Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức và áp dụng doc

THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
1
CHUYÊN : S PHC VÀ ÁP DNG
Trc ht cn thy rng phn s phc mi đc đa vào ging dy trong chng trình THPT mt s
nm gn đây nên nhng kin thc trình bày trong SGK mang tính cht ht sc đn gin và khá s
sài, hc sinh có th t đc và nghiên cu đc. Trong mt s đ thi H nhng nm gn đây thì phn
s phc cng đc đa vào vi nhng bài tp rt c bn, không mang tính đánh đ và ch cn nm
đc kin thc trong SGK là có th làm đc. S phc có rt nhiu ng dng trong đi s, hình hc
và lng giác, gii quyt đc nhiu bài toán hay và khó. Vì đi vi hs ph thông ln đu tiên tip
xúc vi s phc nên cn lu ý mt s đim sau đây:
Th nht: V vic xây dng tp s phc thì SGK ko trình bày( vì nhiu lý do), chúng ta ch cn
hiu rng nó là mt tp m rng ca tp s thc và vì th các phép toán trong tp phc( cng, nhân)
cng có nhng tính cht nh trong tp thc ( phân phi, giao hoán, kt hp,…). Chng hn vi a và
b là 2 s thc thì ta có:
2 2 2
(a b) a 2ab b
   
và khi đó nu z và w là 2 s phc thì ta cng thu đc
2 2 2
(z w) z 2zw w
    .
Th hai: Tp s thc là mt tp sp thc t, tc là vi 2 s thc a và b bt k ta đu s sánh đc
vi nhau ( a = b hoc a > b hoc a < b), còn tp s phc thì không nh vy: Ta ch có th nói rng
hai s phc bng nhau khi phn thc và phn o tng ng bng nhau còn không h có quan h
“ ln hn” hay “ nh hn” gia hai s phc. Chng hn: Ta ko th nói rng vì 2 > 1 và 4 > 3 nên
2 + 4i > 1 + 2i hay là: Vì
2 2
x 0, x z 0, z
      
 
. Mt sai lm nh th còn đc th hin

trong vic gii pt:
2 2
(z 1)(z 1) 0, z
   

, vì
2
z 1 1 0
  
nên pt ch còn là:
2
z 1 0 z 1
    
?!!!
Th ba: Không nên s dng kí hiu
đ ch cn bc hai ca mt s phc vì mi s phc
w 0

thì
luôn có hai cn bc hai đi nhau. Ta bit rng:
4 2

nhng vì
2 2
(2i) ( 2i) 4
   
nên s - 4 có hai
cn bc hai là
2i


và vì th
4 2i
  
. Hn na nu s dng kí hiu trên thì có th mc sai lm khi
tính toán: Nu s dng
1

đ ch cn bc hai ca – 1 thì ta phi có:
1

.
1

= -1. Tuy nhiên
cng có th vit:
1

.
1

=
( 1).( 1) 1 1
   
và nh vy 1 = -1 ?!!!
Th t: Vic đa ra đn v o “ s i” và có: i
2
= -1 là rt gng ép bi vi kin thc đc trang b
trong SGK thì HS ko th bit đc “ i là cái gì?” và ti sao i
2
= - 1?. HS ch cn hiu rng: Khi m

rng mt tp s mi, ngi ta s đnh ngha s mi đó theo mt cách khác và các phép toán áp dng
cho s mi đó cng phi đc xây dng li. Tuy nhiên vì nhiu lí do, nhng kin thc đó ko trình
bày trong SGK.
Th nm: nh lý Viet thun và đo vn đúng trong trng hp phng trình bc 2 vi h s phc.
Vic nhm nghim, phân tích thành tha s,…vn đc tin hành bình thng nh trên tp s thc.
Chuyên đ trên đc chia thành 3 chuyên đ nh nh sau:
Chuyên đ 1: Dng đi s ca s phc
Chuyên đ 2: Dng lng giác ca s phc
Chuyên đ 3: ng dng ca s phc.

THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
2
CHUYÊN  1: DNG I S CA S PHC
A. TÓM TT LÝ THUYT
1. Mt s phc là mt biu thc có dng a + bi, trong đó a, b là các s thc và s i tho mãn i
2
= -1.
Ký hiu s phc đó là z và vit z = a + bi .
i đc gi là đn v o
a đc gi là phn thc ; b đc gi là phn o ca s phc z = a + bi
Tp hp các s phc ký hiu là

.
*) Mt s lu ý:
- Mi s thc a đu đc xem nh là s phc vi phn o b = 0.
- S phc z = a + bi có a = 0 đc gi là s thun o hay là s o.
- S 0 va là s thc va là s o.
2. Hai s phc bng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Khi đó: z = z’ 
'

'
a a
b b





3. Biu din hình hc ca s phc.
Mi s phc đc biu din bi mt đim M(a;b) trên mt phng to đ Oxy.
Ngc li, mi đim M(a;b) biu din mt s phc là z = a + bi .
4. Phép cng và phép tr các s phc.
Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta đnh ngha:
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
    


    

z z a a b b i
z z a a b b i
5. Phép nhân s phc.
Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta đnh ngha:
' ' ' ( ' ' )
   
zz aa bb ab a b i
6. S phc liên hp.
Cho s phc z = a + bi. S phc
z

= a – bi gi là s phc liên hp vi s phc trên.
V
y
z
=
a bi

= a - bi
Chú ý: +)
z
= z  z và
z
gi là hai s phc liên hp vi nhau.
+) z.
z
= a
2
+ b
2
*) Tính cht ca s phc liên hp:
(1):
z z

(2):
' '
  
z z z z
(3):
. ' . '
z z z z


(4): z.
z
=
2 2
a b

(z = a + bi )
(5):
1 1
2
2
 

 
 
z z
z
z
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
3
7. Môđun ca s phc.
Cho s phc z = a + bi . Ta ký hiu
z
là môđun ca s phc z, đó là s thc không âm đc
xác đnh nh sau:
- Nu M(a;b) biu din s phc z = a + bi, thì
z
=
OM


=
2 2
a b

- Nu z = a + bi, thì
z
=
.
z z
=
2 2
a b

*) Chú ý:
+) Nu z là s thc (z=a+0i),
2
| |
| |


az
a
. Vy Môđun ca mt s thc chính là giá tr tuyt
đi ca s y.
+)
2 2 2 2
|
| |
|

| |
    
a b a z a
z ≥ a.
Tng t
| |
| |
 
z
b b
*) Tính cht ca Môđun s phc:
| | 0
0

 
z
z
;
1 2 1 2
| | |
|
| |

z z z
z ;
1 1
2 2
| |
| |


z z
z z
Tht vy:
2 2
|
0
| 00 0     
 
a b a b zz
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
| | ( )( ) ( )( ) | | | |
   
z z z z z z z z z z z z z z z z
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
| | | | | | | | | || |
   
z z z z z z z z
8. Phép chia s phc khác 0.
Cho s phc z = a + bi ≠ 0 (tc là a
2
+b
2
> 0 ). Ta đnh ngha s nghch đo z
-1
ca s phc z ≠ 0
là s z
-1
=

2
2 2
1 1
z z
a b
z


Thng
'
z
z
ca phép chia s phc z’ cho s phc z ≠ 0 đc xác đnh nh sau:
1
2
' '.
.
z z z
z z
z
z

