Bài giảng: Kỹ thuật siêu cao tầng docx

KỸ THUẬT SIÊU CAO TẦN
Chương 3
MA TRẬN TÁN XẠ
Khái niệm

Với các mạch ñiện hoạt ñộng tại tần số thấp (là tần
số mà tại ñó,kích thước của mạch ñiện rất nhỏ so với
bước sóng lan truyền),chúng thường ñược coi như là
các phần tử thông số tập trung và tại bất kỳ ñiểm
nào của mạch ñiện,ta có thể xác ñịnh ñược ñiện áp
và ñòng ñiện.

Giữa các ñiểm ñấu nối chung,không có sự lệch pha
ñáng kể của sóng.
Khái niệm

Với các mạch ñiện hoạt ñộng tại tần số siêu cao (kích
thước của mạch ñiện so sánh ñược với bước sóng),ta
không thể sử dụng cách giải ñơn giản như vậy.

Phương pháp giải trực tiếp từ hệ phương trình
maxwell là phương pháp tổng quát và hoàn chỉnh
nhất,áp dụng cho mọi cấu trúc,mọi tần số,và tìm
ñược ñiện trường và từ trường tại mọi ñiểm trong
không gian.
Khái niệm

Tuy nhiên,việc giải trực tiếp từ hệ phương trình
maxwell lại không ñơn giản và không phải lúc nào
cũng thực hiện ñược.


Thêm nữa,trong phần lớn các trường hợp chúng ta
chỉ cần tính giá trị ñiện áp và dòng ñiện tại một số
ñiểm nào ñó của mạch ñiện,hoặc công suất truyền
ñạt và tiêu tán trên một phần tử nào ñó ,mà không
quan tâm ñến giá trị tại mọi ñiểm bất kỳ trong
không gian.

Trường hợp này,việc giải hệ phương trình maxwell
trở nên rườm rà vô ích.
Khái niệm

Nội dung của chương này giới thiệu một phương
cách
mô hình hóa một mạch ñiện hoặc một phần
mạch ñiện ở tần số siêu cao bằng các phần tử tương
ñương
có thông số phân bố hoặc tập trung,biểu diễn
dưới dạng các mạng nhiều cửa.

Thông số của mạng ñược ñịnh nghĩa thông qua các
ma trận ñặc tính
Khái niệm

Xác ñịnh ñược ma trận chính là biết ñược hoàn toàn
ñặc tính hoạt ñộng của mạng, mà ta không cần quan
tâm ñến cấu trúc thực tế của các phần tử trong
mạng, ñến cường ñộ ñiện từ trường tại các ñiểm của
mạng.

ðối với toàn bộ mạch ñiện chung, một mạng nhiều

cửa (tượng trưng cho một phần của mạch ñiện) ñặt
trong mạch ñiện sẽ ñược coi như một phần tử dã
ñược xác ñịnh (bởi ma trận ñặc tính) , và ta dễ dàng
áp dụng các ñịnh luật kirchhoff ñể giải tích mạch như
các phương pháp thông thường.
Khái niệm

Một mạng n cửa ñược ñánh số từ cửa 1 ñến cửa n. Tại
mỗi cửa j , có một nguồn tín hiệu E
J
và một nội trở
nguồn Z
oJ
(ñược chọn làm trở kháng chuẩn cho cửa j ñó)
Khái niệm

ðiện áp và dòng ñiện tại ngõ vào cửa j bất kỳ là tổng của
sóng tới và sóng phản xạ:
•
V
j
= V
ij
+ V
rj
•
I
j
= I
ij

- I
rj
Với
nj ,1=∀
i (incident)
r (reflection)

Cho mạch ñiện ñơn giản gồm nguồn tín hiệu
E, nội trở Z
0
(phần thực R
0
), mắc nối tiếp với
Z
L
.Ta có thể coi Z
L
như một mạng một cửa
có ñiện áp và dòng ñiện ngõ vào lần lượt là
V và I.

Công suất từ nguồn E ñạt cực ñại khi có sự
phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn, nghĩa
là:
(liên hiệp phức)
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu
*
0
ZZ

L
=
L
L
ZZ
Z
EV
+
=
0
L
ZZ
E
I
+
=
0
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Ở vùng tần số siêu cao, ñiện áp và dòng ñiện tại bất kì ñiểm nào
cũng ñều ñược coi là tổng của 1 sóng tới và 1 sóng phản xạ.

