Toán cao cấp C2 Cao đẳng pptx

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 1
TO
TO
Á
Á
N CAO C
N CAO C
Ấ
Ấ
P C2
P C2
CAO Đ
CAO Đ
Ẳ
Ẳ
NG
NG
PHÂN PH
PHÂN PH
Ố
Ố
I CHƯƠNG TRÌNH
I CHƯƠNG TRÌNH
S
S
ố
ố
ti

ti
ế
ế
t
t
: 30
: 30


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Chương 2. Phương trình vi phân
Chương 3. Lý thuyết chuỗi
Chương 4. Một số bài toán kinh tế
Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp
– ĐH Công nghiệp
TP. HCM.
Download Slide
Download Slide
b
b
à
à
i
i
gi
gi
ả
ả

ng
ng
To
To
á
á
n
n
C
C
2
2
CĐ
CĐ
t
t
ạ
ạ
i
i
dvntailieu.wordpress.com
dvntailieu.wordpress.com
Biên
Biên
so
so
ạ
ạ
n
n

:
:
ThS
ThS
.
.
Đo
Đo
à
à
n
n
Vương
Vương
Nguyên
Nguyên

2. Nguyễn Đình Trí

–

Toán cao cấp Tập 2
(dùng cho

SV Cao đẳng) –
NXB Giáo dục.

3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2
– ĐH Kinh tế
TP. HCM.

4. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3
–NXB
ĐHQG TP. HCM.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế

n
n
s
s
ố
ố
§1. Khái niệm cơ bản
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân
§3. Cực trị của hàm hai biến số
……………………….
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Các định nghĩa
a) Miền phẳng
• Trong mặt phẳng
Oxy
, hình phẳng
D
giới hạn bởi các
đường cong kín được gọi là miền phẳng.
Tập hợp các đường cong kín giới hạn
D
được gọi là
biên của
D
, ký hiệu
D
∂
hay
Γ

.
Đặc biệt, mặt phẳng
Oxy
được xem là miền p
hẳng với
biên ở vô cùng.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi

ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Miền phẳng
D
kể cả biên
D
∂
được gọi là mi
ề
n
đ
óng
,
miền phẳng
D
không kể biên
D
∂
là mi
ề
n m
ở
.
• Miền phẳng

D
được gọi là mi
ề
n liên thông
nếu có 1
đường cong nằm trong
D
nối 2 điểm bất kỳ thuộc
D
.

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
là miền đơn liên (hình a)
; có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).

b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm
1 1 1
( , )
M x y
,
2 2 2
( , )
M x y
là:


Chương

Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Hình tròn

( , )
S M
ε
mở có tâm
( , )
M x y
, bán kính
0
ε >
được
gọi là một lân cận của điểm
M
.
Nghĩa là:
2 2
0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y
∈ ε ⇔ − + − < ε
.
M
ε
•
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2

,
d M M M M x x y y
= = − + −
.
c) Hàm số hai biến số
• Trong mặt phẳng
Oxy
cho tập
2
D
⊂
ℝ
.
Tương ứng
:
f D
→
ℝ
cho tương ứng mỗi
( , )
x y D
∈
với một giá trị
( , )
z f x y
= ∈
ℝ
duy nhất
được gọi là
hàm số hai biến số

,
x y
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n

n
s
s
ố
ố
• Tập
2
D
⊂
ℝ
được gọi là miền xác định (MXĐ) của h
àm
số, ký hiệu
f
D
. Miền giá trị của hàm số là:
{
}
( , ) ( , )
f
G z f x y x y D
= = ∈ ∈ℝ
.
Chú ý
• Trong trường hợp xét hàm số
( , )
f x y
mà không nói gì
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
2

( , )M x y ∈
ℝ
sao cho
( , )
f x y
có nghĩa.
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.

1.2.
Giới hạn của hàm số hai biến
s
ố
(
xem giáo trình
)

1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình)
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 2


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à

à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN
2.1. Đạo hàm riêng
a) Đạo hàm riêng cấp 1
• Cho hàm số
( , )
f x y
xác định trên miền mở

2
D
⊂
ℝ
chứa điểm
0 0 0
( , )
M x y
. Cố định
0
y
, nếu hàm số
0
( , )
f x y
có đạo hàm tại
0
x
thì ta gọi đạo hàm đó là
đạo hàm riêng
theo biến
x
của hàm số
( , )
f x y
tại
0 0
( , )
x y
.

Ký hiệu:
0 0
( , )
x
f x y
hay
/
0 0
( , )
x
f x y
hay
0 0
( , ).
f
x y
x
∂
∂

Vậy
0
/
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim .
x
x x

f x y f x y
f x y
x x
→
−
=
−



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến
y
tại
0 0
( , )
x y
là:
0
/
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim .
y
y y
f x y f x y
f x y
y y
→

−
=
−

Chú ý
• Nếu
( )
f x
là hàm số một biến
x
thì
/
x
f df
f
x dx
∂
= =
∂
.
•
Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa t
ương tự
.

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
4 3 2 3
( , ) 3 2 3
f x y x x y y xy
= − + −

tại
( 1; 2)
−
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế

n
n
s
s
ố
ố
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của
2
( , , ) sin
x y
f x y z e z
=
.
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số
/
( , )
x
f x y
,
/
( , )
y
f x y
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của
( , )
f x y
.
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của
cos

x
z
y
=
tại
( ; 4)
π
.
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của
2
2 2
1
ln
1
x
z
x y
+
=
+ +
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à

à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Ký hiệu:
( )
2
2
//
2
xx x

xx
f f
f f f
x x
x
 
∂ ∂ ∂


= = = =





∂ ∂
 
∂
,
(
)
2
2
//
2
yy y
y
y
f f
f f f

y y
y
 
∂ ∂ ∂


= = = =





∂ ∂
 
∂
,
( )
2
//
xy xy x
y
f f
f f f
y x y x
 
∂ ∂ ∂


= = = =






∂ ∂ ∂ ∂
 
,
(
)
2
//
yx yx y
x
f f
f f f
x y x y
 
∂ ∂ ∂


= = = =





∂ ∂ ∂ ∂
 
.
•

Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
2 có định nghĩa t
ương tự
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế

ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 6. Cho hàm số
5 4 4 5
( , )
f x y x y x y
= + −
.
Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm
3 2
(5)
(1; 1)
x y
f
−
là:
A.
3 2
(5)
(1; 1) 480
x y
f − =
; B.
3 2
(5)

(1; 1) 480
x y
f − = −
;
C.
3 2
(5)
(1; 1) 120
x y
f − =
; D.
3 2
(5)
(1; 1) 120
x y
f − = −
.
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
3 2 3 4
( , )
y
f x y x e x y y
= + −
tại
( 1; 1)
−
.
• Định lý Schwarz
Nếu hàm số
( , )

f x y
có các đạo hàm riêng
// //
,
xy yx
f f

liên
tục trong miền mở
2
D
⊂
ℝ
thì
// //
.
xy yx
f f
=



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à

m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
2.2. Vi phân

2.2.1. Vi phân cấp 1
a) Số gia của hàm số
• Cho hàm số
( , )
f x y
xác định trong lân cận

0
( , )
S M
ε
của điểm
0 0 0
( , )
M x y
. Cho
x
một số gia
x
∆
và
y
một
số gia
y
∆
, khi đó hàm
( , )
f x y
có tương ứng số gia:
0 0 0 0
( , ) ( , ).
f f x x y y f x y
∆ = + ∆ + ∆ −

VD 7. Đạo hàm riêng
2 2

( )
( 2)
m n
m n
x y x
z m
−
+
≥
của
2
x y
z e
−
=
là:

A.
2
( 1) 2
n m n x y
e
+ −
−
; B.
2
( 1) 2
m m n x y
e
+ −

−
;
C.
2
( 1) 2
m m x y
e
−
−
; D.
2
( 1) 2
n m x y
e
−
−
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 3


