Xác suất thống kê - Lý thuyết ước lượng doc

1
CHƯƠNG: LÝ THUYẾT LƯNG
1.KHÁI NIỆM :
Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới
biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó
của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật
phân phối
),(

xF
, tham số

chưa biết, cần
xác đònh

, việc tìm giá trò thực sự của

khó
khăn, nên người ta chỉ ước lượng

dựa trên
các kết quả của mẫu. Vấn đề đặt ra là từ
tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên
(
n
XXX , ,
21
), trong đó
n
XXX ,
21

là các
ĐLNN độc lập có cùng phân phối với ĐLNN X.
Chúng ta dựa vào đó xây dựng thống kê
), ,(
21
^
n
XXX

sao cho với mẫu cụ thể
(
n
xxx , ,
21
), tìm được giá trò
), ,(
21
^
n
xxx


đểø ước lượng tham số

.
ĐỊNH NGHĨA:
), ,(
21 n
XXX
là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ

tổng thể,
), ,(
21 n
xxx
là một mẫu cụ thể
tương ứng.Một hàm
), ,(
21
^
n
XXX

của n giá
2
trò
n
XXX , ,
21
được gọi là một hàm ước
lượng của

.Giá trò
), ,(
21
^
n
xxx

là một ước
lượng điểm của


.
VD: Một công ty A có hàng ngàn công
nhân.Thăm dò thu nhập của 100 công nhân
của công ty nhận thấy thu nhập trung bình
là 1,5 triệu đồng/tháng.
Sử dụng trung bình mẫu để ước lương thu
nhập trung bình của công nhân công ty A.
Ta nói thu nhập trung bình của công nhân
công ty được ước lượng là 1,5 triệu
đồng/tháng,
Đó là ước lượng điểm của trung bình tổng
thể.
Trong chương này chúng ta quan tâm đên
các ước lượng:trung bình tổng thể, phương
sai tổng thể, tỷ lệ tổng thể.
2.CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯNG
2.1 ƯỚC LƯNG KHÔNG CHỆCH
ĐỊNH NGHĨA:
Ước lượng
), ,(
21
^
n
XXX

được gọi là một
ước lượng không chệch của tham số

nếu :

3


)(
^
E
CHÚ Ý :


)(XE
:trung bình mẫu là một ước
lượng không chệch của trung bình
tổng thể.

2
^
2
)(

SE :phương sai hiệu chỉnh của
mẫu là một ước lượng không chệch
của phương sai tổng thể.

^
S độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu
là một ước lượng chệch của độ lệch
chuẫn tổng thể




pfE

)(
:tỷ lệ của mẫu là một ước
lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể.
2.2 ƯỚC LƯNG VỮNG
ĐỊNH NGHĨA :
Ước lượng
^

được gọi là ước lượng vững
của tham số


nếu


P
^
hay
1)|(|
^



P
Lim
n

CHÚ Ýù:

4
 Trung bình mẫu
X
là một ước lượng
vững của trung bình tổng thể


 Tỷ lệ của mẫu
f
là một ước lượng
vững của tỷ lệ tỗng thể p
 Phương sai mẫu
^
22
; SS là một ước
lượng vững của phương sai tổng thể
2.3 ƯỚC LƯNG HIỆU QUẢ
ĐỊNH NGHĨA :
Cho
2
^
1
^
;

là hai ước lượng không chệch
của tham số

, được xây dựng trên cùng
một mẫu quan sát. Thì

1
^

được gọi là hiệu
quả hơn
2
^

nếu )()(
2
^
1
^

VarVar 

ĐỊNH NGHĨA:
Nếu
^

là một ước lượng không chệch của


Và không có ước lượng không chệch nào có
phương sai nhỏ hơn, thì
^

là một ươc lượng
hiệu quả nhất của


.
CHÚ Ý :
5
Trung bình mẫu
X
là một ước lượng hiệu
quả nhất của trung bình tổng thể


