Giáo trình Toán học phần 1 pdf

Bùi Tuấn Khang

ã H m Biến Phức
ã Phơng Trình Vật Lý - Toán

Đại học Đ nẵng 2004


Lời nói đầu
Giáo trình n y đợc biên soạn nhằm trang bị các tri thức toán học cốt yếu để l m công
cụ học tập v nghiên cứu các môn học chuyên ng nh cho sinh viên các ng nh kỹ thuật
thuộc Đại học Đ nẵng. Nội dung giáo trình gồm có 8 chơng với thời lợng 60 tiết (4
đơn vị học trình) đợc chia l m hai chuyên đề nhỏ.
Chuyên đề H m biến phức gồm 5 chơng
Chơng 1 Các khái niệm cơ bản về số phức, d y trị phức, h m trị phức v các
tập con của tập số phức.
Chơng 2 Các khái niệm cơ bản về h m trị phức, đạo h m phức, các h m giải
tích sơ cấp v phép biến hình bảo giác.
Chơng 3 Các khái niệm cơ bản về tích phân phức, định lý tích phân Cauchy v
các hệ quả của nó.
Chơng 4 Các khái niệm cơ bản về chuỗi h m phøc, khai triĨn Taylor, khai triĨn
Laurent, lý thut thỈng d− v các ứng dụng của nó.
Chơng 5 Các khái niệm cơ bản, các tính chất, các phơng pháp tìm ảnh - gốc v
các ứng dụng của biến đổi Fourier v biến đổi Laplace.
Chuyên đề Phơng trình vật lý Toán gồm có 3 chơng
Chơng 6 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng
vectơ, thông lợng, ho n lu v toán tử vi phân cấp 1.
Chơng 7 Các b i toán cơ bản của phơng trình vËt lý - to¸n, b i to¸n Cauchy
v b i toán hỗn hợp của phơng trình truyền sóng.
Chơng 8 B i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp của phơng trình truyền nhiệt,
b i toán Dirichlet v b i toán Neumann của phơng trình Laplace.

Tác giả xin chân th nh cảm ơn các bạn đồng nghiệp GVC. Nguyễn Trinh, GVC. Lª Phó
NghÜa v GVC. TS. Lª Ho ng TrÝ ® d nh thêi gian ®äc b¶n th¶o v cho các ý kiến đóng
góp để ho n thiện giáo trình.
Giáo trình đợc biên soạn lần đầu chắc còn có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận đợc ý
kiến đóng góp của bạn đọc gần xa.
Đ nẵng 2004
Tác giả


Chơng 1

Số phức

Đ1. Trờng số phức
ã Kí hiệu = 3 × 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng v phép
toán nhân nh sau
(x, y), (x, y) ∈ ∀
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)
(1.1.1)
(x, y) × (x’, y’) = (xx’ - yy’, xy’ + x’y)
VÝ dô (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) v (2, 1) × (-1, 1) = (-3, 1)
Định lý (, +, ì ) l một trờng số.
Chứng minh
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1)
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tư kh«ng l (0, 0)
∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mäi phÇn tư cã phần tử đối l -(x, y) = (-x, -y)
(x, y) ∈ ∀, (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị l (1, 0)
(x, y) ∈ ∀, (x, y) × (1, 0) = (x, y)

−y
Mäi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo l (x, y)-1 = ( 2 x 2 , 2
)
x + y x + y2
∀ (x, y) ∈ ∀ - {(0, 0)}, (x, y) × (

−y
x
, 2
) = (1, 0)
2
x + y x + y2
2

Ngo i ra phÐp nh©n l ph©n phối với phép cộng
ã Trờng (, +, ì ) gọi l trờng số phức, mỗi phần tử của gọi l một số phức.
Theo định nghĩa trên mỗi số phức l một cặp hai số thực với các phép toán thực hiện
theo công thức (1.1.1). Trên trờng số phức phép trừ, phép chia v phép luỹ thừa định
nghĩa nh sau.
(n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀* víi ∀* = ∀ - { (0, 0) }
z
z - z’ = z + (- z’),
= z × (z’)-1 v z0 = 1, z1 = z v zn = zn-1 × z
(1.1.2)
z'
ã Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0)
Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 5

Ch−¬ng 1. Sè Phøc
x ≡ (x, 0), 1 ≡ (1, 0) v 0 ≡ (0, 0)
tËp sè thùc trë th nh tËp con cña tËp sè phøc. PhÐp céng v phép nhân các số phức hạn
chế lên tập số thực trở th nh phép cộng v phép nhân các số thùc quen thuéc.
x + x’ ≡ (x, 0) + (x’, 0) = (x + x’, 0) ≡ x + x’, ...
Ngo i ra trong tập số phức còn có các số không phải l số thực. Kí hiệu i = (0, 1) gọi l
đơn vị ảo. Ta có
i2 = (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) ≡ -1
Suy ra phơng trình x2 + 1 = 0 có nghiệm phức l x = − 1 ∉ 3.
Nh− vËy tr−êng sè thùc (3, +, ×) l mét tr−êng con thùc sù của trờng số phức (, +, ì).