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à

à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
b) Định nghĩa

• Nếu trong lân cận
0
( , )
S M
ε

với số gia
x
∆
,
y
∆
mà số
gia
f
∆
tương ứng có thể viết được dưới dạng
(
)
2 2
. . , ( ) ( )
f A x B y O r r x y
∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + ∆

trong đó
,
A B
là những số
chỉ phụ thuộc vào điểm
0 0 0
( , )
M x y
và hàm
( , )
f x y
, không phụ thuộc

,
x y
∆ ∆
thì đại lượng
. .
A x B y
∆ + ∆
được gọi là vi phân
của hàm
số
( , )
f x y
tại điểm
0 0 0
( , )
M x y
. Khi đó,
( , )
f x y
được
gọi là khả vi tại điểm
0 0 0
( , )
M x y
.
Ký hiệu
. . .
df A x B y
= ∆ + ∆



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s

ố
ố
Nhận xét

• Xét những điểm
0 0
( , )
M x x y y
+ ∆ + ∆
dịch chuyển
trên đường đi qua
0
M
song song
Ox
. Khi đó
0
y
∆ =
:
0 0 0 0
( , ) ( , ) . ( )
f f x x y f x y A x O x
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆

/
0 0
0
lim ( , )
x

x
f
A A f x y
x
∆ →
∆
⇒ = ⇒ =
∆
.
Tương tự,
/
0 0
0
lim ( , )
y
y
f
B B f x y
y
∆ →
∆
= ⇒ =
∆
.
Suy ra
/ /
( , ) ( , ). ( , ).
x y
df x y f x y x f x y y
= ∆ + ∆

.
• Xét
( , ) ( , )
f x y x df x y x dx x
= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆
.
Tương tự,
dy y
= ∆
. Vậy:
/ /
( , ) ( , ) ( , ) .
x y
df x y f x y dx f x y dy
= +



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s

ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
c) Định lý
• Nếu hàm số
( , )
f x y
có các đạo hàm riêng
trong lân cận
nào đó của
0 0
( , )
x y
và các đạo hàm riêng này
liên tục

tại
0 0
( , )
x y
thì
( , )
f x y
khả vi tại
0 0
( , )
x y
.
VD 8. Cho hàm
2 5
( , )
x y
f x y x e y
−
= −
. Tính
(1; 1)
df
−
.
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm
2
2
sin( )
x y
z e xy

−
=
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n

n
s
s
ố
ố
Ký hiệu và công thức:
(
)
2 2
// //
2 2 // 2
2 .
xy
x y
d f d df f dx f dxdy f dy
= = + +

Chú ý
• Nếu
,
x y
là các biến không độc lập (biến trung gian)
( , )
x x
= ϕ ψ
,
( , )
y y
= ϕ ψ
thì công

thức trên không còn
đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp
,
x y
độc lập.
2.2.2. Vi phân cấp 2
• Giả sử
( , )
f x y
là hàm khả vi với
,
x y
là các biến độc
lập. Các số gia
,
dx x dy y
= ∆ = ∆
tùy ý độc lập với
,
x y
nên được xem là hằng số đối với
,
x y
. Vi phân của
( , )
df x y
được gọi là vi phân cấp 2 của
( , )
f x y
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s

ố
ố
VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm
2
( , ) ln( )
f x y xy
=
.
VD 10. Cho hàm số
2 3 2 3 5
( , ) 3
f x y x y xy x y
= + −
.
Tính vi phân cấp hai
2
(2; 1)
df
−
.
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)
• Hàm
( , )
z x y
xác định trên
2
z
D
⊂
ℝ

thỏa
phương trình
( , , ( , )) 0, ( , )
z
F x y z x y x y D D
= ∀ ∈ ⊂
(*) được gọi là
hàm số ẩn
hai biến xác định bởi (*)
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề

ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:

/ / / / / /
. 0, . 0
x z x y z y
F F z F F z
+ = + =
.
Vậy
( )
/
/
/ / /
/ /
, 0 .
y
x

x y z
z z
F
F
z z F
F F
= − = − ≠

VD 12. Cho hàm ẩn
( , )
z x y
thỏa phương trình:
cos( )
xyz x y z
= + +
. Tính
/ /
,
x y
z z
.
VD 13. Cho hàm ẩn
( , )
z x y
thỏa phương trình mặt cầu:
2 2 2
2 4 6 2 0
x y z x y z
+ + − + − − =
. Tính

/
y
z
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 4


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. Định nghĩa
• Hàm số
( , )
z f x y
=
đạt cực trị thực sự tại
0 0 0
( , )
M x y
nếu với mọi điểm
( , )
M x y
khá gần nhưng khác
0
M
thì
hiệu
0 0
( , ) ( , )

f f x y f x y
∆ = −
có dấu không đổi.
• Nếu
0
f
∆ >
thì
0 0
( , )
f x y
là giá trị cực tiểu và
0
M
là
điểm cực tiểu của
( , )
z f x y
=
.
• Nếu
0
f
∆ <
thì
0 0
( , )
f x y
là giá trị cực đại và
0

M
là
điểm cực đại của
( , )
z f x y
=
.
VD 1. Hàm số
2
2
2 2
3
( , )
2 4
y y
f x y x y xy x
 


= + − = − +





 

2
( , ) 0, ( , )f x y x y⇒ ≥ ∀ ∈
ℝ

nên đạt cực tiểu tại
(0; 0)
O
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế

ế
n
n
s
s
ố
ố
3.2. Định lý
a) Điều kiện cần
• Nếu hàm số
( , )
z f x y
=
đạt cực trị tại
0 0 0
( , )
M x y
và
tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:
/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0.
x y
f x y f x y
= =

Điểm
0 0 0
( , )
M x y

thỏa
/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0
x y
f x y f x y
= =
được
gọi là điểm dừng,
0
M
có thể không là điểm cực trị.
b) Điều kiện đủ
Giả sử
( , )
z f x y
=
có điểm dừng là
0
M
và có đạo hàm
riêng cấp hai tại lân cận của điểm
0
M
.
Đặt
2 2
// //
//
0 0 0

( ), ( ), ( )
xy
x y
A f M B f M C f M
= = =
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi

ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Khi đó:
• Nếu
2
0
( , )
0
AC B
f x y
A


− >

⇒


>


đạt cực tiểu tại
0
M

.
• Nếu
2
0
( , )
0
AC B
f x y
A


− >

⇒


<


đạt cực đại tại
0
M
.
• Nếu
2
0 ( , )
AC B f x y
− < ⇒
không đạt cực trị tại
0

M
.

• Nếu
2
0
AC B
− =
thì
ta
không thể kết luận.

3.3. Phân loại cực trị
• Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cong
S
chứa đường
cong
( )
C
. Chiếu
S
lên mp
Oxy
ta được miền
2
D
⊂
ℝ

và đường cong phẳng
( ) : ( , ) 0
x y
γ ϕ =
(xem hình vẽ).



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi

ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Khi đó, điểm
1
P S
∈
là
điểm cao nhất (hay thấp
nhất) so với các điểm ở
trong lân cận của nó và
hình chiếu
1
M D
∈
là
được gọi là điểm cực trị
tự do của hàm
( , )
f x y

xác định trên
D
(vì không phụ thuộc vào
( )

γ
).
Tương
tự, điểm
2
( )
P C
∈
là điểm cao nhất (hay thấp nhất)
so
với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu
2
( )
M
∈ γ
là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc
bởi
( ) : ( , ) 0
x y
γ ϕ =
của hàm
( , )
f x y
.


Chương
Chương
1.
1.

H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
3.4. Cực trị tự do
Cho hàm số
( , )
f x y

xác định trên
D
. Để tìm cực trị (
tự
do) của
( , )
f x y
, ta thực hiện các bước sau:
• Bước 1. Tìm điểm dừng
0 0 0
( , )
M x y
bằng cách giải hệ:
/
0 0
/
0 0
( , ) 0
( , ) 0.
x
y
f x y
f x y


=





=




• Bước 2. Tính
2
//
//
0 0 0 0
( , ), ( , )
xy
x
A f x y B f x y
= =
,

2
//
2
0 0
( , )
y
C f x y AC B
= ⇒ ∆ = −
.
• Bước 3.
Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.

VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số

(1 )
z xy x y
= − −
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế

n
n
s
s
ố
ố
VD 3. Tìm cực trị của hàm
2 2
4 2 8
z x y x y
= + + − +
.
VD 4. Tìm cực trị của hàm số
3 3
3 2
z x y xy
= + − −
.
VD 5. Tìm cực trị của
2 3 2 2
3 3 3 2
z x y y x y
= + − − +
.
VD 6. Cho hàm số
50 20
( 0, 0)
z xy x y
x y
= + + > >

.
Khẳng định đúng là:
A.
z
đạt cực tiểu tại
(2; 5)
M
và giá trị cực tiểu
39
z
=
.
B.
z
đạt cực tiểu tại
(5; 2)
M
và giá trị cực tiểu
30
z
=
.
C.
z
đạt cực đại tại
(2; 5)
M
và giá trị cực đại
39
z

=
.
D.
z
đạt cực đại tại
(5; 2)
M
và giá trị cực đại
30
z
=
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 5


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s

ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số
( , )
f x y
ta dùng
phương pháp khử
hoặc
nhân tử Lagrange
.

a) Phương pháp khử
• Từ phương trình
( , ) 0

x y
ϕ =
ta rút
x
hoặc
y
thế vào
( , )
f x y
, sau đó tìm cực trị của hàm một biến.
3.5
. Cực trị có điều kiện

• Cho hàm số
( , )
f x y
xác định trên lân cận của điểm
0 0 0
( , )
M x y
thuộc đường cong
( ) : ( , ) 0
x y
γ ϕ =
.
Nếu tại
0
M
hàm
( , )

f x y
đạt cực trị thì ta nói
0
M
là
điểm cực trị có điều kiện của
( , )
f x y
với điều kiện
( , ) 0
x y
ϕ =
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi

nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm
2
z x y
=
thỏa điều kiện:

3 0
x y
− + =
.
b) Phương pháp nhân tử Lagrange
Tại điểm cực trị
( , )
x y
của

f
, gọi
/
/
/ /
y
x
x y
f
f
λ = − = −
ϕ ϕ
là
nhân tử Lagrange
.

Đ
ể

t
ìm

c
ự
c

t
r
ị

t
a

t
h
ự
c

h
i
ệ
n

c
ác

b
ư
ớ
c
:

• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):
( , , ) ( , ) ( , ).
L x y f x y x y
λ = + λϕ

• Bước 2. Giải hệ:
/ / /
0, 0, 0

x y
L L L
λ
= = =

⇒
điểm dừng
0 0 0
( , )
M x y
ứng với
0
λ
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố

nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại
0 0 0
( , )
M x y
ứng với
0
λ
:
2 2
// //
2 2 // 2
0
( ) 2 .
xy

x y
d L M L dx L dxdy L dy
= + +

Các vi phân
,
dx dy
phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
/ /
0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) ( , ) ( , ) 0 (1)
( ) ( ) 0 (2).
x y
d x y x y dx x y dy
dx dy


ϕ = ϕ + ϕ =




+ >




• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:
 Nếu

2
0
( ) 0
d L M
>
thì
( , )
f x y
đạt cực tiểu tại
0
M
.
 Nếu
2
0
( ) 0
d L M
<
thì
( , )
f x y
đạt cực đại tại
0
M
.
 Nếu
2
0
( ) 0
d L M

=
thì
0
M
không là điểm cực trị.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế

ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 8.
Tìm điểm cực trị của hàm số
( , ) 2
f x y x y
= +

với điều kiện
2 2
5
x y
+ =
.
VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm
z xy
=
thỏa điều kiện
2 2
1
8 2
x y
+ =
.
……………………………………….



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
§1. Phương trình vi phân cấp 1
§2. Phương trình vi phân cấp 2
……………………………

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
tổng quát
( , , ) 0
F x y y
′
=

(*). Nếu từ (*) ta giải được
theo
y
′
thì (*) trở thành
( , )
y f x y
′
=
.
• Nghiệm của (*) có dạng
( )
y y x
=
chứa hằng số
C
được
gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện
0 0
( )
y y x
=
cho trước (thường gọi là điều kiện đầu
) vào nghiệm
tổng quát ta được giá trị
0
C
cụ thể và nghiệm lúc này
được gọi là
nghiệm riêng

của (*).



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 1. Cho phương trình vi phân
0
y x
′
− =
(*).
Xét hàm số
2
2
x

y C
= +
, ta có:
0
y x
′
− =
thỏa phương trình (*).
Suy ra
2
2
x
y C
= +
là nghiệm tổng quát của (*).
Thế
2, 1
x y
= =
vào
2
2
x
y C
= +
, ta được:

2
1 1
2

x
C y
= − ⇒ = −
là nghiệm riêng của (*) ứng với
điều kiện đầu
(2) 1
y
=
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 6


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân

phân
 Phương pháp giải
Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

( ) ( ) .
f x dx g y dy C
+ =
∫ ∫

1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
 Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
( ) ( ) 0 (1).
f x dx g y dy
+ =

VD 2. Giải phương trình vi phân
2 2
0
1 1
xdx ydy
x y
+ =
+ +
.


Chương
Chương
2.

2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 4. Giải ptvp
2 3
( 1) ( 1)( 1) 0
x y dx x y dy
+ + − − =
.
VD 5. Giải ptvp
2
xy y y
′
+ =
thỏa điều kiện
1
(1)
2
y
=

.
VD 3. Giải phương trình vi phân
( 2)
y xy y
′
= +
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Chẳng hạn, hàm số:
( , )
2 3
x y
f x y

x y
−
=
+
là đẳng cấp bậc 0,
2
4 3
( , )
5
x xy
f x y
x y
+
=
−
là đẳng cấp bậc 1,
2
( , ) 3 2
f x y x xy
= −
là đẳng cấp bậc 2.
1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số
• Hàm hai biến
( , )
f x y
được gọi là đẳng cấp bậc
n
nếu

với mọi
0
k
>
thì
( , ) ( , )
n
f kx ky k f x y
=
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
b) Phương trình vi phân đẳng cấp

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:
( , ) (2).
y f x y
′
=



Trong đó,
( , )
f x y
là hàm số đẳng cấp bậc 0.
Phương pháp giải
Bước
1. Biến đổi
(2)
y
y
x
 


′
⇔ = ϕ





 

.
Bước
2. Đặt
y
u y u xu
x
′ ′
= ⇒ = +
.
Bước
3.
(2) ( )
( )
du dx
u xu u
u u x
′
⇒ + = ϕ ⇒ =
ϕ −


(
)
( ) 0
u u x
ϕ − ≠ ≠
(đây là ptvp có biến phân ly).




Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 6. Giải phương trình vi phân
2 2
x xy y
y
xy
− +
′
=
.
VD 7. Giải phương trình vi phân
x y
y
x y
+

′
=
−

với điều kiện đầu
(1) 0
y
=
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
• Nghiệm tổng quát của (3) là
( , )
u x y C

=
.
N
hận xét
/ /
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
x y
u x y P x y u x y Q x y
= =
.
1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
• Cho hai hàm số
( , ), ( , )
P x y Q x y
và các đạo hàm riêng
của chúng liên tục trong miền mở
D
, thỏa điều kiện
/ /
, ( , )
x y
Q P x y D
= ∀ ∈
. Nếu tồn tại hàm
( , )
u x y
sao cho

( , ) ( , ) ( , )
du x y P x y dx Q x y dy

= +

thì phương trình vi phân có dạng:
( , ) ( , ) 0 (3)
P x y dx Q x y dy
+ =

được gọi là p
hương trình
vi phân toàn phần
.

