Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức ppsx

Số phức

287

SỐ PHỨC
I. TRƯỜNG SỐ PHỨC VÀ SỐ PHỨC
1. Trường số phức
Trường số phức
( )
{
}
, ,a b a b= ∈ 
là tập hợp
2
× =  
mà trên đó xác lập
các quan hệ bằng nhau và các phép toán tương ứng sau đây:
i
) Phép cộng: (
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(

a

+

c
,
b

+

d
)
ii) Phép nhân: (
a
,
b
). (
c
,
d
)
=
(
ac

−

bd
,
ad

+

bc
)
iii) Quan hệ bằng nhau: (
a
,
b
)
=
(
c
,
d
)
⇔

a

=

c
và
b

=

d

iv
) Phép đồng nhất: (
a
, 0)
≡

a
; (0, 1)
≡
i
2. Số phức
Giả sử
( )
,z a b= ∈
,
với
a
,
b
∈
R
. Sử dụng phép cộng và phép nhân ta có:
z

=
(
a
,
b
)

=
(
a
, 0)
+
(
b
, 0). (0, 1)
=

a

+

b
i; i
2

=
(0, 1). (0, 1)
=
(
−
1, 0)
≡

−
1
iz a b= +
là dạng đại số của số phức, trong đó i gọi là đơn vị ảo.

3. Phần thực và phần ảo của số phức

Giả sử
iz a b= + ∈ 
,

a
,
b
∈
R
, khi đó
a
gọi là phần thực,
b
là phần ảo của
z
.

Kí hiệu: Re(
z
)
=

a
; Im(
z
)
=

b
.


Tính chất:

Nếu
iz a b= +
;
z
1

=

a
1

+

b
1
i ;
z
2

=

a
2

+

b
2
i ,
a
,
b
,
a
1
,
b
1
,
a
2
,
b
2
∈
R


+
)
z
1

=

z
2

⇔

a
1

=

a
2
và
b
1

=

b
2

⇔
Re(
z
1
)
=
Re(

z
2
) và Im(
z
1
)
=
Im(
z
2
)

+
) Re(
z
1

+

z
2
)
=
Re(
z
1
)
+
Re(
z

2
) ; Im(
z
1

+

z
2
)
=
Im(
z
1
)
+
Im(
z
2
)

+
) Re(
λ
z
)
=

λ
Re(

z
),
∀λ

∈
R ; Im(
λ
z
)
=

λ
Im(
z
),
∀λ∈
R
.
4. Các phép toán về số phức
Cho
z
1

=

a
1

+

b
1
i ;
z
2

=

a
2

+

b
2
i , với
a
1
,
b
1
,
a
2
,
b
2
∈
R
. Khi đó ta có:



z
1

+

z
2

=
(
a
1

+

b
1
i)
+
(
a
2

+

b
2
i)

=
(
a
1

+

a
2
)
+
(
b
1

+

b
2
)i


z
1

−

z
2

=
(
a
1

+

b
1
i)
−
(
a
2

+

b
2
i)
=
(
a
1

−

a
2
)

+
(
b
1

−

b
2
)i


z
1
.
z
2

=
(
a
1

+

b
1
i). (
a
2

+

b
2
i)
=
(
a
1
a
2

−

b
1
b
2
)
+
(
a
1
b
2

+

a

2
b
1
)i


( )( )
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
i i
i
i i
a b a b
z a a b b a b a b
z
a b a b
a b a b
+ −
+ −
= = +
+ −
+ +
,
∀
z

2

≠
0
hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương

288

5. Số phức liên hợp

Cho
iz a b= +
, với
a
,
b
∈
R
, khi đó
iz a b= −
gọi là số phức liên hợp với
z
.




Tính chất:

+
)
,z z z= ∀ ∈ 
;
z z z= ⇔ ∈ 
;
iz z z= − ⇔ ∈ 


+
)
( )
2 Rez z z+ =
;
( )
2 Im iz z z− =
;
( ) ( )
2 2
Re Im
z z z z⋅ = +


+
)
1 2
,z z∀ ∈

:
1 2 1 2
z z z z+ = +
;
1 2 1 2
z z z z⋅ = ⋅
;
1 1
2
2
z z
z
z
 
=
 
 
,
∀
z
2

≠
0
6. Môđun của số phức

ĐN: Cho
iz a b= + ∈
, với
a

,
b
∈
R
, khi đó môđun của
z
là
2 2
z a b= +


Tính chất:

