Xác suất thống kê - Lý thuyết ước lượng pdf

CHƯƠNG:
1.KHÁI NIỆM :
LÝ THUYẾT LƯNG
Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó
của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối
),(
θ
xF
, tham số
θ
chưa biết, cần
xác đònh
θ
, việc tìm giá trò thực sự của
θ
khó khăn, nên người ta chỉ ước lượng
θ
dựa
trên các kết quả của mẫu. Vấn đề đặt ra là từ tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên
(
n
XXX , ,
21
), trong đó
n
XXX ,
21
là các ĐLNN độc lập có cùng phân phối với ĐLNN
X. Chúng ta dựa vào đó xây dựng thống kê
), ,(

21
^
n
XXX
θ
sao cho với mẫu cụ thể
(
n
xxx , ,
21
), tìm được giá trò
), ,(
21
^
n
xxx
θ

đểø ước lượng tham số
θ
.
ĐỊNH NGHĨA:
), ,(
21 n
XXX
là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể,
), ,(
21 n
xxx
là một mẫu cụ thể

tương ứng.Một hàm
), ,(
21
^
n
XXX
θ
của n giá trò
n
XXX , ,
21
được gọi là một hàm ước
lượng của
θ
.Giá trò
), ,(
21
^
n
xxx
θ
là một ước lượng điểm của
θ
.
VD
Sử dụng trung bình mẫu để ước lương thu nhập trung bình của công nhân công ty A.
: Một công ty A có hàng ngàn công nhân.Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của
công ty nhận thấy thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng.
Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty được ước lượng là 1,5 triệu
đồng/tháng,

Đó là ước lượng điểm của trung bình tổng thể.
Trong chương này chúng ta quan tâm đên các ước lượng:trung bình tổng thể, phương
sai tổng thể, tỷ lệ tổng thể.
2.CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯNG
2.1 ƯỚC LƯNG KHÔNG CHỆCH
ĐỊNH NGHĨA:
Ước lượng
), ,(
21
^
n
XXX
θ
được gọi là một ước lượng không chệch của tham số
θ
nếu
:
θθ
=
)(
^
E

CHÚ Ý
•
:
µ
=)(XE
:trung bình mẫu là một ước lượng không chệch của trung bình tổng
thể.

•
2
^
2
)(
σ
=SE
:phương sai hiệu chỉnh của mẫu là một ước lượng không chệch của
phương sai tổng thể.
•
^
S
độ lệch chuẩn của mẫu là một ước lượng chệch của độ lệch chuẫn của tổng
thể
σ

•
pfE =)(
:tỷ lệ của mẫu là một ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể.
2.2 ƯỚC LƯNG VỮNG
ĐỊNH NGHĨA :
Ước lượng
^
θ
được gọi là ước lượng vững của tham số
θ

nếu
θθ
→

P
^
hay
1)|(|
^
=<−
+∞→
εθθ
P
Lim
n

CHÚ Ýù
• Trung bình mẫu
:
X
là một ước lượng vững của trung bình tổng thể
µ

• Tỷ lệ của mẫu
f
là một ước lượng vững của tỷ lệ tỗng thể
p

• Phương sai mẫu
^
22
;SS
là một ước lượng vững của phương sai tổng thể
2.3 ƯỚC LƯNG HIỆU QUẢ

ĐỊNH NGHĨA :
Cho
2
^
1
^
;
θθ
là hai ước lượng không chệch của tham số
θ
, được xây dựng trên cùng
một mẫu quan sát. Thì
1
^
θ
được gọi là hiệu quả hơn
2
^
θ
nếu

)()(
2
^
1
^
θθ
VarVar <

ĐỊNH NGHĨA:

Nếu
^
θ
là một ước lượng không chệch của
θ

Và không có ước lượng không chệch nào có phương sai nhỏ hơn, thì
^
θ
là một ươc
lượng hiệu quả nhất của
θ
.
CHÚ Ý
Trung bình mẫu
:
X
là một ước lượng hiệu quả nhất của trung bình tổng thể
µ