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 7


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh

vi
vi
phân
phân
Bước
2. Lấy tích phân (3a) theo biến
x
ta được:

( , ) ( , ) ( , ) ( )
u x y P x y dx x y C y
= = ϕ +
∫
(3c).
Trong đó,
( )
C y
là hàm theo biến
y
.
Phương pháp giải
Bước
1. Từ (3) ta có
/
x
u P
=
(3a) và
/
y

u Q
=
(3b).
Bước
3. Đạo hàm (3c) theo biến
y
ta được:
/ /
( )
y y
u C y
′
= ϕ +
(3d).
Bước
4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được
( )
C y
.
Thay
( )
C y
vào (3c) ta được
( , )
u x y
.


Chương
Chương

2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 8. Cho phương trình vi phân:
2 2
(3 2 2 ) ( 6 3) 0
y xy x dx x xy dy
+ + + + + =
(*).
1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
2
)
Giải p
hương trình
(*).

VD 9. Giải ptvp
( 1) ( ) 0
y

x y dx e x dy
+ − + + =
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Phương pháp giải
(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước
1. Tìm biểu thức
( )
( )
p x dx
A x e

−
∫
=
.
Bước
2. Tìm biểu thức
( )
( ) ( ).
p x dx
B x q x e dx
∫
=
∫
.
Bước
3. Nghiệm tổng quát là
( ) ( )
y A x B x C
 
= +
 
 
.
1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
( ) ( ) (4).
y p x y q x
′
+ =

• Khi
( ) 0
q x
=
thì (4) được gọi là p
hương trình vi phân
tuyến tính cấp 1
thuần nhất
.



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Chú ý
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.

• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
tổng quát của (4) dưới dạng:
( )
( ) .
p x dx
y C x e
−
∫
=

Nhận xét
.
( )
( )
( ) ( ). .
( )
p x dx
q x
B x q x e dx dx
A x
∫
= =
∫ ∫

VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi
tìm
nghiệm tổng quát của
2 4 ln
y
y x x

x
′
+ =
dưới dạng:

A.
2
( )
C x
y
x
=
; B.
3
( )
C x
y
x
=
;
C.
( )
C x
y
x
=
; D.
( )
C x
y

x
= −
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 11. Giải phương trình vi phân
2
0
y x y
′
− =

thỏa điều kiện
9

3
x
y e
=
= −
.
VD 12. Giải phương trình
sin
cos
x
y y x e
−
′
+ =
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi

vi
phân
phân
• Khi
0
α =
hoặc
1
α =
thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi
( ) ( ) 1
p x q x
= =
thì (5) là pt có biến phân ly.
Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)
Bước
1. Với
0
y
≠
, ta chia hai vế cho
y
α
:
(5) ( ) ( )
y y
p x q x
y y
α α

′
⇒ + =


1
( ) ( )
y y p x y q x
−α −α
′
⇒ + =
.
1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
( ) ( ) (5).
y p x y q x y
α
′
+ =

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 8


Chương
Chương
2.
2.
Phương

Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Bước
2. Đặt
1
(1 )
z y z y y
−α −α
′ ′
= ⇒ = − α
, ta được:
(5) (1 ) ( ) (1 ) ( )
z p x z q x
′
⇒ + −α = − α

(
đây là
p
hương trình
tuyến tính cấp

1).

VD 13. Giải phương trình vi phân
2
y
y xy
x
′
+ =

với điều kiện đầu
1, 1
x y
= =
.
VD 14. Giải phương trình vi phân
3 4
2
y xy x y
′
− =
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương

tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Phương pháp giải

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:
1
( ) ( ) ( )
y f x y f x dx x C
′′ ′
= ⇒ = = ϕ +
∫


1 1 2
( ) ( )
y x dx C x x C x C
⇒ = ϕ + = ψ + +
∫
.
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
2.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• Phương trình vi phân khuyết

y
và
y
′
có dạng:
( ) (1).
y f x
′′
=


2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân

VD 2. Giải ptvp
2
x
y e
′′
=
với
7 3
(0) , (0)
4 2
y y
′
= − =
.
VD 1. Giải phương trình vi phân
2
y x
′′
=
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr

ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Phương pháp giải

• Đặt
z y
′
=
đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
VD 3. Giải phương trình vi phân
y
y x
x
′
′′
= −
.
2.1.2. Phương trình khuyết y
• Phương trình vi phân khuyết
y
có dạng:
( , ) (2).
y f x y
′′ ′

=

VD 4. Giải pt vi phân
( 1) 0
1
y
y x x
x
′
′′
− − − =
−

với điều kiện
(2) 1, (2) 1
y y
′
= = −
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì

ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Phương pháp giải
• Đặt
z y
′
=
ta có:
.
dz dz dy dz
y z z
dx dy dx dy
′′ ′
= = = =
.
Khi đó, (3)

trở thành
pt
vp với
biến số phân ly.

2.1.3. Phương trình khuyết x
• Phương trình vi phân khuyết
x

có dạng:
( , ) (3).
y f y y
′′ ′
=

VD 6. Giải phương trình vi phân
2 (1 2 ) 0
y y y
′′ ′
+ − =

với điều kiện
1
(0) 0, (0)
2
y y
′
= =
.
VD 5. Giải phương trình vi phân
2
(1 ) 2( ) 0
y y y
′′ ′
− + =
.




Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
 Trường hợp 1
Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt
1 2
,
k k
.

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng
1 2
1 2
,
k x k x
y e y e
= =

và nghiệm tổng quát là
1 2
1 2
.
k x k x
y C e C e
= +

Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4):

2
1 2
0 (5).
k a k a
+ + =

2.2. Ph
ươ
ng trình vi phân c
ấ
p 2 tuy
ế
n tính
v
ớ
i h
ệ
s
ố

h
ằ
ng
2.2.1. Phương trình thuần nhất
• Phương trình thuần nhất có dạng:
(
)
1 2 1 2
0, , (4).
y a y a y a a
′′ ′
+ + = ∈
ℝ

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 9


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì

nh
nh
vi
vi
phân
phân
 Trường hợp 2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực
k
.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng
1 2
,
kx kx
y e y xe
= =

và nghiệm tổng quát là
1 2
.
kx kx
y C e C xe
= +

 Trường hợp 3
Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k i
= α ± β
.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

1 2
cos , sin
x x
y e x y e x
α α
= β = β

và nghiệm tổng quát là:
(
)
1 2
cos sin .
x
y e C x C x
α
= β + β



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh

nh
vi
vi
phân
phân
VD 7. Giải phương trình vi phân
2 3 0
y y y
′′ ′
+ − =
.
VD 8. Giải phương trình vi phân
6 9 0
y y y
′′ ′
− + =
.
VD 9. Giải phương trình vi phân
16 0
y y
′′
+ =
.
VD 10. Giải phương trình vi phân
2 7 0
y y y
′′ ′
+ + =
.
VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

0
y y y
′′ ′
− + =
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
• Để tìm
1
( )
C x
và
2
( )

C x
, ta giải hệ Wronsky:
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
C x y x C x y x
C x y x C x y x f x

′ ′

+ =


′ ′ ′ ′
 + =



2.2.2. Phương trình không thuần nhất
• Phương trình không thuần nhất có dạng:
(
)
1 2 1 2
( ), , (6).
y a y a y f x a a
′′ ′
+ + = ∈
ℝ

a)

Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng
1 2
( ), ( )
y x y x
thì (6) có
nghiệm tổng quát là
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ).
y C x y x C x y x
= +



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi

vi
phân
phân
VD 12. Giải phương trình vi phân
1
cos
y y
x
′′
+ =
(a).
Giải. Xét phương trình thuần nhất
0
y y
′′
+ =
(b) ta có:
2
1 0 0, 1
k k i
+ = ⇒ = ± ⇒ α = β =

1 2
cos , sin
y x y x
⇒ = =
là 2 nghiệm riêng của (b).
Nghiệm tổng quát của (a) có dạng:
1 2
( ).cos ( ).sin

y C x x C x x
= +
.
Ta có hệ Wronsky:
1 2
1 2
cos . ( ) sin . ( ) 0
1
sin . ( ) cos . ( )
cos
x C x x C x
x C x x C x
x

′ ′

+ =




′ ′
− + =






Chương

Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
2
1 2
2
1 2
sin cos . ( ) sin . ( ) 0
sin cos . ( ) cos . ( ) 1
x x C x x C x
x x C x x C x


′ ′
+ =


⇒



′ ′
− + =



1
2
sin
( )
cos
( ) 1
x
C x
x
C x



′
= −

⇒


′
 =



1 1
2 2
( ) ln cos
( ) .
C x x C
C x x C


= +

⇒


= +


Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:

(
)
(
)
1 2
ln cos cos sin
y x C x x C x
= + + +
.


