Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 potx

Thông báo
1. Tài liệu này ở phần 1 có sử dụng tài liệu của thầy giáo Lê Bá Hoàng (Phòng GD-ĐT
Hồng Lĩnh)
2. Liên hệ email để có thêm chi tiết:

website: />ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài 150’)
Câu 1: Giải phương trình.
xx
x
−−
−
1
36
= 3 + 2
2
xx −
Câu 2: Cho hệ phương trình:
x - 3y - 3 = 0
x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2

; y
2
) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị của biểu
thức.
M = (x
1
- x
2
)
2
+ (y
1
-y
2
)
2
.
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là các
tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C). Tiếp
tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng
tỷ số
EF
PQ
không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của
ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.
ĐỀ SỐ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

(Thời gian làm bài: 150’)
Câu 1: Cho biểu thức.
(x +
200620062006
22
=+++ )yy()x
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
0
1
22
22
≤
−+
−+−
yx
yyxx
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính
phương.
Câu 4: Cho hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn
này nằm trong đường tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3

) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại
T của (C
1
) và (C
2
) cắt (C
3
) tại P. PM cắt đường tròn (C
1
) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C
1
) tại
điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C
2
) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C
2
) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phương trình.
x
2
+ 3x + 1 = (x+3)
1
2
+x
ĐỀ SỐ 3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THANH HOÁ MÔN: TOÁN
***** Thời gian: 150 phút

Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?

5 13 5 13 5 y = + + + + +
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. Chứng minh rằng :
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
+ + =
+ +
Bài 3: Giải hệ phương trình:

2 2 1 9
1 1
x y
x y
 − + − =


+ − = −


Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
2
( 1) 2 1

2
m x my m
mx y m
+ + = −


− = −

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Tìm m để phương trình (x
2
-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x
1
, x
2
,
x
3
, x
4
thoả mãn điều kiện
1 2 3 4
1 1 1 1
1
x x x x
+ + + = −
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2

y x=
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
x
3
– y
3
– 2y
2
– 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao
cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B.
Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi
M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
µ
0
90A ≠
, M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ
dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
ĐỀ SỐ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Bài I (2
đ
)
Rút gọn A

a
a
a
a
211
21
211
21
−−
−
+
++
+
Với a =
4
3
Bài II (6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x
2
+ 4x = 19-3y
2
b) Giải hệ phương trình
x
3
=7x +3y

y
3
= 7y+3x

Bài III (3
đ
)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6
đ
)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là trung điểm của các
đường hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH’ BC. Gọi I là giao điểm của MH’ và NH. Chứng ⊥ ⊥
minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3
đ
)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc.
ĐỀ SỐ 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
MÔN TOÁN -THỜI GIAN : 150 PHÚT
NGƯỜI RA ĐỀ : LÊ THỊ HƯƠNG – LÊ THỊ TÂM
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2
3)6(6
−−
−

−+−
−
−+−
−+−
xxxxxxx
xxx
điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phương trình
48
2
+x
= 4x - 3 +
35
2
+x
Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x
3
y
3
+ z
3
- 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình
x
3
+ y
3
+ z

3
- 3xyz = x (y - z)
2
+ z (x - y)
2
+ y( z-x)
2
(1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức
ϕ
=
2221616
2
10
2
10
)1()(
4
1
)(
2
1
yxyx
x
y
y
x

+−+++
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường
phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính
diện tích mỗi phần.
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông với
nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H
xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với
các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M,
N, P, Q nằm trên một (0).
ĐỀ SỐ 10
SỞ GD-ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A
( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)


Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=
( )
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
−
−
−
−
−
+
+

2
)(
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phương trình: x
2
+ 4x + 5 = 2
32 +x
2, Cho 1
≤
a
≤
2 và 1
≤
b
≤
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
33
2
)(
ba
ba
+
+
Câu 3, (6 điểm)
1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình
bậc hai: (m-2)x

2
-2(m-1)x +m = 0
Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác
là:
5
2

2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng (
∆
) . Đường tròn (o) tiếp xúc với
đường thẳng (
∆
) tại A. Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp xúc
với đường thẳng (
∆
) tại B.
Câu 4: (5 điểm)
Cho hai đường tròn (o
1
) và (o
2
) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của
hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o
1
) và (o
2
) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song
song với CD lần lượt cắt (o
1
) và (o

2
) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt
đường thẳng MN tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh
rằng:
1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.
Đề số 11
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – BẢNG B
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Rút gọn A=






+








−
+
−

−
+
+
a
a
a
aa
1
1
1
1
22
1
22
1
2
2
với a > 0 và a ≠1
Bài 2: Phân tích đa thức B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1 thành nhân tử
Bài 3: Tìm m để phương trình
0
4
15
22

=+− mxx
có hai nghiệm và nghiệm này bằng bình
phương nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
( )
( )



−=+
+=+
2122
112
mmyx
mymx
Bài 5: Giải phương trình
55
2
=++ xx
Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy.
Xác định m để S
∆
ABO
bằng 4.
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC vuông ở A biết rằng đường
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,
∧

BAC
= 60
0
, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi giao điểm
của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp.
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.
ĐỀ SỐ 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HOÁ Môn thi : Toán
( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài I (3,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là

nghiệm dương của phương trình : 4x
2
+
2
x-
2
= 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phương trình : x
2
+ax+b = 0 có hai nghiệm x

1
, x
2
và phương
trình :x
2
+cx +d = 0 có hai nghiệm x
3
, x
4
.Chứng minh rằng :
2(x
1
+x
3
) (x
1
+x
4
) (x
2
+x
3
) (x
2
+x
4
) = 2(b-d)
2
- (a

2
-c
2
)(b-d)+(a+c)
2
(b+d)
2) Chứng minh rằng nếu phương trình :
ax
4
+bx
3
+cx
2
-2bx+4a=0 (a
≠
0)
có hai nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
x
2
=1 thì 5a
2
=2b
2
+ac

Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lượt là các
đường cao. H là trực tâm
1) Chứng minh rằng:
2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m
Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong
các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :
x
2
+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn


24
1
1
aaa
a
−++
+
6
'''
≥++
HC

CH
HB
BH
HA
AH
m
HA
AH
=
'
Đề số 13
Sở GD-ĐT Thanh Hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Bài 1: (2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:
A=
322
1
322
1
−−
+
++
Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P): y=
4
1
x
2

a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có hoành độ
lần lượt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R). Trên cung AC có chứa
điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba cố
định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R.
Bài 4: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’ cách đều các điểm
A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của đáy
ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phương trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2x
2
+7xy + 6y
2
= 60
Đề số 14
Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ MÔN : TOÁN
NGA SƠN Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao

Bài 1: (6 điểm)
1- Giải phương trình : x
2
+ y
2
= 5
x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= 13
2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phương trình : x
2
– 2 .(m - 1) x + m – 3 = 0
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d ê R.
Hãy chứng minh : a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
≥ 1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC,
SB SC.
Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất
Đề số 21
2x- 1
x
2
+ 2
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
o0o
ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán
o0o
Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:
( )
( )
2
x x

2
x x
1
1 2 2 1
4
A
1
1 2 2 1
4
−
−
+ − −
=
+ − +
, với x < 0.
Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có 2 nghiệm đối nhau:
x
4
– 4x
3
+ 3x
2
+ 8x – 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
, biết rằng: x
2
+

y
2
– xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x
2
+ 13y
2
= 1820.
Câu 5: (3 điểm)
Cho ∆ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AB = AC = R
2
.
a) Tính BC theo R?
b) Cho M là điểm di động trên cung
»
AC
nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM và BC. Chứng
minh rằng AM.AD là hằng số.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCD di động trên một đường cố định
khi M di động trên cung
»
AC
nhỏ.
Đề số 22
SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức
( )
aa

a
aaaa
A −
+
++
=
2
:
1
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức








−






−=
22

1
1
1
1
yx
B
Bài 3 : Cho phương trình
2
1
)1(
4
2
−−=− xm
x
(m là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với
m∀
R∈

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
, xx
thoả mãn biểu thức
2
212
2
1
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất, tính
giá trị này

Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt
được là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phương trình
5168143 =−+++−−+ xxxx
Bài 6 : Cho parabol(P) : y=
2
4
1
x−
và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – 1
a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định
)(PA∈
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
1820137
22
=+ yx
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1 −−−=
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên

4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì . tìm quỹ tích các
điểm O
1
đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P
ĐỀ SỐ 23
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
BÀI I (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0 và x
2
+ bx + 17 = 0. Biết rằng hai phương trình có
nghiệm chung và
.nhÊtnhába +
Tìm a và b.
BÀI II (2 điểm)
Giải phương trình:
2055
2
=−++−+ xxxxx
.
BÀI III (2,5 điểm)
1/ Giải hệ phương trình:




+=+
=+
4477
33
1
yxyx
yx
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x
3
+ y
3
+ 6xy = 21.
BÀI IV (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là điểm chính giữa cung BC
không chứa điểm A. Gọi M
’
là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác trong
góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM
’
lần lượt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn.
2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
BÀI V (2 điểm)
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện:
11830 ≤≤≤≤ b;a

và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b .

2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz .
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng
(P).

Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ……….
Đề số 24
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
Trường THPT Hoằng Hoá 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
Rút gọn biểu thức :
P =
20052001
1

139
1
95
1
51
1
+
++
+
+
+
+

+
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
S =
2
22
2
22
2
22
1
)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1)(1(
z
yx
z
y
xz
y
x
zy
x
+
++
+
+

++
+
+
++
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải phương trình :
6
23
13
253
2
22
=
++
+
+− xx
x
xx
x
Bài 4 (2 điểm)
Giải hệ phương trình :



−=+
−=−
1
)(3
33
yx

yxyx
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
4524428183
22
+−++− xxxx
= – x
2
+ 6x -5
Bài 6 (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y =
2
4
1
x
và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần
lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng có hoành độ x ∈[-2; 4] sao cho
tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)
Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho
1
2
2
4
+
+
yx
x
là số nguyên dương.
ĐỀ SỐ 26

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - MÔN TOÁN: THỜI GIAN: 150PHÚT
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
225353
42410175175
−+−−+
+−−−−+
=A
Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x
3
- 26x
2
+ 9x - 1
Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:
x
2
- 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
myx
yx
=+
=+
2
32
Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:
có nghiệm (x;y) thoả x
2
+ y
2
= 1

Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d
2
) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất.
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả
32
5112
23
−
+−+
=
x
xxx
y
Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a ⊥ b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D. Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả mãn IA.ID = IB.IC.
132
1
−=+
=+
myx
ymx
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn
b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm E trên FD
sao cho AE ⊥ FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên AB thoả AM =
MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC

AQ cắt DN, BP lần lượt tại A
1
D
1
CM cắt DN, BP lần lượt tại B
1
C
1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
có diện tích đạt giá trị lớn nhất.
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m
3
. 2 đáy là 2
đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O), C di động trên đường tròn
(O). S thuộc đường tròn tâm (O').
a) Xác định C để diện tích ∆ ABC là lớn nhất
b) Khi ∆ ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp SABC.
Đề số 28
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HÓA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
TRƯỜNG THPT BC LÊ VIẾT TẠO
****************************
Bài 1:

a) Chứng minh rằng:
333
3
3
9
4
9
2
9
1
12 +−=−
b) Tính giá trị biểu thức
132
235
−+−+= xxxxE
với
21−=x
Bài 2: Cho
ba −≠
,
ca −≠
,
cb −≠
chứng minh rằng
ba
ba
ac
ac
cb
cb

bcac
ba
abcb
ac
caba
cb
+
−
+
+
−
+
+
−
=
++
−
+
++
−
+
++
−
))(())(())((
222222
Bài 3: Cho phương trình:
0122
2
=−+− mmxx
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

Bài 4: Giải phương trình:
558 =−++ xx
Bài 5: Chứng minh nếu
2>a
thì hệ sau vô nghiệm:





=+
=−
1
2
22
5
yx
ayx
Bài 6: Cho Parabol (P)
2
4
1
xy =
và đường thẳng (d):
2
2
1
+−= xy
. Gọi A và B là giao điểm
của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích

∆
MAB lớn nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
4444
248 tzyx =++
Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung tuyến AM qua
AD cắt BC tại N. Chứng minh:
2
2
AC
AB
NC
NB
=
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao
nhiêu.
Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0) tại A cắt BM
và BN tại M
1
, N
1
. Gọi P là trung điểm của AM
1
, Q là trung điểm của AN
1
. Đường kính AB cố
định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đường kính MN thay đổi.
ĐÊ SỐ 30
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức






−+
−
−
+
−
+
−
−






−
−
−=
6xx
x9
x3
2x
x2

3x
:
9x
x3x
1P
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a)
01x4x
5x4x
5
2
2
=−+−
+−
b)



=+
=++
7yx

4y1x
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường
kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng
b. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N.
Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN
Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy1
2
y1
1
x1
1
22
+
≥
+
+
+
với x ≥ 1, y ≥ 1
ĐỀ SỐ 31
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
Trường THPT Quảng Xương 1 MÔN: MÔN TOÁN - BẢNG A -NĂM HỌC 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
1> cho









−
+
+








+
−
−
= x
x
xx
x
x
xx
P
1
1
1
1

a> Rút gọn P
b> Tìm giá trị lớn nhất của
P
1
2>> Tìm trên đường thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
y
2
- 3y
x
+ 2x =0
Bài 2: (5 điểm)
1> Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
+ mx + n =0. Tìm m, n thoã mãn hệ



=−
=−
35
5
3
2
3
1
21

xx
xx
2> Giải phương trình:
4
)11(
2
2
−=
++
x
x
x
Bài 3: (5 điểm)
1> Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp điểm của AB và
CD với đường tròn (O).
a> CMR:
CF
DF
AE
BE
=
b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A. Gọi H, K
là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
1> Tìm
Ra
∈
để phương trình ẩn x sau:
074)

2
11
4(2
22
=+++−
axax

có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:
3
)(
4
2
2
2
2
222
22
≥++
+ x
y
y
x
yx
yx
với x, y khác 0
Đề số 32
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn
P=
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
−−
−
+
++
+
b. Giải phương trình:
333
511 xxx =−++
Bài2 (5điểm)
a. Giải hệ phương trình








−=+
−=+
−=+
14
14
14
yzx
xzy
zyx
b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
cba
c
bca
b
acb
a
−+
+
−+
+
−+
1694

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:
x
2
+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB
⊥
AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của AC và BC
cắt nhau tại O.
a. Chứng minh
∆
ABH đồng dạng với
∆
MKO
b. Chứng minh
3
333
333
IBIHIA
IMIKIO
++
++
=
4
2
ĐỀ SỐ 33
NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút.
Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III

Bài 1:
1) (2đ) Rút gọn biểu thức:
3
243
3
243
3
1
627
3
1
3
1
627
3
1
++−++++++= aaaaaaaaA
.
2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
33
42231
1
−+
=A
.
Bài 2:
1) (2đ) Giải phương trình:
xxxyzxyxzyx −−−=+−−−+++
2222
2116495

.
2) (2đ) Giải hệ phương trình sau:





=+
=+
12
10
22
x
yx
22
yyx

.
Bài 3:
1) (2đ) Giải phương trình:
0121122
224
=−+−− xxx
2) (2đ) Lập phương trình đường thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số
xxxxy −−+=
22
(C).
Bài 4:
1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của
cba

T
111
++=
với a, b, c ∈ N và T < 1.
2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM. Chứng minh rằng
12
2
−






=
BC
AB
MC
AM
.
Bài 5:
Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tứ giác
sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam giác AEB và
CED trong các trường hợp:
1) (2đ) AB và CD song song.
2) (2đ) AB và CD không song song.
HẾT.
ĐỀ SỐ 35
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN - THANG ĐIỂM: 20

Bài 1: (6đ)
1. (2đ) Rút gọn biểu thức A =
322
32
322
32
−−
−
+
++
+
2. (4đ) Tính giá trị của tổng
B =
222222
100
1
99
1
1
3
1
2
1
1.
2
1
1
1
1 +++++++++
Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dương đôi một khác nhau thoả mãn:

3
x
+ 3
y
+ 3
z
= 6831
Bài 3: (4đ).
1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:
y =
xx −++ 63
2. (2đ) Cho các số dương a, b, c biết
1
111
≤
+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
Chứng minh rằng: abc
8
1
≤
Bài 4: (2đ) Giải phương trình:

x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7
Bài 5: (6 đ).
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp
hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và (Q) cắt AB, AH,
AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.
a. (2đ) ∆HPQ ~ ∆ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp được
ĐỀ SỐ 36
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TRUỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI MÔN : TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT


Câu1:(4đ)
1.Đơn giản các biểu thức sau:
249225 ++−=A
1
22
5
56
+
−+−
=
a
aaa
B
;
1
−≠

a
.
2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi
zxyx
a
+
=
+
5
và
( )
( )( )
zyxyz
zx
++−
=
+
2
1625
2
Câu2:(4đ)
Giải các phương trình sau:
1.
29612
22
=+−++− xxxx
2.
( )( )
256
27

21
3
=−− xx
với
21
≤≤
x
Câu3: (4đ)
Cho họ đường thẳng (D
m
) có phương trình :
11
1
2
2
2
++
+
++
+
=
mm
m
x
mm
m
y
1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (D
m
).

2.Tìm m để đường thẳng của họ (D
m
) cắt Parabol (P) : y = x
2
tại hai điểm có hoành độ dối
nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.
Câu4: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn đó .
Gọi A
/
,B
/
,C
/
lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC , CA , AB .
1.Chứng minh các tứ giác BC
/
A
/
M và CA
/
MB
/
nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A
/
, B
/
, C
/

thẳng hàng.
3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M
1
≠M. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là hình chiếu
của M
1
lên các đường thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M
1
trên đường tròn tâm
O để đường thẳng A
1
B
1
C
1
vuông góc với đường thẳng A
/
B
/
C
/
.
Câu5: (4đ)

Chứng minh rằng:
1.
01
258
≥+−+− xxxx
với mọi số thực x.
2.
1
1
1
11
2
>++
+
+
n
nn

với mọi số tự nhiên
1>n
./.
ĐỀ SỐ 38
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN TOÁN
( Thời gian: 150 phút)
Câu 1:
a.(1 đ) Rút gọn biểu thức
A =
52104 ++
+

52104 +−
b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức
B =
x
x
211
21
++
+
+
x
x
211
21
−−
−
với x =
4
3
Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x
2
- mx + m - 1 = 0
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức
)1(2
32
21
2
2
2
1

21
+++
+
=
xxxx
xx
C
Với x
1
,

x
2
là các nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 3:
a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x
2
+3x(4
x+1
-9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:
z
xy
+
x
yz
+
y
zx
=3

Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn
(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z
Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27
Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm
M’A và N’A
a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp.
b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của
∆
BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA.
ĐỀ SỐ 40
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Đề đề xuất
Thời gian150’
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
a\ Rút gọn biểu thức P
b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9
1±≠∀x
Bài 2:(4đ) Cho parabol (P):
2
2
1
xy
−=
, điểm I(0;2) và điểm M(m;0)
0
≠∀
m
a\ Vẽ (P)

b\ Gọi d là đường thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm
phân biệt A, B
c\ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục Ox. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông.
d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4
0≠∀m
Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x
2
-2(m-2)x+m+1=0
a. Giải và biện luận theo thámố m
b. Khi phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
độc lập với tham
số m
Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các
cạnhBC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Kẻ BB
1
AO⊥
, AA
1
BO⊥
Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng.
Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
y
2

=-2(x
6
-x
3
y-32)
ĐỀ SỐ 44
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán Thời gian:
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ
Hà Quang Hiểu
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
1
4
1
1
1
3
23453434
−+−+−
−
−−+
−
−+−
=
xxxxxxxxxxx
P
A =
( )
96
164

2
2
22
+−+
+−
xx
x
xx
a) Rút gọn A
b) Tìm
x
nguyên để A nguyên
Bài 2: (4điểm) Cho phương trình:

( )
0112
2
=−+−− mxmx
(1)
a) Tìm
m
để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
b) Giả sử
21
, xx
là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
2
2

2
1
++=Μ xx
Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

7
111
=+
yx
Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phương trình
3
1
2
2
=++
y
x
y
x
3
1
=++
y
x
y
x
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm tam giác; M là một điểm trên
cung BC không chứa điểm A.
a) Tìm vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Gọi E,F lần lượt là 2 điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh rằng E,H,F
thẳng hàng.
Bài 6: (2 điểm) Cho
[ ]
1;0∈a
Chứng minh rằng:
211
22
≤+−++− aaaa
dấu bằng xảy ra khi
nào?
ĐỀ SỐ 51
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán. Bảng A
(Thời gian làm bài: 150 phút )
Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình x
4
+ 2mx
2
+ 4 =0