3. ƯỚC LƯNG KHOẢNG
3.1 ĐỊNH NGHĨA:
Một khoảng có hai đầu mút là
), ,(
21
^
1 n
xxx


và
), ,(
21
^
2 n
xxx

(phụ thuộc mẫu cụ thể
), ,(
21 n
xxx

) mà tham số

thuộc vào
khoảng đó được gọi là khoảng ước lượng.
ĐỊNH NGHĨA:
Giả sử

là một tham số chưa biết của tổng
thể. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên chọn ra từ
tổng thể, ta tìm hai đại lượng ngẫu nhiên A ,
B sao cho






1)( BAP
;
10




Nếu với một mẫu cụ thể A và B được biểu
thò là a và b , thì khoảng (a,b) được gọi là
khoảng tin cậy của

;
)1(



được gọi là độ
tin cậy (
10



).
VD:
Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy
tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Sử dụng tuổi
6
thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để ước
lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn
do công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ.
Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do
công ty trên sản xuất từ: 900 giờ – 1100 giờ.
Đó là ước lượng khoảng.
3.2 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG
THỂ
Chúng ta xét một tổng thể có trung bình là

(chưa biết ), phương sai
2

.
x
là trung bình của mẫu một mẫu cụ thể có
kích thước n.

Sử dụng
x
để ước lượng


Dựa trên mẫu cụ thể
), ,(
21 n
xxx
tìm khoảng:

),(

 xx

Sao cho :

 1)|(| xP

Thì :
 Khoảng
),(

 xx
được gọi là
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể


 (



1
) là độ tin cậy
7


được gọi là độ chính xác (hay sai số)
NHẬN XÉT:
Sự tương quan giửa độ tin cậy và độ chính
xác
i) Độ tin cậy càng cao thì độ chính
xác kém (sai số lớn)
ii) Độ chính xác tốt (sai số nhỏ) thì độ
tin cậy thấp
3.2.1 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ
KÍCH THƯỚC MẪU ≥ 30

),(~
2

NX
,
i)
Trường hợp

đã biết

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
của n quan sát từ một tổng thể có phân
phối chuẩn với trung bình


và phương sai
2

. Nếu
2

đã biết và trung bình của mẫu
cụ thể là
x
. Thì với độ tin cậy
)1(


, khoảng
tin cậy của trung bình tổng thể là:

n
z
x
n
z
x




22


Chứng minh:

8
Từ
)1,0(~
)(
N
nX
Z





Ta có













1)|(|
1)

||
(
1)|(|
2
zZP
nnX
P
XP

Từ đó suy ra
2

z

Với



n
z 
2



n
z



2




n
z
xx
2





Vậy khoảng tin cậy là
n
z
x
n
z
xxx





22




)1,0(~ NZ

:
2
)(
2


 zZP

9
i) Trường hợp

chưa biết thay thế
bởi
^
s

Lập luận tương tự như trên

Suy ra

n
sz
x
^
2




Hay nói khác hơn với độ tin cậy là

)1(


,thì
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:

n
z
x
n
sz
x
2
^
2




HÌNH VẼ
CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯNG TRUNG
BÌNH TỔNG THỂ
i) Cho độ tin cậy
)1(


; kích thước
mẫu n . Tìm khoảng tin cậy
ii) Cho độ chính xác; kích thước mẫu.
Tìm độ tin cậy.

iii) Cho độ chính xác; độ tin cậy.Tìm
kích thước mẫu
VD:
10
Thu nhập của công nhân công ty A có phân
phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,2 triệu
đồng.Thăm dò 100 công nhân của công ty
trên thấy thu nhập trung bình là 2 triệu
đồng/tháng.
a/ với độ tin cậy là 90%, hãy ước lượng thu
nhập trung bình của công nhân công ty trên
b/ Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng thì độ
tin cậy là bao nhiêu?
GIẢI:
Gọi X(triệu đồng) là thu nhập của công
nhân công ty trên.

là thu nhập trung bình của công nhân
công ty ( chưa biết).
x là thu nhập trung bình của công nhân
theo mẫu = 2 (triệu đồng).