+
)
2
; ; 0z z z z z z= ⋅ = ≥
;
0 0z z= ⇔ =


+
)
1 2
,z z∀ ∈
:
1 2 1 2
z z z z⋅ = ⋅
;
1

1
2
2
z
z
z
z
=
,
∀
z
2

≠
0

+
)
1 2
,z z
∀ ∈
:
1 2 1 2
z z z z+ ≤ +
;
1 2 1 2
z z z z− ≤ −

7. Dạng lượng giác của số phức


Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1
−
1 giữa các
phần tử của

và các điểm nằm trên mặt phẳng
2

nên có thể đồng nhất

với
2

.
Khi đó tất cả các số phức
z

=

a

+

bi
được tương
ứng với điểm
z

=
(

a
,
b
) trên mặt phẳng tọa độ
Đềcác Oxy.

Với
z

=

a

+

bi

≠
0 (
a
,
b

∈


), kí hiệu
2 2
r z a b= = +

Góc
ϕ
là góc định hướng tạo bởi
Oz

với chiều dương trục Ox được gọi là
Argument
của
z
. Nếu
ϕ
là một
Argument
của
z
, thì tập hợp tất cả các
Arguments
của
z
là Argz
=

{ϕ

+
k2
π
,
k

∈


}
. Nếu
ϕ
là một
Argument
của
z

thoả mãn
0 2
≤ ϕ < π
, thì
ϕ
được gọi là
Argument
chính của
z
và được kí hiệu là
argz, khi đó ta có:
arg 2 ,Arg z z k k= + π ∈ 
.
Vì
a

=

r

cos
ϕ
;
b

=

r
sin
ϕ
, nên dạng lượng giác của
z
là
z

=

r
(cos
ϕ

+
i sin
ϕ
)
z

O
y
x

b

a

ϕ

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Số phức

289



Tính chất
:
z

=

r
(cos
ϕ

+
i sin
ϕ
) ;
z
1

=

r
1
(cos
ϕ
1

+
i sin
ϕ
1
) ;
z
2

=

r
2
(cos
ϕ
2

+
i sin
ϕ
2
)
( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2
z z r r cos i sin


= ϕ + ϕ + ϕ +ϕ


;
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
2 2
z r
cos isin
z r


= ϕ − ϕ + ϕ − ϕ


,z
2

≠
0
( )
cos i sin
n n
z r n n
= ϕ + ϕ

;
2 2
cos sin , 0, 1
n n
z r k i k k n
n n n n
 ϕ ϕ
   
π π
= + + + = −
   
 
   
 



Hệ quả (Công thức Moivre
):

( )
cos sin cos sin
n
i n i n
ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
,
n∀ ∈

8. Hàm số mũ phức


Định nghĩa:
∀
z

=

x

+

y
i
∈

, (
x
,
y
∈
R
), thì
( )
( )
e e cos isin
z x
f z y y= = +


Tính chất: e
z

≠
0,
∀
z
∈
C
;
1 2 1 2 1 2 1 2
e e e ; e / e e
z z z z z z z z+ −
= =
,
∀
z
1
,
z
2
∈
C

9. Hàm lượng giác phức

Từ định nghĩa hàm số mũ phức suy ra:
Công thức Euler:
i i
e cos i sin ; e cos i sin
x x
x x x x

−
= + = −

,
∀
x
∈
R

Hệ quả:

( ) ( )
( )
i i i i
1 1
cos e e ; sin e e , *
2 2i
x x x x
x x x
− −
= + = − ∀ ∈»

Do các vế phải của các đẳng thức (*) cũng xác định khi thay thế
x ∈ 
bởi
z ∈
, nên ta có các định nghĩa tương ứng của các hàm số phức sin, cosin,
tang, cotang:
( )
i i

1
cos e e
2
z z
z
−
= +
;
( )
i i
1
sin e e
2i
z z
z
−
= −


i i
i i
sin e e
1
tan
cos i
e e
z z
z z
z
z

z
−
−
−
= = ⋅
+
;
i i
i i
cos e e
cot i
sin
e e
z z
z z
z
z
z
−
−
+
= = ⋅
−

10. Hàm Hypebolic phức

( )
1
ch e e
2

z z
z
−
= +
;
( )
1
sh e e
2
z z
z
−
= −


sh e e
th
ch
e e
z z
z z
z
z
z
−
−
−
= =
+
;

ch e e
coth
sh
e e
z z
z z
z
z
z
−
−
+
= =
−

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương

290

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
1. Dạng 1. Biểu diễn một số phức dưới dạng lượng giác
Dạng lượng giác
( )
cos sinz r i
= ϕ + ϕ

, với
0r >
.
Bài mẫu.
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
( )
( )
1 3
1
1 3 1 sin cos
1 2 2
i
i i z i
i i
−
− +
= ϕ + ϕ
+ +
1. 2. 3. 4.

