Đề và đáp án thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 8 môn toán năm 2014

PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) . Cho đa thức P(x) = (48x
2
+ 8x - 1)(3x
2
+ 5x + x) - 4
1) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x).
Bài 2: (2 điểm).
Cho biểu thức A =
2
3
a 6 1 a 2 a 1
:
a 4a 6 3a a 2 a 1 a 2
 
− −
 
+ + −
 ÷
 ÷
− − + + +
 
 
với
{ }
a 1;0; 2≠ − ±

1) Rút gọn A
2) Tìm các giá trị của a để A < 0
3) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3: (2 điểm)
Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( )
1 1 1 3(x y)(y z)(z x)
x y z 9
x y z xyz
 
− − −
+ + + + + ≥
 ÷
 
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC
lấy điểm F sao cho BE = DF. Đường thẳng qua E song song với AF cắt đường thẳng
qua F song song với AE tại H. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác AEHF là hình vuông
2) CH là tia phân giác của góc ECF
3)
AC CH⊥
ĐỀ SỐ 1
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 1
Nội dung Số
điểm
Bài 1: 1) P(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4+ − + + −
=

( ) ( )
2 2
12x 11x 2 12x 11x 1 4+ + + − −
0,25
0,25
Đặt
2
12x 11x 2 t+ + =
=> P(x) = (t + 1)(t - 4)
=> P(x) =
( ) ( )
2 2
12x 11x 3 12x 11x 2
+ + + −
0,25
0,25
2) P(x) =
2
2
3 25 25
t 3t 4 t
2 4 4
 
− − = − − ≥ −
 ÷
 
.
1,0
Bài 2: 1) A =
2

a 6 1 (a 2)(a 2) (a 1)(a 1)
:
a(a 2)(a 2) 3(a 2) a 2 (a 1)(a 2)
 
− + − − +
− +
 ÷
− + − + + +
 
0,5
Rút gọn được A =
2(a 1)
a 2
+
−
0,5
2) A < 0 <=> 2 trường hợp a + 1 > 0 và a - 2 < 0 ; a + 1 < 0 và a - 2 > 0 0,25
Kết quả:
1 a 0 2− < ≠ <
0,25
3) Để A nguyên khi và chỉ khi a – 2 là ước của 6, a là số nguyên 0,25
Giải được a
{ }
4;1;3;4;5;8∈ −
0,25
Bài 3: Chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = 0 thì
3 3 3
a b c 3abc+ + =
0,75
( )

1 1 1 3(x y)(y z)(z x)
x y z 9
x y z xyz
 
− − −
+ + + + + ≥
 ÷
 
<=>
( ) ( ) ( )
3 3 3
x y y z z x
x y y z z x
2 2 2 9
y x z y x z xyz
− + − + −
   
 
+ − + + − + + − + ≥
 ÷
 ÷  ÷
 
   
<=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z x y y z x y z z x y z x
0
xyz
− + − + − + − + − + −

≥
(1)
0,5
0,5
Bất đẳng thức (1) đúng vì x, y, z là ba cạnh của một tam giác. Dấu “=” xảy
ra <=> x = y = z <=> tam giác đều
0,25
Bài 4:
H
D
A
C
B
F
I
E
K
1) AEHF là hình bình hành 0,75
ABE ADF
∆ = ∆
0,25
=> AE = AF và
·
0
EAF 90=
=> AEHF là hình vuông
0,5
0,25
2) kẻ HI
⊥

BC ; HK
⊥
CD

HKF HIE∆ = ∆
=> HK = HI => CH là phân giác của
·
ECF
0,5
0,5
0,25
3) Chỉ ra AC là phân giác của góc BCD
=> AC
⊥
CH
0,75
0,25
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm)
Cho a + b + c = 1 và
2 2 2
a b c 1+ + =
1) Chứng minh rằng: nếu
x y z
a b c
= =

thì xy + yz + zx = 0
2) Hãy tính giá trị a , b , c nếu cho thêm điều kiện
3 3 3
a b c 1+ + =
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình
2
(x 2)(x 2)(x 10) 72+ − − =
2) Tìm GTLN của biểu thức:
2
x
A
(x 2007)
=
+
(với x > 0)
Bài 3: (1 điểm)
Cho x , y , z là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn:
y z x
1 1 1 8
x y z
 
   
+ + + =
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
Bài 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến BM và phân giác
CD cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng:
1)
BH CM AD
. . 1
HC MA DB
=
2) BH = AC
Bài 5: (2 điểm)
Cho O là một điểm nằm ở miền trong của tam giác ABC. Các tia AO , BO , CO
theo thứ tự cắt các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại các điểm P , Q , R.
Chứng minh rằng:
OA OB OC
2
AP BQ CR
+ + =
ĐỀ SỐ 2
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 2
Nội dung Số điểm
Bài 1: 1) Chỉ ra
x y z
x y z
a b c
= = = + +
0,5
Suy ra
( )
2
2 2 2
x y z x y z+ + = + +

0,5
=> xy + yz + zx = 0 0,5
2)
( )
( )
2
2 2 2
a b c a b c 0 ab bc ca 0+ + − + + = <=> + + =
(1)
0,5
( )
( )
2 2 2
a b c a b c 1+ + + + =
<=> ab + bc + ca - 3abc = 0 (2)
0,5
Từ (1) và (2) kết hợp với các điều kiện của bài suy ra trong ba số a,
b, c có hai số bằng 0 và một số bằng 1.
0,5
Bài 2: 1) PT <=>
( ) ( )
2 2
x 4 x 10 72
− − =
0,25
Đặt x
2
= t dẫn tới PT :
2
t 6t 72 0 t 6 ; t 12− − = <=> = − =

0,5
Giải ra được x = 4 ; x = - 4 0,25
2) Có :
( )
2
x 2007 4x.2007+ ≥
0,25
Vì x > 0 nên
( )
2
x x 1
4x.2007 8028
x 2007
≤ =
+
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2007 0,25
Vậy
Max
1
A x 2007
8028
= ⇔ =
0,25
Bài 3: ĐK đầu bài <=>
x y y z z x
2 2 2 0
y x z y x z
   
 

+ − + + − + + − =
 ÷
 ÷  ÷
 
   
0,5
<=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y y z z x
0
xy yz xz
− − −
+ + =
0,5
<=> x = y = z <=> tam giác đã cho là tam giác đều 0,5
Bài 4: 1) Qua A kẻ đường thẳng EF song song với BC
Chỉ ra được
BH AE MC BC DA AE
; ;
HC AF MA AE DB BC
= = =
0,75
Nhân vế với vế các đẳng thức suy ra điều phải chứng minh 0,25
B
C
A
H
M
D

E
F
2) CD là phân giác của góc C nên ta có:
DA CA
DB CB
=
0,25
Vì MA = MC nên:
HB MC DA HB DA
. . . 1
HC MA DB HC DB
= =
0,25
=> HB.CA = HC.CB = AC
2
=> BH = AC 0.5
Bài 5: Đặt
1 OBC
S S=
;
2 OAC
S S=
;
3 OAB
S S=
;
ABC
S S=
O
B

C
A
P
Q
R
K
H
Kẻ AH
⊥
BC ; OK
⊥
BC => AH // OK 0,25
Có
1 1 2 3
OP OK S AP OP S S OA S S
AP AH S AP S AP S
− − +
= = => = => =
(1)
0,75
Tương tự:
1 3
OB S S
BQ S
+
=
(2) ;
1 2
OC S S
BR S

+
=
(3)
0,5
Cộng vế với vế của (1) ; (2) và (3) ta được điều phải chứng minh 0,5