Đ2. Dạng đại số cđa sè phøc
• Víi mäi sè phøc z = (x, y) ph©n tÝch
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) 1 v đơn vị ảo (0, 1) ≡ i, ta cã
z = x + iy
(1.2.1)
D¹ng viÕt (1.2.1) gọi l dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gäi l phÇn thùc, sè
thùc y = Imz gọi l phần ảo v số phức z = x - iy gọi l liên hợp phức của số phức z.
Kết hợp các công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức.
(x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’)
(x + iy) × (x’ + iy’) = (xx’ - yy’) + i(xy’ + x’y)
x + iy
xx ′ + yy ′
x ′y − xy ′
= 2
+i 2
, ...
x ′ + iy ′

x ′ + y′ 2
x ′ + y′ 2

(1.2.2)

VÝ dô Cho z = 1 + 2i v z’ = 2 - i
z
1 + 2i
=
=i
z'
2−i
z2 = (1 + 2i) × (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 × z = (-3 + 5i) × (1 + 2i) = -13 - i

z × z’ = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i,

ã Từ định nghĩa suy ra
z =z z3
z = - z ⇔ z ∈ i3
z=z
z + z = 2Rez
z - z = 2iImz
z z = Re2z + Im2z
Ngo i ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý (n, z, z) ì ì

Trang 6

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

(1.2.3)


Ch−¬ng 1. Sè Phøc
1.

z + z' = z + z'

2.

zz' = z z'

z n = (z ) n

3.

z −1 = ( z ) 1

z
z
=
z
z

Chứng minh
1. Suy ra từ định nghĩa
2. Ta cã

zz' = (x + iy) × (x ′ + iy ′) = (xx’ - yy’) - i(xy’ + x’y)

z z' = (x - iy) × (x’ - iy’) = (xx’ - yy’) + i(-xy’ -x’y)
Qui n¹p suy ra hƯ thøc thø hai.
3. Ta cã

zz −1 = z z −1 = 1 ⇒ z −1 = ( z )-1

Suy ra

z / z ′ = z(z ′) −1 = z z ′ −1

• Víi mäi sè phøc z = x + iy, sè thùc | z | =

x 2 + y 2 gäi l module cña sè phøc z.

NÕu z = x ∈ 3 th× | z | = | x |. Nh− vËy module cña sè phøc l më réng tự nhiên của khái
niệm trị tuyệt đối của số thực. Từ định nghĩa suy ra
| Rez |, | Imz | ≤ | z |
| z | = | -z | = | z | = | - z |
z z = z z = | z |2
z
1
= z(z’)-1 =
z z'
z-1 = 1 2 z
(1.2.4)
z'
|z|
| z' | 2
Ngo i ra module của số phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀
1.
|z|≥0
|z|=0⇔z=0
2.
| z z’ | = | z || z’ |
| zn | = | z |n
z
|z|
=
3.
| z-1 | = | z |-1
z′
| z′ |
4.
| z + z’ | ≤ | z | + | z’ |
Chøng minh
1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa

|| z | - | z’|| ≤ | z - z’ |

2. Ta cã
| zz’ |2 = zz’ zz' = (z z )(z’ z ′ ) = (| z || z’| )2
Qui n¹p suy ra hƯ thøc thø hai.
3. Ta cã
| z z-1 | = | z || z-1| = 1 ⇒ | z-1 | = 1 / | z |
Suy ra
| z / z’ | = | z (z’)-1 | = | z | | (z’)-1 |
4. Ta cã

z z ′ + z z’ = 2Re(z z ′ ) ≤ | z z ′  = | z || z’|

Suy ra

| z + z’ 2 = (z + z’)( z + z' ) =  z 2 + 2Re(z z ′ ) + | z’|2 ≤ (| z | + | z|)2

Đ3. Dạng lợng giác của số phức

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 7


Chơng 1. Số Phức
ã Với mọi số phức z = x + iy ∈ ∀* tån t¹i duy nhÊt sè thùc ϕ ∈ (-π, π] sao cho
y
x
cosϕ =
v sinϕ =
(1.3.1)
|z|
|z|
TËp sè thùc Argz = ϕ + k2π, k ∈ 9 gäi l argument, sè thùc argz = ϕ gäi l argument
chÝnh cđa sè phøc z. Chóng ta qui −íc Arg(0) = 0.
KÝ hiƯu r = | z | tõ c«ng thøc (1.3.1) suy ra
x = rcosϕ v y = rsinϕ
Thay v o công thức (1.2.1) nhận đợc
z = r(cos + isin)
(1.3.2)

Dạng viết (1.3.2) gọi l dạng lợng giác của số phức.
ã Từ định nghĩa suy ra
argz = arg(-z) = ϕ - π, arg z = - ϕ v arg(- z ) = π - ϕ
x > 0, argx = 0
x < 0, argx = π
y > 0, arg(iy) = π/2
y < 0, arg(iy) = -π/2 ...
Ngo i ra argument của số phức còn có các tính chất sau đây.