=0,2 (triệu đồng)độ lệch chuẩn của tổng
thể .
n=100 :kích thước mẫu
%901



:độ tin cậy

Sử dụng
x
để ước lượng


11
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin
cậy
a/
từ độ tin cậy :
65,190,0)1(
2





z


( tra bảng hoặc sử dụng EXCEL )
suy ra

033,0
100
2,0.65,1
2

n
z






033,02 

x

vậy thu nhập trung bình của công nhân
công ty trên là:
(1,967 triệu đồng - 2,033 triệu đồng)
b/ Trường hợp độ chính xác là
040,0


triệu
đồng.
Ta có:
4772,0)2(2
2,0
100.04,0
2




n
z

Suy ra độ tin cậy là:

%44,959544,0)(21
2






z

12
3.2.2 TỔNG THỂ KHÔNG CÓ PHÂN PHỐI
CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU
30n

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
của n quan sát từ một tổng thể không có
phân phối chuẩn,có trung bình

.
Với trung bình và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh
của mẫu cụ thể lần lượt là
^
; sx .
Nếu n lớn ( n≥ 30 ) øsử dụng đònh lý giới hạn
trung tâm ,
ta có
)1,0(~

)(
N
nX
Z





i)Trường hợp
2

đã biết
Thì
)1,0(~
)(
N
nX
Z





Với độ tin cậy là
)1(


, thì khoảng tin cậy
của trung bình tỗng thể là :

n
z
x
n
z
x




2
2
2


ii)Trường hợp
2

chưa biết thay thế bởi
^
2
s
13
Thì
)1,0(~
)(
^
N
s

nX
Z




Suy ra :


n
sz
x
n
sz
x
^
2
^
2




VD:
Trong một hội chợ việc làm dành cho sinh
viên sắp tốt nghiệp.
Chọn ngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào
một công ty liên doanh,đã được phỏng vấn
và được ban phỏng vấn đánh giá theo
thang điểm 0-5.Kết quả điểm trung bình của

các sinh viên trên là 3,92 với độ lệch chuẩn
của mẫu hiệu chỉnh là 1,57. Hãy ước lượng
điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào
công ty trên với độ tin cậy là 99%.
GIẢI:
Gọi X là điểm của mỗi sinh viên

là điểm trung bình của sinh viên dự tuyển
vào công ty trên (chưa biết).
x
là điểm trung bình của sinh viên dự tuyển
theo mẫu = 3,92
14
^
s
độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh = 1,57
n kích thước mẫu = 256
Độ tin cậy
%991




sử dụng
x
để ước lượng


Nhận xét: n>30 dùng phân phối chuẩn để tìm
khoảng tin cậy.

Từ
58,299,01
2






z

Suy ra

25,092,3
256
57,1.58,2
92,3
^
2

n
sz
x



Vậy diểm trung bình của sv dự tuyển là :
( 3,67 – 4,17 ) điểm
3.2.4 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH
THƯỚC MẪU < 30

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
của n quan sát từ một tổng thể có phân
phối chuẩn với trung bình

, phương sai
2

.
Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của
mẫu cụ thể lần lượt là
^
2
; sx .
15
i)Trường hợp

đã biết
Thì
)1,0(~
)(
N
nX
Z





Với độ tin cậy là
)1(



thì khoảng tin cậy
của trung bình tổng thể là :

n
z
x
n
z
x




22



ii)Trường hợp

chưa biết thay thế bởi
^
s
Thì
)1(~
)(
^



 nT
s
nX
T


hay

)1(~
1)(


 nT
s
nX
T


(T có phân phối STUDENT với bậc do là
k=n-1)

Suy ra :
n
st
x
^
2




16
Hay nói khác hơn với độ tin cậy
)1(


, thì
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :

n
st
x
n
st
x
^
2
^
2




Chứng minh:
Từ

)1(~
)(
^



 nT
s
nX
T


Ta có










1)|(|
1)
||
(1)|(|
2
^^
tTP
s
n
s
nX
PXP

Từ đó suy ra
2

t

( tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng
EXCEL )