Dòng ñiện sóng tới ñược ñịnh nghĩa là dòng ñiện trong mạch khi
có sự phối hợp trở kháng

ðiện áp sóng tới ñược tính khi có sự
phối hợp trở kháng:
0
*

00
2R
E
ZZ
E
I
i
=
+
=
0
*
0
*
00
*
0
2R
EZ
ZZ
EZ
V
i
=
+
=
ii
IZV
*
0

=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Sóng phản xạ ñiện áp là
ir
VVV −=
i
L
L
r
V
ZZ
ZZ
Z
Z
V
+
−
=
0
*
0
*
0
0
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Tương tự, sóng phản xạ dòng ñiện là:

(Dấu “-“ là chỉ dòng ñiện phản xạ ngược với chiều quy ước)
(
)
ir
III
−
−
=
i
L
L
r
I
ZZ
ZZ
I
+
−
=
0
*
0
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Hệ số phản xạ ñiện áp

Hệ số phản xạ dòng ñiện là
=
L

L
i
r
v
ZZ
ZZ
Z
Z
V
V
S
+
−
=
=
0
*
0
*
0
0
i
r
i
I
I
S =
L
L
ZZ

ZZ
+
−
0
*
0
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Nếu Z
0
là ñiện trở thực ( Z
0
=
R
0
) thì
Quan hệ giữa sóng ñiện áp phản xạ và sóng dòng ñiện
phản xạ trên ñường dây
0
0
RZ
RZ
SSS
L
L
vi
+
−
===

rr
IZV
0
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Cho mạng n cửa. Xét cửa thứ j

Tại cửa j gồm nguồn E
j
, nội trở R
0j
, V
ij
,V
rj
, I
ij
, I
rj
là hiệu ñiện
thế tới/về và cường ñộ dòng ñiện tới/về.

V
j
, I
j
là hiệu ñiện thế và cường ñộ dòng ñiện tại ngõ vào
bằng tổng của sóng tới và sóng phản xạ:

rjijj
VVV
+
=
rjijj
III −=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Ta ñịnh nghĩa ma trận trở kháng chuẩn [Z
0
] là ma trận
ñường chéo nxn gồm các trở kháng chuẩn tại các cửa Z
0j
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Ta ñịnh nghĩa các ñại lượng ñiện áp và dòng ñiện sóng tới và
sóng phản xạ như là các vectơ cột n phần tử:
[ ]





















=
in
i
i
i
V
V
V
V
.
.
.
2
1
[ ]





















=
rn
r
r
r
V
V
V
V
.
.
.
2
1
[ ]





















=
in
i
i
i
I
I
I
I
.

.
.
2
1
[ ]




















=
rn
r
r
r

I
I
I
I
.
.
.
2
1
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu
[
]
[
]
[
]
ri
VVV +=
[
]
[
]
[
]
ri
III −=
[
]
[

]
[
]
ii
IZV
*
0
=
[
]
[
]
[
]
rr
IZV
0
=
[
]
[
]
[
]
ivr
VSV =
[
]
[
]

[
]
iir
ISI =
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Trong lĩnh vực siêu cao tần, việc sử dụng các ñại
lượng ñiện áp và dòng ñiện tại ngõ vào ñể mô tả
sóng tới và sóng phản xạ chỉ có ý nghĩa về mặt lý
thuyết chứ không giúp ích cụ thể trong thực nghiệm.
Vì:

Không thể ño ñạc chính xác giá trị ñiện áp và dòng ñiện tại
các ñiểm trong mạng,

ðại lượng có thể ño ñạc duy nhất là công suất của sóng.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ma trận tán xạ [S] ( Scattering Matrix) của một
mạng n cửa ñược xây dựng từ quan hệ của các ñại
lượng
[a] và [b] liên quan ñến công suất sóng tới
và sóng về (khác với sóng phản xạ).

Với mạng n cửa , tại mỗi cửa thứ j ñều có một thành
phần sóng tới a
j
( sóng ñi vào cửa) và một thành phần

sóng về b
j
( sóng ñi ra khỏi cửa)
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Sóng tới a
j
không những bao gồm công suất của nguồn tín
hiệu E
j
tại cửa j mà còn gồm công suất sóng từ nguồn khác
phản xạ trên nội trở kháng Z
oj
ñể quay vào cửa j.

Sóng về theo hướng ñi ra khỏi cửa j không những bao gồm
sóng phản xạ của nguồn E
j
tại ngõ vào cửa j mà còn gồm
công suất của các nguồn khác vào mạng tại các cửa khác
và ñi ra khỏi cửa j.

Do ñó ta không gọi tên ñây là sóng phản xạ mà gọi là sóng
về.
Biểu diễn:
Trong ñó:


[Z
o
] là ma trận trở kháng chuẩn ñược ñịnh nghĩa ở phần trước.

