Bài tập toán rời rạc 3 pps

Bài 11:Có bao nhiêu hoán vị của các chữ
Bài 11:Có bao nhiêu hoán vị của các chữ
cái trong xâu ABCDEF mà trong đó có chứa
cái trong xâu ABCDEF mà trong đó có chứa
xâu con DEF?
xâu con DEF?
Giải:
Giải:

Coi xâu con DEF là một chữ cái (S)
Coi xâu con DEF là một chữ cái (S)
thì số hoán vị cần tìm là số hoán vị
thì số hoán vị cần tìm là số hoán vị
của xâu bốn chữ cái ABCS.
của xâu bốn chữ cái ABCS.

Vậy số hoán vị của các chữ cái trong
Vậy số hoán vị của các chữ cái trong
xâu ABCDEF là: 4!=24 (hoán vị).
xâu ABCDEF là: 4!=24 (hoán vị).


Bài 12:Có bao nhiêu hoán vị của các chữ
Bài 12:Có bao nhiêu hoán vị của các chữ
cái trong xâu ABCDEF mà trong đó có chứa
cái trong xâu ABCDEF mà trong đó có chứa
ba chữ cái D,E,F đứng cạnh nhau?
ba chữ cái D,E,F đứng cạnh nhau?
Giải:

Giải:


Để 3 chữ cái D,E,F đứng cạnh nhau thì trong
Để 3 chữ cái D,E,F đứng cạnh nhau thì trong
mỗi hoán vị cần tìm phải chứa 1 hoán vị của các
mỗi hoán vị cần tìm phải chứa 1 hoán vị của các
chữ cái của xâu DEF.
chữ cái của xâu DEF.

Số hoán vị của xâu con DEF là:3!=6 (hv).
Số hoán vị của xâu con DEF là:3!=6 (hv).

Coi các hoán vị của xâu DEF là các chữ cái
Coi các hoán vị của xâu DEF là các chữ cái
S1,S2,S3,S4,S5,S6.Khi đó ứng với mỗi chữ cái
S1,S2,S3,S4,S5,S6.Khi đó ứng với mỗi chữ cái
Si,số hoán vị của các chữ cái của xâu 4 chữ cái
Si,số hoán vị của các chữ cái của xâu 4 chữ cái
ABC(Si) là 4!=24(hoán vị).
ABC(Si) là 4!=24(hoán vị).

Do vai trò của các Si như nhau nên theo nguyên
Do vai trò của các Si như nhau nên theo nguyên
lý nhân,số hoán vị của các chữ cái trong xâu
lý nhân,số hoán vị của các chữ cái trong xâu
ABCDEF mà trong đó có chứa ba chữ cái D,E,F
ABCDEF mà trong đó có chứa ba chữ cái D,E,F
đứng cạnh nhau là:
đứng cạnh nhau là:

3!
3!
×
×
4!=144(hoán vị)
4!=144(hoán vị)




Bài 13:Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào
Bài 13:Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào
ngồi quanh cái bàn tròn (hai cách xếp không
ngồi quanh cái bàn tròn (hai cách xếp không
coi là khác nhau nếu chúng có thể thu được
coi là khác nhau nếu chúng có thể thu được
từ nhau bởi phép quay bàn tròn)?
từ nhau bởi phép quay bàn tròn)?
Giải:
Giải:

Nếu xếp 6 người ngồi vào một cái
Nếu xếp 6 người ngồi vào một cái
bàn thẳng thì sẽ có 6!=720 cách
bàn thẳng thì sẽ có 6!=720 cách
xếp.
xếp.


Do xếp vào cái bàn tròn nên một
Do xếp vào cái bàn tròn nên một
cách xếp sẽ được tính thành 6 lần bởi
cách xếp sẽ được tính thành 6 lần bởi
phép quay bàn tròn nên số cách xếp
phép quay bàn tròn nên số cách xếp
6 người vào ngồi quanh cái bàn tròn
6 người vào ngồi quanh cái bàn tròn
là: 720/6=120 cách xếp.
là: 720/6=120 cách xếp.


Bài 14:Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh nam và 5
Bài 14:Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh nam và 5
học sinh nữ ra thành một hàng ngang sao cho
học sinh nữ ra thành một hàng ngang sao cho
không có hai nữ sinh nào đứng cạnh nhau?
không có hai nữ sinh nào đứng cạnh nhau?
Giải:
Giải:

Đầu tiên xếp 7 học sinh nam trước.Số cách xếp là:7!=5040
Đầu tiên xếp 7 học sinh nam trước.Số cách xếp là:7!=5040
cách xếp.
cách xếp.

Xếp chỗ cho 5 học sinh nữ.
Xếp chỗ cho 5 học sinh nữ.
Có 8 vị trí để xếp 5 học sinh nữ sao cho không có 2 học
Có 8 vị trí để xếp 5 học sinh nữ sao cho không có 2 học

sinh nữ nào đứng cạnh nhau là:6 vị trí xen giữa 2 bạn
sinh nữ nào đứng cạnh nhau là:6 vị trí xen giữa 2 bạn
nam,1 vị trí đầu hàng và 1 vị trí cuối hàng.
nam,1 vị trí đầu hàng và 1 vị trí cuối hàng.
=>Số cách xếp 5 bàn nữ vào 8 vị trí là: A(8,5)=6720 cách.
=>Số cách xếp 5 bàn nữ vào 8 vị trí là: A(8,5)=6720 cách.

Vậy theo nguyên lý nhân,số cách xếp 7 học sinh nam và 5
Vậy theo nguyên lý nhân,số cách xếp 7 học sinh nam và 5
học sinh nữ đứng thành hàng ngang sao cho không có 2
học sinh nữ đứng thành hàng ngang sao cho không có 2
học sinh nữ đứng cạnh nhau là:
học sinh nữ đứng cạnh nhau là:
5040x6720=33868800 cách xếp.
5040x6720=33868800 cách xếp.


Bài 15:Có bao nhiêu xâu nhị phân độ
Bài 15:Có bao nhiêu xâu nhị phân độ
dài 32 mà trong đó có đúng 6 số 1?
dài 32 mà trong đó có đúng 6 số 1?
Giải:
Giải:

Xâu nhị phân độ dài 32 trong đó có
Xâu nhị phân độ dài 32 trong đó có
đúng 6 số 1=>bài toán tương đương
đúng 6 số 1=>bài toán tương đương
với việc sắp xếp 6 chữ số 1 vào 32 vị
với việc sắp xếp 6 chữ số 1 vào 32 vị

trí và không xét đến thứ tự.
trí và không xét đến thứ tự.

Vậy số xâu nhị phân thoả mãn:
Vậy số xâu nhị phân thoả mãn:


C(32,6)=906192.
C(32,6)=906192.


Bài 16:Có bao nhiêu xâu ký tự có thể tạo
Bài 16:Có bao nhiêu xâu ký tự có thể tạo
được từ các chữ cái:
được từ các chữ cái:
MISSISSIPPI?
MISSISSIPPI?
Gi
Gi
ải:
ải:

Xâu ký tự tạo thành có:
Xâu ký tự tạo thành có:

4 chữ S
4 chữ S

4 chữ I
4 chữ I


2 chữ P
2 chữ P

1 chữ M
1 chữ M

Có C(11,4) cách chọn vị trí cho chữ S,còn lại 7 vị
Có C(11,4) cách chọn vị trí cho chữ S,còn lại 7 vị
trí.
trí.

Có C(7,4) cách chọn vị trí cho chữ I,còn lại 3 vị
Có C(7,4) cách chọn vị trí cho chữ I,còn lại 3 vị
trí.
trí.

Có C(3,2) cách chọn vị trí cho chữ P,còn lại 1 vị
Có C(3,2) cách chọn vị trí cho chữ P,còn lại 1 vị
trí.
trí.

Có 1 cách chọn vị trí cho chữ M.
Có 1 cách chọn vị trí cho chữ M.

Vậy số xâu ký tự thoả mãn:
Vậy số xâu ký tự thoả mãn:


C(11,4).C(7,4).C(3,2).1=11!/(4!4!2!)=34650

C(11,4).C(7,4).C(3,2).1=11!/(4!4!2!)=34650


Một cách giải khác
Một cách giải khác

Xâu MISSISSIPPI bao gồm 4 chữ cái S,4 chữ cái
Xâu MISSISSIPPI bao gồm 4 chữ cái S,4 chữ cái
I,2 chữ cái P,1 chữ cái M.
I,2 chữ cái P,1 chữ cái M.

Coi xâu trên được tạo thành từ 11 chữ cái khác
Coi xâu trên được tạo thành từ 11 chữ cái khác
nhau.Khi đó số hoán vị được tạo thành là 11!
nhau.Khi đó số hoán vị được tạo thành là 11!

Xét 4 chữ cái S.Do các chữ cái giống nhau nên
Xét 4 chữ cái S.Do các chữ cái giống nhau nên
khi hoán vị các chữ cái S cho nhau xâu thu được
khi hoán vị các chữ cái S cho nhau xâu thu được
ko đổi.
ko đổi.


=>Có 4! xâu giống nhau.
=>Có 4! xâu giống nhau.

Tương tự số xâu giống nhau khi hoán vị 4 chữ cái
Tương tự số xâu giống nhau khi hoán vị 4 chữ cái
I là 4! và khi hoán vị 2 chữ cái P là 2!

I là 4! và khi hoán vị 2 chữ cái P là 2!

Vậy số hoán vị của các chữ cái trong xâu
Vậy số hoán vị của các chữ cái trong xâu
MISSISSIPPI là 11!/(4!4!2!)=34650(hoán vị)
MISSISSIPPI là 11!/(4!4!2!)=34650(hoán vị)


Bài 17:Có 8 cuốn sách khác nhau.Hỏi có bao
Bài 17:Có 8 cuốn sách khác nhau.Hỏi có bao
nhiêu cách phân các cuốn sách này cho 3 học
nhiêu cách phân các cuốn sách này cho 3 học
sinh:Mơ,Mai,Mận sao cho Mơ nhận được 4 cuốn
sinh:Mơ,Mai,Mận sao cho Mơ nhận được 4 cuốn
còn Mai và Mận mỗi người nhận 2 cuốn?
còn Mai và Mận mỗi người nhận 2 cuốn?
Gi
Gi
ải:
ải:

Số sách của Mơ là 4 cuốn trong số 8
Số sách của Mơ là 4 cuốn trong số 8
cuốn=>số cách chia sách cho Mơ là
cuốn=>số cách chia sách cho Mơ là
C(8,4).
C(8,4).

Tương tự số cách chia sách cho Mai là
Tương tự số cách chia sách cho Mai là

C(4,2).
C(4,2).

Số cách chia sách cho Mận là C(2,2).
Số cách chia sách cho Mận là C(2,2).

Vậy số cách chia sách cho 3 bạn:
Vậy số cách chia sách cho 3 bạn:


C(8,4).C(4,2).C(2,2)=420.
C(8,4).C(4,2).C(2,2)=420.


Bài 18:Giả sử X là tập t phần tử.Ta gọi tổ hợp lặp chập k từ t phần tử của X là
Bài 18:Giả sử X là tập t phần tử.Ta gọi tổ hợp lặp chập k từ t phần tử của X là
1 bộ không có tứ tự gồm k thành phần lấy từ các phần tử của X.
1 bộ không có tứ tự gồm k thành phần lấy từ các phần tử của X.
Ví dụ:X={a,b,c},các tổ hợp lặp chập 2 từ các phần tử của X là
Ví dụ:X={a,b,c},các tổ hợp lặp chập 2 từ các phần tử của X là
(a a),(a b),(a c),(b b),(b c),(c c).
(a a),(a b),(a c),(b b),(b c),(c c).
Chứng minh rằng số tổ hợp lặp chập k từ t là:
Chứng minh rằng số tổ hợp lặp chập k từ t là:
C(k+t-1,t-1)=C(k+t-1,k)
C(k+t-1,t-1)=C(k+t-1,k)
Giải:
Giải:

Đánh số lần lượt t phần tử của X là i với

Đánh số lần lượt t phần tử của X là i với

Gọi là số lần xuất hiện của phần tử thứ i trong tập k phần tử lấy
Gọi là số lần xuất hiện của phần tử thứ i trong tập k phần tử lấy
từ tập X.
từ tập X.

Vậy ta có:
Vậy ta có:
(Với
(Với
,
,
).
).

Đây là bài toán chia tiền (k đồng tiền chia cho t đứa trẻ) với số
Đây là bài toán chia tiền (k đồng tiền chia cho t đứa trẻ) với số
cách là C(k+t-1,t-1).
cách là C(k+t-1,t-1).

Vậy số tổ hợp lặp chập k từ t phần tử của X là C(k+t-1,t-1).
Vậy số tổ hợp lặp chập k từ t phần tử của X là C(k+t-1,t-1).

Theo tính chất tổ hợp:
Theo tính chất tổ hợp:
C(k+t-1,t-1)=C(k+t-1,k).
C(k+t-1,t-1)=C(k+t-1,k).
ti
≤≤

1
i
X
kXXX
t
=+++

21
0≥
i
X
ti
≤≤
1