Đề thi chọn học sinh giỏi toán 12 tỉnh Thanh hóa - Đề số 2 pps

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2001 - 2002
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang


Bi 1. Cho các số nguyên dơng x, y, z thay đổi có tổng là 2002. Hãy tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
!!!Pxyz
=
.

Bi 2. Hãy tìm đa thức
(
)
f
x có bậc thấp nhất nhận giá trị cực đại là 6 tại x=1 và giá
trị cự tiểu là 2 tại x=3.

Bi 3. Giải hệ phơng trình:

log log
log log
log log
512
8
22
yy
zz

xx
zx
xy
yz
xz
yx
zy

+=


+=


+=



Bi 4. Cho dãy số
{
}
0
n
n
x

=
đợc xây dựng bởi
0
1000x

=
và
1
12002
2
nn
n
xx
x
+

=+


với
0n. Chứng minh rằng
6
30
lim 2002 2002 10 và
n
x
xx


=<.

Bi 5. Cho tam giác ABC biến thiên nhng luôn vuông góc tại A và có đờng cao AH
là một đoạn thẳng cố định cho trớc. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của H lên AB và
AC. Chứng minh rằng tứ giác EBCF nội tiếp đờng tròn và tâm đờng tròn này nằm
trên một đờng thẳng cố định.

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2002 - 2003
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang


Bi 1
Cho x là số thực dơng. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có bất đẳng thức:
23
1
2! 3! !
n
x
x
xx
ex
n
>+ + + + +

Bi 2

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n tuỳ ý, đa thức sau đây không thể có
nhiều hơn một nghiệm thực:
()
()
1
1
!1!1!
nn
n
x
xx
Px
nn

=
++++


Bi 3.
Cho hàm số
()
1
5
3
x
x
a
yfx
aa

+
==
+
với a là tham số dơng
1) Tìm tập giá trị của
(
)
f
x .
2) Tìm a để tập giá trị của
(
)
f
x không thể chứa bất cứ một số nguyên chẵn nào.
Bi 4
Cho phơng trình
432
10
x
ax bx ax++++= có ít nhất một nghiệm thực. Tìm giá trị
nhỏ nhất của
22
ab+
Bi 5
Cho đờng tròn:
(
)
22
:30Cx y ax++ =

(
)
(
)
(
)
22 2 2
:1 2 2 3 0
m
C m x y ax amy a++=

Trong đó a là hằng số thực khác 0, m là tham số thực. Chứng minh
(
)
m
C luôn cắt (C)
tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại mỗi điểm chung ấy luôn vuông góc với
nhau.

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2003 - 2004
Môn Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Bài 1 (2,0 điểm). Giải hệ phơng trình:

2
2
2
2
x
xy
yyx

+=


+
=



Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hai đờng tròn
(
)
(
)
11 2 2
;,;OR OR cắt nhau tại A, B. S là một điểm cố định nằm trên
đờng thẳng AB sao cho A nằm giữa S và B, một cát tuyến thay đổi đi qua B cắt các

đờng tròn
()
(
)
11 2 2
,,,OR OR lần lợt tại M, N. Đờng thẳng SM cắt đờng tròn
(
)
11
,OR
tại điểm thứ hai P, đờng thẳng SN cắt đờng tròn
(
)
22
,OR tại điểm thứ hai Q.
1- Chứng minh tứ giác MPQN nội tiếp.
2- Chứng minh đờng tròn
(
)
C ngoại tiếp tam giác SPQ luôn đi qua điểm cố định
thứ hai khác S.
3- Gọi
I là trung điểm của MN, J là giao của SI với đờng tròn
(
)
C , chứng minh
rằng J luôn thuộc một đờng tròn cố định.
Bài 3 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dơng, chứng minh rằng:
444
333

444
abcabc
bcabca
+
+++
Bài 4 (2,0 điểm)
Cho
12
, , ,
n
aa a là n
(
)
2n số nguyên phân biệt. Chứng minh rằng đa thức:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
22
12
1
n
Px xa xa xa= + không thể phân tích đợc thành tích của hai đa
thức với hệ số nguyên.
Bài 5 (2,0 điểm)

Cho dãy số
{
}
1
n
n
x

=
thoả mãn
22
11
1, 1 1
nnn nn
xx xx xx
+
==+++
với mọi n nguyên
dơng.
1- Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.
2- Tìm giới hạn của dãy số đó.