[I
i
], [I
r
] là các ñại lượng dòng ñiện sóng tới và sóng phản xạ ñược
biễu diễn dưới dạng ma trận các vectơ cột n phần tử.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
[ ]
















=

n
a
a
a
a
.
.
2
1
[ ]
















=
3
2
1

.
.
b
b
b
b
[ ]
[ ]
[
]
( )
[ ]
i
I
ZZ
a
2
2
1
*
00
+
=
[ ]
[ ]
[
]
( )
[ ]
r

I
ZZ
b
2
2
1
*
00
+
=
Với
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Nếu gọi R
0j
là phần thực của trở kháng chuẩn Z
0j
thì

ðịnh nghĩa ma trận [S]
ijjj
IRa .
0
=
rjjj
IRb .
0
=
[ ] [ ] [ ]

i
IRa
2
1
0
=
[ ] [ ] [ ]
r
IRb
2
1
0
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ma trận [S] biểu diễn quan hệ giữa các ñại lượng
sóng tới và sóng về tại các cửa.

Biết ñược các thông số của ma trận [S] có nghĩa là

Biết ñược ñặc tính hoạt ñộng của mạng n cửa.

Tính ñược các công suất sóng ra khi ñã biết ñược các
công suất sóng ñưa vào.

Không cần biết ñến cấu trúc mạch ñiện bên trong của
mạng n cửa.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]


Ta còn có thể tính [S] từ các ma trận hệ số phản xạ dòng
ñiện
[S
i
] ñược ñịnh nghĩa ở phần trước

Hoặc viết dưới dạng chi tiết của phần tử hàng k cột l
Trong ñó
R
ok
, R
ol
là phần thực của trở kháng chuẩn tại cửa k và l.
[ ] [ ]
.
ok
kl ikl
ol
R
S S
R
=
2/1
0
2/1
0
]].[.[][][ RSRS
i
−

=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ta còn có thể tính [S] từ các ma trận hệ số phản xạ ñiện áp
[S
v
] ñược ñịnh nghĩa ở phần trước
[
]
[
]
[
]
[
]
1/2 1/2
. .
o v o
S R S R
−
=
[ ] [ ]
.
ol
kl vkl
ok
R
S S
R

=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Nếu chọn các trở kháng chuẩn tại các cửa ñều là số
thực và bằng nhau
Lúc này ma trận tán xạ [S] trở thành ma trận hệ số
phản xạ và truyền ñạt cho mạng n cửa.
oj oj
, 1,
o j
Z R R n
≡ = ∀ =
[
]
[
]
[
]
i v
S S S
= =
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

Trong thực nghiệm, ta không thể ño ñược giá trị sóng
ñiện áp hoặc sóng dòng ñiện tới và về tại mỗi ngõ vào
của mạng n cửa.


Mặt khác các ñại lượng ño ñược lại là ñiện áp V
j
và
dòng ñiện I
j
tại mỗi cửa j.
Trong ñó V
j
, I
j
lần lượt là tổng của một sóng tới và
sóng về.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa
rjijj
VVV +=
rjijj
III −=
ijjij
IZV
*
0
=
rjjrj
IZV
0
=

j
.
j oj j
E V Z I
= +
ijjj
IRa .
0
=
j
jjj
R
IZV
0
0
2
.
+
=
j
j
j
R
E
a
0
.2
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

ðể tìm quan hệ giữa sóng về b
j
với V
j
và I
j
, ta lại tính
j
jjj
rjjj
R
IZV
IRb
0
*
0
0
2
.
−
=
=
j
j
jj
j
j
jj

I
R
ZZ
R
V
ba
0
*
00
0
2
−
+=+
jjj
j
jj
jj
IRI
R
ZZ
ba
0
0
*
00
2
=
+
=−
(*)

(*)
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

Nếu Z
0j
là ñiện trở thuần ( ) thì

ðiện áp chuẩn hóa v
j
tại cửa thứ j

Dòng ñiện chuẩn hóa i
j
tại cửa thứ j

Do ñó từ (*) ta suy ra
j
j
jj
R
V
ba
0
=+
jj
RZ
00
≡

oj
j
j
V
v
R
=
oj
.
j j
i R I
=
(*)
j j j
v a b
= +
j j j
i a b
= −
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

Mặc dù các ñại lượng chuẩn hóa trên không thể
ñược ño ñạc trong thực tế, nhưng ñược dùng ñể so
sánh các mối liên quan giữa ma trận
[S] và các
dạng ma trận ñặc tính khác của mạng n cửa.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ý nghĩa các ñại lượng [a] và [b]

Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có công
suất trung bình P
j
ñược truyền vào phía trong của cửa j là
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa các ñại lượng [a] và [b]

Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có công
suất trung bình P
j
ñược truyền vào phía trong của cửa j là
->

Trong ñó

tượng trưng cho công suất sóng tới P
ij
của cửa j

tượng trưng cho công suất sóng về P
rj
của cửa j

Như vậy, 1 phần công suất tới sẽ phản xạ ngược ra khỏi cửa j, chỉ
1 phần công suất tới truyền vào phía trong mạng n cửa.
{
}

*
Re
2
1
jjj
IVP =
{
}
22
2
1
jjj
baP −=
2
2
1
j
a
2
2
1
j
b
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa các ñại lượng [a] và [b]

P
j
có thể là một số thực dương hoặc âm


P
j
dương thì công suất của nguồn ñược truyền vào mạng

P
j
âm thì nguồn nhận công suất phát ra từ mạng tại cửa j.

Nếu mạng n cửa là
thụ ñộng và không tổn hao
, tổng các
công suất truyền vào phía trong mạng phải bằng 0 (ñịnh
luật bảo toàn công suất).
{
}
2 2
1
0
n
j j
j
a b
=
− =
∑
[
]
[
]

[
]
[
]
. .
T T
a a b b
∗ ∗
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa các ñại lượng [a] và [b]

Tính ñối xứng: Nếu mạng n cửa có tính thuận nghịch thì ma
trận sẽ ñối xứng qua ñường chéo.

Tính thuận nghịch: Khi ñưa một tín hiệu vào cửa k, công suất
tín hiệu ra tại cửa l cũng bằng công suất tín hiệu ñi ra tại
cửa k nếu ñưa cùng một tín hiệu vào cửa l.
Khi ñó S
kl
= S
lk
Với S
kl
là phần tử ở hàng k, cột l của ma trận [S]

Nhờ tính chất thuận nghịch số ẩn số phải tìm của ma trận [S]
sẽ giảm ñi gần một nửa.
Ma trận tán xạ - các hệ số

Ma trận tán xạ [S]
ðặc tính của ma trận tán xạ [S]
ðịnh lý
Kronecker
Kronecker:

Ngoài tính chất ñối xứng, các hệ số S
kl
của ma trận của
mạng n cửa không tổn hao còn phải thỏa mãn ñịnh lý
Kronecker:
ij
n
k
kj
ik
SS
δ
=
∑
=1
*
.
* *
[ ] .[ ] [ ].[ ] [ ]
S S S S U
= =
1;
;
ij

i j
o i j
δ
=

=

≠

Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
ðặc tính của ma trận tán xạ [S]
Diễn giải ý nghĩa

Phép nhân vô hướng giữa một vectơ cột hoặc vectơ
hàng bất kỳ của ma trận
[S] (
vì S ñối xứng nên vector
cột và vector hàng tương ứng ñều giống nhau
) với liên
hiệp phức của chính vectơ cột hoặc vectơ hàng ñó sẽ
cho kết quả bằng 1.

Phép nhân vô hướng giữa một vectơ cột hoặc vectơ
hàng thứ i bất kỳ của ma trận
[S] với liên hiệp phức của
vectơ cột hoặc hàng thứ j bất kỳ sao cho j ≠ i , sẽ cho
kết quả bằng 0.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

ðặc tính của ma trận tán xạ [S]

ðịnh lý
Kronecker
Kronecker cho phép ta giảm ẩn số tương ñương của
các hệ số S
kl
của ma trận [S].

Ví dụ ta xét mạng hai cửa không tổn hao và thuận nghịch:


ðịnh lý
Kronecker
Kronecker cho phép ta biến ñổi thành 4 phương trình:
11 12
21 22
[ ]
S S
S
S S
 
=
 
 
21 11 22 12
0
S S S S
∗ ∗
+ =

2 2
2 1 2 2
1
S S
+ =
2 2
11 12
1
S S
+ =
11 21 12 22
0
S S S S
∗ ∗
+ =
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
ðặc tính của ma trận tán xạ [S]

Do tính ñối xứng của mạng hai cửa S
12
= S
21
suy ra
Với q là số thực dương

Ta có thể viết:
Với φ
11
và φ

22
là góc pha của số phức S
11
và S
22
11 22
S S q
= =
0 1
q
≤ ≤
11
11
22
22
j
j
S qe
S qe
ϕ
ϕ

=

=

Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
ðặc tính của ma trận tán xạ [S]
Ma trận tán xạ [S] của mạng 2 cửa có dạng

