Chuyên đề luyện thi đại học hàm số mũ LOGARIT - huỳnh đức khánh_01 pdf

CHUYEÂN ÑEÀ
LUYỆN THI ðẠI HỌC


HµM Sè
HµM Sè HµM Sè
HµM Sè Mò
Mò Mò
Mò – LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT

Quy nhơn, năm 2011
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 1


DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Phương trình mũ cơ bản có dạng :
x
a m
=
, trong đó
0, 1
a a
> ≠
và m là số

đ
ã cho.

●
N
ế
u
0
m
≤
, thì ph

ươ
ng trình
x
a m
=
vơ nghi
ệ
m.
●
N
ế
u
0
m
>
, thì ph
ươ
ng trình
x
a m
=
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
log .
a
x m
=

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52
+ −
+ − =
2)
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +

3)
x x 1
3 .2 72
+
=
4)
x 1 x 2
3 2.3 25
+ −
− =

5)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+ − −
+ = +

6)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49
−
   
− =
   
   
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình logarit cơ bản có dạng : log
a
x m
=
, m là số đã cho.
● ðiều kiện :
0
0 1
x
a



<
< ≠

● Phương trình có nghiệm :
m

x a
=
.

Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =
2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
− − − + =

3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + − =
4)
(

)
x 1
2
log 2 5 x
+
− =

5)
( )( )
2 2
x 1
log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
6)
2
x
x
log 16 log 7 2
− =
.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Sử dụng cơng thức :
a a
β
α
α β

= ⇔ =
.

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
2 3x
3
x x x 3
1
9 27 . 81
3
−
+
 
=
 
 
2)
x 1 2x 1
4.9 3 2
− +
=
.
CHUYÊN ĐỀ 1.



PHƯƠNG

TRÌNH

MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH

trang 2

B PHNG TRèNH LOGARIT.
S dng cụng thc :
(
)
0 0
log log
b c
b c
a a
b c





> >
=
=
.

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau :
1)
(
)

(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
2)
( )
( )
( )
2 2
x 3
1
log 3x 1 2 log x 1
log 2
+
+ = + +

3)
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2

+ = +

4)
(
)
( )
2
2
4 4 4
log x 1 log x 1 log x 2
=

5)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x
+ + = + +

6)
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + =
.

DAẽNG 3. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ

A PH

NG TRèNH M

.
Ph

ng trỡnh d

ng :
2
. . 0
x x
a a

+ + =
.



t :
0
x
t a
>
=
.

Khi
ủ

ú ta
ủ
c ph

ng trỡnh b

c hai :
2
0
t t

+ + =
.

Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau :
1)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ +
=

2)
3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0

+ +
=

3)
3x x
3x x 1
8 1
2 6 2 0
2 2


=


.

Ph

ng trỡnh d

ng :
. . 0
x x
a a


+ + =
.
t :
0

x
t a
>
=
. Suy ra :
1
0
1
x
x
a
a t

= = >
.

Khi
ủ
ú ta
ủ
c ph

ng trỡnh b

c hai :
2
1
0 0
t
t t t

+ + = + + =
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 3


Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =

2)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
.

Phương trình dạng :
. . 0
x x

a b
α β γ
+ + =
. Với
. 1
ab
=
.
● ðặt :
0
x
t a
>
=
. Suy ra :
1
x
b
t
=
.
●
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ

c hai :
2
1
0 0
t
t t t
α β γ α γ β
+ + = ⇔ + + =
.

Bài 3. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
− + + =

2)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =
.
Ph

ươ
ng trình d
ạ
ng :
( )
2 2
. . 0
x
x x
a ab b
α β γ
+ + =
.
●
Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho :
2
x
a
( ho
ặ
c
2
x
b
)
●

Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
2
0
x x
b b
a a
α β γ
   
   
   
+ + =
.
ðặ
t :
0
x
b
t
a
 
 
 

= >
.

Bài 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
2 2 2
x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =

2)
1 1 1
x x x
6.9 13.6 6.4 0
− + =

3)
x x x
27 12 2.8
+ =
.

Phương trình dạng :
( ) ( ) ( )

. .
f x g x h x
a
a a
α β αβ
+ − =
. Với
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
= +
.
● ðặt :
( )
( )
( ) ( ) ( )
.
0

0
f x
h x f x g x
g x
v
u a
a a u

v a
+





= >
⇒ = =
= >

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 4

● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai :
(
)
(
)
. .
u v uv v u v
α β αβ α β α
+ − = ⇔ − = −

( )( )
.
0
u
v u

v
β
α β
α



=
− − = ⇔
=

Bài 5. Giải các phương trình sau :
1)
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

2)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +

3)
( )
2
2 2

x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+ −
+ = +

4)
x x x
8.3 3.2 24 6
+ = +
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình có chứa :
log , log , log
k
a a x
x x a
.
● ðặt :
log
a
t x
=
. Suy ra :
, .
1
log log
k k
x

x
a t a
t
= =


Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +
2)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−

3)
(
)
2 x 1
log x 1 log 16
+

+ = 4)
(
)
(
)
x 1 x
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =

5)
2 2
2 x
log x.log (4x ) 12
=
6)
(
)
2
x 25
log 125x .log x 1
=
.

Ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :

(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x
=
.
●

ðặ
t :
(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x A
= =
.
●
Khi
ñ
ó :
(
)

( )
( )
( )
1

2
log log log
log
log log
A
A
a
b
b
a
a
b
x A x a
x b
x A


 
⇔
 




= =

=
=
. Suy ra :
log
log
A
A
A
b
a
a
b
x
a
x b
 
= =
 
 


1

log log log log log
log
A A A
x x
b b b
a
a a a

b b b
x a x x a
x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ =
     
     


( )

.
log log log
A
a
b b
b
a
a A a
b
 
⇔ =
 
 
⇔ =
●
T
ừ
(1) suy ra :
log log

.
b
a
b
a
A
a a
x b b
 
 
 
= =


Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 5

Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
2 3
log log x
x = 2)
(
)
(
)
2 3 3 2
log log log log
x x

=

3)

7 3
log x log ( x 2)
= +

4)

(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
.

Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản.
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp.
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình.
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x.

Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =

2)
3
2 lgx 1 lgx 1
− = − −

3)
(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2. 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =
.
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
● Dạng 1 :
(
)
( )

0 1, 0

log .
f x
a
a b
a b
f x b





< ≠ >
= ⇔
=

●
D
ạ
ng 2 :
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )

log log .lo
g

f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
= ⇔ = ⇔ = .

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
4
4
3 log x 1
log x 2
x 2
−
−
=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=

−
+ − + +

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
x
log 5
6 5
x .5 5
−
−
=
2)
lgx 2
x 1000x
=

3)
x x
3 2
2 3
=
3)
2
x 2x x

2 .3 1,5
−
=

5)
2
x x
5 .3 1
=
6)
x
x
x 2
3 .8 6
+
=
.

DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Ph
ươ
ng pháp : Nh
ẩ
m nghi
ệ
m và s
ử
d
ụ
ng tính

đơ
n
đ
i
ệ
u
để
ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Ta th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các tính ch
ấ
t sau :
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang
6

● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng
(

)
;
a b
thì phươ
ng trình :
(
)
f x C
=
có không quá m
ộ
t nghi
ệ
m trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(

)
0
;
x a b
∈
sao cho
(
)
0
f x C
=
thì
ñ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
f x C
=
.
●
Tính ch
ấ

t 2 : N
ế
u hàm f t
ă
ng trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
và hàm
g là hàm m
ộ
t hàm gi
ả
m
trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
thì ph
ươ
ng trình
(
)
(

)
f x g x
=
có nhi
ề
u nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m trong
kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(
)

0
;
x a b
∈
sao cho
(
)
(
)
0 0
f x g x
=
thì
ñ
ó là nghi
ệ
m
duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
f x g x
=

.

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x x x
3 4 5
+ =

2)
x x
4 3 1
− =

3)
(
)
(
)
x x
x
2 3 2 3 4
− + + =
.
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
2
log x 3 x
= −
2)
x

3
2 2 log x
= −

3)
x
2 3 x
= −
4)
2
log x
x 2.3 3
+ =
.


BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
82
3log x
log x
2x 2x 5 0
−
+ − =
2)
3 3
2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4
4 2 4 2
+ + + + + −
+ = +

3)
(
)
(
)
2 2
3 3 3
log x 5x 6 log x 9x 20 1 log 8
+ + + + + = +
4)
(
)
2 4
log x log x 3 2
− − =

5)
( )
( )
2
8 8
4
2log 2x log x 2x 1
3
+ − + =
6)
x 27 3
3
log 3 3log x 2log x

4
− =
7)
2 2
x
log 2 log 4x 3
+ =
8)
(
)
(
)
x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6
+ − = −

9)
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + +
10)
82
4 16
log 4x

log x
log 2x log 8x
=

11)
(
)
(
)
x 1
x
log cos x sin x log cosx cos2x 0
− + + =
12)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang
7

13)
( )
( )
( )