Chương

Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 13. Cho phương trình vi phân:
2
2 2 (2 )
x
y y y x e
′′ ′
− + = +
(*).
1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là
2
x
y x e
=
.
2

) Tìm nghiệm tổng quát của
(*).

b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT
 Phương pháp cộng nghiệm
• Định lý
Nghiệm tổng quát của
phương trình không thuần nhất
(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần
nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).
VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2 sin 2 4 cos 2
y y x x
′′ ′
+ = +
,
biết 1 nghiệm riêng là
cos 2
y x
= −
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 10


Chương
Chương

2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của
2
2 cos
y y x
′′ ′
− =
(*).

Cho biết
1
y y
′′ ′
− =
và
cos2
y y x

′′ ′
− =
lần lượt có
nghiệm riêng
1
y x
= −
,
2
2 1
cos 2 sin 2
10 10
y x x
= − −
.
 Phương pháp chồng chất nghiệm
• Định lý
Cho phương trình vi phân:
1 2 1 2
( ) ( ) (7)
y a y a y f x f x
′′ ′
+ + = +
.
Nếu
1
( )
y x
và
2

( )
y x
lần lượt là nghiệm riêng của
1 2 1
( )
y a y a y f x
′′ ′
+ + =
,
1 2 2
( )
y a y a y f x
′′ ′
+ + =

thì nghiệm riêng của (7) là:
1 2
( ) ( ).
y y x y x
= +



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr

tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình
vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình
1 2
( ) (6)
y a y a y f x
′′ ′
+ + =

và
1 2
0 (4).
y a y a y
′′ ′
+ + =

• Trường hợp 1: f(x) có dạng e
αx
P
n

(x)
(
( )
n
P x
là đa thức bậc
n
).

Bước 1.
N
ghiệm riêng
của (6) có
dạng
:


( )
m x
n
y x e Q x
α
=


(
( )
n
Q x
là đa thức đầy đủ bậc

n
).


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân

Bước 2.
Xác định
m
:

1) Nếu
α
không là nghiệm
của phương trình đặc trưng

của (4) thì
0
m
=
.
2) Nếu
α

là nghiệm đơn
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
1
m
=
.
3) Nếu
α

là nghiệm kép
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
2
m
=
.
Bước 3. Thế
. ( )
m x
n
y x e Q x

α
=
vào (6) và đồng nhất thức
ta được nghiệm riêng cần tìm.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
V
D 16.
Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:
3 2
2 3 ( 1)
x
y y y e x
′′ ′

− − = +
.
Giải. Ta có
3 2
( ) ( 1)
x
f x e x
= +
,
2
2
3, ( ) 1
P x x
α
= = +
.
Suy ra nghiệm riêng có dạng:
3 2
( )
m x
y x e Ax Bx C
= + +
.
Do
3
α
=
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
2
2 3 0

k k
− − =
nên
1
m
=
.
Suy ra nghiệm riêng có dạng
3 2
( )
x
y xe Ax Bx C
= + +
.



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi

vi
phân
phân
Thế
3 2
( )
x
y xe Ax Bx C
= + +
vào phương trình
đã cho,
đồng nhất thức ta được:
1 1 9
, ,
12 16 32
A B C= = − =
.
Vậy nghiệm riêng là
3 2
1 1 9
12 16 32
x
y xe x x
 


= − +






 
.
VD 1
7
.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2 2
x x
y y y xe e
−
′′ ′
+ + = +
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh

vi
vi
phân
phân
• Trường hợp 2
f(x) có dạng e
αx
[P
n
(x)cosβx + Q
m
(x)sinβx]
(
( )
n
P x
là đa thức bậc
n
,
( )
m
Q x
là đa thức bậc
m
).
Bước 2.
Xác định
s
:

1) Nếu
i
α β
±
không là
nghiệm của phương trình đặc
trưng của (4) thì
0
s
=
.
2) Nếu
i
α β
±
là nghiệm của phương trình đặc trưng
của (4) thì
1
s
=
.
Bước 1.
N
ghiệm riêng
có
dạng
:

[ ( )cos ( )sin ]
s x

k k
y x e R x x H x x
α
β β
= +

(
( ), ( )
k k
R x H x
là đa thức đầy đủ bậc
max{ , }
k n m
=
).

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 11


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr

ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Bước 3. Thế
[ ( )cos ( )sin ]
s x
k k
y x e R x x H x x
α
β β
= +

vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.
VD 1
8
.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2 3 cos 3 sin
x x
y y y e x xe x
′′ ′
+ − = +
.
V

D 19.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2
2 2 [( 1)cos sin ]
x
y y y e x x x x
′′ ′
− + = + +
.
VD
20
.
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
3 sin
y y x
′′
+ =
(*).
Giải. Ta có
2
1 0
k k i
+ = ⇒ = ±
.
Nghiệm tổng quát của
0
y y
′′
+ =

là:


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Mặt khác:
0, 1 1, 0
s k
α β
= = ⇒ = =
.
Dạng nghiệm riêng của (*) là
( cos sin )
y x A x B x
= +
.

1 2
cos sin
y C x C x
= +
(1).
Thế
( cos sin )
y x A x B x
= +
vào (*), ta được:
3 3
, 0 cos
2 2
x
A B y x
= − = ⇒ = −
(2).
Từ (1) và (2), ta có nghiệm tổng quát là:
1 2
3
cos sin cos
2
x
y C x C x x
= + −
.
………………………………



Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
1.1. Định nghĩa
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng
1 2
, , , ,
n
u u u


Biểu thức

1 2
1

n n
n
u u u u
∞
=
+ + + + =
∑


được gọi là
chuỗi số
.

• Các số
1 2
, , , ,
n
u u u
là các số hạng và
n
u
được gọi
là


số hạng tổng quát của chuỗi số.

§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dương
§3. Chuỗi số có dấu tùy ý
……………………………
• Tổng
n
số hạng đầu tiên
1 2

n n
S u u u
= + + +
được


gọi là
tổng riêng thứ
n
của chuỗi số.



Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy

ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
• Nếu dãy
{
}
n
n
S
∈
ℕ
hội tụ đến số
S
hữu hạn thì ta nói
chuỗi số hội tụ và có tổng là
S
, ta ghi là
1
n
n
u S
∞
=

=
∑
.

Ngược lại, ta nói chuỗi số
phân kỳ
.

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân
1
1
n
n
aq
∞
−
=
∑
với
0
a
≠
.
Giải
•
1
q
=
:
n

S na
= → +∞ ⇒
chuỗi phân kỳ.
•
1
q
≠
:
1
1 1
. .
1 1
n n
n
q q
S u a
q q
− −
= =
− −

Với
1
q
>
thì
n
S
→ +∞ ⇒
chuỗi phân kỳ.