11 22
11 22
11 2
2
2 22
2
1
[ ]
1
j
j
j
j
qe j q e
S
j q e qe
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
+
+
 
± −
 
=
 
 
± −
 

2
12 21
1 .
j
S S q e
θ
= = −
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Xét một mạng hai cửa thụ ñộng không tổn hao và thuận nghịch
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]

Sóng tới tại cửa j:

Sóng về tại cửa j:
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
11
:

ðiều kiện a
2
= 0 nghĩa là không có sóng ñi vào cửa 2 của
mạng, có nghĩa là:
+ Cửa 2 ñược kết thúc bởi tải phối hợp
+ Nguồn E
2
bị triệt tiêu
0
2
1
1
11
=
=
a
a
b
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
11
:
S
11
chính là hệ số phản xạ ñiện áp tại cửa vào 1 với trở

kháng chuẩn là R
01
và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
11
, trong
ñiều kiện cửa 2 không có nguồn E
2
(E
2
= 0) và ñược kết
thúc bởi tải R
02
phối hợp.
0
2
1
1
11
=
=
a
a
b
S
0111
0111
11
RZ
RZ
S

+
−
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của |S
11
|
2

tượng trưng cho công suất sóng tới của cửa 1

tượng trưng công suất sóng phản xạ của cửa 1


tượng trưng hệ số phản xạ công suất tại cửa 1.
2
1
2
1
a
2
1
2
1
b
2

11
S
0
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
11
== akhi
a
b
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
22
:

S
22
chính là hệ số phản xạ ñiện áp tại cửa vào 2 với trở

kháng chuẩn là R
02
và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
22
,
trong ñiều kiện cửa 1 không có nguồn E
1
(E
1
= 0 ) và
ñược kết thúc bởi tải R
01
phối hợp.
0
1
2
2
22
=
=
a
a
b
S
0222
0222
22
RZ
RZ
S

+
−
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 2.
2
22
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
21
:
Hệ số
S
21
: thể hiện hệ số truyền ñạt từ cửa 1 sang cửa 2
0
2
1
2
21
=

=
a
a
b
S
0
2
1
2
1
0
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
21
=
=
=
=
a
a
b

a
a
b
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
21
:

tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi
cửa 2 ñể ñến tải R
02
với công suất tín hiệu ñến tại cửa 1.
ñược gọi là
h
h
ệ
ệ
s
s
ố
ố
truy
truy
ề
ề

n ñ
n ñ
ạ
ạ
t công su
t công su
ấ
ấ
t
t
t
t
ừ
ừ
c
c
ử
ử
a 1
a 1
ñ
ñ
ế
ế
n
n
c
c
ử
ử

a 2.
a 2.
2
21
S
2
1
2
2
0
2
1
2
2
2
21
2
1
2
1
2
a
b
a
b
S
a
==
=
Ma trận tán xạ - các hệ số

Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
21
:

Do ñiều kiện Kronecker của mạng 2 cửa thụ ñộng và
thuận nghịch, ta có:
ñịnh luật bảo toàn công suất ñược kiểm nghiệm:

Tổng công suất tín hiệu ra khỏi cửa 2 ( ) và công suất
phản xạ tại cửa 1 ( ) chính là công suất sóng tới tại cửa 1
( )
2
2
2
1
b
2
1
2
1
a
2
1
2
1
b

1
2
11
2
21
=+ SS
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
12
:

S
12
là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 1 khi ñặt sóng tới tại
cửa 2 trong ñiều kiện không có sóng tới tại cửa 1
(nguồn E
1
= 0 và cửa 1 ñược kết thúc bởi tải R
01
phối
hợp)

tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra
khỏi cửa 1 ñể ñến tải R
01
với công suất tín hiệu ñến tại

cửa 2. ñược gọi là
h
h
ệ
ệ
s
s
ố
ố
truy
truy
ề
ề
n ñ
n ñ
ạ
ạ
t công su
t công su
ấ
ấ
t
t
t
t
ừ
ừ
c
c
ử

ử
a 2
a 2
ñ
ñ
ế
ế
n c
n c
ử
ử
a 1.
a 1.
0
1
2
1
12
=
=
a
a
b
S
2
12
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S

kl
của ma trận [S]
Một cách tổng quát ta có các ñặc tính sau của các hệ số
S
ij
của mạng n cửa:

S
jj
là hệ số phản xạ ñiện áp tại cửa vào thứ j trong ñiều
kiện các cửa còn lại không có sóng vào. Nếu S
jj
= 0 , ta
có phối hợp trở kháng tại cửa j.

S
ij
là hệ số truyền ñạt công ñạt công suất từ cửa j ñến
cửa i . Nếu S
ij
= 0 , ta nói cửa i và cửa j cách ly nhau.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]

Bài tập:
Cho mạng 2 cửa có ma trận tán xạ [S] như hình.
Cửa 1 gồm nguồn E

1
, nội trở R
01
,
trở kháng nhìn vào cửa 1 có giá trị Z
11
.
Cửa 2 gồm nguồn E
2
, nội trở R
02
,
trở kháng nhìn vào cửa 2 có giá trị Z
22
. Cho

Z
1
=(50-j75) Ὠ

Z
2
=(60+j50) Ὠ

Z
3
=(20-j25) Ὠ.
Xác ñịnh ma trận [S]
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Liên quan ma trận tán xạ và các ma trận
ñặc tính khác

Ma trận tán xạ [S] của mạng nhiều cửa là một
dạng ma trận ñặc tính của mạng, mô tả hoàn toàn
ñặc tính của mạng.

Trong lĩnh vực siêu cao tần, ma trận tán xạ [S]
thường ñược sử dụng vì chúng ñược ño ñạc trực
tiếp thông qua công suất sóng tới và sóng về tại
các cửa, do ñó, giúp ta ño ñạc thực nghiệm các
thông số
[S] dễ dàng.
Liên quan ma trận tán xạ và các ma trận
ñặc tính khác

Tuy nhiên, việc sử dụng ma trận ñặc tính [S] cũng có
một số nhược ñiểm:

Ma trận [S] không phản ảnh ñược cấu trúc bên
trong của mạng nhiều cửa, ñiều mà người thiết kế
hệ thống cần phải dự ñoán từ yêu cầu ban ñầu về
ñặc tính của mạng cần phải thiết kế.

Với hệ thống gồm nhiều mạng nhiều cửa ghép hỗn
hợp với nhau, nếu mỗi mạng ñược biểu diễn bởi
ma trận [S] riêng của nó thì ta rất khó tính toán

ñược ma trận [S] chung của toàn hệ thống
.
Liên quan ma trận tán xạ và các ma trận
ñặc tính khác

Tiếp theo, ngoài ma trận [S], chúng ta lần lượt
xem xét một số dạng ma trận khác

Biểu diễn ñược ñặc tính của mạng nhiều cửa

Mỗi dạng có ưu nhược ñiểm và công dụng riêng

Mối liên quan giữa chúng với ma trận [S]

Có thể chuyển hóa dạng biểu diễn và tính toán dễ dàng.
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

Từ các vectơ ñiện áp [V] và vectơ dòng ñiện [I] của mạng n
cửa, ma trận trở kháng [Z], cũng là một ma trận ñặc tính của
mạng, ñược ñịnh nghĩa như sau:
[V] = [Z].[I]

[Z] – là ma trận phức nxn (Ohms)

Tuy nhiên ñể tổng quát hóa phép biểu diễn, các ñại lượng vectơ
ñiện áp và vectơ dòng ñiện phải là các ñại lượng chuẩn hóa
theo ñiện trở chuẩn tại các cửa,
[v] = [R

0
]
-1/2
[V]
[i] = [R
0
]
+1/2
[I]
Với : [R
0
] là ma trận ñường chéo nxn.
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

Ma trận ñiện trở chuẩn tại các cửa.

Ma trận trở kháng chuẩn hóa [z] cũng ñược ñịnh nghĩa từ vectơ
ñiện áp chuẩn hóa [v] và vectơ dòng ñiện chuẩn hóa [i].
[v] = [z].[i]
[ ]
( )
01
02
0
0
0

.

3
.
.
0
n
R
R
R
R
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

[v] = [z].[i]

[V] = [R
0
]

1/2
[z][R
0
]
1/2
[I]

[Z] = [R
0
]
1/2
[z][R
0
]
1/2

[z] = [R
0
]
-1/2
[Z][R
0
]
-1/2

ðể tìm mối liên quan giữa ma trận trở kháng chuẩn hóa [z] và
ma trận tán xạ [S], ta xét [R
0
] , Trong ñó vectơ ñiện áp chuẩn
hóa [v] và vectơ dòng ñiện chuẩn hóa [i] liên hệ với sóng tới [a]

và sóng về [b].
[v] = [a] + [b]
[i] = [a] – [b]
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

[U] là ma trận ñơn vị bậc n.
[S] = ([z] + [U])
-1
.([z] – [U])
[z] = ([U] + [S]). ([U] – [S])
-1

Biểu thức trên thể hiện mối liên quan thuận nghịch
giữa ma trận tán xạ [S] mà ma trận trở kháng chuẩn
hóa [z] của mạng nhiều cửa.
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

Việc sử dụng ma trận trở kháng [z] sẽ rất thuận lợi trong
trường hợp các cửa của mạng nhiều cửa ñược mắc nối tiếp
nhau.