3. ƯỚC LƯNG KHOẢNG
3.1 ĐỊNH NGHĨA:
Một khoảng có hai đầu mút là
), ,(
21
^
1 n
xxx
θ
và

), ,(
21
^
2 n
xxx
θ
(phụ thuộc mẫu cụ
thể
), ,(
21 n
xxx
) mà tham số
θ
thuộc vào khoảng đó được gọi là khoảng ước lượng.
ĐỊNH NGHĨA:
Giả sử
θ
là một tham số chưa biết của tổng thể. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên chọn ra từ
tổng thể, ta tìm hai đại lượng ngẫu nhiên A , B sao cho

αθ
−=<< 1)( BAP
;
10 ≤≤
α

Nếu dựa vào một mẫu cụ thể A và B được biểu thò là a và b , thì khoảng (a,b) được gọi
là khoảng tin cậy của
θ
;

)1(
α
−
được gọi là độ tin cậy (
10
≤≤
α
).
Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Sử dụng tuổi
thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để ước lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn
do công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ.
VD:
Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất từ: 900 giờ – 1100 giờ.
Đó là ước lượng khoảng.
3.2 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
µ
là trung bình của tổng thể (chưa biết ),
x
là trung bình của mẫu
Sử dụng
x
để ước lượng
µ

Dựa trên mẫu cụ thể
), ,(
21 n
xxx
tìm khoảng:

),(
εε
+− xx

Sao cho :
αεµ
−=<− 1)|(| xP

Thì :
• Khoảng
),(
εε
+− xx
được gọi là
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể
µ

• (
α
−1
) là độ tin cậy
•
ε
được gọi là độ chính xác (hay sai số)
NHẬN XÉT:
Sự tương quan giửa độ tin cậy và độ chính xác
i) Độ tin cậy càng cao thì độ chính xác kém (sai số lớn)
ii) Độ chính xác tốt (sai số nhỏ) thì độ tin cậy thấp
3.2.1 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ KÍCH THƯỚC MẪU ≥ 30

),(~
2
σµ
NX

i)
Trường hợp
σ
đã biết

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối
chuẩn với trung bình
µ
và phương sai
2
σ
. Nếu
2
σ
đã biết và trung bình của mẫu cụ thể
là
x
. Thì với độ tin cậy
)1(
α
−
, khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:

n
z

x
n
z
x
σ
µ
σ
αα
22
+<<−

Chứng minh:

Ta có :
)1,0(~
)(
N
nX
Z
σ
µ
−
=

Thì :

α
α
σ
ε

σ
µ
αεµ
α
−=<⇔
⇔−=<
−
⇔
⇔−=<−
1)|(|
1)
||
(
1)|(|
2
zZP
nnX
P
XP

Từ đó suy ra
2
α
z

Với
σ
ε
α
n

z =
2

⇒

n
z
σ
ε
α
2
=

⇒
n
z
xx
2
α
εµ
±=±=


Vậy khoảng tin cậy là

n
z
x
n
z

xxx
σ
µ
σ
εµε
αα
22
+<<−⇔+<<−

•

)1,0(~ NZ
:
2
)(
2
α
α
=> zZP

ii) Trường hợp
σ
chưa biết thay thế bởi
^
s

Lập luận tương tự như trên

Suy ra

n
sz
x
^
2
α
µ
±=

Hay nói khác hơn với độ tin cậy là
)1(
α
−
,
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:

n
z
x
n
sz
x
2
^
2
αα
µ
+<<−

HÌNH VẼ

CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
i) Cho độ tin cậy
)1(
α
−
; kích thước mẫu n . Tìm khoảng tin cậy
ii) Cho độ chính xác; kích thước mẫu. Tìm độ tin cậy.
iii) Cho độ chính xác; độ tin cậy.Tìm kích thước mẫu
Thu nhập của công nhân công ty A có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,2 triệu
đồng.Thăm dò 100 công nhân của công ty trên thấy thu nhập trung bình là 2 triệu
đồng/tháng.
VD:
a/ với độ tin cậy là 90%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của công nhân công ty trên
b/ Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng thì độ tin cậy là bao nhiêu?
GIẢI:
Gọi X(triệu đồng) là thu nhập của công nhân công ty trên.
µ
là thu nhập trung bình của công nhân công ty ( chưa biết).
x
là thu nhập trung bình của công nhân theo mẫu = 2 (triệu đồng).
σ
=0,2 (triệu đồng)độ lệch chuẩn của tổng thể .
n=100 :kích thước mẫu
%901 =−
α
:độ tin cậy
Sử dụng
x
để ước lượng
µ

Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
a/
từ độ tin cậy :
65,190,0)1(
2
=⇒=−
α
α
z

suy ra

033,0
100
2,0.65,1
2
===
n
z
σ
ε
α


033,02±=±=⇒
εµ
x

vậy thu nhập trung bình của công nhân công ty trên là:

(1,967 triệu đồng - 2,033 triệu đồng)
b/ Trường hợp độ chính xác là
040,0=
ε
triệu đồng.
Ta có:
4772,0)2(2
2,0
100.04,0
2
=Φ⇒===
σ
ε
α
n
z

Suy ra độ tin cậy là:

%44,959544,0)(
21
2
==
Φ=−
α
α
z

CHÚ Ý:
Sử dụng EXCEL

a/Từ

)
2
1()|(|1
22
α
α
αα
−=⇒<=− NORMSINVz
zZP

Suyra

65,1)95,0(90,01
2
==⇒=− NORMSINVz
α
α

b/ Từ
2
2,0
100.04,0
2
===
σ
ε
α
n

z

suy ra

9545,01)2(.2)|(|1
2
=−=<=− NORMSINVzZP
α
α

3.2.2 TỔNG THỂ KHÔNG CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU
30≥n

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể không có phân
phối chuẩn,có trung bình
µ
.
Với trung bình và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là
^
;sx
.
Nếu n lớn ( n≥ 30 ) øsử dụng đònh lý giới hạn trung tâm ,
ta có
)1,0(~
)(
N
nX
Z
σ
µ

−
=

i)Trường hợp
2
σ
đã biết
Thì
)1,0(~
)(
N
nX
Z
σ
µ
−
=

Với độ tin cậy là
)1(
α
−
, thì khoảng tin cậy của trung bình tỗng thể là :

n
z
x
n
z
x

σ
µ
σ
αα
2
2
2
+<<−

ii)Trường hợp
2
σ
chưa biết thay thế bởi
^
2
s

Thì
)1,0(~
)(
^
N
s
nX
Z
µ
−
=

Suy ra :

n
sz
x
n
sz
x
^
2
^
2
αα
µ
+<<−

Trong một hội chợ việc làm dành cho sinh viên sắp tốt nghiệp.
VD:
Chọn ngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào một công ty liên doanh,đã được phỏng vấn
và được ban phỏng vấn đánh giá theo thang điểm
0-5. Kết quả điểm trung bình của các sinh viên trên là 3,92 với độ lệch chuẩn của mẫu
hiệu chỉnh là 1,57.
Hãy ước lượng điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên với độ tin cậy là
99%.
GIẢI:
Gọi X là điểm của mỗi sinh viên
µ
điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên (chưa biết).
x
điểm trung bình theo mẫu = 3,92

^
s
độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh = 1,57
n kích thước mẫu = 256
Độ tin cậy
%991 =−
α

sử dụng
x
để ước lượng
µ

Nhận xét: n>30 dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy.
Từ
58,299,01
2
=⇒=−
α
α
z

Suy ra

25,092,3
256
57,1.58,2
92,3
^
2

±=±=±=
n
sz
x
α
µ

Vậy diểm trung bình của sv dự tuyển là :
( 3,67 – 4,17 ) điểm
3.2.4 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU < 30
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối
chuẩn với trung bình
µ
, phương sai
2
σ
.
Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là
^
2
;sx
.
i)Trường hợp
σ
đã biết
Thì
)1,0(~
)(
N
nX