Với
n
st
s
n
t
^
2
^
2






17

n
st
xx

^
2




Vậy khoảng tin cậy của trung bình tổng thể
là :

n
st
x
n
st
x
^
2
^
2




 CHÚ Ý:
)1(~ nTT
thì
2
)(
2



 tTP

HÌNH VẼ
VD:
Một hãng xe hơi thử nghiệm mức tiêu hao
nhiên liệu của một loại xe đời mới
( số km/lít).Chọn ngẫu nhiên 6 xe cho chạy
thử được số liệu như sau:
7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76
Với độ tin cậy là 90% .Hãy tìm khoảng tin cậy
của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe trên. Cho biết mức tiêu hao nhiên liêu
có phân phối chuẩn.
GIẢI:
18

mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe trên (chưa biết).
x mức tiêu hao trung bình theo mẫu =8,20
41,0
^
s
độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh

n=6 kích thước mẫu
%901




độ tin cậy

Nhận xét:
Tổng thể có phân phối chuẩn , chưa biết

kích thước mẫu n=6 < 30 .Do đó sử dung
phân phối STUDENT bậc tự do k= n-1 =5, để
tìm khoảng tin cậy.
Từ
015,290,01
2






t

( tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng
EXCEL )
2
)()|(|)|(|1
222



 tTPtTPtTP

Suy ra

34,020,8
6
41,0.015,2
20,8
^
2

n
st
x



19
Vậy khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên
liệu trung bình của lại xe trên là :
( 7,86 - 8,54 ) km/ lít

3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ
Trường hợp kích thước mẫu n≥30
Chúng ta xét một dãy n các phép thử độc
lập, trong đó p được ký hiệu là xác suất
thành công ở mỗi phép thử và f là tỷ lệ
thành công của n phép thử.Trong trường hợp
n lớn thì ĐLNN

)1(
)(

pp
npf
Z




có phân phối xấp xỉ chuẩn
Tuy nhiên trong trường hợp p chưa biết có
thể thay thế bởi f và với kích thước mẫu lớn
chúng ta có ĐLNN

)1(
)(
ff
npf
Z




có phân phối xấp xỉ chuẩn.
20
Giả sử
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu
gồm n quan sát từ một tổng thể có tỷ lệ
thành công là p . Trường hợp n lớn (n≥ 30 ).
Với độ tin cậy
)1(



, thì khoảng tin cậy của
tỷ lệ tổng thể là :

n
ff
zfp
n
ff
zf
)1()1(
22






Chứng minh:
Từ

)1,0(~
)1(
)1(
N
ff
nff
Z





Ta có












1)|(|
1)
)1()1(
||
(1)|(|
2
zZP
ff
n
ff
npf
PpfP
( Tra bảng hoăc dùng EXCEL )
suy ra

2

z

21
Với
n
ff
z
ff
n
z
)1(
)1(
22









n
ff
zfp
)1(
2





Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :

n
ff
zfp
n
ff
zf
)1()1(
22







CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯNG TỶ LỆ
i) Cho ,độ tin cậy, kích thước mẫu.Tìm
khoảng tin cậy.
ii) Cho độ chính xác, kích thước
mẫu.Tìm khoảng tin cậy.
iii) Cho độ tin cậy,độ chính xác.Tìm
kích thước mẫu.
VD:
Tại một đòa phương thăm dò 400 người dân

về mức độ hài lòng của người dân về các
dòch vụ công,có 160 người không hài lòng
về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt.
22
a/ Với độ tin cậy 95%.Hãy ước lượng tỷ lệ
người dân đòa phương không hài lòng về thái
độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt.
b/ Nếu độ chính xác là 3% thì độ tin cậy là
bao nhiêu?
c/ Nếu độ tin cậy là 90% và độ chính xác là
3% thì cần thăm dò bao nhiêu người ?
GIẢI:
a/
p
: tỷ lệ người dân đòa phương không hài
lòng (chưa biết)
%40
400
160
f
: tỷ lệ người dân không hài lòng
theo mẫu
%951



độ tin cậy
n=400
sử dụng f để ước lượng p.
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin

cậy
Từ
23

)|(|95.0
)|(|1)|(|1
2
2





zZP
zZPpfP








( Tra bảng hoặc dùng EXCEL )
suy ra
96,1
2


z

Ta có

400
6,0.4,0
96,140,0
)1(
2



n
ff
zfp


Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ người dân đòa
phương không hài lòng là:
( 35,199% - 44,801%)
b/ Trường hợp độ chính xác
%3



từ
23,1
24,0
400
03,0
)1(

)1(
22





ff
n
z
n
ff
z


suy ra độ tin cậy là
%24,781)(.2)(.21
22






zNORMSDISTz

c/
%901 


%3


24
Tìm kích thước mẫu n
Phương pháp 1:
Trong trường hợp này ,ta sử dụng f=40% làm
ước lượng ban đầu cho p.
Từ :
65,190,01
2






z

Mà

726
)03,0(
6,0.4,0.)65,1(
)1(
)1(
2
2
2
2





 n
ffz
n
ff
n
z





Vậy: n= 726
Phương pháp 2:
Ta có :