Ma trận trở kháng của các mạng 2 cửa thành phần lần lượt
là [z
a
] và [z
b

], do ñó, ma trận trở kháng chung của hệ
thống (mạng 2 cửa tương ứng với khung chấm chấm) sẽ
là:
[z] = [z
a
] + [z
b
]
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng
Phép tính trở thành phép cộng ma trận ñơn giản, từ ñó, ta có
thể suy ra ma trận tán xạ [S] của toàn hệ thống.
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận dẫn nạp

Ma trận dẫn nạp [Y] của mạng n cửa cũng ñược ñịnh nghĩa
từ vectơ ñiện áp [V] và vectơ dòng ñiện [I]
[I] = [Y].[V]

Ma trận dẫn nạp chuẩn hóa [y] : [i] = [y].[v]

→ [Y] = [R
0
]
-1/2
[y][R
0
]

-1/2
= [G
0
]
1/2
[y][G
0
]
1/2

Trong ñó : [G
0
] = [R
0
]
-1
là ma trận ñường chéo nxn, tượng
trưng cho ñiện dẫn chuẩn tại các cửa của mạng.
[y] = [R
0
]
1/2
[Y][R
0
]
1/2
= [G
0
]
-1/2

[Y][G
0
]
-1/2
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận dẫn nạp

Quan hệ giữa ma trận tán xạ [S] và ma trận
dẫn nạp chuẩn hóa là :
[S] = - ([y] + [U])
-1
([y] – [U])
[y] = ([U] – [S]) ([U] + [S])
-1
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận dẫn nạp

Việc sử dụng ma trận dẫn nạp sẽ rất thuận lợi trong trường hợp
các cửa của mạng nhiều cửa ñược mắc song song với nhau

Ma trận dẫn nạp của các mạng 2 cửa thành phần lần lượt là
[y
a
] và [y
b
], do ñó ma trận dẫn nạp chung của hệ thống (mạng
2 cửa tương ứng với khung chấm chấm) sẽ là :
[y] = [y

[y] = [y
a
a
] + [y
] + [y
b
b
]
]
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Ma trận truyền ñạt [T] (
Transfer Matrix
) ñược ñịnh nghĩa cho
mạng 2 cửa.
Các sóng tới và về tại các cửa vẫn là sóng a và b, nhưng trong
hệ phương trình ñặc tính chúng ñược xếp thứ tự khác với hệ
phương trình của ma trận
[S]
b
2
= T
11
a
1
+ T
12
b

1
a
2
= T
21
a
1
+ T
22
b
1
là ma trận truyền ñạt.
2 11 12 1
2 21 22 1
T
T
b T a
a T b
    
=
    
    
[ ]
11 22
21 22
T T
T
T T
 
=

 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Như vậy so sánh với ñịnh nghĩa của ma trận [S], viết lại dưới
ñây ở dạng tường minh cho mạng 2 cửa :
1 11 12 1
2 21 22 2
S
S
b S a
b S a
     
=
     
     
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt
( )
( )
21
1 1 2
22 22
11 22 12 21 12
2 1 22
22 22
1

27

28
T
b a a
T T
T T T T T
b a a
T T
=− +
−
= +
[ ]
21
22 22
11 22 12 21 12
22 22
1


T
T T
S
T T T T T
T T
 
−
 
 

=
−
 
 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Nếu mạng 2 cửa có tính thuận nghịch (
reciprocity
) thì [S] ñối
xứng (S
12
= S
21
) ,
do ñó, ñiều kiện của
[T] là : T
11
T
22
– T
12
T
21
= 1
Ta cũng có quan hệ giữa
[T] và [S] :
[ ]

12 21 11 22 22
12 12
11
12 12

1

S S S S S
S S
T
S
S S
−
 
 
 
=
 
−
 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Ma trận [T] ñược sử dụng rất thuận lợi ñể xét trường
hợp các mạng 2 cửa ghép liên tiếp nhau, chẳng hạn
mạng 2 cửa như hình
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác

Ma trận truyền ñạt

Mạng 2 cửa thứ nhất và thứ 2 lần lượt ñược biểu diễn bằng ma
trận tán xạ
[S
A
] và [S
B
] hoặc ma trận truyền ñạt [T
A
] và [T
B
] .

Ở ñây ñể tính ma trận tán xạ tổng [S], ta không thể suy ra trực
tiếp từ
[S
A
] và [S
B
] .