(1.3.3)

Định lý (n, z, z) ì × ∀
1.
arg(zz’) = argz + argz’ [2π]
arg(zn) = n argz [2π]
2.
arg(z-1) = - argz [2π]
arg(z / z’) = argz - argz’ [2π]
Chøng minh
1. Gi¶ sư z = r(cosϕ + isinϕ) v z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’)
Suy ra
zz’ = rr’[(cosϕcosϕ’ - sinϕsinϕ’) + i(sinϕcosϕ’ + cosϕsinϕ’)]
= rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)]
Qui n¹p suy ra hƯ thøc thø hai.
2. Ta cã
arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = 0 [2π] ⇒ arg(z-1) = - arg(z) [2π]
Suy ra
arg(z / z’) = arg(zz’-1) = argz + arg(z’-1)
VÝ dô Cho z = 1 + i v z’ = 1 + 3 i
Ta cã

zz’ = [ 2 (cos π + isin π )][2(cos π + isin π )] = 2 2 (cos 5π + isin 5π )
4
4
6
6
12
12
z100 = ( 2 )100[cos(100 π ) + isin(100 π )] = -250
4
4

• Víi mäi sè thùc ϕ ∈ 3, kí hiệu
ei = cos + i sin

Trang 8

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

(1.3.4)


Chơng 1. Số Phức
Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây.
Định lý (n, , ϕ’) ∈ ∠ × 3 × 3
1.
eiϕ ≠ 0
eiϕ = 1 ⇔ ϕ = k2π
2.
ei(ϕ+ϕ’) = eiϕeiϕ’
(eiϕ)-1 = e-iϕ

Chøng minh
Suy ra từ công thức (1.3.4) v các kết quả ở trên

e i = e-i
(ei)n = ein

Hệ quả (n, ) ∈ ∠ × 3
1.
(cosϕ + isinϕ)n = cosnϕ + isinnϕ
(1.3.5)
1
1
2.
cosϕ = (eiϕ + e-iϕ)
sinϕ = (eiϕ - e-iϕ)
(1.3.6)
2
2i
C«ng thøc (1.3.5) gäi l c«ng thøc Moivre, c«ng thøc (1.3.6) gäi l c«ng thøc Euler.
n

VÝ dơ TÝnh tỉng C =

∑ cos kϕ v S =
k =0
n

Ta cã

C + iS =

∑e
k =0

Suy ra

C=

ikϕ

=

e

n

∑ sin kϕ
k =0

i ( n +1) ϕ

−1
e −1
iϕ

1 cos( n + 1)ϕ − cos nϕ + cos ϕ − 1
1 sin( n + 1)ϕ − sin nϕ − sin ϕ
v S=
2
cos ϕ − 1

2
cos ϕ − 1

• Sè phøc w gọi l căn bậc n của số phức z v kÝ hiÖu l w = n z nÕu z = wn
Nếu z = 0 thì w = 0
Xét trờng hợp
z = rei 0 v w = ei
Theo định nghĩa
wn = ρneinθ = reiϕ
Suy ra
ρn = r v nθ = ϕ + m2π
ϕ
Hay
ρ= n r v θ =
+ m 2π víi m ∈ 9
n
n
Ph©n tÝch m = nq + k víi 0 ≤ k < n v q ∈ 9. Ta cã
ϕ
ϕ
+ m 2π ≡
+ k 2π [2π]
n
n
n
n
Tõ ®ã suy ra định lý sau đây.

Định lý Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau
ϕ

ϕ
wk = n r [cos ( + k 2π ) + isin( + k 2π )] víi k = 0 ... (n - 1)
n
n
n
n

(1.3.7)

Ví dụ

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 9


Ch−¬ng 1. Sè Phøc

2 (cos π + isin π ) có các căn bậc 3 sau đây
4
4
w0 = 6 2 (cos π + isin π ), w1 = 6 2 (cos 9π + isin 9π ), w2 = 6 2 (cos 17 + isin 17 )
12
12
12
12
12
12
2
2. Giải phơng trình x - x +1 = 0

1. Sè phøc z = 1 + i =

Ta cã ∆ = -3 < 0 ph−¬ng trình có nghiệm phức x1,2 =

Hệ quả Kí hiệu k = e
1.

ik

2π
n

1± i 3
2

, k = 0...(n - 1) l các căn bậc n của đơn vị.

k = n-k

2.

k = (ω1)k

n −1

3.