)1(2)1(1 pppp 
(BĐT Cauchy)



4
1
)1(  pp

Từ









 1)
)1()1(
||
(1)|(|
pp
n
pp
npf
PpfP

Suy ra
25

2
2
2
)1(


ppz
n



vậy
25,756
)03,0(4
)65,1(
2
2
n

Kết luận n=757

3.4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI TỔNG
THỂ
Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn

),(~
2

NX

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
của n quan sát từ một tổng thể có phân
phối chuẩn với phương sai là
2

(chưa biết).

Phương sai mẫu hiệu chỉnh là
^

2
s
.
Sử dụng
^
2
s
để ước lượng
2

.
Với độ tin cậy
)1(


, thì khoảng tin cậy của
phương sai tổng thể là :

26

2
2
1
^
2
2
2
2
^
2

)1()1(







 snsn

Hay

2
2
1
2
2
2
2
2






nsns

CHÚ Ý:
Sử dụng phân phối chi bình phương,bậc tự

do k=n-1 để tìm khoảng tin cậy của phương
sai tổng thể.
i)
)1(~
)1(
2
2
^
2
2


 n
sn




ii)
)1(~
22
n



2
)(
2
2
2




P


2
)(
2
2
1
2





P

VD:
Tại một siêu thò ,thăm dò 30 khách hàng về
số tiền dùng để mua hàng ,thì thấy số tiền
trung bình là 180 ngàn đồng,độ lệch chuẩn
27
của mẫu hiệu chỉnh là 14 ngàn đồng.Với độ
tin cậy là 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của
độ lệch chuẩn của số tiềân khách hàng sử
dụng .Cho biết số tiềân khách hàng sử dụng
để mua hàng có phân phối chuẩn.
GIẢI:

x
:số tiền trung bình một khách hàng sử
dụng = 180 (ngàn đồng)
^
s
= 14 (ngàn đồng)
%951 

độ tin cậy
Sử dụng
^
s
để ước lượng


Dùng phân phối chi bình phương bậc tự do
k=n-1=29 .
( Sử dụng EXCEL hoặc tra bảng phân phối
chi bình phương bậc tự do n= k-1 )
suy ra

72,45
2
025,0
2
2




05,16
2
975,0
2
2
1






28
Khoảng tin cậy của độ lệch chuẩn tổng thể

là

2
2
1
^
2
2
2
^
2
)1()1(








 snsn





82,1815,11



( ngàn đồng)

3.5 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TRUNG
BÌNH
3.5.1 TRƯỜNG HP MẪU GỒM CÁC CẶP SỐ
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
gồm n cặp quan sát
),), (,(),,(
2211 nn
yxyxyx
từ
một tổng thể vớiù các trung bình lần lượt là
YX



;
.Gọi d và
d
s
lần lượt là trung bình và độ
lệch chuẩn của n giá trò
iii
yxd



ni ,1
Nếu tổng thể của hiệâu hai trung bình có
phân phối chuẩn.
Thì với độ tin cậy
)1(



økhoảng tin cậy của
hiệu hai trung bình

)(
YX



là

n

st
d
n
st
d
d
YX
d
22




29
CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối STUDENT
để tìm khoảng tin cậy.


)1(~ nTT

( T có phân phối STUDENT , bậc tự do k=n-1 )


2
)(
2


 ttP

VD:
Chọn một mẫu ngẫu nhiên 6 người bán hàng
đã tham gia một khóa học về nghiệp vụ kỹ
thuật bán hàng.Theo dõi trong vòng 3 tháng
trước và 3 tháng sau khi tam dự khóa học,ta
có bảng sau đây về số tiền bán được hàng
cuả 6 người bán hàng trên (đơn vò ngàn
đôla) theo cùng một chu kỳ.
Cho biết tổng thể cóù phân phối chuẩn.
Với độ tin cậy 80% tìm khoảng tin cậy của
hiệu hai trung bình của tổng thể.