( )( )
1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin
i
i i
i
− ϕ − ϕ
− ϕ − ϕ + ϕ + ϕ
+ ϕ + ϕ

5. 6.

Giải


1.
Ta có:
(
)
(
)
1 3 2 cos sin ;
3 3
i i
π π


− = − + −




1 2 cos sin
4 4
i
π π


+ = +





suy ra:
Sử dụng
z
1
.
z
2

=
(
a
1

+

b
1
i). (
a
2

+

b
2
i)
=

(
a
1
a
2

−

b
1
b
2
)
+
(
a
1
b
2

+

a
2
b
1
)i ta có:
( )
( )
(

)
(
)
1 3 1 2 2 cos sin
12 12
i i i

π π 
− + = − + −





2.
Sử dụng
( )( )
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
i i
i
i i
a b a b
z a a b b a b a b
z

a b a b
a b a b
+ −
+ −
= = +
+ −
+ +
,
∀
z
2

≠
0
suy ra
(
)
(
)
1 3
7 7
2 cos sin
1 12 12
i
i
i
−

π π 
= − + −



+



3.
Ta có
1
1
2 2 4
i
i
−
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
cos sin cos sin
4 4 4 4 4 4
i i

π π   π π 

= − = − + −

  

  

4.
Biến đổi
sin cosz i
= ϕ + ϕ
thành dạng lượng giác
(
)
(
)
cos sin
2 2
z i
π π
= − ϕ + − ϕ

5.
Xét
1 cos sin
1 cos sin
i
z
i
− ϕ − ϕ
= =

+ ϕ + ϕ

2sin sin .cos
2 2 2
2 cos cos .sin
2 2 2
i
i
ϕ ϕ ϕ
 
−
 
 
ϕ ϕ ϕ
 
+
 
 
tg
2
i
ϕ
 
= −
 
 

−
Nếu
tg 0

2
ϕ
>
, thì dạng lượng giác là
(
)
(
)
tg cos .sin
2 2 2
z i
ϕ

π π 
= − + −





−
Nếu
tg 0
2
ϕ
<
, thì dạng lượng giác là
(
)
tg cos .sin

2 2 2
z i
ϕ
π π
= − +
.
−
Nếu
tg 0
2
ϕ
=
, thì số phức z không có dạng lượng giác xác định.

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Số phức

291

6.
Xét số phức
( )( )
1 cos sin 1 cos sinz i i
= − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ

4sin cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
  

= − +
  
  

( )
2 2
2sin sin cos sin cos cos sin 2 sin sin cos
2 2 2 2 2 2
i i
 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= ϕ + − − = ϕ ϕ − ϕ
 
 
 
 

−
Nếu
sin 0
ϕ >
thì dạng lượng giác là
(
)
(
)
2sin cos .sin
2 2
z i


π π 
= ϕ ϕ − + ϕ −





−
Nếu
sin 0
ϕ <
thì dạng lượng giác là
(
)
(
)
2sin cos .sin
2 2
z i

π π 
= − ϕ ϕ + + ϕ +





−
Nếu
sin 0

ϕ =
, thì do
0z =
, nên không có dạng lượng giác xác định.
2. Dạng 2. Các bài tập về argument của số phức
Bài mẫu.
Tìm một argument của mỗi số phức sau:
1.
5 5 3z i= − +

2.

(
)
1 sin cos ; 0
2
z i
π
= − ϕ + ϕ < ϕ <

3.
( ) ( )
2
cos sin cos sinz i i
= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ

Giải

1.
Số phức

5 5 3z i= − +
biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ O
xy
là điểm M
( )
5; 5 3−

Gọi

MOx
= ϕ
là một argument của
z
thì
5 3
tg 3
5
M
M
y
x
ϕ = = = −
−

⇒

2
3
π
ϕ =

2.
Xét số phức
(
)
1 sin cos , 0
2
z i
π
= − ϕ + ϕ < ϕ <

(
)
(
)
2
1 cos sin 2 sin 2sin cos
2 2 4 2 4 2 4 2
z i i
ϕ ϕ ϕ
     
π π π π π
= − − ϕ + − ϕ = − + − −
     
     

2sin sin cos 2sin cos sin
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
i i