 
Vi các phép tính cng, tr, nhân chia s phc nói trên nó cng có đy đ tính cht giao hoán, phân
phi, kt hp nh các phép cng, tr, nhân, chia s thc thông thng.
B. BÀI TP VN DNG
I. BÀI TP V BIN I S PHC.
VD1 : Cho s phc z =
3 1
2 2

i

. Tính các s phc sau:
z
; z
2
; (
z
)
3
; 1 + z + z
2
Hng dn
Vì z =
3 1
2 2
i


z
=
3 1
2 2
i

Ta có : z
2
=
2
3 1

2 2
i
 

 
 
 
=
2
3 1 3
4 4 2
i i
  =
1 3
2 2
i
  (
z
)
2
=
2
2
3 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
i i i i
 
     
 
 

 

(
z
)
3
=(
z
)
2
.
z
=
1 3 3 1 3 1 3 3
2 2 2 2 4 2 4 4
i i i i i
  
      
  
  
  
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
4
Ta có: 1 + z + z
2
=
3 1 1 3 3 3 1 3
1
2 2 2 2 2 2
i i i

 
     
Nhn xét: Trong bài toán này, đ tính


3
z
ta có th s dng hng đng thc nh trong s thc.
VD2: Tìm s phc liên hp ca:
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
   

Hng dn
Ta có :
3 3
5 5
(3 )(3 ) 10
i i
z i i
i i
 
     
 
. Suy ra s phc liên hp ca z là:
53 9
10 10

z i
 
VD3: Tìm mô đun ca s phc
(1 )(2 )
1 2
i i
z
i
 


Hng dn
Ta có :
5 1
1
5 5
i
z i

  
. Vy, mô đun ca z bng:
2
1 26
1
5 5
z
 
  
 
 

.
VD4: Tìm các s thc x, y tho mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Hng dn
Theo gi thit: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)I  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

3 2 1
5
x y y
x x y
  


 

. Gii h này ta đc:
1
7
4
7
x
y

 








VD5: Tính: i
105
+ i
23
+ i
20
– i
34
Hng dn
 tính toán bài này, ta chú ý đn đnh ngha đn v o đ t đó suy ra lu tha ca đn v o nh
sau:
Ta có: i
2
= -1; i
3
= -i; i
4
= i
3
.i = 1; i
5
= i; i
6
= -1…
Bng quy np d dàng chng minh đc: i
4n
= 1; i
4n+1
= i; i
4n+2

= -1; i
4n+3
= -i;  n  N
*
Vy i
n
 {-1;1;-i;i},  n  N. Nu n nguyên âm, i
n
= (i
-1
)
-n
=
 
1
n
n
i
i


 
 
 
 
.
Nh vy theo kt qu trên, ta d dàng tính đc:
i
105
+ i

23
+ i
20
– i
34
= i
4.26+1
+ i
4.5+3
+ i
4.5
– i
4.8+2
= i – i + 1 + 1 = 2
VD6: Tính s phc sau: z = (1+i)
15
Hng dn
Ta có: (1 + i)
2
= 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)
14
= (2i)
7
= 128.i
7
= -128.i
z = (1+i)
15
= (1+i)
14

(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
5
VD7: Tính s phc sau: z =
16 8
1 1
1 1
i i
i i
 
   

   
 
   
Hng dn
Ta có:
1 (1 )(1 ) 2
1 2 2
i i i i
i
i
  
  


1
1
i
i

i

 

. Vy
16 8
1 1
1 1
i i
i i
 
   

   
 
   
=i
16
+(-i)
8
= 2
VD8: Tìm phn thc và phn o ca s phc
3
2
(3 2 )(2 5 )
(3 )
(4 3 )
i i
z i
i

 
  

Hng dn
Tính liên hp ca 2+5i là 2-5i ri nhân vi 3+2i, đc 16-11i
Khai trin bình phng ca 4+3i, đc 7+24i
Nhân t và mu vi 7-24i, đc (-152- 461i)/25
Khai trin (3+i)
3
, đc 18+26i
Thc hin phép tr, kt qu cui cùng là : Phn thc: -602/25 , phn o: -696/25
 bài Hng dn áp s
1.T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc

z x yi
 
tho¶ m·n
3
18 26
z i
  .
3 2
3
2 3
3 18
18 26
3 26
x xy
x yi i
x y y


 

   

 


( )
t y = tx
x 3, y 1
 
2 .Cho hai sè phøc
1 2
z z
,
tho¶ m·n

1 2 1 2
1 3
z z z z   ; .
TÝnh
1 2
z z

.
1 1 1 2 2 2
z a b i z a b i
   ; .
2 2 2 2

1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3

   



   


a b a b
a a b b
( ) ( )
1 2
1
 
z z
3.(B – 2009) :Tìm s phc z tha mãn:
|z-(2+i)|=
10
và z.
z
=25
Rt đn gin
z = 3+4i
z = 5.
4.(A – 2010): Cho

3
(1 i 3)
z
1 i



.
Tìm môđun ca s phc:
z iz

Làm bình thng
8 2
5. (D – 2010): Tìm s phc z sao cho

z 2
 và z
2
là s thun o ( hay o)
Rt nh nhàng
1 i
 
( có 4 s)
6.Tìm s phc z bit z
2
+ |z| = 0
R
t đn gin
z= 0; z = i;
z = -i

7.Tìm s thc x, y tha mãn đng thc :
x(3+5i) + y(1-2i)
3
= 9 + 14i
Rt nh nhàng
II. BÀI TP V CHNG MINH
Trong dng này ta gp các bài toán chng minh mt tính cht, hoc mt đng thc v s phc.
 gii các bài toán dng trên, ta áp dng các tính cht ca các phép toán cng, tr, nhân, chia, s
phc liên hp, môđun ca s phc đã đc chng minh.
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
6
VD9: Cho z
1
, z
2


. CMR: E =
1 2 1 2
.
z z z z
 

Hng dn
Nhng bài toán dng này thng có 2 cách gii.
*) Cách s 1: Chn ra phn t đi din.
1 1 1
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2
z a b i

E z z z z (a b i)(a b i) (a b i)(a b i) 2a a 2b b E
z a b i

 

            

 


Tuy nhiên cách trên đôi khi quá dài dòng, mang tính cht tính toán và bin đi quá nhiu. Quá lm
dng s nh hng ko tt đn vic rèn luyn t duy.
*) Cách s 2: S dng mt tính cht quan trng ca s phc liên hp đó là: z 

 z =
z
Ta có
E
=
1 2 1 2 1 2 1 2
.
z z z z z z z z
   = E  E 

( Tht tuyt vi phi ko?)
VD10: Chng minh rng: a) E
1
=





7 7
2 5 2 5
i i   

b) E
2
=
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
 
   

   
 
   


Hng dn
a) Ta có:
1
E
=
           
7 7 7 7 7 7
1

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5
i i i i i i E
           
 E
1


   
   
2
19 7 (9 ) 20 5 (7 6 )
19 7 20 5
)
9 7 6 82 85
164 82 170 85
2 2
82 85
   
   
 
   
   
   
   
 
   
   
 
   
     

   
   
n n
n n
n n
n n
i i i i
i i
b E
i i
i i
i i

2 2
E E

 E
2


VD11: Cho z 

. CMR:
1
1
2
z   hoc |z
2
+ 1| ≥ 1
Hng dn

Ta chng minh bng phn chng: Gi s
2
1
1
2
1 1
z
z

 