Z
σ
µ
−
=

Với độ tin cậy là
)1(
α
−
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :

n
z
x
n
z
x
σ
µ
σ
αα
22
+<<−


ii)Trường hợp
σ
chưa biết thay thế bởi
^

s

Thì
)1(~
)(
^
−
−
= nT
s
nX
T
µ

Hay

)1(~
1)(
−
−−
= nT
s
nX
T
µ

(T có phân phối STUDENT với bậc do là k=n-1
Suy ra :
n
st

x
^
2
α
µ
±=

Hay nói khác hơn với độ tin cậy
)1(
α
−
,
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :

n
st
x
n
st
x
^
2
^
2
αα
µ
+<<−

CHỨNG MINH:

α
α
εµ
αεµ
α
−=<⇔
⇔−=<
−
⇔−=<−
1)|(|
1)
||
(1)|(|
2
^^
tTP
s
n
s
nX
PXP

Từ đó suy ra
2
α
t

(tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL)

Với
n
st
s
n
t
^
2
^
2
α
α
ε
ε
=⇒=


n
st
xx
^
2
α
εµ
±=±=⇒

Vậy khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :

n
st

x
n
st
x
^
2
^
2
αα
µ
+<<−

• CHÚ Ý:
)1(~ −nTT
thì
2
)(
2
α
α
=> tTP

HÌNH VẼ
VD
Một hãng xe hơi thử nghiệm mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe đời mới ( số
km/lít).Chọn ngẫu nhiên 6 xe cho chạy thử được số liệu như sau:
:
7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76
Với độ tin cậy là 90% .Hãy tìm khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe trên.

Cho biết mức tiêu hao nhiên liêu có phân phối chuẩn.
GIẢI:
µ
mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe trên (chưa biết).
x
mức tiêu hao trung bình theo mẫu =8,20
41,0
^
=s

n=6
%901 =−
α

Nhận xét:
Tổng thể có phân phối chuẩn , chưa biết
σ
kích thước mẫu n=6 < 30 .Do đó sử dung
phân phối STUDENT bậc tự do k= n-1 =5, để tìm khoảng tin cậy.
Từ
015,290,01
2
=⇒=−
α
α
t

(tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL)

2

)()|(|)|(|1
222
α
αα
ααα
=>⇔=>⇔<=− tTPtTPtTP

Suy ra


34,020,8
6
41,0.015,2
20,8
^
2
±=±=±=
n
st
x
α
µ

Vậy khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của lại xe trên là :
( 7,86 - 8,54 ) km/ lít

3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ
Trường hợp kích thước mẫu n≥30
p
: tỷ lệ của tổng thể (chưa biết )

f
: tỷ lệ của mẫu
Sử dụng
f
để ước lượng
p

Dựa trên mẫu cụ thể, tìm khoảng

),(
εε
+− ff

Sao cho

αε
−=<− 1)|(| pfP

Thì
i) Khoảng
),(
εε
+− ff
được gọi là khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể
p

ii) (
α
−1
) là độ tin cậy

iii)
ε
là độ chính xác (sai số)
Giả sử
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu gồm n quan sát từ một tổng thể có tỷ lệ
thành công là
p
. Trường hợp n lớn (n≥ 30 ).
Với độ tin cậy
)1(
α
−
, thì khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :

n
ff
zfp
n
ff
zf
)1()1(
22
−
+<<
−
−
αα

CHÚ Ý:

Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30
Với điều kiện



>−
>
5)1(
5
pn
np

Thì

)1,0(~
)1(
)(
N
pp
npf
Z
−
−
=

Vì

n
k
f =

là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng

pfE =)(

Và phương sai

n
pp
fVar
)1(
)(
−
=

Nhưng vì p chưa biết nên thay thế bởi f.
• Điều kiện




>−
>
10)1(
10
fn
nf

Thì

)1,0(~
)1(
)1(
N
ff
nff
Z
−
−
=

Từ đó suy ra

α
α
ε
αε
α
−=<⇔
⇔−=
−
<
−
−
⇔−=<−
1)|(|
1)
)1()1(
||
(1)|(|

2
zZP
ff
n
ff
npf
PpfP

Tra bảng hàm hoặc dùng EXCELù suy ra

2
α
z

Với
n
ff
z
ff
n
z
)1(
)1(
22
−
=⇒
−
=
αα
ε

ε

n
ff
zfp
)1(
2
−
±=⇒
α

Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :

n
ff
zfp
n
ff
zf
)1()1(
22
−
+<<
−
−
αα


i) Cho ,độ tin cậy, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy.
CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯNG TỶ LỆ

ii) Cho độ chính xác, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy.
iii) Cho độ tin cậy,độ chính xác.Tìm kích thước mẫu.
Tại một đòa phương thăm dò 400 người dân về mức độ hài lòng của người dân về các
dòch vụ công,có 160 người không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt.
VD:
a/ Với độ tin cậy 95%.Hãy ước lượng tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng về thái
độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt.
b/ Nếu độ chính xác là 3% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
c/ Nếu độ tin cậy là 90% và độ chính xác là 3% thì cần thăm dò bao nhiêu người ?
GIẢI:
a/
p
: tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng (chưa biết)
%40
400
160
==f
: tỷ lệ người dân không hài lòng theo mẫu
%951 =−
α
độ tin cậy
n=400
sử dụng f để ước lượng p.
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
Từ

)|(|95.0
)|(|1)|(|1
2
2

α
α
αεα
zZP
zZPpfP
<=⇔
⇔<=−⇔<−=−

Tra bảng hoặc dùng EXCEL suy ra
96,1
2
=
α
z

Ta có

400
6,0.4,0
96,140,0
)1(
2
±=
−
±=
n
ff
zfp
α

Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng là:
( 35,199% - 44,801%)
b/ Trường hợp độ chính xác
%3=
ε

từ
23,1
24,0
400
03,0
)1(
)1(
22
==
−
=⇒
−
=
ff
n
z
n
ff
z
εε
αα

suy ra độ tin cậy là

%24,781)(.2)(.2
1
22
=−=Φ=−
αα
α
zNORMSDISTz

c/
%901 =−
α

%3=
ε

Tìm kích thước mẫu n
Phương pháp 1
Trong trường hợp này ,ta sử dụng f=40% làm ước lượng ban đầu cho p.
:
Từ :
65,190,01
2
=⇒=−
α
α
z

Mà

726
)03,0(
6,0.4,0.)65,1(
)1(
)1(
2
2
2
2
==⇒
−
=⇒
−
=
n
ffz
n
ff
n
z
ε
ε
α
α

Vậy: n= 726
Phương pháp 2
Ta có :
:

)1(2)1(1 pppp −≥−+=
(BĐT Cauchy)

⇔

4
1
)1( ≤− pp

Từ
α
ε
αε
−=
−
<
−
−
⇔−=<− 1)
)1()1(
||
(1)|(|
pp
n
pp
npf
PpfP

Suy ra

2
2
2
)1(
ε
α
ppz
n
−
≥


vậy
25,756
)03,0(4
)65,1(
2
2
=≥n

Kết luận n=757

3.4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ
Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn

),(~
2
σµ
NX

Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối
chuẩn với phương sai là
2
σ
(chưa biết).

Phương sai mẫu hiệu chỉnh là
^
2
s
.
Sử dụng
^
2
s
để ước lượng
2
σ
.
Với độ tin cậy
)1(
α
−
, thì khoảng tin cậy của phương sai tổng thể là :


2
2
1
^

2
2
2
2
^
2
)1()1(
αα
χ
σ
χ
−
−
<<
− snsn

Hay

2
2
1
2
2
2
2
2
αα
χ
σ
χ

−
<<
nsns

Sử dụng phân phối chi bình phương,bậc tự do k=n-1 để tìm khoảng tin cậy của phương
sai tổng thể.
CHÚ Ý:
i)
)1(~
)1(
2
2
^
2
2
−
−
= n
sn
χ
σ
χ

ii)
)1(~
22
−n
χχ

•

2
)(
2
2
2
α
χχ
α
=>P

•
2
)(
2
2
1
2
α
χχ
α
=<
−
P

Tại một siêu thò ,thăm dò 30 khách hàng về số tiền dùng để mua hàng ,thì thấy số tiền
trung bình là 180 ngàn đồng,độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 14 ngàn đồng.Với độ
tin cậy là 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của độ lệch chuẩn của số tiềân khách hàng sử
dụng .Cho biết số tiềân khách hàng sử dụng để mua hàng có phân phối chuẩn.
VD:
GIẢI:

x
:số tiền trung bình một khách hàng sử dụng = 180 (ngàn đồng)
^
s
= 14 (ngàn đồng)
%951 =−
α
độ tin cậy
Sử dụng
^
s
để ước lượng
σ

Dùng phân phối chi bình phương bậc tự do k=n-1=29 .
Sử dụng EXCEL, ta có

72,45)29;025,0(
2
025,0
2
2
=== CHIINV
χχ
α


05,16)29;975,0(
2
975,0

2
2
1
===
−
CHIINV
χχ
α

(có thể tra bảng phân phối chi bình phương bậc tự do n=k-1=29

72,45025,0)(
2
025,0
2
025,0
2
=⇒=>
χχχ
P


05,16975,0)(
2
975,0
2
975,0
2
=⇒=>
χχχ

P
)
Khoảng ước lượng của
σ
là;

2
2
1
^
2
2
2
^
2
)1()1(
αα
χ
σ
χ
−
−
<<
− snsn



⇔

82,1815,11 <<

σ
( ngàn đồng)

3.5 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TRUNG BÌNH
3.5.1 TRƯỜNG HP MẪU GỒM CÁC CẶP SỐ
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát
),), (,(),,(
2211 nn
yxyxyx

từ một tổng thể vớiù các trung bình lần lượt là
YX
µµ
;
.Gọi d và
d
s
lần lượt là trung bình và
độ lệch chuẩn của n giá trò
iii
yxd −=

ni ,1=
Nếu tổng thể của hiệâu hai trung bình có
phân phối chuẩn.
Thì với độ tin cậy
)1(
α
−

økhoảng tin cậy của hiệu hai trung bình

)(
YX
µµ
−
là

n
st
d
n
st
d
d
YX
d
22
αα
µµ
+<−<−

CHÚ Y
Trường hợp này sử dụng phân phối STUDENT để tìm khoảng tin cậy.

Ù:
•
)1(~ −nTT

( T có phân phối STUDENT , bậc tự do k=n-1 )

2
)(
2
α
α
=> ttP

Chọn một mẫu ngẫu nhiên 6 người bán hàng đã tham gia một khóa học về nghiệp vụ
kỹ thuật bán hàng.Theo dõi trong vòng 3 tháng trước và 3 tháng sau khi tam dự khóa
học,ta có bảng sau đây về số tiền bán được hàng cuả 6 người bán hàng trên (đơn vò
ngàn đôla) theo cùng một chu kỳ.
VD:
Cho biết tổng thể cóù phân phối chuẩn.
Với độ tin cậy 80% tìm khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình của tổng thể.

Thứ tự người
bán hàng
Trướckhi tham
dự khóa học
Sau khi tham dự
khóa học
1 212 237
2 282 291
3 203 191
4 327 341
5 165 192
6 198 180
GIẢI:

d =7.5 :trung bình của các giá trò :
6,1, =− iyx
ii

2
d
s
=359,5
⇒

d
s
=18,96
Từ
015,2%80)1(
2
=⇒=−
α
α
t

(dùïng phân phối STUDENT bậc tự do k=n-1=5
Tra bảng hoặc dùng EXCEL)
Suy ra
60,15
6
96,18.015,2
2
===
n

st
d
α
ε


60,155,7 ±=±=−
εµµ
d
YX

Vậy khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình tổng thể là :

10
,2310,8 <−<−
YX
µµ
(ngàn đôla)