∑ω
k =0

VÝ dơ Víi n = 3, kÝ hiƯu j = e

i

2π
3

k

=0

= ω1 . Suy ra ω2 = j2 = j v 1 + j + j2 = 0

§4. Các ứng dụng hình học phẳng
ã Kí hiệu V l mặt phẳng vectơ với cơ sở trực chuẩn dơng (i, j). Anh x¹
Φ : ∀ → V, z = x + iy α v = xi + yj
(1.4.1)
l mét song ¸nh gäi l biĨu diƠn vect¬ cđa sè phøc. Vect¬ v gọi l ảnh của số phức z,
còn số phức z gọi l toạ vị phức của vectơ v v kí hiệu l v(z).
Kí hiệu P l mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: ∀ → P, z = x + iy α M(x, y)
(1.4.2)
l một song ánh gọi l biểu diễn hình học của số phức. Điểm M gọi l ảnh của số phức z
còn số phức z gọi l toạ vị phức của điểm M v kí hiệu l M(z).
Nh hình bên, M(z) víi z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) v M3( z ).
M
M1
NÕu z = x ∈ 3 thì điểm M(z) (Ox), còn nếu z = iy thì điểm
M(z) (Oy). Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi l mặt phẳng

0
phức, trục (Ox) l trục thực v trơc (Oy) l trơc ¶o. Sau n y
M2
M3
chóng ta sÏ đồng nhất mỗi số phức với một vectơ hay một điểm
trong mặt phẳng v ngợc lại.

Định lý Cho các vectơ u(a), v(b) ∈ V, sè thùc λ ∈ 3 v ®iÓm M(z) ∈ P
1.
|u|=|a|
∠(i, u) = arg(a)
Φ(λa + b) = λu + v
2.
| OM | = | z |
Chøng minh

Trang 10

(i, OM ) = arg(z)

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Chơng 1. Số Phức
Suy ra từ các công thức (1.4.1) v (1.4.2)
Hệ quả 1 Trong mặt phẳng cho các điểm A(a), B(b), C(c) v D(d)

AB (b - a), AB = | b - a |, ∠(i, AB ) = arg(b - a)
d−c
2.

∠( AB , CD ) = ∠(i, CD ) - (i, AB ) = arg
ba
Chứng minh
Suy ra từ định lý
1.

1
1
1
VÝ dô Cho z ∈ ∀ - {-1, 0, 1} v A(1), B(-1), M(z), N( ) v P( (z + )). Chứng minh
z
z
2
rằng đờng thẳng (MN) l phân giác của gãc ∠( PA , PB ).
Ta cã ∠(i, AP ) = arg(

1
1
(z − 1) 2
(z + ) - 1) = arg
2z
2
z

1
1
(z + 1) 2
∠(i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg
2z
2

z
Suy ra
∠(i, AP ) + ∠(i, BP ) = arg

M
P
B

O

A
N

(z − 1) 2 (z + 1) 2
1
= 2arg(z - ) = 2∠(i, MN )
2z
2z
z

HƯ qu¶ 2 Với các kí hiệu nh trên
1. Hai đờng thẳng (AB) // (CD)
2. Hai đờng thẳng (AB) (CD)
3. Ba điểm A, B, C th¼ng h ng

d−c
d−c
= 0 [π] ⇔
∈3
b−a

b−a
d−c
π
d−c
⇔ arg
= [π] ⇔
∈ i3
b−a
2
b−a
c−a
c−a
⇔ arg
= 0 [π] ⇔
∈3
b−a
b−a
⇔ arg

Chøng minh
Suy ra từ các hệ thức hệ quả 1
Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) sao cho ba điểm A(z), B(iz) v C(i) th¼ng h ng
KÝ hiƯu z = x + iy, ta cã
iz − i
A, B, C th¼ng h ng ⇔
= k ∈ 3 ⇔ -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1)
z−i
1− k
k ( k − 1)
⇔ − y = kx

,y= 2
víi k ∈ 3
x − 1 = k (y − 1) ⇔ x = 2

k +1
k +1

ã ánh xạ : P P, M N gọi l một phép biến hình

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 11


Chơng 1. Số Phức
Phép biến hình M N = M + v gäi l phÐp tÜnh tiÕn theo vect¬ v
PhÐp biÕn h×nh M α N = A + k AM (k > 0) gäi l phÐp vi tù t©m A, hƯ sè k
PhÐp biÕn h×nh M α N sao cho ∠( AM , AN ) = α gäi l phÐp quay t©m A, gãc α
TÝch cđa phÐp tÜnh tiÕn, phÐp vi tù v phÐp quay gäi l phÐp ®ång dạng.
Định lý Cho phép biến hình : M N
⇔ z’ = z + b víi b ∈ ∀
1. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp tÜnh tiÕn
2. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp vi tù
⇔ z’ = a + k(z - a) víi k ∈ 3+, a ∈ ∀
3. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp quay
⇔ z’ = a + eiα(z - a) víi α ∈ 3, a ∈
4. Phép biến hình l phép đồng dạng z’ = az + b víi a, b ∈ ∀
Chøng minh
Suy ra từ định nghĩa các phép biến hình v toạ vi phức.
Ví dụ Cho A(a), B(b) v C(c). Tìm điều kiện cần v đủ để ABC l tam giác ®Ịu

i

π

∆ABC l tam gi¸c ®Ịu thn ⇔ (a - b) = e 3 (c - b)
⇔ (a - b) = - j2(c - b) ⇔ a + jb + j2c = 0
Tơng tự, ACB l tam giác đều nghịch
B
(a - b) = - j(c - b) ⇔ a + jc + j2b = 0
Suy ra ∆ABC l tam gi¸c ®Òu
⇔ (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