 

. t z = a+bi  z
2
= a
2
– b
2
+ 2a + bi
2
1
1
2
1 1
z
z


 



 


2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
(1 )
2( ) 4 1 0
2
( ) 2( ) 0
(1 ) 4 1
a b
a b a
a b a b
a b a b


  
   
 

 
   



   

Cng hai bt đng thc trên ta
đc: (a
2
+ b
2
)
2
+ (2a+1)
2
< 0  vô lý  đpcm
VD12: Cho sè phøc
0
z

tho¶ m·n
3
3
1
2
z
z
 
. Chøng minh r»ng:
1
2
z
z

 
.
Hng dn
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
7
DÔ chøng minh ®- îc r»ng víi hai sè phøc
1 2
z z
,
ta cã
1 2 1 2
z z z z
   ( c gi chng minh)
Tõ
3
3
3
1 1 1
3z z z
z z
z
   
    
   
   
, suy ra
3
3
3
1 1 1 1

3 2 3z z z z
z z z
z
       
§Æt
1
a z
z
 
ta ®- îc
3 2
3 2 0 2 1 0 2
a a a a a
        
( )( ) (®pcm).
 bài Hng dn
8
*
.Chng minh rng nu |z| = |z’| = |z’’| =1
thì : |z+z’+z’’| = |zz’+z’z’’+z’’z|
Cách chng minh này vn dng nhiu tính cht ca
s phc liên hp, môđun s phc.
|z.z’.z’’| = |z|.|z’|.|z’’| = 1. Suy ra
. '. '' 1
z z z

. Chú ý
thêm tích ca s phc trên và liên hp ca nó thì
bng 1 (bình phng môđun).
| ' '' | | ' '' | . | . '. '' |

| . . '. '' '. '. . '' ''. ''. . ' |
    
  
z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z

| '. '' ''. . '| | '. '' ''. . ' |
| '. '' ''. . ' |
     
  
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z
9. Chng minh rng: Nu |z
1
| = |z
2
| = 1,
z
1
.z
2
 1 thì A =
1 2
1 2
1
z z
z z





Khá nh nhàng
10.CMR :
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
    
Bài 8 ( SGK _ GT 12 – Tr 190)
11.CMR :
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
    
Xem bài 10
12.CMR :
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
z z z z 2( z z )
    
Sdng :
2
z.z z

2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z (z z ).z z (z z )(z z )
OK
        

13.CMR :
2
2 2 2

1 2 1 2 1 2
1 z z z z (1 z )(1 z )
     
Xem bài 12
14.CMR :
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
z z 1 z z (1 z )(1 z )
     
Xem bài 13
15
*
.Gi


H z : z x 1 xi, x     
 
.
CMR : Tn ti duy nht s phc z tho
mãn :
z H : z w , w H
   

Ch cn ch ra rng có duy nht x sao cho vi mi y
ta đu có
:
2 2 2 2
(x 1) x (y 1) y
    

là OK
16
*
.Cho a > 0 và gi
*
1
V z : z a
z
 
   
 
 

CMR :
z V
 
thì :
2 2
a a 4 a a 4
z
2 2
    
 
 
 
2
2
4 2 2
2 2
1 1 1

a z (z )(z )
z z
z
z (a 2) z 1 (z z) 0 z
z OK
     
         
  
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
8
III. BÀI TP V PHNG TRÌNH - H PHNG TRÌNH NGHIM PHC.
Nói chung v phng pháp gii cng ging nh phng trình và h phng trình thông thng, ch
có đim khác bit là thêm mt s phép bin đi liên quan đn s phc mà thôi. Mt khác, trên tp
thc thì pt dng đa thc thì có th vô nghim, tuy nhiên trên tp phc thì điu đó ko còn đúng na, vì
th mà nói chung các bài toán v pt, h pt trên tp phc thng ‘ dài’ hn trên tp thc.
1. Cn bc hai ca s phc và phng trình bc hai.
a) Cn bc hai ca s phc.
Bài toán: Cho s phc w = a + bi . Tìm cn bc hai ca s phc này.
Phng pháp:
+) Nu w = 0  w có mt cn bc hai là 0
+) Nu w = a > 0 (a 

)  w có hai cn bc hai là
a
và -
a
+) Nu w = a < 0 (a 

)  w có hai cn bc hai là
ai


và -
ai

+) Nu w = a + bi (b  0)
Gi s z = x +yi (x, y thuc

) là mt cn bc hai ca w  z
2
= w  (x+yi)
2
= a + bi

2 2
2
x y a
xy b

 



 tìm cn bc hai ca w ta cn gii h này đ tìm x, y. Mi cp (x, y) nghim đúng phng
trình đó cho ta mt cn bc hai ca w.
Chú ý: Có rt nhiu cách đ gii h này, sau đây là hai cách thng dùng đ gii.
*) Cách 1: S dng phng pháp th: Rút x theo y t phng trình (2) th vào pt (1) ri bin đi
thành phng trình trùng phng đ gii.
*) Cách 2: Ta bin đi h nh sau:

2 2

2
x y a
xy b

 




 
 
2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
/ 2
2
x y a
x y a
xy b x y a b
xy b
xy b

 

 



 
    
 
 






T h này, ta có th gii ra x
2
và y
2
mt cách d dàng, sau đó kt hp vi điu kin xy=b/2 đ xem
xét x, y cùng du hay trái du t đó chn đc nghim thích hp.
Nhn xét
: Mi s phc khác 0 có hai cn bc hai là hai s đi nhau.
VD13:Tìm các cn bc hai ca mi s phc sau: a) 4 + 6
5
i; b) -1-2
6
i
Hng dn
a) Gi s z = x +yi (x, y thuc

) là mt cn bc hai ca w = 4 + 6
5
i
Khi đó: z

2
= w  (x+yi)
2
= 4 + 6
5
I 
2 2
2
2
3 5
(1)
4
45
2 6 5
4 (2)
y
x y
x
xy
x
x




 
 

 





 


(2)  x
4
– 4x
2
– 45 = 0  x
2
= 9  x = ± 3

x = 3  y =
5
; x = -3  y = -
5
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
9
Vy s phc w = 4 + 6
5
i có hai cn bc hai là: z
1
= 3 +
5
i và z
2
= -3 -
5

i
b) Gi s z = x +yi (x, y thuc

) là mt cn bc hai ca w = -1-2
6
i
Khi đó: z
2
= w  (x+yi)
2
= -1-2
6
i 
2 2
2
2
6
(1)
1
6
2 2 6
1 (2)
y
x y
x
xy
x
x






  
 

 
 



  


(2)  x
4
+ x
2
– 6 = 0  x
2
= 2  x = ±
2
.
x =
2
 y = -
3
x = -
2
 y =

3
Vy s phc w = 4 + 6
5
i có hai cn bc hai là: z
1
=
2
-
3
i và z
2
= -
2
+
3
i
b) Phng trình bc hai
Bài toán: Gii phng trình bc hai: Az
2
+Bz +C = 0 (1) , (A, B, C 

, A  0)
Phng pháp: Tính  = B
2
– 4AC
*) Nu   0 thì phng trình (1) có hai nghim phân bit z
1
=
2
B

A

 
, z
2
=
2
B
A

 
(trong đó  là mt cn bc hai ca ,  đây  có 2 cn bc hai, ta chn cn bc hai nào cng đc).
*) Nu  = 0 thì phng trình (1) có nghim kép: z
1
= z
2
=
2
B
A