3.5.2 TRƯỜNG HP HAI MẪU ĐỘC LẬP,
22
YX
σσ
≠

Chúng ta xétù hai mẫu ngẫu nhiên độc lập, không cần thiết cùng kích thước mẫu .
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên cuả
X
n
quan sát từ tổng thể có phân phối

chuẩn với trung bình
X
µ
,phương sai
2
X
σ
và một mẫu ngẫu nhiên của
Y
n
quan sát từ
tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình
Y
µ
, phương sai
2
Y
σ
.
Nếu trung bình hai mẫu cụ thể lần lượt là
yx;
.
Thì với độ tin cậy
)1(
α
−
khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình tổng thể là :

Y
Y

X
X
YX
Y
Y
X
X
nn
zyx
nn
zyx
22
2
22
2
((
σσ
µµ
σσ
αα
++−<−<+−−

Trường hợp này sử dụng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy

Nếu
CHÚ Ý:
22
;
YX
σσ

chưa biết có thể thay thế bởi phương sai mẫu hiệu chỉnh
^
2
^
2
;
YX
ss
.
Trường hợp kích thước mẫu lớn
30;30 ≥≥
YX
nn
tổng thể không có phân phối chuẩn
,chúng ta vẫn có thể sử dụng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy.
Trong trường hợp này khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình là:

Y
Y
X
X
YX
Y
Y
X
X
n
s
n
s

zyx
n
s
n
s
zyx
^
2
^
2
2
^
2
^
2
2
)()( ++−<−<+−−
αα
µµ

Một mẫu ngẫu nhiên gồm 60 công nhân nghiện thuốc lá, số giờ trung bình các công
nhân này vắng mặt trong công việc là 2,15 giờ / tháng, và độ lệch chuẩn của mẫu là
2,09 giờ / tháng.
VD:
Một mẫu ngẫu nhiên độc lập với mẫu trên gồm 206 công nhân không hút thuốc lá,số giờ
trung bình các công nhân này vắng mặt trong công việc là 1,69 giờ/tháng, và độ lệch
chuẩn của mẫu là 1,91 giờ/tháng.
Với độ tin cậy là 99%.
Tìm khoảng tin cậy của hiệu của hai trung bình tổng thể.
GIẢI:

Với công nhân nghiện thuốc lá
15,2=x

60=
X
n

09,2
^
=
x
s

Với công nhân không hút thuốc lá
69,1=y

206=
Y
n

91,1
^
=
Y
s

Vì kích thước mẫu lớn,sử dụng phân phối chuẩn và xấp xỉ phương sai tổng thể bởi
phương sai mẫu hiệu chỉnh
Từ
576,299,0)1(

2
=⇒=−
α
α
z

Suy ra khoảng tin cậy là :

Y
Y
X
X
YX
Y
Y
X
X
n
s
n
s
zyx
n
s
n
s
zyx
^
2
^

2
2
^
2
^
2
2
++−<−<+−−
αα
µµ


11,119,0 <−<−⇔
YX
µµ
(giờ)

3.5.3 TRƯỜNG HP HAI MẪU ĐỘC LẬP CÓ KÍCH THƯỚC MẪU NHỎ (n < 30) VÀ HAI TỔNG THỂ
CÓ

22
YX
σσ
=

Giả sử chúng ta có hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với
YX
nn ;
quan sát từ hai tổng thể có
phân phối chuẩn với trung bình lần lượt là

YX
µµ
;
,và có cùng phương sai là
2
σ
(tuy
nhiên chưa biết phương sai
)
Nếu các trung bình và phương sai hiệu chỉnh của hai mẫu cụ thể lần lượt là
^
2
^
2
;;;
YX
ssyx
.
Thì với độ tin cậy
)1(
α
−

khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình là :

YX
YX
YX
YX
YX

nn
nn
styx
nn
nn
styx
+
+−<−<
+
−−
^
2
^
)()(
2
α
µµ
α

Với

)2(
)1()1(
^
2
^
2
^
2
−

+
−+−
=
YX
YXX
nn
snsn
s
Y

Và từ

2
)1(
α
α
t⇒−

CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối STUDENT để tìm khoảng tin cậy

•
)2(~ −+
YX
nnTT

( T có phân phối STUDENT với bậc tự do là
2−+=
YX
nnk

).