A
+
3

C

Đ5. D y trị phức
ã ánh xạ
: ∠ → ∀, n α zn = xn + iyn
(1.5.1)
gäi l d y sè phøc v kÝ hiÖu l (zn)n∈∠.
D y sè thùc (xn)n∈∠ gäi l phÇn thùc, d y số thực (yn)n l phần ảo, d y số thùc d−¬ng
(| zn |)n∈∠ l module, d y sè phøc ( z n )n l liên hợp phức của d y sè phøc.
D y sè phøc (zn)n∈∠ gäi l dÇn ®Õn giíi h¹n a v kÝ hiƯu l
∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε
D y sè phức (zn)n gọi l dần ra vô hạn v kí hiÖu l

lim zn = a nÕu

n → +∞

lim zn = ∞ nÕu

n → +∞

∀ M > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn | > M
D y có giới hạn module hữu hạn gọi l d y héi tơ. D y kh«ng héi tơ gọi l d y phân kỳ.

Trang 12

Giáo Trình Toán Chuyên §Ò


Chơng 1. Số Phức
Định lý Cho d y số phức (zn = xn + iyn)n∈∠ v a = α + iβ ∈ ∀
lim zn = a ⇔ lim xn = α v lim yn = β
n → +∞

n → +∞

(1.5.2)

n → +∞

Chøng minh
Gi¶ sư
lim zn = a ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε
n → +∞

⇒ ∀ n > N ⇒ | x n - α | < ε v | yn - β | < ε
lim xn = α v lim yn = β

Suy ra

n +

n +

Ngợc lại
lim xn = v

lim yn = β

n → +∞

n → +∞

⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | xn - α | < ε/2 v | yn - β | < ε/2
⇒ ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε
lim zn = a

Suy ra

n → +∞

HƯ qu¶
1.
lim zn = a ⇔ lim z n = a ⇒ lim | zn | = | a |

n → +∞

n → +∞

n → +∞

lim (λzn + z’n) = λ lim zn + lim z’n

2.

n → +∞

n → +∞

n → +∞

lim (zn z’n) = lim zn lim z’n v

n → +∞

n → +∞

n → +∞

lim (zn / z’n) = lim zn / lim z’n

n → +∞

n +

n +

3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn d y số thực

ã Cho d y số phức (zn = xn + iyn)n . Tổng vô hạn
+

z
n =0

n

= z0 + z1 + .... + zn + ...

(1.5.3)

gäi l chuỗi số phức.
+

x n gọi l phần thực, chuỗi số thực

Chuỗi số thực

n =0

+

dơng

| z n | l module, chuỗi số phức

n =0

+

y
n =0

n

l phần ảo, chuỗi số thực

+

z
n =0

n

l liên hợp phức của chuỗi số phức.

n

Kí hiƯu Sn =

∑z
k =0

k

gäi l tỉng riªng thø n cđa chuỗi số phức. Nếu d y tổng riêng Sn dần

đến giới hạn S có module hữu hạn thì chuỗi số phøc gäi l héi tơ ®Õn tỉng S v kÝ hiệu l
+

z
n =0

n

= S. Chuỗi không hội tụ gọi l chuỗi phân kỳ.

+

Ví dụ Xét chuỗi số phức

z

n

= 1 + z + ... + zn + ... ( | z | < 1)

n =0

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 13


Ch−¬ng 1. Sè Phøc
Sn = 1 + z + ... + zn =

Ta cã

z n +1 − 1
1
→
+∞
z −1
1− z

VËy chuỗi đ cho hội tụ.
Từ định nghĩa chuỗi số phức v c¸c tÝnh chÊt cđa d y sè phøc, cđa chuỗi số thực suy ra
các kết quả sau đây.

Định lý Cho chuỗi số phức

+

(z
n =0

+

zn = S
n =0

n

= x n + iy n ) v S = α + iβ ∈ ∀

+∞

∑xn = α v
n =0

+∞

∑y
n =0

n

=β

(1.5.4)

Chøng minh
Suy ra từ các định nghĩa v công thức (1.5.2)
Hệ qu¶
+∞

1.

