Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 12 THPT Yên Mô ppt

Trờng THPT Yên Mô B
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. Giải các phơng trình:
1. cos
5
x + sin
7
x +
1
2
(cos
3
x + sin
5
x)sin2x = cosx + sinx
2.
x
+
7x
+ 2
2
7x x
= 35 - 2x
Câu 2. Cho hàm số y =
1
2
x
x

1. Chứng minh rằng đờng thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm
phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. Khi nào thì hai tiếp tuyến tại hai điểm đó song
song với nhau?
2. Tìm điểm A thuộc đồ thị hàm số đã cho sao cho tổng khoảng cách từ A đến hai trục
toạ độ nhỏ nhất.
Câu 3.
1. Chứng minh rằng với mọi x, y ta có : x
2
.sin
2
y + cos
2
y + 2x(sinx + cosy) + x
2
+ 1 > 0
2. Trong các nghiệm của hệ
2 2
2 2
9
16
12
x y
z t
xt yz

Hãy tìm giá trị lớn nhất của x + y
Câu 4.
1. Cho 13 số thực khác nhau chứng minh rằng luôn tìm đợc hai số a, b trong 13 số đó
thoả mãn 0 <
1
a b
ab


<
2 3
2 3


2. Cho dãy số (u
n
) thoả mãn:
1
2
1
1
2
n n n
u
u u u

Tìm lim
1 2 3
1 1 1 1

1 1 1 1
n
u u u u





Câu 5
Cho hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau d
1
và d
2
, AB là đoạn vuông góc
chung, A thuộc d
1
B thuộc d
2
. Biết AB = 2a, C là điểm nằm trên d
1
D là điểm nằm trên

d
2
Đặt AC = x, BD = y.
a. CMR các mặt của tứ diện ABCD là tam giác vuông khi đó tính tổng bình phơng
diện tích các mặt của tứ diện ABCD theo a, x, y đặt tổng này là S.
b. Tìm hệ thức giữa x, y và a để CD = x + y. khi đó tìm x, y sao cho S nhỏ nhất.
Hết