30
Thứ tự người
bán hàng
Trướckhi tham
dự khóa học
Sau khi tham
dự khóa học
1 212 237
2 282 291
3 203 191
4 327 341
5 165 192
6 198 180
GIẢI:

d =7.5 là trung bình của các giá trò
6,1;  iyxd
iii

(
5,7
6
6
1


i
i
d
d
)
96,185,359
5
)(
1
)(
6
1
2
1
2
2









d
i
i
n
i
i
d
s
dd
n
dd
s

Từ
015,2%80)1(
2






t

(dùïng phân phối STUDENT bậc tự do k=n-1=5

Tra bảng hoặc dùng EXCEL)
31
Suy ra
60,15
6
96,18.015,2
2

n
st
d



60,155,7 






d
YX

Vậy khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình
tổng thể là :
10,2310,8 




YX


(ngàn đôla)

3.5.2 TRƯỜNG HP HAI MẪU ĐỘC LẬP,
22
YX



Chúng ta xétù hai mẫu ngẫu nhiên độc lập,
không cần thiết cùng kích thước mẫu .
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
cuả
X
n
quan sát từ tổng thể có phân phối
chuẩn với trung bình
X

,phương sai
2
X

và
một mẫu ngẫu nhiên của
Y
n quan sát từ
tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình

Y

, phương sai
2
Y

.
Nếu trung bình hai mẫu cụ thể lần lượt là
yx;
.
Thì với độ tin cậy
)1(


khoảng tin cậy của
hiệu hai trung bình tổng thể là :
32
Y
Y
X
X
YX
Y
Y
X
X
nn
zyx
nn
zyx

22
2
22
2
((






Trường hợp này sử dụng phân phối chuẩn
để tìm khoảng tin cậy

CHÚ Ý:
Nếu
22
;
YX

chưa biết có thể thay thế bởi
phương sai mẫu hiệu chỉnh
^
2
^
2
;
YX
ss .
Trường hợp kích thước mẫu lớn 30;30 

YX
nn
tổng thể không có phân phối chuẩn ,chúng
ta vẫn có thể sử dụng phân phối chuẩn để
tìm khoảng tin cậy.
Trong trường hợp này khoảng tin cậy của
hiệu hai trung bình là:
Y
Y
X
X
YX
Y
Y
X
X
n
s
n
s
zyx
n
s
n
s
zyx
^
2
^
2

2
^
2
^
2
2
)()( 



VD:
Một mẫu ngẫu nhiên gồm 60 công nhân
nghiện thuốc lá, số giờ trung bình các công
nhân này vắng mặt trong công việc là 2,15
33
giờ / tháng, và độ lệch chuẩn của mẫu là
2,09 giờ / tháng.
Một mẫu ngẫu nhiên độc lập với mẫu trên
gồm 206 công nhân không hút thuốc lá,số
giờ trung bình các công nhân này vắng mặt
trong công việc là 1,69 giờ/tháng, và độ lệch
chuẩn của mẫu là 1,91 giờ/tháng.
Với độ tin cậy là 99%, tìm khoảng tin cậy của
hiệu của hai trung bình tổng thể.
GIẢI:
Với công nhân nghiện thuốc lá
15,2x
60
X
n

09,2
^

x
s

Với công nhân không hút thuốc lá
69,1y

206
Y
n
91,1
^

Y
s
Vì kích thước mẫu lớn,sử dụng phân phối
chuẩn và xấp xỉ phương sai tổng thể bởi
phương sai mẫu hiệu chỉnh
Từ
576,299,0)1(
2





z

Suy ra khoảng tin cậy là :
34
Y
Y
X
X
YX
Y
Y
X
X
n
s
n
s
zyx
n
s
n
s
zyx
^
2
^
2
2
^
2
^
2

2




11,119,0





YX


(giờ)