Trong khi ñó, nếu dùng cách biểu diễn qua ma trận [T
A
] và [T
B
]
a
2A
≡ b

1B
b
2A
≡ a
1B
ta có thể suy ra trực tiếp
[T] = [T
[T] = [T
B
B
].[T
].[T
A
A
]
]
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Suy ra ma trận tổng [S]

Với D = 1- S
22A
S
11B
12 21 11
11 11
A A B
A

s s s
s s
D
= +
12 12
12
.
A B
s s
S
D
=
21 21
21
.
A B
s s
S
D
=
12 21 22
22 22
B B B
B
s s s
s s
D
= +
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác

Ma trận ABCD

Ma trận ABCD cũng ñược dùng ñể biểu diễn ñặc tính của mạng
hai cửa, cũng là một dạng của ma trận truyền ñạt nhưng cá ñại
lượng ño ñạc ñược trực tiếp là ñiện áp V
1
và V
2+
, dòng ñiện I
1
và I
2
taị các cửa, như hình
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận ABCD

Chú ý:

Các ñại lượng ñiện áp và dòng ñiện tại các cửa là các ñại
lượng tổng của sóng tới và sóng phản xạ,

ðể ñảm bảo tính chất truyền ñạt của ma trận ABCD, dòng
ñiện I
2
ñược ñịnh nghĩa là ñi ra khỏi cửa 2 (ngược với chiều
dòng ñiện I
2
của ma trận trở kháng hoặc ma trận dẫn nạp).


Ma trận ABCD ñược ñịnh nghĩa theo quan hệ sau
1 2
1 2
B
.
D
V V
A
I C I
   
 
=
   
 
 
   
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận ABCD

Nhờ ñặc tính truyền ñạt trên, ma trận ABCD ñược áp dụng
hữu hiệu cho hệ thống gồm nhiều mạng hai cửa liên tiếp
nhau (cascode), như hình .

Nếu gọi ABCD
a
, ABCD
b
,…,ABCD
k

là các ma trận thành
phần thì ma trận tổng
ABCD là
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận ABCD

Với mạng hai cửa thuận nghịch (
reciprocal
)
AD – BC = 1
Thêm nữa, nếu mạng hai cửa ñối xứng (
symmetrical
)
A = D

Như chúng ta ñã biết việc sử dụng ma trận [S] không thích hợp
với hệ nhiều mạng hai cửa ghép liên tiếp nhau.
Trường hợp này, phương pháp dùng ma trận truyền ñạt
[T]
hoặc ma trận ABCD là thích hợp nhất.

Mối liên hệ thuận nghịch giữa ma trận [S] và ma trận ABCD là
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận ABCD

Biến ñổi từ ma trận [S] sang ma trận ABCD

Trong ñó Z

o1
, Z
o2
lần lượt là trở kháng chuẩn ñược chọn cho
cửa 1 và cửa 2 ñối với ma trận [S], và :

Chú ý rằng khi S
21
= 0 thì các ñại lượng A, B, C, D ñểu không
xác ñịnh.

Tuy nhiên, trong thực tế, hệ số S
21
tượng trưng cho hệ số
truyền tín hiệu từ cửa 1 ñến cửa 2 thường khác 0 ở các tần số
siêu cao.
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
11 22 01 0 2 21
11 22 01 02 21
11 22 21 01 02
11 22 02 01 21

1 2 43
1 2 44
1 2 45
1 2 46
A S S S Z Z S
B S S S Z Z S
C S S S S Z Z
D S S S Z Z S
= + − − ∆
= + + + ∆
= − − − ∆
= − + − ∆
11 22 12 21

S S S S S∆ = −
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận ABCD

Biến ñổi từ ma trận ABCD sang ma trận [S]

Ta dễ dàng kiểm chứng rằng với mạng thuận nghịch thì AD –
BC = 1 thì sẽ ñồng nhất. Kết quả là S
12
= S
21
.
( )
( )
( )

02 01 02 01
11
02 01 02 01
01 02
12
02 01 02 01
01 02
21
02 0

48
2

49
2
AZ B CZ Z DZ
S
AZ B CZ Z DZ
AD BC Z Z
S
AZ B CZ Z DZ
Z Z
S
AZ B CZ
+ − −
=
+ + +
−
=
+ + +

=
+ +
(
)
(
)
1 02 01
02 01 02 01
22
02 01 02 01

50

51
Z DZ
AZ B CZ Z DZ
S
AZ B CZ Z DZ
+
− + − +
=
+ + +
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Bảng ñổi giữa các tham số mạng hai cửa