VD14: Gii các phng trình bc hai sau:
a) z
2
+ 2z + 5 = 0
b) z
2
+ (1-3i)z – 2(1 + i) = 0
Hng dn
a) Xét phng trình: z

2
+ 2z + 5 = 0
Ta có:  = -4 = 4i
2
 phng trình có hai nghim: z
1
= -1 +2i và z
2
= -1 – 2i.
b) Ta có:
 = (1-3i)
2
+8(1+i) = 2i. Bây gi ta phi tìm các cn bc hai ca 2i.
Gi s z = x +yi (x, y thuc

) là mt cn bc hai ca w = 2i

2 2
2
2
1
1
1
0
1
2 2
1
0
1
x

y
y
x y
x
xy
x
x
x
y
 








 
 

 
 


 



 





 



Vy s phc 2i có hai cn bc hai là: 1+i và -1 –i
 Phng trình có hai nghim là: z
1
=
3 1 1
2
2
i i
i
  

; z
2
=
3 1 1
1
2
i i
i
  
  
Nhn xét: Ngoài phng pháp tìm cn bc hai nh  trên, đi vi nhiu bài ta có th phân tích 

thành bình phng ca mt s phc. Chng hn: 2i = i
2
+ 2i + 1 = (i+ 1)
2
t đó d dàng suy ra hai
cn bc hai ca 2i là 1 + i và -1 – i. Tuy nhiên nu khó nhm quá thì ta s dng pp tìm cn bc hai
ca s phc nh trên. Mt điu lu ý na là: ptbc 2 vi h s thc thì tìm nghim rt đn gin
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
10
( xem VD14a) vì luôn d dàng phân tích đc thành mt tng bình phng. Còn pt bc hai h s
phc thì tu tng bài ta s la chn pp phù hp.
Tìm cn bc hai ca s phc hoc gii pt bc hai sau Hng dn áp s
17.
2
8 1 63 16 0
z i z i
    
( )
Nh nhàng
1
5 12
z i
  ;
2
3 4
z i
 
18.
2
z z


Bình thng
1 3
0 1
2 2
z z z i
    ; ;
19.
2
z (cos isin )z icos sin 0
       
Nh nhàng
z cos ;z isin
   
20.
z 1 i
 
Rt d
2)Phng trình quy v phng trình bc hai
Trong mc này ta ch xét mt s dng c bn và quen thuc nh: Phng trình trùng phng,
phng trình bc 3, phng trình phn thng, phng trình dng
4 4
(z a) (z b) c
   
và mt s
dng đn gin khác.
VD15: Gii phng trình sau:
4 2
z z 20 0
  

.
Hng dn
t
2
t z

( Liu có đt điu kin cho t là
t 0

không nh???)
có pt:
2
2
2
z 2
t 4 z 4
t t 20 0
t 5
z i 5
z 5
 


 

     



 

 
 



VD16: Gii phng trình:
2 2 2
(z z) 4(z z) 12 0
    
Hng dn
t
2
t z z
 
, ta có pt:
2
2
2
z 1
t 2 z z 2
t 4t 12 0 z 2
t 6
z z 6
1 i 23
z
2






  

       



 
  



 




VD17: Cho phng trình sau: z
3
+ (2 – 2i)z
2
+ (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)
a) Chng minh rng (1) nhn mt nghim thun o ( tc là nghim o hay nghim phc mà
có phn thc bng 0)
b) Gii phng trình (1).
Hng dn
a) t z = yi vi y 

Phng trình (1) có dng: (iy)
3

+ (2i-2)(yi)
2
+ (5-4i)(yi) – 10i = 0
 -iy
3
– 2y
2
+ 2iy
2
+ 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i
ng nht hoá hai v ta đc:
2
3 2
2 4 0
2 5 10 0
y y
y y y

  


    


. Gii h này ta đc nghim duy nht y = 2
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
11
Vy phng trình (1) có nghim thun o z = 2i.
b) Vì phng trình (1) nhn nghim 2i  v trái ca (1) có th phân tích di dng:
z

3
+ (2 – 2i)z
2
+ (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z
2
+az + b) (a, b 

)
ng nht hoá hai v ta gii đc a = 2 và b = 5.
 (1)  (z – 2i)(z
2
+ 2z + 5) = 0 
2
2
2
1 2
2 5 0
1 2
z i
z i
z i
z z
z i





   
 

  


  

Vy phng trình (1) có 3 nghim nh trên
VD18: Gii phng trình: z
4
– 4z
3
+7z
2
– 16z + 12 = 0 (1)
Hng dn
Do tng tt c các h s ca phng trình (1) bng 0 nên (1) có nghim z = 1.
(1)  (z – 1)(z
3
– 3z
2
+ 4z – 12) = 0  (z – 1) (z – 3) (z
2
+ 4) = 0
2
1
1
3
3
2
4 0
2

z
z
z
z
z i
z
z i








 




 


 

Vy phng trình đã cho có 4 nghim nh trên
VD19: Gii phng trình: z
4
-2z
3

– z
2
– 2z + 1 = 0 (1)
Hng dn
Do z = 0 không là nghim ca (1)  chia hai v ca phng trình cho z
2
ta đc:
( C s nào đ chia cho z
2
nh??? Hay là chia vu v)
z
2
- 2z – 1 - 2
1
z
+
2
1
z
= 0. t y = z +
1
z
 phng trình có dng: y
2
– 2y – 3 = 0 
1
3
y
y
 





Vi y = -1  = z +
1
z
= -1  z =
1 3
2
i
 
Vi y = 3  = z +
1
z
= 3  z =
3 5
2

Vy phng trình đã cho có 4 nghim nh trên.
VD20 : Gii phng trình: z
4
– z
3
+
2
2
z
+ z + 1 = 0 (1)
Hng dn

Do z = 0 không phi là nghim ca phng trình (1) nên:
(1)  z
z
– z +
1
2
+
1
z
+
2
1
z
= 0 ( Ti sao chia thì li thành công nh??? c gi suy ngh xem)
 (z-
1
z
)
2
– (z-
1
z
) +
5
2
= 0.
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
12
t y = z -
1

z
(VD19 thì đt y = z +
1
z
, ti sao Vd20 li khác ? iu gì làm nên s khác bit đó ?)
 pt có dng: y
2
– y +
5
2
= 0  2y
2
– 2y + 5 = 0 
1 3
2
1 3
2
i
y
i
y











+) Vi y =
1 3
2
i

 z -
1
z
=
1 3
2
i

 2z
2
– (1+3i)z – 2 = 0 (2)
Ta có :  = (1+3i)
2
+ 16 = 8 +6i = (3+i)
2
 phng trình (2) có 2 nghim: z
1
= 1+i; z
2
=
1
2

+

1
2
i
+) V
i y =
1 3
2
i

 z -
1
z
=
1 3
2
i

 2z
2
– (1-3i)z – 2 = 0 (3)
Ta có :  = (1-3i)
2
+ 16 = 8 -6i = (3-i)
2
 phng trình (3) có 2 nghim: z
3
= 1-i; z
4
=
1

2

-
1
2
i
Vy phng trình đã cho có 4 nghim nh trên.
Gii các phng trình sau ( trên tp phc) Hng dn áp s
21.z
3
– 27 = 0
D dàng
2,3
1
3 3 3
2



 




z
i
z
22. z
3
+3z

2
+3z – 63 =0
z = 3 là mt no
3
3 2 3



  

z
z i
23.(z
2
+ 3z +6)
2
+ 2z(z
2
+ 3z +6) – 3z
2
= 0
t = z
2
+ 3z +6
1 5
3 3

  

  



z i
z
24.
4 3 2
2z 3z 16z 3z 2 0
    
2 3; 2; 1/ 2
 
25.
5 4 3 2
z 2z z z 2z 1 0
     
Có 1 no là z = -1
z 1
 
và mt c s
no khác na, t tìm
nhé
26.
4 3 2
2z 3z 5z 3z 2 0
    
Xem VD20
27.
4 3 2
2z 21z 74z 105z 50 0
    
5

t x
x
 
28.
4 4
(z 3) (z 5) 16
   
3 5
?
2


z 5;z 3
   
và 2no
n
a, t tìm thôi.
29.
4 4
9 11
(z ) (z ) 1
2 2
   
9 11
( ( )
2 2
?
2
  


z 11 / 2;z 9 / 2
 
và
2no na, t tìmlà OK.
30
**
.
10
z 1

No ca pt là 10 cn bc
10 ca 1(nghe hi l tai)

z 1
 
và 8 no na,
làm cn thn nhé.
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
13
3) H phng trình nghim phc
VD21: Gii h phng trình sau vi 2 n phc z và w
3 3
w 3(1 ) (1)
w 9( 1 ) (2)
z i
z i
  


   


Hng dn
T (2) ta có: (z + w)
3
– 3zw(z + w) = 9(-1+i) (3)
Thay (1) vào (3) ta đc: 27(1+i)
3
– 9zw(1+i) = 9 (-1+i)
 3(1+3i+3i
2
+i
3
) – zw(1+i) = -1 + i  zw =
5 5
5
1
i
i
i
 


Vy ta có h phng trình:
w 3(1 )
.w 5
z i
z i
  





Theo đnh lý Viet  z, w là các nghim ca phng trình: t
2
-3(1+i) + 5i = 0 (4)
Ta có:  = -2i = (1 – i)
2
 Phng trình (4) có hai nghim
2
1 2
t i
t i
 


 

Vy h đã cho có hai nghim (z;w) là (2+i; 1+2i) và (1+2i;2+i)
VD22:Gii h phng trình :
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 (1)
1 (2)
1 (3)
  


  





z z z
z z z z z z
z z z
Hng dn
Ta có z
1
, z
2
, z
3
là các nghim ca phng trình: (z – z
1
)(z – z
2
)(z-z
3
) = 0 ( Sao th nh???)
 z
3
– (z
1
+z
2
+z
3
)z
2

+(z
1
z
2
+z
2
z
3
+ z
3
z
1
)z - z
1
z
2
z
3
= 0  z
3
– z
2
+ z – 1 = 0  z = 1 và z = ±i
Vy h phng trình đã cho có 6 nghim (là hoán v ca b ba s 1, i và –i)
Gii các h phng trình Hng dn áp s
31.
1 2
1 2
1/ 2
2 3





 


z z
z z
Làm bình thng
(
3 3
;
4 2
i i
 
) ;(
3 3
;
4 2
i i
 
)
32.
1 2
2 2
1 2
4
5 2
  



  

z z i
z z i
Làm bình thng
3 i; 1+2i
1 2i; 3-i





33.
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
  


   

z z i
z z i
Làm bình thng
2 i; -1-3i
1 3i; 2-i

2 i; 1+3i
1+3i; -2+i



 


 


34
**
.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
   

  




z z z
z z z
z z z

Bài 4.23 – Sách BTGT12 – Tr 180 6 no là 6 hoán v ca ( 1 ; i ; -i)
35.
z w i
iz w=1
 




Rt d
z 1
w 1 i
 


  

36.
2 2
z w - zw = 8
z + w = -1




Bình thng
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
14
IV. BÀI TP V QU TÍCH
Trong dng này, ta gp các bài toán biu din hình hc ca s phc hay còn gi là tìm tp hp đim

biu din mt s phc z trong đó s phc z tho mãn mt h thc nào đó (thng là h thc liên
quan đn môđun ca s phc). Khi đó ta gii bài toán này nh sau:
Gi s z = x+yi (x, y 

). Khi đó s phc z biu din trên mt phng phc bi đim M(x;y).
Ta có: OM =
2 2
x y

=
z
S dng d kin ca đ bài đ tìm mi liên h gia x và y t đó suy ra tp hp đim M.
Lu ý:
- Vi s thc dng R, tp hp các s phc vi
z
= R biu din trên mt phng phc là đng
tròn tâm O, bán kính R.
- Các s phc z,
z
< R là các đim nm trong đng tròn (O;R)
- Các s phc z,
z
>R là các đim nm ngoài đng tròn (O;R)
VD23: Gi s M(z) là đim trên mt phng phc biu din s phc z.
Tìm tp hp các đim M(z) tho mãn mt trong các điu kin sau đây:
a)
1
z i
 
=2 b)

2 1
z i
  

c)
2 2
z z
  
d)
4 4 10
z i z i
   
e)1≤
1 2
z i
  
Hng dn
a) Xét h thc:
1
z i
 
=2 (1)
t z = x +yi (x, y 

)  z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.
Khi đó (1) 
2 2
( 1) ( 1) 2
x y
   

 (x-1)
2
+ (y + 1)
2
= 4. Tp hp các đim M(z) trên mt
phng to đ biu din s phc z tho mãn (1) là đng tròn có tâm ti I(1;-1) và bán kính R = 2.
b) Xét h thc
2
z z i
  
(2)
(2) 
( 2)
z z i
   
(*)
Gi A là đim biu din s -2, còn B là đim biu din s phc i
(A(-2;0); B(0;1))
ng thc (*) chng t M(z)A = M(z)B.
Vy tp hp tt c các đim M(z) chính là đng trung trc ca AB.
Chú ý: Ta có th gii cách khác nh sau:
Gi s z = x + yi, khi đó:
(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)
2
+ y
2
= x
2
+ (1-y)
2

 4x + 2y + 3 = 0.
Vy tp hp các đim M(z) là đng thng 4x + 2y + 3 = 0.
Nhn xét: ng thng 4x + 2y + 3 = 0 chính là phng trình đng trung trc ca đon AB.
c) Xét:
2 2
z z
  
(3)
Gi s z = x + yi, khi đó: (3)  |2+x+yi| > |x+yi-2|  (x+2)
2
+y
2
> (x-2)
2
+y
2
 x > 0.
 Tp hp các đim M(z) là na mt phng  bên phi trc tung, tc là các đim (x;y) mà x > 0.
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
A
B
O
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
15

Nhn xét: Ta có th gii cách khác nh sau:
(3)  |z-(-2)| >|z-2|
Gi A, B tng ng là các đim biu din s thc -2 và 2, tc là A(-2;0), B(2;0).
V
y (3)  M(z)A > M(z)B. Mà A, B đi xng nhau qua Oy.
T đó suy ra tp hp các đim M(z) là na mt phng  bên phi trc tung.
d) Xét h thc:
4 4 10
z i z i
   
Xét F
1
, F
2
tng ng biu din các đim 4i và -4i tc là F
1
(0;4) và F
2
=(0;-4). Do đó:
(4)  MF
1
+ MF
2
= 10 (M = M(z)). Ta có F
1
F
2
= 8  Tp hp tt c các đim M nm trên (E) có
hai tiêu đim là F
1

và F
2
và có đ dài trc ln bng 10. Phng trình ca (E) là:
2 2
1
9 16
x y
 
e) Xét h thc 1≤
1 2
z i
  
 1≤
( 1 ) 2
z i
   
.
Xét đim A(-1;1) là đim biu din s phc -1 + i. Khi đó 1≤ MA ≤ 2.
Vy tp hp các đim M(z) là hình vành khn có tâm ti A(-1;1) và các bán kính ln và nh ln
lt là 2 và 1
Cách 2: Gi s z = x +yi khi đó (5)  1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2  1 ≤ (x+1)
2
+ (y-1)
2
≤ 4
 kt qu nh  trên.
VD24: Trong các s phc z tho mãn điu kin: |z – 2+3i| =
3
2
tìm s phc z có môđun nh nht

Hng dn
Gi s z = x + yi, khi đó : |z – 2+3i| =
3
2
 |(x-2) +(y+3)i|=
3
2
 (x-2)
2
+ (y+3)
2
=
9
4
 Tp hp đim M tho mãn điu kin đã cho là đng tròn tâm I(2;-3) và bán kính 3/2.
Môđun ca z đt giá tr nh nht khi và ch khi M thuc đng tròn và gn O nht  M trùng vi
M
1
là giao ca đng thng OI vi đng tròn.
Ta có: OI =
4 9 13
 
K M
1
H  Ox. Theo đnh lý Talet ta có:
 M
1
H =
6 13 9 78 9 13
26

2 13
 

Li có:
3
13
26 3 13
2
2 13
13
OH
OH


  
Vy s phc cn tìm là:
26 3 13 78 9 13
13 26
z
 
 
1 1
1
3
13
2
3
13
9 6 13 9
13 3 13

2 2

 

   
M H OM
OI
M H
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
16
 bài Hng dn áp s
37.Tìm qu tích các đim M(z)trong mp phc
biu din s phc z tho mãn đk:
|z +
z
+3 |= 4
Làm bình thng
Hai đng thng có pt:
x =
1
2
và x =
7
2

38.Tìm qu tích các đim M(z)trong mp phc
biu din s phc z tho mãn đk:
|z +
z
+ 1 - i| = 2

Làm bình thng
Hai đng thng có pt:
y =
1 3
2

.
39.Tìm qu tích các đim M(z)trong mp phc
biu din s phc z tho mãn đk:
2|z-i| = |z -
z
+2i|
Làm bình thng
Parabol y =
2
4
x
40.Tìm qu tích các đim M(z)trong mp phc
biu din s phc z tho mãn đk:
|z
2
–
z
2
| = 4
Làm bình thng
Hai hyperbol có pt :
xy = 1 và xy = -1
41.Tìm s phc z tho mãn h:
1

1
3
1
z
z i
z i
z i
 











Làm bình thng z =1+i
42.Cho z
1
= 1+i; z
2
= -1-i. Tìm z
3


sao
cho các đim biu din ca z

1
, z
2
, z
3
to
thành tam giác đu.
1 2 1 3
1 2 2 3
   



  


z z z z
ycbt
z z z z
z
3
=
3
(1+i) hoc
z
3
= -
3
(1-i)
43.Tìm tp hp các đim biu din s phc

w = (z+i)(2+i) trong đó z là s phc tha
|z - 2| = 3.
Gi z = a + bi ;|z - 2| = 3.
<=> (a-2)
2
+ b
2
= 9. (*)
Gi w = x + yi ri tính a. b
theo x,y:
(2 ) / 5
(2 5) / 5
a x y
b y x
 


  

Thay vào (*) là OK
(2x + y -10)
2
+
+ (2x – y - 5)
2
= 225
44.Tìm các đim M trong mt phng phc
biu din s phc z tho mãn mt trong các
điu kin sau:
a)|z-2| = 3; b)|z+i|<1; c) |z-1+2i| > 3

d)
1
2
z
z
 
; e)Re
2
1
z
z

 
 

 
=0; f)
1
z
z



Làm bình thng
a; b; c: D dàng
d)
2 2
2 2
1 2 0
1 2 0


   

   

x y y
x y y
(Hp ca 2 đg tròn)
e) .tròn:
x
2
+ y
2
– 3x + 2 = 0.
f) Hai đt: y = 0 ;
x = -1/2.
45. (B – 2010): Tìm qu tích đim M(z) tho
mãn:
z i (1 i)z
  
Rt đn gin
2 2
x (y 1) 2
  
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
17
46.(D – 2009): Tìm qu tích đim M(z) tho
mãn:
z (3 4i) 2
  

Rt đn gin
2 2
(x 3) (y 4) 4
   
47.Tìm qu tích đim M(z) tho
mãn:
z i
z i




S phc là s thc nu
phn o bng 0
Hai trc to đ b đi
đim ( 0; 1)
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
18
CHUYÊN  2: DNG LNG GIÁC CA S PHC
A. TÓM TT LÝ THUYT
1. Cho s phc z  0. Gi M là mt đim trong mt phng phc biu din s phc z. S đo (radian)
ca mi góc lng giác tia đu là Ox, tia cui OM đc gi là mt acgumen ca z.
Nh vy nu
 là mt acgumen ca z, thì mi acgumen đu có dng:  + 2k, k 

.
2. Dng lng giác ca s phc.
Xét s phc z = a + bi  0 (a, b 

)

Gi r là môđun ca z và  là mt acgumen ca z. Ta có: a = rcos , b = rsin
z = r(cos

+isin

), trong đó r > 0, đc gi là dng lng giác ca s phc z  0.
z = a + bi (a, b 

) gi là dng đi s ca z.
3. Nhân và chia s phc di dng lng giác.
Nu z = r(cos

+isin

) ; z' = r’(cos

’ +isin

’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0)
thì: z.z’ = r.r[cos(

+

’) +isin(

+

’)];
 
' '

os( ' ) isin( ' )
z r
c
z r
   
    khi r > 0.
4. Công thc Moivre.
[z = r(cos

+isin

)]
n
= r
n
(cos n

+isin n

)
5. Cn bc hai ca s phc di dng lng giác.
Cho s phc z = r(cos

+isin

) (r>0)
Khi đó z có hai cn bc hai là:
os isin
2 2
r c

 
 

 
 
và -
os isin
2 2
r c
 
 

 
 
= os isin
2 2
r c
 
 
 
   
  
   
 
   
 
6. Cn bc n ca s phc di dng lng giác
S phc z đc gi là mt cn bc n ( n nguyên và n > 1) ca s phc w nu: z
n
= w.

*) Khi w = 0 thì ch có mt cn bc n ca w = 0 là 0
*) Khi
w 0

, ta vit w di dng lng giác:
w R(cos isin )
   
, R > 0. Ta cn tìm

z r(cos isin )
   
sao cho z
n
= w.
Theo công thc Moivre thì:
n
n
n n
r R
r R
z w r (cosn isin n ) R(cos isin )
k2
n k2 ,k
,k
n n






          
 
 
     
   





