Tải bản đầy đủ (.doc) (4 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ - TOÁN pps

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (151.49 KB, 4 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (3 điểm)
a) Khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi, hóy chứng minh đẳng thức :
3 3 13 4 3 1− − − =
.
b) Giải hệ phương trỡnh :
2
1 5
( 2 1) 36
x y
x x y

+ + =


+ + =


Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trỡnh:
4 2
2 2 1 0x mx m
− + − =
.
Tỡm giỏ trị
m
để phương trỡnh cú bốn nghiệm
1 2 3 4
, , ,x x x x


sao cho:
1 2 3 4
x x x x< < <

( )
4 1 3 2
3x x x x− = −
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường trũn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bỏn kớnh OB và
(S) là đường trũn đường kính AC. Trên đường trũn (O) lấy hai điểm tùy ý phõn biệt
M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường
trũn (S).
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh:
2
ME = MA MP
×
.
c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh:
ME AM
NF AN
=
.
Bài 4: (1,5 điểm)
Tỡm số tự nhiờn cú bốn chữ số (viết trong hệ thập phõn) sao cho hai điều kiện
sau đồng thời được thỏa món:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và
chữ số hàng đơn vị cũn q là tỉ số của chữ số hàng nghỡn và chữ số hàng trăm.

Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bỡa dạng tam giỏc vuụng cú độ dài ba cạnh là cỏc số nguyờn. Chứng
minh rằng cú thể cắt tấm bỡa thành sỏu phần cú diện tớch bằng nhau và diện tớch mỗi
phần là số nguyờn.
Hết
SBD thớ sinh: Chữ ký GT1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI NỘI DUNG Điểm
B.1 3,0
1.a
( )
( )
2
2
3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1
3 3 2 3 1 3 3 2 3 1
3 3 2 3 1 3 3 1
3 3 1 3 3 1 1
− − − = − − − +
= − − − = − − −
= − − + = − −
= − − = − + =
0.25
0.25
0,25
0.25
1.b Điều kiện y


0 . 0,25
( )
2
2 1 36 1 6x x y x y+ + = ⇔ + =
.
0,25
Đặt
1u x= +
,
v y=
(
0, 0u v≥ ≥
), ta cú hệ
5
6
u v
uv
+ =


=


0,50
Giải ra : u

= 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2 0,25
Trường hợp u

= 2 , v = 3 cú : ( x


= 1 ;

y = 9 ) hoặc ( x

=

3 ;

y = 9) 0,25
Trường hợp u

= 3 , v = 2 cú : ( x

= 2 ;

y = 4 ) hoặc ( x

=

4 ;

y = 4) 0,25
Hệ đó cho cú 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . 0,25
B.2 1,5
4 2
2 2 1 0x mx m
− + − =
(1)
Đặt :

2
t x=
, ta cú :
2
2 2 1 0t mt m− + − =
(2) (
0t ≥
) .
0,25
( )
2
2
' 2 1 1 0m m m∆ = − + = − ≥
với mọi
m
.
0,25
Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thỡ (2) luụn cú hai nghiệm dương phân biệt
1 2
,t t
. Tương đương với:
1
' 0, 2 1 0, 2 0 , 1
2
P m S m m m∆ > = − > = > ⇔ > ≠
(3)
0,25
Với điều kiện (3), phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương
1 2
0 t t< <

và phương trỡnh
(1) cú 4 nghiệm phõn biệt:
1 2 2 1 3 1 4 2
x t x t x t x t= − < = − < = < =
Theo giả thiết:
( )
4 1 3 2 2 1 2 1 2 1
3 2 6 3 9x x x x t t t t t t− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
(4)
0,25
Theo định lí Vi-ét, ta có:
1 2
2t t m+ =

1 2
2 1t t m= −
(5)
Từ (4) và (5) ta cú:
1
10 2t m=

2
1
9 2 1t m= −
2
1 2
5
9 50 25 0 ; 5
9
m m m m⇒ − + = ⇔ = =

.
Cả hai giá trị đều thỏa món điều kiện bài toán.
Vậy để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm thỏa món điều kiện bài toán thỡ cần và đủ là:
5
9
m =

5m
=
.
0,50
B.3 3,0
3.a + Hỡnh vẽ
·
·
0
90 //CPA BMA CP BM= = ⇒
Do đó :
AP AC
AM AB
=
(1)
+ Tương tự:
//CQ BN

AQ AC
(2)
AN AB
=
Từ (1) và (2):

AP AQ
AM AN
=
,
Do đó
//PQ MN
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Hai tam giỏc MEP và MAE cú :
·
·
EMP AME=

· ·
PEM EAM=
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
2
ME MP
ME MA MP
MA ME
= ⇒ = ×
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng có:

2
NF NA NQ= ×
+ Do đó:
2
2
ME MA MP
NF NA NQ
×
=
×
+ Nhưng
( // )
MP MA
Do PQ MN
NQ NA
=
+ Từ đó:
2 2
2 2
ME AM ME AM
NF AN NF AN
= ⇒ =
0,25
0,25
0,25
0,25
B. 4
1,5
Xột số tựy ý cú 4 chữ số
abcd


1 9a b c d
≤ < < < ≤
. (a, b, c, d là cỏc số
nguyờn).
Ta tỡm giỏ trị nhỏ nhất của
c a
p q
d b
+ = +
0,25
Do b, c là số tự nhiờn nờn:
1c b c b
> ⇒ ≥ +
. Vỡ vậy :
1 1
9
b
p q
b
+
+ ≥ +
1 1 1 1 7
2
9 9 9 9 9
b b
p q
b b
+ ≥ + + ≥ + × =
0,75

7
9
p q+ =
trong trường hợp
1
1, 9, 1,
9
b
c b d a
b
= + = = =
Vậy số thỏa món cỏc điều kiện của bài toán là: 1349
0,25
0,25
B.5
1,0
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giỏc vuụng ABC, c là cạnh huyền.
Ta cú
2 2 2
a b c+ =
; a, b, c
*
∈N
, diện tớch tam giỏc ABC là
2
ab
S =
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
+ Chứng minh

3abM

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thỡ
2 2
a b+
chia 3 dư 2.
0,25
2
Suy ra số chính phương
2
c
chia 3 dư 2, vô lý.
+ Chứng minh
4abM

- Nếu a, b chẵn thỡ
4abM
.
- Nếu trong hai số a, b cú số lẻ, chẳng hạn a lẻ.
Lúc đó c lẻ. Vỡ nếu c chẵn thỡ
2
4c M
, trong lỳc
2 2
a b+
khụng thể chia hết cho 4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h

N
. Ta cú :

( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1b h k= + − +
=
( ) ( )
4 1h k h k− + +
=
( ) ( ) ( )
4 1 8 8h k h k k h k− − + + − M
Suy ra
4bM
.
0,25
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối cỏc điểm chia với C
thỡ tam giác ABC được chia thành 6 tam giỏc, mỗi tam giỏc này cú diện tớch bằng
12
ab
là một số nguyờn.
0.25
GHI CHÚ:
− Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
− Điểm toàn bài không làm tròn.
3

×