toan_4_Bai6_HePTVPC1 pptx

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
•
BÀI 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)

NỘI DUNG

1 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2 – PHƯƠNG PHÁP KHỬ
3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH
THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG: PHƯƠNG PHÁP TRỊ
RIÊNG (CHÉO HOÁ MA TRẬN)

KHÁI NIỆM (SGK, TRANG 165)

Hệ m phtrình vi phân (cấp n) với m hàm ẩn: Minh
hoạ m = 2
: dạng chuẩn hoá
( )
( )



=
=
0',',,,

0',',,,
yxyxtG
yxyxtF
( )
( )



=
=
⇔
yxtgy
yxtfx
,,'
,,'
VD: Hệ cấp 1



++=
+−−=
t
eyxty
tyxtx
310)('
sin3)('
VD: Hệ cấp 2




+=
+=
txty
tytx
sin10)(''
cos)(''
Vấn đề: Biến đổi hệ cấp 1 trên về 1 ptrình vi phân và giải?

PHƯƠNG PHÁP KHỬ (SGK, TRANG 166)

Đưa hệ n phương trình vi phân cấp 1 về 1 phương trình vi
phân cấp n: Đạo hàm lên, lần lượt khử (n – 1) ẩn khác
VD: Giải
( )
( )



++=
+=
2310)('
123)('
t
eyxty
yxtx
( )
( )
( )
( )
)()(

0
,,
310
23
tbtAX
dt
dX
e
tb
ty
tx
tXA
t
+=⇒






=






=







=
Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính → Cách viết dạng ma trận
Hệ 2 phương trình cấp 1 : Xem như tương đương 1 phương
trình cấp 2 ⇒ Nghiệm chứa đúng 2 hằng số C
1
, C
2
( ) ( ) ( )
t
etxtxtx 211'6'' =−−⇒

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (SGK, TRANG 170)

Hệ n hàm ẩn, n phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính:
( )
E
tbxtaxtaxtatx
tbxtaxtaxtatx
tbxtaxtaxtatx
nnnnnnn
nn
nn








++++=
++++=
++++=
)()()()()('

)()()()()('
)()()()()('
2211
222221212
112121111



Ma trận:
)()( tbXtA
dt
dX
+=
: hệ pt ttính không thuần nhất













=
)()()(

)()()(
)()()(
21
22221
11211
tatata
tatata
tatata
A
nnnn
n
n
















=
)(

)(
)(
2
1
tx
tx
tx
X
n












=
)(

)(
)(
)(
2
1
tb
tb
tb
tb
n

HỆ PTVP TTÍNH THUẦN NHẤT (SGK, TRANG 170)

Hệ n hàm ẩn x
1
(t), x
2
(t) … x
n
(t) & n phương trình vi phân cấp 1
tuyến tính thuần nhất (không có vế phải)
( ) ( ) ( )
tXtA
dt
dX
E
xtaxtaxtatx
xtaxtaxtatx
xtaxtaxtatx

nnnnnn
nn
nn
=⇔







+++=
+++=
+++=
0
2211
22221212
12121111
)()()()('

)()()()('
)()()()('



Cấu trúc nghiệm hệ thuần nhất: Nghiệm tổng quát của hệ
thuần nhất: X
tq.tn
(t) = c
1

X
1
(t) + c
2
X
2
(t) + … + c
n
X
n
(t), c
k
∈ ℜ với
hệ nghiệm X
1
(t), X
2
(t) … X
n
(t) là hệ nghiệm cơ sở (tức n vectơ
{X
1
(t), X
2
(t) … X
n
(t)} độc lập tuyến tính ∀ t ∈ (a, b))

TTÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (SGK, TRANG 173)

Hệ p/trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
( ) ( )
0
2211
22221212
12121111
)('

)('
)('
EtAX
dt
dX
xaxaxatx
xaxaxatx
xaxaxatx
nnnnnn
nn
nn
=⇔







+++=
+++=
+++=




( )
( )






=












⇒







=






2
1
2
1
2
1
12
32
c
c
c
c
ec
ec
ty
tx
t
t
λ
λ
λ
⇒ Vectơ v = [c

1
, c
2
]
T
: vectơ riêng ma trận A ứng trò riêng λ!
Ma trận A (cấp 2): 2 giá trò riêng thực λ
1
, λ
2
& 2 vectơ
riêng độc lập tuyến tính: v
1
, v
2
⇒
2211tq.tn
21
vecvecX
tt
λλ
+=
VD: Giải



+=
+=
yxty
yxtx

2)('
32)('

NHẮC LẠI: TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG

Trò riêng: det(A – λI) = 0. Vectơ riêng v: (A – λI)v = 0
VD:






=
12
32
A
( )



=
−=
⇒=
−
−
=−
4
1
0

12
32
det
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
IA
VTR v
1
= [α, β]
T
ứng λ
1
= –1: Av
1
= λ
1
v
1
⇔ (A – λ
1
I)v
1
= 0
( )







−
=⇒=+⇔=












⇔=+
1
1
00
22
33
0
11
vvIA
βα
β

α
2 trò riêng thực, phân biệt ⇒ 2 VTR ĐLTT ⇒ Chéo hoá
1
21
31
40
01
21
31
12
32
−