∑| zn | = | S | ⇒
n =0

+∞

∑ zn = S ⇔
n =0

+∞

∑z
n =0

n

= S

2. C¸c tÝnh chÊt kh¸c tơng tự chuỗi số thực
ã Chuỗi số phức

+

z n gọi l hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi module
n =0

+

| z
n =0

n

| hội tụ. Rõ r ng

chuỗi hội tụ tuyệt đối l chuỗi hội tụ. Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung l không
đúng. Ngo i ra, có thể chứng minh rằng chỉ khi chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối thì tổng
vô hạn (1.5.3) mới có các tính chất giao hoán, kết hợp, ... tơng tự nh tổng hữu hạn.

Đ6. H m trị phức
ã Cho khoảng I 3, ¸nh x¹
f : I → ∀, t α f(t) = u(t) + iv(t)
gäi l h m trÞ phøc.

(1.6.1)

H m u(t) = Ref(t) gäi l phÇn thùc, h m v(t) = Imf(t) l phần ảo, h m | f(t) | l module,
h m f (t ) l liên hợp phức của h m trị phức.
Trên tập f(I, ) các h m trị phức xác định trên khoảng I, chúng ta định nghĩa các phép
toán đại số tơng tự nh trên tập f(I, 3) các h m trị thực xác định trên khoảngI.
H m trị phức f(t) gọi l bị chặn nếu h m module | f(t) | bị chặn.
Cho h m f : I → ∀ v α ∈ I . H m f gọi l dần đến giới hạn L khi t dần đến v kí

Trang 14

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Ch−¬ng 1. Sè Phøc
hiƯu l lim f(t) = l nÕu
t →α

∀ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ t ∈ I, 0 < | t - α | < δ ⇒ | f(t) - L | < ε
H m f gọi l dần ra vô hạn khi t dần ®Õn α v kÝ hiÖu l lim f(t) = ∞ nÕu
t →α

∀ M > 0, ∃ δ > 0 : ∀ t ∈ I, 0 < | t - α | < δ ⇒ | f(t) | > M
C¸c tr−êng hợp khác định nghĩa tơng tự.

Định lý Cho h m f : I → ∀, t α f(t) = u(t) + iv(t), α ∈ I v L = l + ik ∈ ∀
lim f(t) = L ⇔ lim u(t) = l v lim v(t) = k
t →α

t →α

t →α

(1.6.2)

Chøng minh
LËp luận tơng tự nh chứng minh công thức (1.5.2)
Hệ quả
1.

lim f(t) = L ⇔ lim f (t ) = L ⇒ lim | f(t) | = | L |

2.

lim [λf(t) + g(t)] = λ lim f(t) + lim g(t)

t →α

t →α

t →α

t →α

t →α

t →α

lim [f(t)g(t)] = lim f(t) lim g(t), lim [f(t) / g(t)] = lim f(t) / lim g(t)
t →α

t →α

t →α

t →α

t →α

t →α

3. C¸c tÝnh chÊt khác tơng tự giới hạn h m trị thực

ã Từ các kết quả trên thấy rằng, các tính chất của h m trị thực đợc mở rộng tự nhiên
thông qua phần thực, phần ảo cho h m trị phức.
H m f(t) = u(t) + iv(t) gọi l khả tích (liên tục, có đạo h m, thuộc lớp Ck, ...) nếu các
h m u(t) v v(t) l khả tích (liên tục, có đạo h m, thuộc lớp Ck, ... ) v ta cã

∫ f (t )dt = ∫ u(t )dt
I
(k)

+ i ∫ v (t )dt

I

(k)

I
(k)

f (t) = u (t) + iv (t) , ...

(1.6.3)

H m f(t) gäi l kh¶ tÝch tut ®èi nÕu h m module | f(t) | kh¶ tÝch. Trên tập số phức
không định nghĩa quan hệ thứ tự v do vậy các tính chất liên quan đến thứ tự của f(t)
đợc chuyển qua cho module | f(t) |.
Ví dơ Cho h m trÞ phøc f(t) = cost + isint có phần thực x(t) = cost phần ảo y(t) = sint l
h m thuéc líp C∞ suy ra h m f(t) thuéc líp C∞
f’(t) = - sint + icost, f”(t) = - cost - isint, ...
π/2

π/2

π/2

0

0

0

∫ (cos t + i sin t)dt =

∫ cos tdt + i

∫ sin tdt

=1+i

• ¸nh x¹
γ : [α, β] → ∀, t α γ(t)

(1.6.4)

Gi¸o Trình Toán Chuyên Đề

Trang 15


Ch−¬ng 1. Sè Phøc
gäi l mét tham sè cung. TËp ®iĨm Γ = γ([α, β]) gäi l q ®¹o cđa tham số cung hay
còn gọi l một đờng cong phẳng. Phơng trình
(t) = x(t) + iy(t), t [, ]
gọi l phơng trình tham số của đờng cong phẳng .
Tham số cung gọi l kín nếu điểm đầu v ®iĨm ci trïng nhau. Tøc l γ(α) = γ(β)
Tham số cung gọi l đơn nếu ánh xạ : (, ) l một đơn ánh.
Tham số cung gọi l liên tục (trơn từng khúc, thuộc líp Ck, ...) nÕu h m γ (t) l liªn tục
(có đạo h m liên tục từng khúc, thuộc lớp Ck, ...) trªn [α, β]. Sau n y chóng ta chỉ xét
các tham số cung từ liên tục trở lên.
ã ¸nh x¹
ϕ : [α, β] → [α1, β1], t α s = (t)
(1.6.5)
có đạo h m liên tục v khác không gọi l một phép đổi tham số. Nếu với mọi t (, )
đạo h m (t) > 0 thì phép đổi tham số gọi l bảo to n hớng, trái lại gọi l đổi hớng.