  
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
           
π π π π π π
= − − + − = − + + +
           

  
           

  

Do
0
2
π
< ϕ <
nên
2sin 0
4 2
ϕ
 
π
− >
 
 

⇒

( ) ( ) ( )

2sin cos sin
4 2 4 2 4 2
z i
ϕ ϕ ϕ


π π π
= − + + +





là dạng lượng giác của số phức
z
. Vậy
4 2
ϕ
π
+
là một argument của số phức z.
3.
Xét số phức
( ) ( )
2
cos sin cos sinz i i
= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ

( )
2 2

cos sin 2sin cos cos sini
= ϕ − ϕ + ϕ ϕ+ ϕ+ ϕ

( ) ( )
cos2 cos 2sin cos sin i
= ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ

3 3 3 3
2 cos cos 2sin cos 2 cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= + = +
 
 
(1)
hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương

292

i
Nếu
cos 0
2

ϕ
>
thì z
=

3 3
2 cos cos sin
2 2 2
i
ϕ ϕ ϕ
 
+
 
 
là dạng lượng giác của số
phức
z
. Vậy
3
2
ϕ
là một argument của số phức z.
i
Nếu
cos 0
2
ϕ
<
, thì từ (1) ta có
3 3

2cos cos sin
2 2 2
z i

ϕ ϕ ϕ
   
= − +π + + π
   


   


là dạng
lượng giác của số phức
z
. Vậy
3
2
ϕ
+ π
là một argument của số phức z.
i
Nếu
cos 0 0
2
z
ϕ
= ⇒ = ⇒
argument của số phức z không xác định.

3. Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ
Bài 1.
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:
a.

3 5z z+ + =

b.

1 2z z i− + − =

c.

( )
( )
2 z i z− +
là số thực tùy ý
d.

( )
( )
2 z i z− +
là số ảo tùy ý
e.

2 2z i z z i− = − +

f.

( )

2
2
4z z− =

Giải

Đặt
z x iy z x iy= + ⇒ = −

a.

3 5 2 3 5 1; 4z z x x x+ + = ⇔ + = ⇔ = = −
(hai đường thẳng
1; 4x x= = −
)
b.

( ) ( )
2
1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 2z z i i y y y− + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − = ±

⇔

1 2 2
2
y
±
=
. Vậy tập hợp là hai đường thẳng
1 2 2

2
y
−
=
và
1 2 2
2
y
+
=

c.

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 1 2 1 2 1z z i z x iy x i y x x y y i x y xy
′


= − + = − − + − = − + − + − − −



( )

( )
1
2 1 0 2 2 0 1
2
z x y xy x y y x
−
′
∈ ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = +

d.

( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2
2
5
1
2 2 1 0 1
2 4
z z i z i x x y y x y
′
= − + ∈ ⇔ − + − = ⇔ − + − =

⇒
Tập hợp điểm là đường tròn tâm

(
)
1
1;
2
I
bán kính
5
2
.
e.

2 2z i z z i− = − +

⇔

( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1 1 1x i y i y x y y+ − = + ⇔ + − = +

( ) ( )
2 2
2
1 1 4x y y y⇔ = + − − =

⇒
Tập hợp điểm là đường parabol
2
4

x
y =
.
f.

( )
2
2
4z z− =

⇔

( ) ( )
2 2 2 2
2 2 4x y ixy x y ixy− + − − − =

⇔

4 4ixy =

⇔

1xy =

⇒
Tập hợp điểm là hai đường hypebol
1
y
x
=

và
1
y
x
= −

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Số phức

293

Bài 2.
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao
cho
2
2
z
z
−
+
có một argument bằng
3
π
.
Giải

Giả sử
z x yi= +
. Sử dụng công thức
1 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2
2
2 2 2 2
z a a b b a b a b
i
z
a b a b
+ −
= +
+ +
suy ra:
( )
( )
2
2
2
2
x yi
z
z
x yi
− +
−
=
+
+ +
( ) ( )
2 2
2 2
2 2

4 4
2 2
x y y
i
x y x y
+ −
= +
− + − +
. Để
2
2
z
z
−
+
có một argument
3
π
ϕ =
thì
( ) ( )
(
)
2 2
2 2
2 2
4 4
cos sin
3 3
2 2

x y y
i r i
x y x y
+ −
π π
− = +
− + − +
với
0r >

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
cos
3 2
2
4
3
sin
3 2
2
x y
r
r
x y

y
r r
x y

+ −
π
= =

− +

⇒

π

= =

− +


⇒

( )
2 2
0 1
4
3
4
y
y
x y


>


=

+ −


2 2
4
4
3
y
x y⇒ + − =

2 2
2
2 4
3 3
x y
   
⇒ + − =
   
   