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2004 - 2005
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang


Bài 1 (2,5 điểm)
Giải hệ phơng trình sau:

2
2
2
2
2
2
x
xy y
yyzz
zzxx

+=

+=


+=


Bài 2 (2,5 điểm)
Cho dãy số

{
}
0
n
n
u

=
với
01 2 1
3; 17; 6
nnn
uu u uu
++
== =
với mọi n tự nhiên.
Chứng minh rằng: Với mọi n tự nhiên ta có
2
1
2
n
u

là một số chính phơng.
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c và bán kính đờng tròn ngoại tiếp
là R. Gọi G là trọng tâm tam giác, Các đờng thẳng
AG, BG, CG lần lợt cắt đờng
tròn ngoại tiếp tại D, E, F tơng ứng. Chứng minh rằng:
31 1 1 111

3
R
GD GE GF a b c

++ ++



Bài 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC, gọi độ dài các cạnh tơng ứng với các đỉnh A, B, C lần lợt là a, b,
c;
độ dài các đờng cao tơng ứng lần lợt là
,,
abc
hhh
và độ dài các đờng trung tuyến
tơng ứng là
,,
abc
mmm. Chứng minh rằng:
444 10
4
93
aa bb cc
hm hm hm S++
Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2005 - 2006
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang


Bi 1 (2,0 điểm)
Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số
2
21
1
và y=
x
yx
x

=
có ba điểm chung
phân biệt. Tìm tâm và bán kính đờng tròn đi qua 3 điểm ấy.
Bi 2 (2,0 điểm)
Chứng minh rằng phơng trình
356 2
xx
x
+
=+ chỉ có hai nghiệm phân biệt và tìm hai

nghiệm đó.
Bi 3 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị mà tổng
x
yz
+
+ có thể nhận đợc, với x, y, z là nghiệm của hệ
phơng trình:
(
)
()
()
4
4
4
x
yy
yz z
zx x
=


=



=

Bi 4 (2,0 điểm)
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, ngoại tiếp
một hình cầu bán kính
r. Gọi h là độ dài đờng cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Hỏi
rằng trong số những tứ diện nh thế, tứ diện nào có tỉ số giữa
h và r đạt giá trị lớn nhất.
Bi 5 (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành, Gọi K là trung điểm của SC. Mặt
phẳng đi qua
AK cắt SB, SC tứ tự tại M và N. Đặt
1. .
,
SAMKN SABCD
VV VV
=
= . Chứng
minh:
1
13
38
V
V



Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2006 - 2007
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Bi 1 (2,0 điểm)
a) Giải bất phơng trình: 27 7.3 6 0
xx

+
b) Cho 2006 số dơng
1 2 2006
, , ,
x
xx có tổng bằng 2050. Tìm giá trị lớn nhất của tổng
33 3
1 2 2006
Sx x x=+++
Bi 2 (2,0 điểm)
a) Tính đạo hàm của hàm số:
(
)
33
11
f
xxx
=

++
b) Chứng minh bất đẳng thức:
33
333
33 3323++<
Bi 3 (2,0 điểm)
Chứng minh trong mọi tam giác ta có
43
cos cos .cos
2229
ABC


Bi 4 (2,0 điểm)
Trong tứ diện ABCD các cạnh DB và DC vuông góc vối nhau và chân đờng vuông
góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Chứng
minh rằng
(
)
(
)
22
6
A
BBCCA ADBDCD++ ++
Với tứ diện nào thì xảy ra dấu đẳng thức?
Bi 5 (2,0 điểm)
Cho hai đờng tròn C(I; R) và C'(I'; R') có tâm và bán kính thay đổi nhng luôn tiếp
xúc với một đờng thẳng cố định thứ tự tại hai điểm cố định A và A'. Ta nói rằng hai
đờng tròn này cắt nhau theo góc

nếu hai tiếp tuyến với hai đờng tròn tại giao
điểm của chúng tạo với nhau một góc

.
a) Chứng minh rằng hai đờng tròn (C) và (C') cắt nhau theo góc

khi và chỉ khi
22 2
'''cos
I
IRRRR

=
+ II'
b) Tìm tập hợp giao điểm M của (C) và (C')
Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Câu 1 (1,5 điểm)

Giải phơng trình:
23
3244 10xx x+ +=
Câu 2 (2,0 điểm)
Giải hệ phơng trình:
32
32
32
31 2 3
31 2 3
31 2 3
x
yyy
yzzz
zxxx


= +

= +


= +


Câu 3 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC, đờng tròn tâm I nội tiếptam giác tiếp xúc với cạnh BC tại D, kẻ
đờng kính DM của đờng tròn, đờng thẳng AM cắt cạnh BC tại N. Chứng minh rằng
BN=CD.
Câu 4 (2,0 điểm)

Cho dãy số
{
}
1
n
n
x

=
thảo mãn
11
13
,
621
n
n
n
x
xx
x
+
==
+
với mọi n nguyên dơng.
1) Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó.
2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho bất đẳng thức
(
)

22 2 2
12 1 12 1

nn nn
x
xxxxxxx

+++ + +++
thoả mãn với mọi số thực
12,
, ,
n
x
xxx
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Gọi I, J lần lợt là
trung điểm của các cạnhk BC và AD.
1) Chứng minh rằng IJ là đờng vuông góc chung của BC và AD.
2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng MA+MB+MC+MD nhỏ nhất.
Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức

Sở giáo dục và đào tạo Phú thọ
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2008-2009

Môn Toán

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Cõu 1 (2,0 im)
Gii bt phng trỡnh

()
()
4
2
2
21
0
log 2 25
x
x
xx

+



Cõu 2 (2,0 im)
Gii h phng trỡnh

()
33
22
82
33 1

x
xy y
xy

=+



=+



Cõu 3 (2,0 im)
Cho hai tia Ox, Oy vuụng gúc vi nhau to O. Trờn tia Ox, Oy ln lt ly cỏc im
A, B khụng trựng vi O sao cho din tớch tam giỏc OAB bng S cho trc. K OH
vuụng gúc vi AB
(
)
HAB
, gi
12
,OO ln lt l tõm ng trũn ni tip cỏc tam
giỏc OHA v OHB, ng thng
12
OO ln lt ct OA, OB ti I, J.
1) Chng minh tam giỏc OIJ l tam giỏc cõn.
2) Xỏc nh v trớ cỏc im A, B sao cho din tớch tam giỏc OIJ ln nht.
Cõu 4 (2,0 im)
Cho dóy s
(

)
n
x
tho món
(
)
(
)
(
)
11
1, 1 2 3 1
nnnnn
xx xx x x
+
== ++++ vi mi n nguyờn
dng, t
()
1
1
1, 2,3
2
n
n
i
i
yn
x
=
==

+

. Tỡm lim
n
y .
Cõu 5 (2,0 im)
Cho hỡnh chúp S.ABC, t im O nm trong tam giỏc ABC v cỏc ng thng ln
lt song song vi cỏc cnh SA, SB, SC v ct cỏc mt (SBC), (SCA), (SAB) tng
ng ti cỏc im D, E, F.
1) Chng minh rng
1
OD OE OF
SA SB SC
++=

2) Xỏc nh v trớ ca im O th tớch ca hỡnh chúp O.DEF t giỏ tr ln nht.

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
chớnh thc