MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ potx

MT S BI TON LIấN QUAN N HM S
ax b
y
cx d
+
=
+
Cho hm s
2 1
-1
x
y
x
+
=
(1)
1. Kho sỏt v v ( C) ca (1).
{ }
1 1
1
2
TXĐ: R\ 1
TCĐ: x = 1 vì lim và lim
1
2
: 2 vì lim lim 2
1
1
-3
' 0 1.
( 1)

x x
x
x
y y
x
TCN y y
x
y x
x
+
+



=+ =
+
= = =
+
= <
+

Bng bin thiờn x - 1 +
y - -
2 +
y - 2

( ) ( )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng - ;1 và 1;+ . Hàm số không có cực trị
Điểm đặc biệt: 0 1
1

0 -
2
x y
y x

= =
= =

2. Chng minh ng thng d: y = x + 2m luụn ct (C ) ti hai im phõn bit A, B vi mi m. Tỡm
tt c cỏc giỏ tr ca m on AB ngn nht.

2
2 2
ơng trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là:
2x+1
2 2 1 ( 1)( 2 ) vì x = 1 không phải là nghiệm.
x-1
(2 -3) -(2 1) 0.(*)
4 4 13 (2 1) 12 0 . ậy d luôn cắt (C) tại hai điểm phân
Ph
x m x x x m
x m x m
m m m m V
= + + = +
+ + =
= + = + >
1 1
1 1 2 2 1 2
2 2
2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
2
biệt A, B với mọi m.
y 2
Gọi A(x ; ), B(x ; ). Ta có x , là hai nghiệm của (*) à
y 2
( ) ( ) 2( ) 2( 2 )
2( ) 8 2(2 3) 8(2 1) 2 4 4 13
2 (2 1)
x m
y y x v
x m
AB x x y y x x x x x x
x x x x m m m m
m
= +


= +

= + = = +
= + = + + = +
= +
1
12 24 . AB ngắn nhất khi và chỉ khi m =
2
m

3. Gi M l im trờn nhỏnh trỏi ca (C ) N l im trờn nhỏnh phi ca (C ). Tỡm ta ca M v N
sao cho MN ngn nht.
2
Cô Si
2 2 2
2 2
2(1- ) 1 2 3 3
Gọi M 1- , 1 , 1 ,2 , 0
1- -1
2(1 ) 1 2 3 3
N 1 , 1 , 1 ,2 , 0
1 -1
3 3 9 9 18
( ) 2 6 6 12 2 6
Dấu đẳng t
a a
a a a a
a a a
b b
b b b b
b b b
MN a b a b ab
b a a b ab
+

= = >
ữ ữ ữ

+ + +

+ = + = + + >
ữ ữ ữ
+


= + + + = + + + + + + + =
ữ

( ) ( )
hức xảy ra khi và chỉ khi 3
M 1- 3;2 3 và N 1 3;2 3
a b
Vậy
= =
+ +
o
2
o
4. Tiếp tuyến tại P của (C ) cắt TCĐ ở S và cắt TCN ở T.
CMR: Tam giác IST có diện tích không đổi, tìm chu vi nhỏ nhất của nó.
2 1
Giải: Gọi P( ; ) ( ). Tiếp tuyến tại P có ph ơng trình
1
3
( 1)
o
o
x
x C
x

y
x
+



=

( )
( )
( )
o
o
o
IST
2
2
o
o o o
IST
2 1
( ) (d)
1
2x 4
(d) (TCĐ) = S 1; , (d) (TCN) = T 2x -1;2 .
1
1
( Đ) ( ) 1;2 . Tam giác IST vuông tại I nên S IS.IT
2
2x 4

6
IS = 2 , IT = 2x -1-1 2x -2 2 x -1
1 1
S 6
o
o
o
o o
x
x x
x
x
TC TCN I
x x


+
+


+

ữ


= =

+
= = =
ữ

=
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
Cô Si
2 2
o
o
2
2 4
2
0
Cô Si
(đvdt) không đổi.
2x 4
36
ST = 2x -2 2 4 1 12
1
1
36
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 1 1 9
1
1 3
ác IST là 2p = (IS + IT) + ST 2 12 12 6 3
ấu đẳng t

o
o
o
o o
o
x
x
x
x x
x
x
Chuvitamgi
D

+
+ = +
ữ



= =

=
+ =
0
hức xảy ra khi và chỉ khi 1 3. Vậy chu vi nhỏ nhất bằng 6 3x =