2
)(
2
α
α
=> tTP

Tại một hội chợ việc làm của sinh viên năm cuối các ngành khối kinh tế.Các sinh viên
tham dự phỏng vấn để tìm việc làm.
VD:
Với một nhân viên phỏng vấn thứ nhất có 21 sinh viên được phỏng vấn, điểm trung bình
nhận được của các sinh viên trên là 72,1
( thang điểm 100), độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 11,3.
Với một nhân viên phỏng vấn thứ hai có 18 sinh viên được phỏng vấn, điểm trung bình
của các sinh viên trên là 73,8, và độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 10,6.
Hai mẫu trên độc lập ø được chọn từ hai tổng thể có phân phối chuẩn có cùng phương
sai.
Với độ tin cậy 80%, tìm khoảng tin cậy của hiệu trung bình hai tỗng thể.
GIẢI:
X: điểm mà mỗi sinh viên nhậân được từ nhân viên phỏng vấn thứ nhất.
Y: điểm mà mỗi sinh viên nhận được từ nhân viên phỏng vấn thứ hai.

Ta có:
21=
X
n

1,72=x

3,11
^
=
X
s

18=
Y
n

8,73=y

6,10
^
=
Y
s

phương sai chung của hai mẫu
98,1065,120
2
)1()1(
^
2
^
2
2
=⇒=
−+

−+−
= s
nn
snsn
s
YX
YYXX

Sử dụng phân phối STUDENT, bậc tự do

37221182 =−+=−+=
YX
nnk

Từ
026,290,01
2
=⇒=−
α
α
t

(tra bảng phân phối STUDENT với bậc tự do là k=37 hoặc dùng EXCEL)
Khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình

YX
YX
YX
YX
YX

nn
nn
styx
nn
nn
styx
+
+−<−<
+
−−
22
)()(
αα
µµ



45,585,8 <−<−⇔
YX
µµ
(điểm)

3.6 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TỶ LỆ
Giả sử
X
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu ngẫu nhiên của
X
n
quan sát từ một tổng

thể có tỷ lệ thành công là
X
p


Y
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu ngẫu nhiên của
Y
n
quan sát từ một tổng thể có tỷ
lệ thành công là
Y
p
.
Nếu các mẫu có kích thước lớn
)30;( ≥
YX
nn
,
Thì với độ tin cậy
)1(
α
−
,
khoảng tin cậy của hiệu hai tỷ lệ tổng thể là

Y
YY
X

XX
YX
YX
Y
YY
X
XX
YX
n
ff
n
ff
zff
pp
n
ff
n
ff
zff
)1()1(
)(
)1()1(
)(
2
2
−
+
−
+−<
<−<

−
+
−
−−
α
α

CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
Một công ty có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm.Kiểm tra ngẫu nhiên
100 sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất thấy có 4 phế phẩm, kiểm tra 120 sản phẩm do
phân xưởng 2 sản xuất thấy có 6 phế phẩm.
VD:
Với độ tin cậy 90%, tìm khoảng tin cậy của sự chênh lệch về tỷ lệ phế phẩm do 2 phân
xưởng sản xuất.
GIẢI:
100=
X
n

%4
100
4
==
X
f

120=
Y
n

%5
120
6
==
Y
f

Từ
65,190,0)1(
2
=⇒=−
α
α
z

Khoảng tin cậy của hiệu hai tỷ lệ là:

Y
YY
X
XX
XY
XY
Y
YY
X
XX
XY
n

ff
n
ff
zff
pp
n
ff
n
ff
zff
)1()1(
1()1(
2
2
−
+
−
+−<
<−<
−
+
−
−−
α
α


0562,00362,0 <−<−⇔
XY
pp