(2)
Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các điểm M là phần đường tròn tâm I
2
0;

3
 
 
 
bán
kính
4
3
R =
nằm phía trên trục thực (trục O
x
).
Bài 3
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn
z
k
z i
=
−
, (k là số thực dương cho trước).
Giải

Giả sử
( )
,z x yi x y= + ∈ 

⇒

( )

( )
2 2
2
2
2
1
1
x yi x y
z
k k
z i
x y i
x y
+ +
= = ⇔ =
−
+ −
+ −
(1)
Nếu
1k =
thì (1)
⇔

1
2
y =
và tập hợp điểm là đường thẳng
1
2

y =

Nếu
1k ≠
thì (1)
⇔

2 2
2 2
2 2
2 0
1 1
k k
x
y y
k k
+ − + =
− −

⇔

( )
2 2
2
2 2
2
1
1
k k
x y

k
k
 
+ − =
 
−
 
−

Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm I
2
2
0;
1
k
k
 
 
−
 
và bán kính bằng
2
1
k
k −

x
y
6 3

2 3

2 3−

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương

294

Bài 4
Trong mặt phẳng phức cho 4 điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức
( ) ( )
4 3 3 ; 2 3 3 ; 1 3 ; 3i i i i+ + + + + +
. CMR: A, B, C, D
∈
một đường tròn.
Giải

Từ giả thiết ta suy ra
( ) ( )
( )
4;3 3 ; 2; 3 3 ; 1;3A B C= + = + =
và
( )
3; 1D =

Ta có
( )
3; 3CA =

biểu diễn số phức
3 3i+
,

( )
1; 3CB =

biểu diễn số phức
1 3i+
,
⇒
Số đo góc
( )
,CA CB
 
là một argument của số phức
1
1 3
3 3
i
z
i
+
=
+

.
Sử dụng
1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
a b i a a b b a b a b
i
a b i
a b a b
+ + −
= +
+
+ +

⇒

1
2 3 3
6
12 12
2 3
i
z i
+
= + =

Vậy số đo góc
( )
,CA CB

 
cũng là một argument của số phức
3 i+
.
Mặt khác
( )
1; 2 3DA = +

biểu diễn số phức
( )
1 2 3 i+ +
,

( )
1; 2 3DB = − +

biểu diễn số phức
( )
1 2 3 i− + +
.
⇒
Số đo góc
( )
,DA DB
 
là một argument của số phức
( )
( )
2
1 2 3

1 2 3
i
z
i
− + +
=
+ +

=
3
2
i+

Vậy số đo góc
( )
,DA DB
 
cũng là một argument của số phức
3 i+
.
Vì các argument của một số phức sai khác nhau
2 ,k kπ ∈
nên


ACB ADB=
.
Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.
4. Dạng 4. Phần thực, phần ảo của một số phức
Bài 1.

Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1.
( )
( )
50
49
1
3
i
i
+
+

2.

(
)
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
− +

3.
10
10
1

z
z
+
, nếu
1
1z
z
+ =

Giải

1.

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
50
25
50
1
49 49 24
49
25 25
2 cos sin
2 cos sin
4 4

1
2 2
1
cos sin
3 3
49 49
2
2 cos sin
3
2 cos sin
6 6
6 6
i
i
i
z i
i
i
i
π π
 
π π
+
+
 
+
 
π π
= = = = +
π π

π π
 
+
+
+
 
 

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Số phức

295

Vậy
( )
1
24 25
1 1
Re cos
3
2 2
z
π
= =
,
( )
1
24 25
3
1

Im sin
3
2 2
z
π
= =

2.

(
)
( )
(
)
9
9
6
2
cos sin 1 3 cos sin 2cos 2 sin
3 3 6 6 3 3
z i i i i i
π π π π π π


= + + = − + +





(
)
(
)
(
)
(
)
9 9 9
9 9 19 19
2 cos sin cos sin 2 cos sin 2 cos sin
6 6 3 3 6 6 6 6
i i i i
π π π π π π π π
= − + + = − + = +

Vậy
( )
9
2
8
3
Re 2 cos
6
2
z
π
= =
,
( )

9
2
8
1
Im 2 sin
6
2
z
π
= =

3.
Xét số phức
10
3
10
1
z z
z
= +
, với
1
1z
z
+ =

Từ
(
)
(

)
2
1 3
cos sin
2 3 3
1
1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
i
z i
z z z
z
i
z i