3.5.3 TRƯỜNG HP HAI MẪU ĐỘC LẬP CÓ KÍCH
THƯỚC MẪU NHỎ (n < 30) VÀ HAI TỔNG THỂ
CÓ

22
YX



Giả sử chúng ta có hai mẫu ngẫu nhiên độc
lập với
YX
nn ;
quan sát từ hai tổng thể có

phân phối chuẩn với trung bình lần lượt là
YX


;
,và có cùng phương sai là
2


( tuy nhiên chưa biết phương sai
)
Nếu các trung bình và phương sai hiệu chỉnh
của hai mẫu cụ thể lần lượt là
^
2
^
2
;;;
YX
ssyx .
Thì với độ tin cậy
)1(



khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình là :
YX
YX
YX
YX

YX
nn
nn
styx
nn
nn
styx




^
2
^
)()(
2




Với
35

)2(
)1()1(
^
2
^
2
^

2



YX
YXX
nn
snsn
s
Y

Và từ

2
)1(


t


CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối STUDENT
để tìm khoảng tin cậy


)2(~ 
YX
nnTT

( T có phân phối STUDENT với bậc tự do là

2


YX
nnk
).

2
)(
2


 tTP

VD:
Tại một hội chợ việc làm của sinh viên năm
cuối các ngành khối kinh tế.Các sinh viên
tham dự phỏng vấn để tìm việc làm.
Với một nhân viên phỏng vấn thứ nhất có 21
sinh viên được phỏng vấn, điểm trung bình
nhận được của các sinh viên trên là 72,1
36
( thang điểm 100), độ lệch chuẩn của mẫu
hiệu chỉnh là 11,3.
Với một nhân viên phỏng vấn thứ hai có 18
sinh viên được phỏng vấn, điểm trung bình
của các sinh viên trên là 73,8, và độ lệch
chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 10,6.
Hai mẫu trên độc lập ø được chọn từ hai tổng
thể có phân phối chuẩn có cùng phương

sai.
Với độ tin cậy 80%, tìm khoảng tin cậy của
hiệu trung bình hai tỗng thể.
GIẢI:
21

X
n 1,72x 3,11
^

X
s
18

Y
n 8,73y 6,10
^

Y
s
phương sai chung của hai mẫu
98,1065,120
2
)1()1(
^
2
^
2
2




 s
nn
snsn
s
YX
YYXX

Sử dụng phân phối STUDENT, bậc tự do
37221182







YX
nnk

Từ
026,290,01
2







t

37
( tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng
EXCEL )
Khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình tổng
thể là
YX
YX
YX
YX
YX
nn
nn
styx
nn
nn
styx




22
)()(





45,585,8 



YX


(điểm)

3.6 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TỶ LỆ
Giả sử
X
f là tỷ lệ thành công trong một mẫu
ngẫu nhiên của
X
n
quan sát từ một tổng thể
có tỷ lệ thành công là
X
p


Y
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu ngẫu
nhiên của
Y
n
quan sát từ một tổng thể có tỷ
lệ thành công là
Y
p

.
Nếu các mẫu có kích thước lớn
)30;( 
YX
nn
,
Thì với độ tin cậy
)1(


,
khoảng tin cậy của hiệu hai tỷ lệ tổng thể là
38
Y
YY
X
XX
YX
YX
Y
YY
X
XX
YX
n
ff
n
ff
zff
pp

n
ff
n
ff
zff
)1()1(
)(
)1()1(
)(
2
2












CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối chuẩn
để tìm khoảng tin cậy
VD:
Một công ty có hai phân xưởng cùng sản
xuất một loại sản phẩm.Kiểm tra ngẫu nhiên
100 sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất

thấy có 4 phế phẩm, kiểm tra 120 sản phẩm
do phân xưởng 2 sản xuất thấy có 6 phế
phẩm.
Với độ tin cậy 90%, tìm khoảng tin cậy của
sự chênh lệch về tỷ lệ phế phẩm do 2 phân
xưởng sản xuất.
GIẢI:
100

X
n

%4
100
4

X
f

120

Y
n

%5
120
6

Y
f

39
Từ
65,190,0)1(
2





z

Khoảng tin cậy của hiệu hai tỷ lệ tổng thể là
Y
YY
X
XX
XY
XY
Y
YY
X
XX
XY
n
ff
n
ff
zff
pp

n
ff
n
ff
zff
)1()1(
1()1(
2
2













0562,00362,0 



XY
pp