Vậy
1
1
n
n
aq
∞
−
=
∑
hội tụ
1
q
⇔ <
.
VD 2.
Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố

1

1
( 1)
n
n n
∞
=
+
∑
.
Với
1
q
<
thì
1
n
a
S
q
→ ⇒
−
chuỗi hội tụ.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý

thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
ln 1
n
n
∞
=
 


+





 

∑
.
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
n
n
∞
=
∑
.
1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
• Nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ thì
lim 0
n
n
u
→∞
=
,
ngược lại nếu
lim 0

n
n
u
→∞
≠
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ.
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
4
4
1
3 2
n
n
n n
∞
=
+ +
∑
.


Chương

Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5
4
1
1
n
n
n
∞
=
+
∑
.

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 12
1.3. Tính chất
• Nếu
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
hội tụ thì:
1 1 1
( )
n n n n
n n n
u v u v
∞ ∞ ∞
= = =
+ = +
∑ ∑ ∑
.
• Nếu
1
n
n
u

∞
=
∑
hội tụ thì:
1 1
n n
n n
u u
∞ ∞
= =
α = α
∑ ∑
.

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi

nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.



Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế

t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.1. Định nghĩa
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là chuỗi số dương nếu
0,
n
u n
≥ ∀
.
Khi
0,
n
u n
> ∀
thì chuỗi số là dương thực sự.

2.2. Các định lý so sánh
Định lý
1. Cho hai chuỗi số dương
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
thỏa:
0
0 ,
n n
u v n n
≤ ≤ ∀ ≥
.
• Nếu
1
n
n
v
∞
=
∑
hội tụ thì
1
n
n

u
∞
=
∑
hội tụ.
• Nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ thì
1
n
n
v
∞
=
∑
phân kỳ.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý

thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
.2
n
n
n
∞
=
∑
.
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa
1
1
n
n
∞
=

∑
bằng cách
so sánh với
1
1
ln 1
n
n
∞
=
 


+





 
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý

thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
Định lý 2
Cho hai chuỗi số
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
thỏa:
0
n
u
>
và
0
n

v
>
với
n
đủ lớn và
lim
n
n
n
u
k
v
→∞
=
.
• Nếu
0
k
=
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ
1
n

n
v
∞
=
⇒
∑
phân kỳ.
• Nếu
k
= +∞
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ
1
n
n
v
∞
=
⇒
∑
hội tụ.
• Nếu
0

k
< < +∞
thì
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
cùng tính chất.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ

i
i
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
2 ( 1)
.3
n
n
n
n
n
∞
+
=
+
∑
bằng cách

so sánh với
1
2
3
n
n
∞
=
 








 
∑
.
Chú ý
Chuỗi
1
1
n
n
∞
α
=
∑
hội tụ khi
1
α >
và phân kỳ khi
1
α ≤
.
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5
1
1
2 3

n
n
n
∞
=
+
+
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ

2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
∞
=
∑
và
1
lim
n
n
n
u
D
u
+
→∞
=
.
• Nếu
1
D
<
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
D

>
thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
D
=
thì chưa thể kết luận.

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1 1
1
3
n
n
n
n
∞
=
 


+





 
∑

.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 6.
Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
5 ( !)
(2 )!
n
n
n

n
∞
=
∑
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 13
2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
∞
=
∑
và
lim
n
n
n
u C
→∞
=
.
• Nếu
1
C

<
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
C
>
thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
C
=
thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2
n
n
∞
=
 








 
∑
.
VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
3
n
n
n
n
∞
=
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu

ỗ
ỗ
i
i
2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy
Cho hàm số
( )
f x
liên tục, không âm và giảm trên n
ửa
khoảng
[ ; ),
k k
+∞ ∈
ℕ
. Khi đó:
( ) ( )
n k
k
f n f x dx
+∞
∞
=
⇔
∑
∫
hoäi tuï hoäi tuï.

VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số
3

2
1
1
n
n
∞
=
∑
.
VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số
3
2
1
ln
n
n n
∞
=
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy

ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý
VD 1.
1
( 1)
n
n
n
∞
=
−
∑
,
1
1
1
2 1
( 1)
2
n
n

n
n
∞
+
+
=
+
−
∑
là các chuỗi đan dấu.

3.1. Chuỗi đan dấu
a) Định nghĩa. Chuỗi số
1
( 1)
n
n
n
u
∞
=
−
∑
được gọi là
chuỗi số đan dấu nếu
0,
n
u n
> ∀
.

b) Định lý Leibnitz
Nếu dãy
{ }
n n
u
∈
ℕ
giảm nghiêm ngặt và
0
n
u
→
thì chuỗi


1
( 1)
n
n
n
u
∞
=
−
∑
hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.


Chương
Chương

3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
( 1)
n
n
n
∞
=
−
∑
.
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1

2 1
( 1)
2
n
n
n
n
∞
+
=
+
−
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu

ỗ
ỗ
i
i
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
( 1)
( 1)
n
n
n
n
∞
=
−
+ −
∑
.
3.2. Chuỗi có dấu tùy ý
a) Định nghĩa
• Chuỗi
1
,
n n
n
u u
∞
=
∈
∑

ℝ
được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là
hội tụ tuyệt đối
nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ.
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là

bán

hội tụ
nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ và

1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ.
VD 5. Chuỗi số
1
( 1)
n
n
n
∞
=
−

∑
là bán hội tụ.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
b) Định lý
Nếu
1
n
n
u
∞
=

∑
hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ.
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
cos( )
n
n
n
n
∞
=
∑
.
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
( 1) ( 2)
3
n n
n
n

+
∞
=
− + −
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 14

CÁC KHÁI NIỆM – KÝ HIỆU TRONG KINH TẾ
• Trung bình của hàm


VD. Một doanh nghiệp sản xuất lượng hàng
Q
và bán
hết với đơn giá là
P
thì tổng doanh thu sẽ là
R PQ
=
.
Vậy
PQ
AR P
Q
= =
.
Trong kinh
tế,

đơn giá là trung bình của doanh thu
.


Xét hai đại lượng kinh tế
,
H V
có mối quan h

ệ hàm với
nhau:
( )
H H V
=
.

Tỉ số
( )
H V
V
được gọi là hàm trung bình của
H
.

Ký hiệu là
( )
AH V
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t

t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
• Biên tế


VD.
Giả sử chi phí
C
của 1 doanh nghiệp để sản xuất ra

Q
sản phẩm là:
3 2
1
10 1000 70
3
C Q Q Q
= − + +
(đơn vị tiền tệ).

Biên tế của hàm
( )
H V
theo biến
V
tại
0
V
là đại lượng

0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
V V
H V H V
H V
V V

→
−
′
=
−
. Ký hiệu là
0
( )
V
MH V
.

Chẳng hạn, biên tế của doanh thu
R
theo sản lượng
Q

tại
0
Q
là đại lượng mô tả độ tăng của doanh thu khi
Q

tăng thêm 1 đơn vị tại
0
Q
. Ta có:
0 0
( ) ( )
Q

MR Q R Q
′
=
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á

n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế


Sử dụng biên tế, ta ước lượng c
hi phí để
doanh nghiệp
sản xuất ra sản phẩm thứ 50 là:
(50) 2500
C
′
=
(đơn vị tiền tệ).
• Bảng ký hiệu

Ký hiệu Ý nghĩa
P

Đơn giá (Price)
Q

Số lượng (Quantity)
R

Doanh thu (Revenue)
Π

Lợi nhuận (Profit)
C

Chi phí (Cost)
D

Cầu (Demand)
S

Cung (Supply)
T

Thuế (Tax)



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s

s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
§1. BÀI TOÁN LÃI KÉP
BÀI TOÁN ĐÁNH THUẾ DOANH THU

1.1. Bài toán lãi kép

• Nếu chia khoảng thời gian
t
ra làm
n

khoảng bằng nhau


thì lãi suất mỗi khoảng là
(%)
s
n
.
• Giả sử một người gửi số tiền
0
P
vào một ngân hàng với


lãi suất
(%)
s
trong thời gian
t
. Sau thời gian
t
thì người


đó có tổng số tiền là:
(
)
0 0 0
1 .
P P sP P s

= + = +

T
ổng số tiền cuối khoảng thời gian thứ nhất người đó có
được là:
0 0 0
1 .
s s
P P P P
n n
 


= + = +





 



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ

ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
•
Người đó lại gửi tiếp số tiền có được
vào ngân hàng

t

h
ì



cuối khoảng thứ hai số tiền có được là:
2
0 0 0
1 1 1 .
s s s s
P P P P
n n n n
     
  
  
= + + + = +
  
  
  
  
  
     


Tiếp tục như vậy cho đến cuối kỳ thì tổng số tiền
người

đó
có được là:
0

1 .
n
s
P
n
 


+





 

• Nếu tăng số lần rút và gửi lên vô h
ạn lần thì sau khoảng


thời gian
t
, tổng số tiền người đó có, được
tính theo
công thức lãi kép liên tục là:
0
.
s
P P e
=



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh

Kinh
t
t
ế
ế
VD 1. Đầu tháng 1 năm 2010, một người gửi 100 triệu
đồng ở 1 ngân hàng với lãi suất 8% trên một năm và
cuối năm 2010 tới nhận. Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi
người đó nhận được trong các trường hợp sau:
1) Đầu năm gửi đến cuối năm đến nhận;
2) Mỗi tháng đến rút tiền và gửi lại;
3) Mỗi ngày đến rút tiền và gửi lại;
4
) Lãi kép liên tục.

Giải

1) Lãi suất tiền gửi là
8%
s
=
nên tổng số tiền người đó
nhận được vào cuối năm là:
(
)
0
1 100(1 8%) 108
P P s
= + = + =
(triệu đồng).



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh

t
t
ế
ế
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 15

1.2. Bài toán đánh thuế doanh thu

Giả một doanh nghiệp sản xuất độc quyền
1 loại sản
phẩm. Gọi
Q
là sản lượng và
P
là giá bán 1 đơn vị sản
phẩm. Biết hàm cầu
của thị trường về loại sản phẩm
trên trong 1 đơn vị thời gian là
( ) ( )
D
Q P D P
=
,
tổng chi
phí là
( )
C C Q

=
và tổng số thuế là
( )
T T t
=
(với
t
là
mức thuế doanh thu định trên một đơn vị sản phẩm).
•

Bài toán 1


Tìm mức sản lượng
Q
theo
t
để
doanh nghiệp đạt mức
lợi nhuận tối đa sau thuế. Mức sản lượng này được
gọi
là sản lượng hợp lý nhất của doanh nghiệp.
Ta có 3 bài toán sau đây:



Chương
Chương
4.

4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
• Bài toán 2

Tìm
t
để
khi doanh nghiệp đạt mức lợi nhuận tối đa thì
thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất.
• Bài toán 3


Tìm
t
để sản lượng hợp lý nhất của
doanh nghiệp đạt
một mức tối thiểu hay tối đa.
 Cách giải

Bước 1. Từ hàm cầu ta tìm
P
theo
Q
.

Bước
2
.
Lập các hàm:

•
Tổng thuế doanh nghiệp phải đóng là

T Qt
=
,

doanh thu của doanh nghiệp là
( )
R R Q PQ
= =
.
•
Lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là:
R C T
Π = − −
(doanh thu “–” chi phí “–” thuế).


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố

b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

Bước 3
•
Tìm mức sản lượng
0
( )
Q t
theo
t
để hàm
Π
đạt giá trị

lớn nhất (Bài toán 1).
•
Từ
0
( )
Q t
tìm được, ta tìm
t
để hàm
T
đạt giá trị lớn
nhất (Bài toán 2).
• Giải

0
( )
Q t Q
≥
hay
0
( )
Q t Q
≤
với
Q
là mức sản lượng
tối thiểu hay tối đa (Bài toán 3).


Chương

Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế

ế

VD 2.
Một doanh nghiệp (DN) sản xuất độc quyền 1 loại
sản phẩm. Biết hàm cầu của loại sản phẩm này và
và
hàm tổng chi phí sản xuất lần lượt là
( ) 800
D
Q P P
= −

và
2
200 100
C Q Q
= + +
.
1) Nếu biết
mức thuế doanh thu
định trên một đơn vị sản
phẩm là
t
thì DN
sẽ ấn định sản lượng như thế nào để
lợi nhuận sau thuế là lớn nhất ?
2) Khi
DN đạt lợi nhuận sau thuế lớn nhất, hãy tìm
mức
thuế doanh thu

t
áp trên một đơn vị sản phẩm
để tổng
thuế thu được từ DN này là lớn nhất ?
3
)
Nhu cầu xã hội cần có tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm
của DN này. Vậy mức thuế doanh thu
chỉ được áp tối
đa là bao nhiêu ?


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à

i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
§2. BÀI TOÁN TÌM MỨC SẢN LƯỢNG ĐỂ

DOANH NGHIỆP ĐẠT LỢI NHUẬN TỐI ĐA
(Cực đại hóa lợi nhuận theo sản lượng)

2.1. Sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm


Trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo thì
giá bán do thị
trường quyết định
và không phụ thuộc vào mức sản
lượng của DN. Khi đó, tổng doanh thu là
R PQ
=

và
hàm lợi nhuận là
R C
Π = −
.

Ta tìm mức sản lượng
Q
để hàm
Π
đạt cực đại.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à

à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

VD 1
.
Một DN sản xuất một loại sản phẩm trong điều
kiện cạnh tranh hoàn hảo. Biết giá của sản phẩm trên thị
trường là
130
P
=

(đơn vị tiền) và tổng chi phí để sản
xuất ra
Q

( 1)

Q
>
đơn vị sản phẩm là:
3 2
1
10 20
3
C Q Q Q
= − + +
.
Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận DN đạt cực đại ?
b) Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm


Giả sử một DN sản xuất hai loại sản phẩm trong điều
kiện cạnh tranh hoàn hảo.
Biết giá bán của các sản phẩm
là
1
P
,
2
P
; hàm tổng chi phí
phụ thuộc vào mức sản lượng
1
Q
,
2
Q

là
1 2
( , )
C C Q Q
=
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to

á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 16

Tìm mức sản lượng tương ứng của từng sản phẩm
mà
DN cần sản xuất để có lợi nhuận tối đa.
 Cách giải

Bước
1
.

Lập c
ác hàm doanh thu và lợi nhuận của DN
:

1 1 2 2
R PQ P Q

= +
và
R C
Π = −
.

Bước 2. Tìm mức sản lượng dương
*
1
Q
,
*
2
Q
để hàm
lợi
nhuận
Π
đạt cực đại.

VD
2
.
Một DN sản xuất hai loại sản phẩm
trong điều
kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai sản phẩm này trên
thị trường là
1
450
P

=
,
2
630
P
=
(đơn vị tiền).

Biết hàm tổng chi phí là:
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
( , ) 210 360 100
C Q Q Q Q Q Q Q Q
= + + + + +
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố

ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm mà
DN cần
sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?

2.2. Sản xuất trong điều kiện độc quyền

a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
•
Trong điều kiện sản xuất độc quyền thì giá
P

của sản
phẩm do DN quyết định. Lượng cầu
D
Q
do người tiêu
dùng quyết định lại phụ thuộc vào
P
.

Ta có quan hệ hàm
( )
D D
Q Q P
=
.
•
Muốn tiêu thụ hết sản phẩm, nghĩa là
( )
D
Q Q P
=
, thì
DN phải ấn định mức giá
1
( ) ( )
D
P Q Q P Q
−
= =
.



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh

t
t
ế
ế

Hàm tổng doanh thu và lợi nhuận của DN lúc này là:

( ) ( ).
R Q P Q Q
=
và
( ) ( )
R Q C Q
Π = −
.
• Từ
( ) ( )
R Q C Q
Π = −
, ta tìm được mức sản lượng
cần
sản xuất và giá bán để DN có được lợi nhuận tối đa.