+
π π
= = +

+ = ⇒ − + = ⇒

−

π π
= = − + −



i
Với
(
)
10 10
3
1
cos sin cos sin
3 3 3 3
cos sin
3 3
z i z i
i
π π π π
 
= + ⇒ = + +
 
π π
+
 
 

(
)
(
)
(
)
10
10

cos sin cos sin
3 3 3 3
i i
π π π π


= + + − + −





(
)
(
)
10 10 10 10
cos sin cos sin
3 3 3 3
i i
π π − π − π
= + + +

10
2 cos 1
3
π
= = −
.
i

Tương tự với
cos sin
3 3
z i
−π −π
= +
ta cũng có
3
1z = −

Vậy
( )
3
Re 1z = −
,
( )
3
Im 0z =

Bài 2.
Cho
cos sinz i
= ϕ + ϕ
. Giả sử
1n ≥
là số nguyên dương.
Chứng minh rằng:
1 1
2 cos ; 2 sin
n n

n n
z n z i n
z z
+ = ϕ − = ϕ
.
Giải

( )
cos sin cos sin
n
n
z i n i n
= ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
;
1 1
cos sin
cos sin
n
n i n
n i n
z
=
= ϕ − ϕ
ϕ + ϕ

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−

Trần Phương

296

5. Dạng 5. Giải phương trình trên trường số phức
Bài 1.
Tìm các căn bậc hai của số phức
11 4 3w i= − +
;
( )
2
1
2
i−

Giải


1.
Giả sử
z x yi= +
là căn bậc hai của số phức
11 4 3w i= − +

Khi đó
( )
( )
2
2 2 2
11 4 3 2 11 4 3z w x yi i x y xyi i= ⇔ + = − + ⇔ − + = − +

2 2
2 2
2
2
2 3
11
11
1; 2 3
2 3
12
2 3
1; 2 3
11
x y
y
x y
x y
x
xy
y x y
x
x
x


− = −
=




− = −
= =
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔

  
=
= = − = −


 


− = −




Vậy số phức
11 4 3w i= − +
có hai căn bậc hai là
1 2
1 2 3 ; 1 2 3z i z i= + = − −

2.
Theo công thức Moivre ta có
( )
2
cos sin cos 2 sin 2i i

ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
.
suy ra
cos sini
ϕ + ϕ
và
cos sini
− ϕ − ϕ
là các căn bậc hai của
cos 2 sin 2i
ϕ + ϕ
.
Ta có
( )
(
)
(
)
2
1 cos sin cos sin
2 4 4 4 4
i i i
π π π π
− = − = − + −
. Từ đó suy ra
( )
2
1
2
i−

có hai căn bậc hai là:
(
)
(
)
1
cos sin
8 8
z i
π π
= − + −
và
(
)
(
)
2
cos sin
8 8
z i
π π
= − − − −

Bài 2.
Giải các phương trình bậc hai
( ) ( )
2
1 3 2 1 0z i z i+ − − + =

Giải


Ta có:
( ) ( )
2
2
1 3 8 1 1 6 9 8 8 2i i i i i i∆ = − + + = − + + + =

Giả sử
( )
2
2
2z x yi i= + =

⇔

2 2
4
1
1; 1
0
1; 1
1
1
y
x y
x y
x
x y

xy
x

=
 = =

− =
 
⇔ ⇔
 

= − = −
=




=


Do đó
1 i+
và
1 i− −
là các căn bậc hai của 2i
⇒
nghiệm
1 2
2 ; 1z i z i= = − +

Bài 3.
Giải phương trình:
4 3 2
1
1 0
2
z z z z− + + + =
(1)
Giải

Do
0z =
không là nghiệm của (1), nên
( )
2
2
1 1 1
1 0
2
z z
z
z
⇔ − + + + =

(
)
(
)
2
5

1 1
0
2
z z
z z
⇔ − − − + =

⇔

2 2
5
0 2 2 5 0
2
u u u u− + = ⇔ − + =
; với
1
u z
z
= −

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Số phức

297

( )
( )
( ) ( )
2
2

1 3 1 3
1
2 1 3 2 0 ; 8 6 2
2 2
1 3 1 3
1
2 1 3 2 0 ; 8 6 3
2 2
i i
u z
z i z i
z
i i
z i z i
u z
z
+ +
 
= − =

− + − = ∆ = +
 
⇔ ⇔ ⇔

 
− −
− − − = ∆ = −


= − =

 
 