Nhng nu k là s nguyên bt k thì mt s phc li có vô s cn bc n ???. Ngi ta chng minh
đc rng: Mi s phc
w 0

ch có n cn bc n mà thôi vi k = 0, 1, 2, ,n – 1.
( Nu suy ngh mt cách nghiêm túc thì HS cng có th hoàn toàn chng minh đc điu đó.)
Khi có đc công thc trên thì vic tìm cn bc n ca mt s phc s đn gin hn đi rt nhiu. Ta
xét m
t VD vi 2 li gii sau đây:
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
19
VD25: Tìm các cn bc 3 ca s phc w = 1.
Hng dn
*) Cách 1: Gi z = x + iy, ta cn tìm x và y sao cho: z
3
= 1 hay
3 3 2 2 3 3 2 2 3
(x iy) 1 x 3x (iy) 3x(iy) (iy) 1 (x 3xy 1) (3x y y )i 0 0
0i
              

Ta đi gii h pt:
3 2
2 3
x 3xy 1 0
3x y y 0

  


 


. Vic gii h phng trình này chng d chu chút nào ( c gi
t gii quyt coi nh bài tp t rèn luyn vi mt gi ý ca tác gi là h đng cp bc 3).
n đây nu đ bài yêu cu tìm cn bc 10 ca 1 mà làm theo phng pháp trên thì tht là dng
cm.
*) Cách 2: Ta có
w 1 w 1 0i cos0 i sin 0
     
. T đó w có 3 cn bc 3 là:

k2 k2
cos isin , k 0,1, 2
3 3
 
 
+) k = 0, ta có cn bc 3 là:
1
z cos0 isin 0 1
  

+) k = 1, ta có cn bc 3 là:
2
2 2 1 3
z cos isin i
3 3 2 2
 
    
+) k = 2, ta có cn bc 3 là:
3
4 4 1 3
z cos i sin i
3 3 2 2
 
    
Tht ngn gn và tuyt vi phi ko?
Qua li gii trên ta thy rng:
+) Khi bn đc gii h pt trong cách 1 thì chc chn s có 3 nolà:
1 3 1 3
(x; y) (1;0),( ; );( ; )
2 2 2 2
   
+) Tng:
1 2 3
z z z 0
  
.
T
 đây ta có nhn xét quan trng sau:
+) Mi s phc khác 0 thì đu có n cn bc n
+) Tng ca n cn bc n đó luôn bng 0

+) Khi biu din trên mt phng phc thì n đim biu din ca n cn bc n đó to thành mt đa
giác đu n cnh ni tip trong đng tròn tâm là gc to đ O và bán kính bng
n
w
.
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
20
B. BÀI TP VN DNG
I. BÀI TP V CHUYN S PHC T DNG I S SANG DNG LNG GIÁC.
Phng pháp: Dng lng giác có dng: z = r(cos  + i sin  ) trong đó r > 0.
 chuyn mt s phc sang dng lng giác ta cn tìm r và ;
+ Ta có r = |z|
+  là s thc tho mãn
os
sin
a
c
r
b
r












VD26: Vit các s phc sau di dng lng giác:
a) z
1
= 2i b) z
2
= -1 c) z
3
= 2 d) z
4
= -3i
e) z
5
= 6+6i
3
f) z
6
=
1
4

+i
3
4
g) z
7
= 9 – 9i
3
Hng dn
a) Ta có: r

1
= 2,  =
2

 z
1
= 2(cos
2

+isin
2

)
b) Ta có: r
2
= 1,  =   z
2
= cos +isin
c) Ta có: r
3
= 2,  = 0  z
3
= 2(cos0+isin0)
d) Ta có: r
4
= 3,  =
3
2

 z

4
= 2(cos
3
2

+isin
3
2

)
e) Ta có: r
5
= 12
Chn  là s thc tho mãn
1
os
2
3
sin
2
c












  =
3

vy z
5
= 12(cos
3

+isin
3

)
f) Ta có r
6
=
2
2
1 3 1
4 4 2
 

 
 
 
 
 
 
Chn  là s thc tho mãn

1
os
2
3
sin
2
c



 







  =
2
3

vy z
6
= 12(cos
2
3

+isin
2

3

)
g) Ta có: r
7
= 18
Chn  là s thc tho mãn
1
os
2
3
sin
2
c








 


  =
3


vy z

7
= 12(cos(
3


)+isin(
3


))
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
21
Nhn xét: ây là mt dng bài tp rt ph bin, cn chú ý cách chn s  tha mãn h phng trình
lng giác
os
sin
a
c
r
b
r












. Trong quá trình thc hnh nhiu bn hay mc sai lm: ch tìm  tha mãn
cos = a/r mà không đ ý đn sin  = b/r. Chng hn vi h
1
os
2
3
sin
2
c








 


thì li chn  =
3

???
VD27: Vit các s phc sau di dng lng giác:
a) (1-i
3
)(1+i) b)

1 3
1
i
i


c)
1
2 2
i

Hng dn
a) Ta có: 1- i
3
=2 os isin
3 3
c
 
 
   
  
   
 
   
 
; (1+i) =
2 os isin
4 4
c
 

 

 
 
Áp dng công tthc nhân, chia s phc ta đuc: (1-i
3
)(1+i) = 2
2
os isin
12 12
c
 
 
   
  
   
 
   
 
b)
1 3
1
i
i


=
2
7 7
os isin

12 12
c
 
 
   
  
   
 
   
 
c)
1
2 2
i

=
1
(1 )
4
i

=
1
2 os isin
4 4 4
c
 
 
   
  

   
 
   
 
=
2
os isin
2 4 4
c
 
 
   
  
   
 
   
 
VD28: Tìm phn thc và phn o ca mi s phc sau:
a)
 
10
9
(1 )
3
i
i


b)
5 7

os isin (1 3 )
3 3
c i i
 
 
 
 
 
Hng dn
a) Xét s phc:
 
10
9
(1 )
3
i
i


=
10
5
9
4
9
5 5
2 os(- ) isin( )
2 os(- ) isin( )
4 4
1 1

12 12
3 3
2 ( os isin ) 16
2 os isin
2 os isin
2 2
6 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   

 
 
 

 

 
 
 
 
 

c
c
c
c
c
 
 
 
 
 
Vy: phn thc bng:
1
16

và phn o bng 0.
b) Xét s phc:
5 7
os isin (1 3 )
3 3
c i i
 
 
 
 
 
=
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
22
 
7

7
7 7
7 7
os i sin 2 os isin 2 os +isin os isin
3 3 3 3 3 3 3 3
2 os2 isin 2 2
     
         
     
         
 
   
         
     
  
c i c c i c
c i i
       
 
Vy: phn thc bng: 0 và phn o bng 128.
 bài Hng dn áp s
48.Tính s phc sau: z =


 
5
10
10
(1 ) 3
1 3

i i
i
 
 
Làm bình
thng
- 1
49.Vit các s sau di dng lng giác:
a) cosa – isina, a  [0;2).
b) sina +i(1+cosa), a  [0;2).
c) cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2)
Rt d dàng
a) cos(2
 - a) + isin(2 -a)
b) Chia 3 TH: a  [0; ) ;
a  ( ;2 ) ;
a
 
.
Chú ý rng r

0
c)
2
(cos
4
a

 


 
 
+ i sin
4
a

 

 
 
50.ViÕt d¹ng l- îng gi¸c cña sè phøc z biÕt r»ng
2
z  vµ mét acgumen cña
1
z
i

lµ
3
4


Gi

là mt
acgument ca
z , hãy tính
acgumet ca
z
và ca 1 + i t

đó là OK
2
2 2
z cos i
 
 
 