Hai tham số cung γ : [α, β] → ∀ v γ1 : [α1, 1] gọi l tơng đơng nếu có phép ®æi
tham sè ϕ : [α, β] → [α1, β1] sao cho
∀ t ∈ [α, β], γ(t) = γ1oϕ(t)
NÕu ϕ b¶o to n h−íng th× γ v γ1 gäi l cïng hớng, trái lại gọi l ngợc hớng.
Có thể thấy rằng qua hệ cùng hớng l một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát.
Nó phân chia tập các tham số cung có cùng quĩ đạo th nh hai lớp tơng đơng. Một
lớp cùng hớng với còn lớp kia ngợc hớng với . Đờng cong phẳng = ([, β])
cïng víi líp c¸c tham sè cung cïng h−íng gäi l một đờng cong định hớng. Cũng cần
lu ý rằng cùng một tập điểm có thể l quĩ đạo của nhiều đờng cong định hớng khác
nhau. Sau n y khi nãi ®Õn ®−êng cong chóng ta hiĨu ®ã l ®−êng cong ®Þnh h−íng.
VÝ dơ Tham sè cung x(t) = Rcost, y(t) = Rsint, t [0, 2] l đơn, trơn, kín v có quĩ đạo
l đờng tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R v định hớng ngợc chiều kim đồng hồ.
ã Đờng cong gọi l đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp Ck, ... ) nếu tham số cung
l đơn (kín, liên tục, trơn tõng khóc, líp Ck, ...). §−êng cong Γ gäi l đo đợc nếu tham
số cung có đạo h m khả tích tuyệt đối trên [, ]. Khi đó kí hiÖu
β

s(Γ) =

∫

x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t )dt

(1.6.6)

α

v gäi l ®é d i cđa ®−êng cong . Có thể chứng minh rằng đờng cong đơn, trơn từng
khúc l đo đợc.

Đ7. Tập con của tập số phức

Trang 16

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Chơng 1. Số Phức
ã Cho a v > 0. Hình tròn B(a, ) = {z : | z - a | < ε } gäi
l - lân cận của điểm a. Cho tập D ⊂ ∀, ®iĨm a gäi l ®iĨm trong
cđa tËp D nÕu ∃ ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ D. Điểm b gọi l điểm biên
của tập D nếu ∀ ε > 0, B(b, ε) ∩ D ≠ ∅ v B(b, ε) ∩ (∀ - D) ≠ ∅.
KÝ hiÖu D0 l tập hợp các điểm trong, D l tập hợp các điểm biên

b
D

a

v D = D D l bao ®ãng cđa tËp D. Râ r ng ta cã
D0 ⊂ D ⊂ D

(1.7.1)

TËp D gäi l tËp më nÕu D = D0, tËp D gäi l tËp ®ãng nÕu D = D . TËp A ⊂ D gäi l më
(®ãng) trong tËp D nÕu tËp A ∩ D l tập mở (đóng).
Ví dụ Hình tròn mở B(a, ) = { z ∈ ∀ : | z - a | < } l tập mở.
Hình tròn đóng B (a, ε) = { z ∈ ∀ : | z - a | ≤ ε } l tËp ®ãng
TËp D = { z = x + iy ∈ ∀ : x > 0, y 0 } l tập không đóng v cũng không mở.
Định lý Tập mở, tập đóng có các tính chất sau đây.

1. Tập v l tËp më
2. TËp D l tËp më khi v chØ khi ∀ a ∈ D, ∃ B(a, ε) ⊂ D
3. Nếu các tập D v E l tập mở thì c¸c tËp D ∩ E v D ∪ E cịng l tËp më
4. TËp D l tËp më khi v chØ khi tËp ∀ - D l tËp ®ãng
5. TËp D l tËp ®ãng khi v chØ khi ∀ (zn)n∈∠ ⊂ D v lim zn = a th× a ∈ D
n +

