Bài tập toán rời rạc 2 doc

NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ
BÀI 6 TRANG 44_1

Có bao nhiêu hoán vị của các số tự nhiên 1, 2…10 mà
trong đó 3 số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau theo thứ
tự tăng dần.
GIẢI:

Gọi |A| là tập các hoán vị của các số tự nhiên từ 1…10
=> |A| =10!


Gọi |A1| là tập các số tự nhiên gồm 3 số 1, 2, 3 gom
thành một nhóm và theo thứ tự tăng dần, và các số
còn lại 4…10. Như vậy |A1| là tập hoán vị của 8 số => |
A1|=8!


NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ
BÀI 6 TRANG 44_2

Gọi |A2| là tập các số tự nhiên trong đó 3 số 1,
2, 3 không đứng cạnh nhau theo thứ tự tăng
dần

Theo nguyên lý bù trừ, ta thu được
|A2| = 10! - 8! = 3588480 ( hoán vị )

BÀI 7 TRANG 44, 45

Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm
nguyên không âm thỏa mãn
GIẢI:

Theo giả thiết ta có


Đặt

=> và

Điều kiện sau là hiển nhiên vớI các nghiệm của pt

Bài toán trở về trường hợp bài toán chia tiền

Số nghiệm của phương trình tương ứng với số cách chia tiền


Áp dụng vào bai toán => số nghiệm là : = 4 ( nghiệm)
1 2 3 4
29x x x x+ + + =
1 2 3 4
3, 12, 5, 10x x x x≤ ≤ ≤ ≤
1 2 3 4
29x x x x+ + + =
→
¬
1 2 3 4

(3 ) (12 ) (5 ) (10 ) 1x x x x− + − + − + − =
1 1 2 2 3 3 4 4
3 , 12 , 5 , 10t x t x t x t x
= − = − = − = −
1 2 3 4
0, 0, 0, 0t t t t
≥ ≥ ≥ ≥
1
1
k
n k
c
−
+ −
4 1
1 4 1
c
−
+ −
1 2 3 4
3, 12, 5, 10t t t t
≤ ≤ ≤ ≤
1 2 3 4
1t t t t
+ + + =


BÀI 8 TRANG 45_1

Một lớp có 50 học sinh làm bài kiểm tra gồm 3 câu hỏi.

Biết rằng mỗi học sinh làm được ít nhất một câu, và số
học sinh làm được câu 1 là 40, câu 2 là 35, câu 3 là
30. Chứng minh rằng số học sinh làm được 3 câu
không vượt quá 27.
GIẢI:

Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 1 là :|X1|

Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 2 là :|X2|

Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 3 là :|X3|

Theo giả thiết ta có : |X1|=40 , |X2|=35,|X3|=30 và


BÀI 8 TRANG 45_2

Theo nguyên lý của tập hợp ta có

Đặt

=> 50 =105-

Đặt
| 1 2 3 | | 1| | 2 | | 3 | | 1 2 | | 2 3 |
| 1 3 | | 1 2 3|
X X X X X X X X X X
X X X X X
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩

| 1 2 3 |X X X K
∩ ∩ =
| 1 2 | | 1 3 | | 3 1|X X X X X X K
∩ − ∩ − ∩ +
1 | 1 2 | | 1 2 3 | 0
2 | 2 3 | | 1 2 3 | 0
3 | 3 1| | 1 2 3 | 0
K X X X X X
K X X X X X
K X X X X X
= ∩ − ∩ ∩ ≥
= ∩ − ∩ ∩ ≥
= ∩ − ∩ ∩ ≥


BÀI 8 TRANG 45_3

Do đó ta có : 50 = 105 - (3K+K1+K2+K3) + K

=>2K 55 ( do K1+K2+K3 0 ) => K 27

Vậy số học sinh làm không quá được cả 3 câu
không quá 27( đpcm)
≤
≥
≤