 
 
sin
II. BÀI TP V GII PHNG TRÌNH NGHIM PHC BC CAO
VD29: Gii phng trình nghim phc: z
3
= 1
Hng dn
Mt s bn HS đùa rng: pt trên có gì mà phi suy ngh, tt nhiên là nghim z = 1 còn gì na vì
1
3
= 1. Tuy nhiên điu đó ch đúng trong tp thc mà thôi, trong tp phc thì ta hiu rng 3 nghim
ca pt trên là 3 cn bc 3 ca z = 1 đy.
Và ta có:
z 1 z 1 0i cos0 isin 0
     
. T đó pt trên có các nghim là:

k2 k2
cos isin , k 0,1, 2
3 3
 
 

+) k = 0, ta có nghim:
1
z cos0 isin 0 1
  
+) k = 1, ta có nghim :
2
2 2 1 3
z cos isin i
3 3 2 2
 
    
+) k = 2, ta có nghim:
3
4 4 1 3
z cos i sin i
3 3 2 2
 
    
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
23
VD30: Gii phng trình: z
6
= -64 (1)
Hng dn
Ta có: -64 = 64(cos  + isin  ). Gi s:
z r(cos isin )
   
z
6
= -64  r

6
(cos6  + isin6  )= 64(cos  + isin  )  r
6
= 64  r = 2
Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z)   =
2
6 6
k
 
 ( Ly k = 0, 1, 5)
Vi k = 0  z
0
= 2
os isi
6 6
c n
 
 

 
 
=
3
+i
Vi k = 1  z
1
= 2
os isi
2 2
c n

 
 

 
 
= 2i
Vi k = 2  z
2
= 2
5 5
os isi
6 6
 
   

   
 
   
 
c n
 
= -
3
+ i
Vi k = 3  z
3
= 2
7 7
os isi
6 6

 
   

   
 
   
 
c n
 
= -
3
-i
Vi k = 4  z
4
= 2
3 3
os isi
2 2
 
   

   
 
   
 
c n
 
= -2i
Vi k = 5  z
5

= 2
11 11
os isi 2 os isi
6 6 6 6
   
       
    
       
   
       
   
c n c n
   
=
3 i

( k = 6 ging nh TH k = 0. k = 7 ging nh TH k = 1, ). Vy pt có 6 nghim nh trên.
VD31: Gii phng trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 = 0
Hng dn
Không khó khn gì khi nhn ra pt trên có 1 no x = - 1 ( C s nào th nh ?)
T đó có: z
4

(z + 1) + z
2
(z + 1) + (z + 1) = 0  (z+ 1) (z
4
+ z
2
+ 1) = 0 
4 2
1
1 0
z
z z
 


  

Xét phng trình: z
4
+ z
2
+ 1 = 0  z
2
=
1 3
2
i
 

2

2
1 3 2 2
os i sin
2 2 3 3
1 3 2 2
os i sin
2 2 3 3
z i c
z i c
 
 

    



   
      

   
   

T z
2
=
2 2
os i sin
3 3
c
 

 
os i sin
3 3
os - isin
3 3

 



 


z c
z c
 
 
( Bit ti sao ko? Hãy suy ngh nhé!)
T z
2
=
2 2
os isin
3 3
c
 
   
  
   
   


os isin
3 3
os -i sin
3 3
z c
z c
 
 

   
   
   

   


   
   

   
   

( Bit ti sao ko? Hãy suy ngh nhé!)
Tóm li phng trình đã cho có tt c 5 nghim:
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
24
z = -1; z =
1 3
2 2

i
 ; z =
1 3
2 2
i
  ; z =
1 3
2 2
i
 ; z =
1 3
2 2
i
 
Nhn xét: Qua VD31 các bn có th s dng di đi s ca s phc đ tìm cn bc hai ca s phc,
tuy nhiên phng pháp đó ( nu ko nhm đc giá tr tho mãn) thì s đn đn vic gii mt h
phng trình s gây mt thi gian. Chúng ta thy vic chuyn v dng lng giác đ thc hin tht là
đn gin phi ko nào? Hn na đa v dng lng giác còn thy đc s li hi khi đi tìm cn bc
n ca mt s phc. Tuy nhiên, nu s phc có acgumet ko my d chu thì vic đa v dng lng
giác có th gp đôi chút khó khn đy.
Tóm li: Toán hc là mt môn hc mang nng tính t duy, ngi hc toán phi bit la chn
cách gii quyt tt nht cho mt vn đ dù cho đó có th là vn đ tht gin đn.
 bài Hng dn áp s
51.Cho z
1
và z
2
là hai s phc xác đnh bi
z
1

= 1+i
3
và z
2
= 1 – i
a)
Xác đnh dng đi s và dng lng giác
ca
1
2
z
z
b)T đó suy ra giá tr chính xác ca:
cos
7
12

và sin
7
12

C làm theo ycbt là OK
cos
7
12

=
1 3
2 2


và sin
7
12

=
1 3
2 2

52. Cho s phc z
0
có môđun bng 1 và
argumentbng
2
5

a)CMR z
0
là nghim ca phng trình
z
5
– 1 = 0
b)Rút gn biu thc
(z – 1)(1+z + z
2
+ z
3
+ z
4
)
c)Hãy suy ra rng z

0
là nghim ca pt:

2
2
1 1
z z
z z
   
  
   
   
+ 1 = 0
d)Gii phng trình  câu c)
e)T đó suy ra giá tr ca z
0
và biu thc
giá tr ca cos
2
5

và sin
2
5

Hãy suy ngh tht
nghiêm túc.
a)Cn có: z
5
= 1

b) D
c) n gin
d)
1 5 5 5
4 2 2
  
 
i
z
e) z
0
=
1 5 5 5
4 2 2
i  

cos
2
5

=
1 5
2
 
và
sin
2
5

=

1 5 5
2 2

53.Tìm n là s nguyên dng và


10
,
1
n

sao cho sphc


n
3i1z  là s thc
z = 2
n
os isin
3 3
n n
c
 
 

 
 

 
sin

3
n

= 0
n = 3; 6; 9
THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
25
54.Tìm môđun ca z và argument:
a)z =


 
 
 
8
6
6 8
2 3 2
1
1
2 3 2





i
i
i
i

b)z =
 
   
4
10 4
1
1
3 2 3 2
i
i i
 

 
c)z =




1 3 1 3
n n
i i  
Làm bình thng
a)|z| =
13
13
1
2
2
 ; arg z =
5

6

b)|z| =
9
1
2
; arg z = 
c)|z| =
1
5
2 os
3
n
n
c


;
arg z =   (0; )
55.Cho hai s phc z
1
=
2
+ i
2
và z
2
= 1+
3
i

a)Tính môđun và argument ca hai s phc
nói trên.
b) Tính môđun và argument ca z
1
3
và z
2
2
và
3
1
2
2
z
z
c) T đó suy ra giá tr chính xác ca
cos
12

và sin
12

Làm bình thng
a) Ta có |z
1
| = 2; 
1
=
4


;
|z
2
| = 2; 
2
=
3

b) |z
1
3
| = 8; 
3
=
3
4

;
|z
2
| = 4; 
4
=
2
3

;

3
1

2
2
z
z
= 2; 
5
=
12

c) cos
12

=
2 6
4

và
sin
12

=
6 2
4