Chứng minh
1. - 3. Suy ra từ định nghĩa tập mở
4. Theo định nghĩa điểm biên
D = ( - D)
Theo định nghĩa tập mở, tập đóng
tập D mở ⇔ ∂D ⊄ D ⇔ ∂D ⊂ ∀ - D tập - D đóng
5. Giả sử tập D l tËp ®ãng v d y sè phøc zn héi tơ trong D ®Õn ®iĨm a. Khi ®ã
∀ ε > 0, ∃ zn ∈ B(a, ε) ⇒ B(a, ε) ∩ D a D = D
Ngợc lại, với mọi a D theo định nghĩa điểm biên
ε = 1/n, ∃ zn ∈ B(a, ε) ∩ D ⇒ ∃ zn → a
Theo gi¶ thiÕt a ∈ D suy ra ∂D ⊂ D.
• TËp D gäi l giíi néi nÕu ∃ R > 0 sao cho D ⊂ B(O, R). TËp ®ãng v giíi néi gäi l tËp
compact. Cho c¸c tËp D, E ⊂ ∀, kÝ hiƯu
d(D, E) = Inf{ | a - b | : (a, b) D ì E }
(1.7.2)
gọi l khoảng cách giữa hai tập D v E.
Định lý Cho các tập D, E ⊂ ∀
1. TËp D l tËp compact khi v chØ khi ∀ (zn)n∈∠ ⊂ D, ∃ d y con zϕ(n) a D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 17

Ch−¬ng 1. Sè Phøc
2. NÕu tËp D l tËp compact v tập E D l đóng trong D thì tËp E l tËp compact
3. NÕu c¸c tËp D, E l tËp compact v D ∩ E = ∅ th× d(D, E) > 0
4. NÕu tËp D l tËp compact v ∀ n ∈ ∠, Dn ⊂ D ®ãng, Dn+1 Dn thì

+



n =0

Dn = a D

Chứng minh
1. Giả sư tËp D l tËp compact. Do tËp D bÞ chặn nên d y (zn)n l d y có module bị
chặn. Suy ra d y số thực (xn)n v (yn)n l d y bị chặn. Theo tính chất của d y sè thùc
∃ xϕ(n) → α v yϕ(n) → β suy ra zϕ(n) → a = α + iβ. Do tập D l tập đóng nên a D.
Ngợc lại, do mäi d y zn → a ∈ D nªn tập D l tập đóng. Nếu D không bị chặn thì có
d y zn không có d y con hội tụ. Vì vậy tập D l tập đóng v bị chặn.
2. - 4. Bạn đọc tự chứng minh
ã Cho a, b ∈ ∀, tËp [a, b] = {(1 - t)a + tb : t ∈ [0, 1]} l đoạn thẳng nối hai điểm a v b.
Hợp của các đoạn thẳng [a0, a1], [a1, a2], ..., [an-1, an] gọi l ®−êng gÊp khóc qua n +1 ®Ønh
v kÝ hiƯu l < a0, a1, ..., an >.
TËp D gäi l tËp låi nÕu ∀ (a, b) ∈ D2, [a, b] D. Tập D gọi l tập liên thông đờng nÕu
∀ (a, b) ∈ D2, cã ®−êng cong Γ nèi ®iĨm a víi ®iĨm b v n»m gän trong tËp D. Tất nhiên
tập lồi l tập liên thông đờng nhng ngợc lại không đúng.
Tập D gọi l tập liên thông nÕu ph©n tÝch D = A ∪ B víi A ∩ B = ∅ v c¸c tËp A, B võa
më v vừa đóng trong D thì hoặc A = D hoặc B = D. Tập D mở (hoặc đóng) v liên
thông gọi l một miền.
Định lý Trong tập số phức các tính chất sau đây l tơng đơng.

1. Tập D l liên thông
2. (a, b) D2, có đờng gÊp khóc < a0 = a, a1, ..., an = b > D
3. Tập D l liên thông đờng
Chứng minh
1. 2. a D, đặt A = {z ∈ D : ∃ ®−êng gÊp khóc <a, ..., z > ⊂ D}. TËp A võa l tËp
më võa l tËp ®ãng trong tËp D v A ≠ ∅ nên A = D
2. 3. Theo định nghĩa liên thông đờng
3. 1. Giả sử ngợc lại tập D không liên thông. Khi đó D = A B víi A ∩ B = ∅ v
c¸c tËp A, B võa më võa ®ãng trong D. Chän (a, b) ∈ A ì B, theo giả thiết có đờng
cong (a, b) nằm gọn trong D.
Chia đôi đờng cong (a, b) bằng ®iÓm c. NÕu c ∈ A xÐt ®−êng cong (a1 = c, b1 = b), cßn
nÕu c ∈ B xÐt ®−êng cong (a1 = a, b1 = c). TiÕp tôc chia đôi đờng cong chúng ta nhận
đợc d y thắt l¹i an , bn → c ∈ A ∩ B. Trái với giả thiết A B = .
ã Cho tập D bất kì. Hai điểm a, b D gọi l liên thông, kí hiệu l a ~ b nÕu cã
®−êng cong nèi a víi b v n»m gän trong D. Cã thÓ chøng minh r»ng quan hệ liên thông
Trang 18

Giáo Trình Toán Chuyên Đề