−






−







−
=






=A
Vectơ riêng v
2
= [α, β]
T
ứng với λ
2
= 4:
v
2
= [3, 2]
T

KẾT QUẢ TỔNG QUÁT

Đònh Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A – n giá trò riêng thực λ
1
, λ
2

… λ
n
(không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng v
1
, v
2

… v
n
độc lập tuyến tính ⇒ Nghiệm tổng quát thuần nhất:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
∑
=
==
n
k
k
t
k
T
n
vectxtxtxtX
k
1
21
,,,
λ

VD: Giải hệ




+=
+=
yxy
yxx
2'
32'






=
12
32
A
: 2 GTP thực, VTR ĐLTT
( )
( )



+−=
+=
⇒







+






−
=






=⇒
−
−
−
tt
tt
tt
ececty
ecectx
ecec
y

x
tX
4
21
4
21
4
21
2
3
2
3
1
1
)(
[ ] [ ]
TT
vv 23,4;11,1
2211
==−=−=
λλ
Trò riêng, vectơ riêng:

TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP CHÉO HOÁ MA TRẬN

Ma trận A của hệ được chéo hoá bởi ma trận P: A = PDP
-1
X’(t) = AX(t) = (PDP
-1
)X(t) ⇔ P

-1
X’(t) = D.P
-1
X(t). Đổi biến
( )
⇒=
−
tXPY
1
⇒= )()(' tDYtY
( )
( )
( )
( )
( )
( )

























=












ty
ty
ty
ty
ty
ty
nnn

00

00
00
'

'
'
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ










=
=

=
⇔
)()('

)()('
)()('
222
111
tyty
tyty
tyty
nnn
λ
λ
λ
({v
1
, … v
n
}: vectơ riêng)
( )
( )
( )








=
=
=
⇔
t
nn
t
t
n
ecty
ecty
ecty
λ
λ
λ

2
1
22
11
∑
=
==⇒
n
k
k
t
k
vecPYX
k

1
λ
Phải tính các vectơ riêng v
1
, … v
n
; Không tính ma trận P
–1

GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC (THAM KHẢO)

Cặp giá trò riêng phức, liên hợp λ = α ± iβ tương ứng cặp
vectơ riêng v = a ± ib (a, b: vectơ) ⇒ 2 vectơ nghiệm cơ sở
[ ] [ ]
tbtaetbtae
tt
ββββ
αα
cossin,sincos +−
VD: Giải hệ



+=
−=
yxy
yxx
25'
6'







−
=
25
16
A
i±=⇒ 4
2,1
λ






+
=






−
=⇒
i

v
i
v
2
1
,
2
1
21






−
=






=⇒
1
0
,
2
1
ba

( )
( )












−
+






+













−
−






=






tteCtteC
ty
tx
tt
cos
1
0
sin
2
1

sin
1
0
cos
2
1
4
2
4
1

HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO)

Ma trận A của X’ = AX + b(t) chéo hoá bởi ma trận P: A =
PDP
-1
. Hệ ban đầu X’(t) = (PDP
-1
)X + b ⇔ P
-1
X’(t) = D.P
-1
X(t)
+ P
-1
b. Đổi biến:
( )
( )
( )








+=
+=
+=
⇔
tbtyty
tbtyty
tbtyty
nnnn
~
)()('

~
)()('
~
)()('
2222
1111
λ
λ
λ
Phải tính ma trận P
= [v
1
, … v

n
] và P
–1
:
để tính vectơ P
–1
b
( ) ( )
:tPYtX =⇒
⇒=
−
XPY
1
( )
⇒+= bDYtY
~
'















+
























=













n
nnn
b
b
b
y
y
y
y
y
y
~

~
~

00

00
00
'

'
'
2
1
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ



Tính tay: cồng kềnh! Đơn giản hơn nhiều: Phương pháp khử!

VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO)

Giải hệ không thuần nhất



++=
++=
tyxy
eyxx
t

sin52'
532'






=
12
32
A
chéo hoá (2 VTR độc lập tuyến tính) vớiMa trận hệ:
[ ] [ ]
TT
vv 23,4;11,1
2211
==−=−=
λλ
Trò riêng, vectơ riêng:
11
40
01
12
32
5
1
5
1
5

3
5
2
21
31
−−






−
=






⇒











−
=⇒






−
= PPPP
D
 
: Chéo hoá
ma trận
Y = P
–1
X
⇒ Hệ mới:
~
1
~
'
sin
sin32
sin5
5
bD YY
te
te

bPb
t
e
b
t
t
t
+=⇒






+
−
==⇒






=
−

VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (TIẾP THEO)

Giải hệ không thuần nhất




++=
++=
tyxy
eyxx
t
sin52'
532'
Hệ mới:






+
−
+













−
=






⇒+=






=
te
te
v
u
v
u
bDYY
v
u
Y
t
t
sin

sin32
40
01
'
'
'.
~
Hệ



++=
−+−=
⇒
tevv
teuu
t
t
sin4'
sin32'
( ) ( )
( ) ( )





+−−=
−++=
⇒

−
tteeCtv
tteeCtu
tt
tt
sin4cos
17
1
3
1
sincos
2
3
4
2
1
Quay về biến X: Y = P
–1
X

⇒
( )
( )
( )
( )







+−−
−++






−
==






=
−
17sin4cos3
2sincos3
21
31
4
2
1
tteeC
tteeC
PY
ty

tx
X
tt
tt