toan_4_Bai2_ChLT ppsx

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
•
BÀI 2: CHUỖI LUỸ THỪA
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006)

NỘI DUNG

2– CHUỖI LUỸ THỪA – BÁN KÍNH & MIỀN HỘI TỤ
3– CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ
4– TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA
5– CHUỖI TAYLOR
6– KHAI TRIỂN HÀM THÀNH CHUỖI TAYLOR
7– CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC
1– TỔNG QUAN CHUỖI HÀM

TỔNG QUAN VỀ CHUỖI HÀM

Dãy số {u
n
}, n = 1, 2 …, u
n
∈ R ⇒ Chuỗi số Σu
n

Miền hội tụ: Tập hợp giá trò x để chuỗi số Σu
n

(x) hội tụ
Dãy hàm {u
n
(x)}, n = 1, 2 …, x ∈ D ⇒ Chuỗi hàm Σu
n
(x)

Miền hội tụ đơn giản, dễ tìm

Có thể đạo hàm, tích phân chuỗi

Khai triển hàm f(x) thành chuỗi luỹ thừa
CHUỖI
LUỸ
THỪA
( )
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n
xxa
( ) ( )

=







=






∫
∑∑
∞
=
∞
=
b
a
n
n
n
n
dxxuxu
dx
d
00
,
VD: 1 + x + x

2
+ … = Σx
n
, x ∈ R VD:
∑
∞
=
0n
nx
e
VD:
∑
∞
=
1
1
n
x
n

CHUỖI LUỸ THỪA

Chuỗi luỹ thừa Σ
n=0
a
n
(x – a)
n
, a
0

, … a
n
… ∈ R: hệ số
Trường hợp đặc biệt: a = 0 ⇒ Σ a
n
x
n
: tâm tại x = 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑
∞
=
+
+−
=+
+
+−
++
+
−
0
12
31
12
31
3
3
2
1

n
n
nn
n
nn
xxx
e 
VD: Nhận dạng chuỗi luỹ thừa, chỉ ra hệ số a
n
của chuỗi
( )
∑
∞
=
=+++++
0
2
1
n
nn
xxxxd 
( )
∑
∞
=
+
0
1
1
n

n
x
a
( )
∑
∞
=
+
1
2
1
n
n
n
x
x
b
( )
( )
∑
∞
=
+
+
−
1
2
1
1
1

n
x
n
n
c
( )
∑
∞
=
=+++
0
?42
?531
n
xxxf 

KHOẢNG HỘI TỤ CHUỖI LUỸ THỪA

Abel: Chuỗi luỹ thừa Σ a
n
x
n
(1) hội tụ tại x = x
0
⇒
Chuỗi (1) hội tụ (tuyệt đối) tại mọi x với | x | < | x
0
|
0
x

0
−x
0
x
1
−x
1
|x| < |x
0
|: hội tụ
R
|x| > |x
1
|: phân kỳ
|x| > |x
1
|: phân kỳ
Σa
n
(x – a)
n
(1) hội tụ tại x = a + x
0
⇒ (1) hội tụ (tuyệt đối)
tại mọi x với | x –a | < | x
0
|. Tương tự, (1) phân kỳ tại x = a
+ x
1
⇒ (1) phân kỳ tại mọi x với | x – a | > | x

1
|
Hệ quả: (1) phân kỳ tại x = x
1
⇒ phân kỳ tại mọi x: |x| > |x
1
|

BÁN KÍNH HỘI TỤ

Chuỗi luỹ thừa

(*) hội tụ tuyệt đối khi | x–a | < R ⇔ a – R < x < a + R
( ) ( ) ( )

+−+=−
∑
∞
=
axaaaxa
n
n
n 10
0
:*
Luôn ∃ số R (0 ≤ R ≤ ∞) – bán kính hội tụ:

(*) phân kỳ khi | x–a | > R ⇔ x < a –R hoặc x > a + R

2 đầu khoảng hội tụ x = a ± R: chưa kết luận

Khoảng hội tụ
Phân kỳ Phân kỳBán kính h/tụ
a a + Ra – R

MIỀN HỘI TỤ

Chuỗi luỹ thừa tâm 0: Σ a
n
x
n
⇒ Khoảng hội tụ | x | < R
VD: Chuỗi luỹ thừa 1 + x + x
2
+ … + x
n
+ … = Σx
n
: R = ???
Miền hội tụ (MHT): Khoảng hội tụ | x – a | < R (chuỗi
tâm 0: | x | < R) & Điểm biên khả nghi – khảo sát thêm:
Tâm a: Σa
n
(x–a)
n
. MHTụ:
[ ]
RaRa
+−
,
[

)
RaRa
+−
,
(
]
RaRa
+−
,
( )
RaRa
+−
,
a
Ra
−
Ra
+
R
??
Tâm 0: Σa
n
x
n
. MHTụ:
[ ]
RR,
−
[
)

RR,
−
( )
RR,
−
(
]
RR,
−
0
R
−
R
R
??

CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ
-
∑
∞
=






+
1
2

1
1:VD
n
n
n
x
n
( ) ( )
∑
∞
=
⋅
+−
1
3
21
:VD
n
n
nn
n
x
hoặc
n
n
n
a
R
∞→
=

lim
1
( )
n
n
n
n
n
n
a
a
R
axa
1
0
lim
1
+
∞→
∞
=
=⇒−
∑
Chuỗi
VD: Miền hội tụ các chuỗi luỹ thừa
∑∑∑
∞
=
∞
=

∞
=
1
2
10
,,
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
x
Điểm biên: t/chuẩn so sánh, Lebnitz, điều kiện cần

Không dùng D’Alambert hoặc Côsi khi xét biên

1 biên: Phân kỳ đk cần ⇒ Biên kia: Phân kỳ (đk cần)

1 biên: Hội tụ tuyệt đối ⇒ Biên kia: Hội tụ tuyệt đối

CHUỖI KHUYẾT LUỸ THỪA





=
+=
=



=
=
⇒++=
+
∞
=
∑
knn
kn
a
na
a
x
x
n
x
n
n
n
n
n
2,2
12,0
1

0
2
:VD
2
12
4
2
1
2
hoặc
∀ N
0
∃ n ≥ N
0
: a
n
= 0 ⇔ Khuyết luỹ thừa
Hướng giải quyết thực tế: Đổi biến
???
32
:VD
75
3
1
12
=+++=
∑
∞
=
+

t
xx
x
n
x
n
n
biếnĐổi
Chuỗi chỉ chứa luỹ thừa bậc chẵn → Đổi biến
Chỉ luỹ thừa bậc lẻ: Áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn
D’Alambert hay Côsi cho chuỗi trò tuyệt đối Σ |a
n
(x–a)
n
|

TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA

Hàm f(x) = Σ a
n
x
n
(1) với khoảng hội tụ (–R, R) (R > 0)
VD: Tính tổng chuỗi
( ) ( ) ( )
∑∑
∞
=
∞
=

+==
0
1
0
1,
n
n
n
n
xnxSxxS
Trong khoảng hội tụ (–R, R): Có quyền đạo hàm, lấy
tích phân trên đoạn [α, β] ⊆ (–R,R). Đồng thời, đạo
hàm tổng = tổng đạo hàm, tích phân Σ = Σ tích phân
( )
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
==






1

1
00
'
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xnaxaxa
dx
d
∑
∫∫
∑
∞
=
∞
=
=






00 nn

n
n
dxxa
β
α
β
α

Trên miền hội tụ: Hàm f(x) xác đònh và liên tục

CHUỖI TAYLOR – CHUỖI MACLAURINT

Hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp tại x = a ⇒ Chuỗi Taylor:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
∑
∞
=
−=+−+−+
0
2
!!2
''
)('
n
n

n
ax
n
af
ax
af
axafaf 
Hay gặp: a = 0 ⇒ Chuỗi Maclaurint của hàm f(x):
( )
( )
( )
( )
∑
∞
=
=+++
0
2
!
0
!2
0''
)0('0
n
n
n
x
n
f
x

f
xff 
VD: Chuỗi Taylor quanh a = 1 của hàm
( )
x
xf
1
=
Đònh nghóa: DÀI! Khai triển Taylor (Toán 1) → Chuỗi!
VD: Viết chuỗi Maclaurint:
x
ea /
xb cos/
xc sin/
( )
xd
+
1ln/

PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURINT

Sử dụng khai triển (đã biết) các hàm sơ cấp cơ bản trên
miền hội tụ của chuỗi tương ứng
∑
∞
=
=++++++=
0
32
!!!3!2

1
n
nn
x
n
x
n
xxx
xe 
∞
ℜ
∞
ℜ
( )
( )
( )
( )
∑
∞
=
−
=+
−
+−+−=
0
2242
!2
1
!2
1

!4!2
1cos
n
n
n
n
n
n
x
n
xxx
x 
( )
( )
( )
( )
∑
∞
=
++
+
−
=+
+
−
+−+−=
0
121253
!12
1

!12
1
!5!3
sin
n
n
n
n
n
n
x
n
xxx
xx 
( ) ( )
∑
∞
=
=+++++=
0
2242
!2!2!4!2
1cosh
n
nn
n
x
n
xxx
x 

∞
ℜ
∞
ℜ
Khai triển Mac – Laurint hàm cơ bản R MHT


PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC – LAURINT

Đưa f(x) về tổng, hiệu, đạo hàm, tích phân các hàm cơ bản
34
1
)(
2
+−
=
xx
xf
x
x
xg
−
+
=
1
1
ln
2
1
)(

K/triển chuỗi Mac – Laurint
Khai triển Mac – Laurint hàm cơ bản R MHT



∑
∞
=
=+++++=
−
0
2
1
1
1
n
nn
xxxx
x

( ) ( )
∑
∞
=
⋅−=+⋅−+−+−=
+
0
2
111
1

1
n
n
n
n
n
xxxx
x

( )
( ) ( )( )

+
−−
+
−
++=+
32
!3
21
!2
1
11 xxxx
ααααα
α
α
( )
( ) ( )
∑
∞

=
−−
−
=+
−
+−−=+
1
11
2
11
2
1ln
n
n
n
n
n
n
x
n
xx
xx 
( )
1,11
−
( )
1,11
−
1
(

]
1,11
−

CHUỖI SỐ PHỨC

Chuỗi số phức Σz
n
= Σ(a
n
+ ib
n
) = Σa
n
+ iΣb
n
hội tụ ⇔
Hai chuỗi số thực Σa
n
và Σb
n
hội tụ
VD: Chứng minh hội tụ và tính tổng chuỗi số phức sau:
( )
∑
∞
=







−
+
0
3
1
2
1
n
n
n
n
i
Chuỗi số phức Σz
n
hội tụ tuyệt đối ⇔ Chuỗi số dương
Σ| z
n
| hội tụ. | z |: môđun số phức. z = a + bi ⇒
22
baz
+=
( )
∑
∞
=
+
0

2
n
n
n
ne
i
VD: Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số phức

CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC

Chuỗi luỹ thừa phức (1) Σa
n
z
n
(a
n
∈ C)
⇒ Luôn ∃ bán kính hội tụ R (0 ≤ R ≤
∞) với tính chất: | z | < R ⇒ (1) hội tụ
(tuyệt đối); | z | > R ⇒ (1) phân kỳ
Đònh nghóa hàm cơ bản biến phức qua CLT: e
z
, cosz, sinz …
Công thức Euler: e
ix
= cosx + isinx ∀ x ∈ ℜ
R
Rz
<
Rz

>
Xác đònh bán kính hội tụ: Tương tự chuỗi luỹ thừa thực
n
n
n
n
n
n
a
Ra
a
R
∞→
+
∞→
==
lim
1
clim
1
1
hoặ
( )
∑
∞
=
⋅⋅
−
1
3

:VD
n
n
n
nn
iz