VD
3
.
Một DN sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm.

Biết hàm cầu về loại sản phẩm này là
1200

D
Q P
= −
và
hàm tổng chi phí để đạt mức sản lượng
Q
là:
3 2
0,25 30,625 1528,5 20000
C Q Q Q
= − + +
.

Tìm mức sản lượng và giá bán để DN có
Π
cực đại ?


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s

ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

b) Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm
Giả sử một DN sản xu
ất độc quyền hai loại sản phẩm
với
sản lượng
1
Q
,
2

Q
. Biết hàm cầu của thị trường về hai
loại
sản phẩm này là
1
1 1 2
( , )
D
Q D P P
=
,
2
2 1 2
( , )
D
Q D P P
=

và
hàm tổng chi phí là
1 2
( , )
C C Q Q
=
.

Tìm mức sản lượng của hai loại sản phẩm trên mà
DN
cần sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?
 Cách giải

Bước
1
.
Khi DN
định giá
bán đ
ể bán
hết sản phẩm thì:

1 1 2 1
( , )
D P P Q
=
,
2 1 2 2
( , )
D P P Q
=
(*).

Giải hệ (*)
ta được
:

1 1 1 2
( , )
P P Q Q
=
,

2 2 1 2
( , )
P P Q Q
=
.



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to

á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

Bước
2
.

Lập các hàm
doanh thu và
lợi nhuận của DN
:

1 1 2 1 2 1 2 2
( , ). ( , ).
R P Q Q Q P Q Q Q
= +
và
R C
Π = −
.

Bước 3. Từ hàm

R C
Π = −
, ta tìm các giá trị dương
*
1
Q

và
*
2
Q
để
Π
đạt cực đại.

VD
4
.
M
ột doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản
phẩm. Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm này là:
1
1 2
1200 2
D
Q P P
= − +
,
2
1 2

1440
D
Q P P
= + −


và hàm tổng chi phí sản xuất là:
1 2 1 2
( , ) 480 720 400
C C Q Q Q Q
= = + +
.

Tìm mức sản lượng và giá bán tương ứng mà
DN cần
sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s

ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

Chú ý

Trường hợp DN sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm
nhưng được tiêu thụ ở 2 thị trường tách biệt
. Biết hàm
cầu của từng thị trường là
1
1 1
( )

D
Q D P
=
,
2
2 2
( )
D
Q D P
=

thì ta vẫn giải như trên với
1 2
Q Q Q
= +
.

VD
5
.
M
ột doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản
phẩm và có 2 thị trường tiêu thụ tách biệt. Biết hàm c
ầu
về loại sản phẩm này trên 2 thị trường lần lượt là:
1
1
310
D
Q P

= −
,
2
2
350
D
Q P
= −


và hàm tổng chi phí là
2
( ) 20 30
C C Q Q Q
= = + +
.
Tìm mức
sản lượng
và giá bán tương ứng trên mỗi thị
trường để DN có lợi nhuận tối đa ?


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ

t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 17
§3. BÀI TOÁN NGƯỜI TIÊU DÙNG
TÌM ĐẦU VÀO SAO CHO CHI PHÍ SẢN XUẤT NHỎ NHẤT

3.1. Bài toán người tiêu dùng
• Giả sử một người tiêu dùng dự định dùng số tiền là
B

để mua sắm 2 loại hàng có giá là
1 2
,
P P
với
số lượng
hàng sẽ mua lần lượt là
x
và
y
.
•
Người tiêu dùng sẽ nhận được lợi ích từ số hàng đã
mua. Lợi ích này là một hà
m phụ thuộc vào lượng hàng
người đó mua và được gọi là hàm lợi ích
hay hữu dụng
(utility function), ký hiệu là
( , )
U U x y
=
.
•
T

ìm số lượng các loại hàng trên mà người tiêu dùng sẽ
mua sao cho giá trị sử dụng lớn nhất là
tìm điểm cực đại
của hàm
( , )
U x y
với điều kiện
1 2
P x P y B
+ =
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à

à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

VD 1.
Một người tiêu dùng dùng số tiền là
178
B
=
để
mua sắm 2 loại hàng có giá là
1 2
4, 6
P P
= =
.

Hàm lợi ích cho 2 loại hàng là

( 2)( 1)
U x y
= + +
.

Tìm số lượng
,
x y
của hai loại hàng trên mà người tiêu
dùng sẽ mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất ?

Giải. Ta có:
1 2
( , ) 4 6 178
P x P y B x y x y
+ = ⇒ ϕ = + −


( 2)( 1) (4 6 178)
L x y x y
⇒ = + + + λ + −
.
Điểm dừng:
1 4 0 22
2 6 0 15
4 6 178 0 4
x
y
L y x
L x y

L x y
λ
 
 
′
= + + λ = =
 
 
 
′
= + + λ = ⇔ =
 
 
 
′
= + − = λ = −
 
 
 
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ

t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
Vi phân cấp 2:

2 2
2
0, 1, 0 (22; 15) 2
xy

x y
L L L d L dxdy
′′ ′′ ′′
= = = ⇒ =
.
Điều kiện:
( , ) 4 6
d x y dx dy
ϕ = +

(22; 15) 0
d
⇒ ϕ =

4 6 0
dx dy
⇔ + =


2 3 0
dx dy
⇔ = − ≠


2 2
(22; 15) 3 0
d L dy
⇒ = − <

(22; 15)
⇒
là điểm cực đại.
Vậy
22
x
=
và
15
y
=
đơn vị hàng hóa.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b

à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

3.2. Bà
i toán tìm đầu vào
để
chi phí sản xuất
nhỏ
nhất

• Giả sử một DN sản xuất
một loại sản phẩm
cần 2 đầu
vào với đơn giá tương ứng là
1 2
,

P P
cố định.
• Để có được mức sản lượng
Q
thì DN cần số lượng
đầu
vào tương ứng là
x
và
y
. Ta có hàm sản
xuất
( , )
Q Q x y
=
và chi phí là
1 2
( , )
C x y P x P y
= +
.
•
Tìm số lượng đầu vào
( , )
x y
để DN sản xuất
Q

sản
phẩm với tổng chi phí bé nhất là

tìm điểm cực tiểu của
hàm
1 2
( , )
C x y P x P y
= +
với điều kiện
( , )
Q x y Q
=
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à

à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

VD 2.
Một DN sản xuất một loại sản phẩm cần
lượng
đầu vào
( , )
x y
với đơn giá là
1
10
P
=
,
2
40

P
=
.
Biết
hàm sản xuất
( , ) 10
Q x y xy
=
. Tìm số lượng đầu vào
để DN sản xuất 200 sản phẩm với tổng chi phí bé nhất ?


Giải. Hàm sản xuất:
10 200
xy
=

400 ( , ) 400
xy x y xy
⇒ = ⇒ ϕ = −
.
Hàm chi phí:
1 2
( , ) 10 40
C x y P x P y x y
= + = +
.
10 40 ( 400)
L x y xy
⇒ = + + λ −

.

Đ
i
ể
m d
ừ
ng:
10 0 40
40 0 10
400 0 1
x
y
L y x
L x y
L xy
λ
 
 
′
= + λ = =
 
 
 
′
= + λ = ⇔ =
 
 
 
′

= − = λ = −
 
 
 
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á

á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
Vi phân
cấp 2:
2 2
0; 1; 0
xy
x y
L L L
′′ ′′ ′′
= = − =

(
)
2
40; 10 2
d L dxdy
⇒ = −
.
Điều kiện:

( , )
d x y ydx xdy

ϕ = +

(
)
40; 10 0
d
⇒ ϕ =

4 0
dx dy
⇔ = − ≠


(
)
2 2
40; 10 8 0
d L dy
⇒ = >


(
)
40; 10
⇒
là điểm cực tiểu.
Vậy
40
x
=

và
10
y
=
đơn vị đầu vào.
…………………………………………………


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to

á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế