ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC MÔN TOÁN TỈNH NGHỆ AN 2009-2010 BỔ TÚC THPT pot

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN HỌC - BỔ TÚC THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
Cho hàm số
2x
y
x


có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tìm m để đường thẳng (d) y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B sao cho
AB = 2
5.
Câu 2 (5,0 điểm).
a. Giải phương trình:
1 2
3 1
12. 55. .
x
x x
C A

 

b. Giải phương trình: sin
4
x + cos

4
x = cos4x.
Câu 3 (5,0 điểm).
a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
4 .y x x  
b. Tính I =
2
2
5 6
lim .
4
x
x x
x

 

Câu 4 (5,0 điểm).
Cho tứ diện ABCD và M là một điểm bất kỳ nằm trong tứ diện. Gọi d
A
, d
B
, d
C
, d
D
theo thứ tự là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). Gọi
h
A

, h
B
, h
C
, h
D
theo thứ tự là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt phẳng
(BCD), (ACD), (ABD), (ABC).
a. Tính tổng
.
A B C D
A B C D
d d d d
h h h h
  
b. Chứng minh rằng
1
. . . . . . . .
256
A B C D A B C D
d d d d h h h h
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 – 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH
THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Môn: TOÁN 12 - BỔ TÚC THPT

CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
5,0
1a
3,0
TXĐ: R \
 
0
0,25
Sự biến thiên y’ =
2
2

x
, y’ < 0
0x 
hàm số nghịch biến trên các khoảng
   
;0 ; 0; 
0,5
Giới hạn và các đường tiệm cận
0
2
lim
x
x

x



 
;
0
2
lim
x
x
x



 
. Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình x
=0
0,5
2 2
lim lim 1 1
x x
x
x x
 

 
  
 
 

;
2 2
lim lim 1 1
x x
x
x x
 

 
  
 
 
. Vậy đường tiệm cận
ngang có phương trình y =1
0,5
Bảng biến thiên
x
-

0 +

y’
- || -
y
+

1 1
-

0,5

Giao điểm của đồ thị với trục hoành (-2;0)
Đồ thị không cắt trục tung. Đồ thị nhận điểm I (0;1) làm tâm đối xứng
0.75
1b
2,0
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi A,B chỉ khi phương trình
2
2 (1)
x
x m
x

 
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 0 . Hay phương trình 2x
2
+ (m-1)x - 2 = 0 có hai
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 0
0,25
Điều kiện
 
2
1 16 0

2 0
m

    


 


đúng với mọi số thực m.
Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
0,25
Theo Viet ta có
1 2
1 2
1
2
1
m
x x
x x


  



 

0.25

Giả sử hoành độ điểm A là x
1
, hoành độ điểm Blà x
2,
suy ra A(x
1
; 2x
1
+m), B(x
2
; 2x
2
+m)
0,25
AB
2
=
     
2 2 2
2 1 2 1 2 1
4 5x x x x x x    
0,25
=
 
2
2 1 2 1
5 4x x x x
 
 
 

0,25
=
2
1
5 4
2
m
 

 
 
 
 
 
 
 
0,25
AB =
2
1
2 5 5 4 20
2
m
 

 
   
 
 
 

 
 
1m 
Vậy m =1 là giá trị cần tìm
0,25
2
5.0
2a
2
Điều kiện :
; 1x x 
(*)
0.25
Pt đã cho tương đương:
4 2
3 1
12 55
x x
C A
 

0.5
( 3)( 2)( 1)
12 55( 1)
4.3.2.1
x x x x
x x
  
  
0,5

2
13
5 104 0
8
x
x x
x
 

    



.Kết hợp (*) suy ra: x=8 là nghiệm của pt
0.75
2b
3,0
Phương trình tương đương với 1 – 2 sin
2
x. cos
2
x = 1 – 2sin
2
2x
1,0
2 2
1
1 sin 2 1 2sin 2
2
x x   

0.5
2
3
sin 2 0 sin 2 0
2
x x   
0.5
2x k

 
0.5
 
2
x k k Z

  
0.5
3
5,0
3a
3,0
TXĐ: [-2;2]
0,25
y’ = 1 -
2
4
x
x
0,5
y’ = 0

2
4 x x  
0,25
2 2
0
4
x
x x




 

0,5
2x 
y’ không xác định tại x = 2, x = - 2
0,5
y(-2) = -2, y(2) = 2, y(
2
) = 2
2
0,5
 
 
min 2 2y y   
-2;2
0,25
Vậy
 

 
2 2 2m y y 
-2;2
ax
0,25
3b
2.0
I =
   
 
 
2
2
5 6 5 6
lim
4 5 6
x
x x x x
x x x

   
  
0,5
 
 
2
2
2
5 6
lim

4 5 6
x
x x
x x x

 

  
0,5
   
   
 
2
2 3
lim
2 2 5 6
x
x x
x x x x

 

   
0,5
 
 
 
2
3
lim

2 5 6
x
x
x x x



  
0.25
1
16


0.25
4
6,0
4a
3,0
f(x)
Gọi V, V
A
, V
B
, V
C
, V
D
theo thứ tự là thể tích của các tứ diện ABCD, MBCD,
MCDA, MABD, MABC. Ta có V= V
A

+ V
B
+ V
C
+ V
D
0,75
3 .
3 .
A A A BCD A
A BCD A
V V d S d
V V h S h
  
0,75
Tương tự
; ; .
B B C C D D
B C D
V d V d V d
V h V h V h
  
0,75
Suy ra
1.
A B C D A B C D
A B C D
d d d d V V V V
h h h h V V V V
       

0.75
4b
2,0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có
4
4 . . .
A B C D A B C D
A B C D A B C D
d d d d d d d d
h h h h h h h h
   
0,5
4
1 4 . . .
A B C D
A B C D
d d d d
h h h h
 
0,5
1
. . .
256
A B C D
A B C D
d d d d
h h h h
 
0,5
1

. . . . . . .
256
A B C D A B C D
d d d d h h h h 
0,25
A
B
C
D
M
h
A
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
.
4
A B C D
A B C D
d d d d
h h h h
   
hay M là trọng tâm tứ diện ABCD.
0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.