đồ thị con liên
thông của G và được gọi là một thành phần liên
thông (connected component) của G.
25
Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ

Hai thành phần liên thông bất kỳ của G thì
tách biệt.
A
B
C
D E
F
G
H
I