2
1 2
2
2
1
2
3
log x 1 log x 1 6
2
log x 1
2 log x 1
 
+ − + −
 
 
= +
+ +
14)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
=

15)
( ) ( )
2 3
4 2 2
1
log x 1 log x 2 2log 4 x 1
3

+ = + + − +
16)
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0
− =

17)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2
 
 
+ + =
18)
(
)
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + =

19)
( ) ( )
3

1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
+ − − − − =
20)
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8.
+ =

21)
2 3 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
− + + + =
22)
x
3
1 6
3 log 9x
log x x
 
+ = −
 
 

23)
4 2
2x 1

1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
24)
(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ =

25)
(
)
( )
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
− +
+ − + − =
26)
2 1
2
2log 2x 2 log 9x 1 1
+ + − =

27)

( )
x x
2 2
x
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
+ + + =
−
28)
(
)
(
)
3
log log x log log x 2 0
+ − =

29)
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − =
30)
( ) ( )

2
3
3
log x 1 log 2x 1 2
− + − =

31)
( ) ( )
2
2 4 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
+ + − + =
32)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =

33)
(
)
(
)
2
2
2 2 2
log x x 1 log xlog x x 2 0

− + − − =
34)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =

35)
2
2 2 3 2 3
log x log x log x log xlog x 0
− + − =
36)
(
)
(
)
3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2
− + + =
.
HẾT

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 1



DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
●
0 1
a
< <


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )


f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(ngh
ị
ch bi

ế
n)
●

1
a
>


( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )


g x
f x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(đồng biến)
Ví dụ 1. Giải bất phương trình :
2
x x 1
x 2x
1
3

3
− −
−
 
≥
 
 
.


- ðiều kiện :
2
x 0
x 2x 0
x 2
≤

− ≥ ⇔

≥

.
- Bất phương trình
2
x x 1
x 2x 2
3 3 x 2x x x 1
− −
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ − −

(1)
+ Nếu
x 0
≤
thì
x 1 1 x
− = −
, khi đó
( )
2
1 x 2x 2x 1
⇔ − ≥ −
(lng đúng vì
x 0
≤
)
+ Nếu
x 2
≥
thì
x 1 x 1
− = −
, khi đó
( )
2 2
1 x 2x 1 x 2x 1 0
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥

( )
( )

x 1 2 loai

x 1 2 chon

≤ −
⇔

≥ +



- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
]
)
S ;0 1 2;

= −∞ ∪ + +∞

.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2

3
3
log x
log x
3 x 6
+ ≤
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Ta có :
( )
(
)
2
3
3
3 3
log x
log x
log x log x
3 3 x= =
.
- Khi đó bất phương trình
(
)
3 3 3 3
log x log x log x log x
3 3

x x 6 x 3 log x log 3
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

( )
2
3 3 3 3
1
log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3.
3
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
1
S ;3
3
 
=
 
 
.

CHUYÊN ĐỀ 2.


BẤT

PHƯƠNG

TRÌNH

MŨ – LOGARIT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 2

BÀI TẬP.
1)
3
x 2
log
x
5 1
−
<
2)
( )
2
log x 1
2
3 1
2 3
x
log log 2 3
2
1
1
3
−
 
 

 
+ +
 
 
 
 
 
 
≥
 
 

3)
1 1
2
2 2 2
log x log x
log x
5 x .2 6.x+ >
4)
2 2
1 3
log x log x
2 2
2.x 2≥
.

B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
●
0 1

a
< <


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)

●

1

a
>


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < >
≥ ⇔ < ≥
(
ñồ
ng bi
ế
n)

Ví dụ . Giải bất phương trình :
1 2
3

1 2x
log log 0
1 x
+
 
>
 
+
 

- Bpt
2
2
1 2x 1 2x
0 0
1 2x x
1 x 1 x
1 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x

log 0 1
1 2x 1
1 x 1 x
2 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x
log 1 2
1 x 1 x
+ +

 
> >
 
+
+ +  
> >
 
 
   + +
+ +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
> >
   
+ −
+ +
   
> <
 
 
+ +
+ + 
< <
 
+ +
 


x 1 x 0
x 0
x 1

< − ∨ >

⇔ ⇔ >

> −

.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;
= +∞
.
BÀI TẬP.
1)
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
 
+
<
 
+
 
2)
(
)
2

π 2
4
log log x 2x x 0
 
+ − <
 
 

3)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
− + + − > −
4)
3
2x 3
log 1
1 x
−
 
<
 
−
 

5)

(
)
(
)
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
6)
(
)
x x
2
log 7.10 5.25 2x 1
− > +

7)
( ) ( )
25 5 1
5
1
2log x 1 log .log x 1
2x 1 1
 
− ≥ −
 
− −
 
8)

2
2x
x
log 64 log 16 3.
+ ≥