Giả sử
( )
2
2
8 6z x yi i= + = +

⇔

2 2
4 2
3
3; 1
8
3; 1
3
8 9 0
y
x y
x y
x
x y
xy
x x

=

= =

− =
 
⇔ ⇔
 

= − = −
=




− − =


Do đó
3 i+
và
3 i− −
là các căn bậc hai của 8+6
i

⇒

1 2
1 1
1 ;
2 2
z i z i= + = − +

Tương tự

3 ; 3i i− − +
là các căn bậc hai của 8
−
6
i

⇒

3 4
1 1
1 ;
2 2
z i z i= − = − −

Vậy phương trình có 4 nghiệm
1 2 3 4
, , ,z z z z
.
Bài 4.
Giải phương trình:
5 4 3 2
1 0z z z z z+ + + + + =
(1)
Giải

( ) ( ) ( )
4 2
1 1 1 1 0z z z z z⇔ + + + + + =

( )

( )
4 2
4 2
1
1 1 0
1 0
z
z z z
z z
= −

⇔ + + + = ⇔

+ + =


4 2 2
1 3
1 0
2
i
z z z
− ±
+ + = ⇔ =

(
)
(
)
2

2
3
2 2
1
cos sin
2 2 3 3
3
2 2
1
cos sin
2 2 3 3
z i i
z i i

π π
= − + = +

⇔


π π
= − − = − + −



Từ
2
2 3
2 2
cos sin cos sin cos sin

3 3 3 3 3 3
z i z i z i
π π π π π π
= + ⇔ = + ∨ = − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5
2 2
cos sin cos sin cos sin
3 3 3 3 3 3
z i z i z i
π π π π π π
= − + − ⇔ = − + − ∨ = − − − −

Vậy (1)
⇔

1 2 3
3 3
1 1
1; ;
2 2 2 2
z z i z i= − = + = − −
;
4 5
3 3
1 1
;
2 2 2 2

z i z i= − = − +
.
Bài 5.
Giải hệ phương trình hai ẩn phức
1 2
,z z
sau:
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +



+ = −



Giải

Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2

1 2 1 2 1 2
1 1
4 5 2 5 1
2 2
z z z z z z i i i
   
= + − + = + − + = +
 
 

⇒

1 2
,z z
là các nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
4 5 1 0z i z i− + + + =

Vậy nghiệm của hệ là
( )
3 ; 1 2i i− +
và
( )
1 2 ; 3i i+ −

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−

−
Trần Phương

298

6
. Dạng 6. Các bài toán về môđun số phức
Bài 1.
Chứng minh rằng:
( )
2 2 22
1 2 1 2
1 2
2z
z z zz z+ + = +−
,
∀

z
1
,
z
2
∈


Giải
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2

2z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = +

Bài 2. a.
CMR:
( )( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z z z z z+ + − = + +
,
∀

z
1
,
z
2
∈


b.

CMR:
( )( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z z z z z− − − = − −
,
∀

z
1
,
z
2
∈


Giải
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = + +

( )( )
2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z− − − = − − + − + + − = − −

Bài 3.
CMR:
( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
i i i i
4

z z z z z z z z z z= + − − + + − −

∀

z
1
,
z
2
∈


Giải

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
i i i iz z z z z z z z+ − − + + − −

=

( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z z z z z z z z z z z z z+ + + − − − +


( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
i i i i 4z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − + − − − + + =

Bài 4.

CMR:
( )
( )
2 2 2
1 2
1
Re Re
n
n k
k
z z z z
=
+ + + ≤
∑
,
∀
z
1
,
z
2
, ,
z
n
∈


Giải
Đặt
2 2 2

1 2
i ; i
k k k n
z x y z z z a b= + + + + = +
trong đó
, , ,
k k
x y a b ∈ 

⇒

2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −
∑ ∑
;
1
n
k k
k
ab x y
=
=
∑
.Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski

ta có:
2 2
1 1 1
n n n
k k k k
k k k
x y x y
= = =
≤ ⋅
∑ ∑ ∑

⇔

2 2
1 1
n n
k k
k k
ab x y
= =
≤ ⋅
∑ ∑
. Từ bất đẳng thức
hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Số phức

299

này suy ra nếu
2

1
n
k
k
a x
=
>
∑
thì
2
1
n
k
k
b y
=
≤
∑

⇒

2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− > −
∑ ∑

. Điều
này mâu thuẫn với
2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −
∑ ∑
.
Vậy
2
1
n
k
k
a x
=
≤
∑

⇔

( )
( )
2 2 2
1 2
1

Re Re
n
n k
k
z z z z
=
+ + + ≤
∑

Bài 5.
Cho
a
,
b
,
c
,
d
∈

với
ac

≠
0. Chứng minh rằng:

{
}
{ } { }
Max ; ;

5 1
2
Max ; Max ;
ac ad bc bd
a b c d
+
−
≥
⋅
(1)
Giải
Đặt
2
5 1
, , 1
2
b d
x y k k k
a c
−
= = = ⇒ = −
, khi đó:
(1)
⇔

{
}
{
}
{

}
Max 1; ; .Max 1; . Max 1;x y xy k x y+ ≥
(2)

Nếu
|
x
|

≥
1,
|

y
|

≥
1 thì (2) đúng vì
|
xy
|

≥

k
.
|
x
|
.

|
y
|
(
k
<1)

Nếu
|
x
|

≤
1,
|

y
|

≤
1 thì (2) đúng vì
k
< 1

Xét
|
x
|
< 1,
|

y
|
> 1. Ta sẽ chứng minh:
{
}
Max 1; ; .x y xy k y+ ≥
(3)
Giả sử
{
}
Max 1; ;x y x y k y+ <

⇒

1
y
k
>
và
x y k y+ <

Ta có:
( )
2
1x x y y x y x y y k y k y k y+ + ≥ ⇒ ≥ − + > − = − =

⇒

2
2

x y k y k y≥ >

⇒
Mâu thuẫn.
Do (3) được chứng minh
⇒
(2) đúng
⇒
(1) đúng.

Chứng minh tương tự với
|
x
|
> 1,
|
y
|
< 1 thì
{
}
1; ;Max x y xy k x+ ≥
(4)
Do (4) đúng
⇒
(2) đúng
⇒
(1) đúng
Bài 6.
Cho

z
1
,
z
2
, z
3
, z
4
∈

. Chứng minh:
1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +
∑

Giải
hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương

300

Sử dụng bất đẳng thức:
|
a
+
b
|

≤

|
a
|
+
|
b
|

∀
a
,
b
∈



Ta có:
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
2 2z z z z z z z z z z− + ≤ + + ≤ + + +

Từ đó suy ra:
1 1 2 1 3 2 3
1
2
z z z z z z z


≤ + + + + +



Tương tự ta có:
2 2 3 2 4 3 4
1
2
z z z z z z z


≤ + + + + +



3 3 4 3 1 4 1
1
2
z z z z z z z


≤ + + + + +




4 4 1 4 2 1 2
1
2
z z z z z z z


≤ + + + + +



Cộng các bất đẳng thức
⇒

1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +
∑

Đẳng thức xảy ra
⇔
(
z
1
,

z
2
,
z
3
,
z
4
) là một hoán vị của (
a
,
a
,
−
a
,
−
a
) với
a
∈


Bài 7.
Cho
, , 0a b c
a b c abc
≥



+ + =

Chứng minh: T
=
2 2 2
1 1
1
1 1 1 2 3
a b c
+ + + + + ≥

Giải
Từ giả thiết
1 1 1
1 1
a b c
a b c abc
abc ab bc ca
+ +
+ + = ⇒ = ⇔ + + =

Coi các biểu thức chứa căn là môđun của các số phức, khi đó ta có
2
, ,
i 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 i 9 9 3 2 3
a b c
T
a a b c a b c ab bc ca
     

= + ≥ + + + = + + + ≥ + + + =
     
     
∑

Bài 8.
Cho đa thức
( )
2
2
1
4
4 4
n
n
z z z
f z = + + + +
. Chứng minh rằng:

∀
z
1

≠

z
2
∈

thỏa mãn

|

z
1
|
,
|

z
2
|

≤
1 thì
( ) ( )
1 2
1 2
8
z z
f z f z
−
− >

Bài 9.
Giả sử
z
1
,
z
2

, ,
z
n
là các nghiệm phức của đa thức

P
(
z
) =
[ ]
1
1 1

n n
n n
z a z a z a z
−
−
+ + + + ∈

a.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2 2
2
n
z z z a+ + + ≥

b.
Chứng minh rằng: Nếu

t
1
,
t
2
, ,
t
n

−
1
là các nghiệm phức của đa
thức
P
′
(
z
) thì ta có bất đẳng thức sau luôn đúng
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2
2

n n
n
t t t z z z
n
−
−
+ + + ≤ + + +

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !