Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 1 pot

Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

1
Chương I
PHÉP CHIẾU
Người ta dùng phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song ( mà trường hợp
đặc biệt là phép chiếu vuông góc ) để biểu diễn các vật thể trong không gian.
I.PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
1.1: Chiếu một điểm A từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P
Trong không gian lấy một mặt phẳng P và một điểm S không thuộc P. Chiếu
một điểm A bất kỳ của không gian từ tâm
S lên mặt phẳng P là:
1. Vẽ đường thẳng SA.
2. Xác định giao điểm A’ Của
đường thẳng SA với mặt phẳng P (H 1.1 )
Khi đó người ta gọi A’ là hình chiếu
của đi
ểm A từ tâm S lên mặt phẳng P.
Ta có các tên gọi: Hình 1.1
S : Tâm chiếu
SA : Tia chiếu ( Đường thẳng
chiếu)
P : Mặt phẳng hình chiếu
Vậy hình chiếu của điểm A là điểm
A’. Dễ dàng thấy rằng nếu A thuộc mặt
phẳng P thì A’ trùng với A. Hiển nhiên
A’ không chỉ là hình chiếu của điểm A
mà nó còn là hình chiếu của một điểm bất kỳ thuộ
c của đường thẳng SA. Ví dụ A’
cũng là hình chiếu của các điểm B, C
(H 1.2 ).

1.2: Chiếu một đường thẳng từ tâm
chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P
Như ta đã biết đường thẳng là tập hợp
của vô số điểm nên để tìm hình chiếu của
đường thẳng ta đi tìm hình chiếu của hai
điểm thuộc đườ
ng thẳng (H 1.3)
A’≡ B’ ≡ C’
C
A
S
B
P
Hình 1.2
B
P
A'
A
S
Hình 1.3
P
A’

S
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

2
1.3: Chiếu một hình Ф từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P
Hình là một tập hợp
điểm. Chiếu một hình Ф từ

tâm S lên mặt phẳng P tức là
chiếu mọi điểm của hình Ф
từ tâm S lên mặt phẳng P.
Vậy hình chiếu của
một hình Ф là tập hợp các
hình chiếu của mọi điểm
của hình Ф. Nhưng nh
ư ta
sẽ thấy, muốn vẽ hình chiếu
của hình ta chỉ cần vẽ hình
chiếu của các yếu tố xác
định hình đó. ( H 1.4 )
1.4: Tính chất của phép chiếu xuyên tâm
Tính chất 1.
Hình
chiếu của một đường thẳng
không đi qua tâm chiếu là
một đường thẳng. ( H 1.3 )
Tính chất 2.
Phép
chiếu xuyên tâm bảo toàn tỷ
số kép của 4 điểm thẳng
hàng.
Giả sử A, B, C, D là 4
điểm thuộc đường thẳng k,
hình chiếu của chúng lần
lượt là A’, B’, C’, D’ thuộc đường thẳng k’ ( H 1.5 )

Ta có:
''

''
:
''
''
:
B
D
DA
B
C
CA
D
B
AD
CB
AC
=



S
A
A’
P
Hình 1.4
A
B
C
D
A’

B’
C’
S
D’
P
k
k’
Hình 1.5
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

3

II. PHÉP CHIẾU SONG SONG
2.1: Định nghĩa
Trong không gian lấy 1 mặt phẳng P
và 1 đường thẳng s cắt mặt phẳng P ( s gọi
là hướng chiếu song song ) hình chiếu
song song của điểm A lên mặt phẳng P
theo hướng chiếu s là giao điểm A’ của
đường thẳng đi qua A song song với s và
mặt phẳng P. ( H 1.6 )
2.2: Tính chất
Tính chất 1.
Trong phép chiếu song song hai đường thẳng song song chiếu
thành hai đường thẳng song song. ( H 1.7 ) AB // CD → A’B’ // C’D’
Tính chất 2.
Trong phép chiếu song song tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng
bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu của chúng. ( H 1.8 ).
''
''

CB
BA
BC
AB
=








Hình 1.7 Hình 1.8
Hệ quả: Trong phép chiếu song song tỷ số của hai đoạn thẳng song song bằng
tỷ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng. ( H 1.7 )
Giả sử AB // CD, A’B’ và C’D’ là hai hình chiếu của chúng khi đó ta có:
''
''
DC
BA
CD
AB
=



A
S
A’

P
Hình 1.6
D
C
B
A
B'
A'
C'
P
S
D'
B'
C'
C
B
A
P
A'
S
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

4

III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC
3.1: Định nghĩa.
Phép chiếu thẳng góc ( phép chiếu vuông góc ) là phép chiếu song song có
hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P.
3.2: Tính chất.
Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song do đó nó

có mọi tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn có tính chất sau:
* Điều kiện ắt có và đủ để một góc
vuông chiếu thành một góc vuông
là, có một cạnh song song với mặt
phẳng hình chiếu, cạnh còn lại
không vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu. ( H 1.9 ) có AB song
song với mặt phẳng P còn BC
không vuông góc với mặt phẳng P.
Khi đó nếu góc ∠ ABC = 90° thì
góc ∠ A’B’C’ = 90°

VI. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC
4.1: Một số quan hệ song song trong không gian.
a. Nếu đường thẳng a không thuộc mặt phẳng Q và a song song với đường
thẳng b thuộc Q thì đường thẳng a song song với mặt phẳng Q.
b. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng Q, mặt phẳng R chứa a và cắt
Q theo giao tuyến b thì a song song với b.
c. Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó hoặc song
song hoặc đồng quy.
d. Nếu 2 mặt phẳ
ng P và Q cùng song song với đường thẳng a và cắt nhau theo
giao tuyến c thì a song song với c.
4.2: Một số quan hệ vuông góc trong không gian.
a. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông
góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng đó.
A
C
C
'

B'
A'
P
B
Hình 1.9
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

5
b. Nếu đường thẳng k vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt
phẳng Q thì k vuông góc với Q.
c. Qua một điểm bao giờ cũng chỉ dựng được một đường thẳng vuông góc với
một mặt phẳng cho trước.
d. Nếu đường thẳng k vuông góc với mặt phẳng Q thì mọi mặt phẳng chứa
đường thẳng k đều vuông góc với Q.
4.3: Khoảng cách.
a. Khoả
ng cách từ một điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc tính từ
điểm đó đến mặt phẳng.
b. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc tính từ
điểm đó tới đường thẳng.
c. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
thuộc mặt phẳ
ng này đến mặt phẳng kia.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Nêu định nghĩa phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song, phép chiếu
vuông góc?
2. Nêu các tính chất của phép chiếu song song?
3. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của tâm O và hai đỉnh A, B
của hình bình hành ABCD là O’, A’, B’, vẽ hình chiếu của hình bình hành trên mặt
phẳng đó? ( H 1.11 )

Hình 1.10 Hình 1.11
4. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của trọng tâm G và của hai
đỉnh A, B của tam giác ABC lần lượ
t là G’, A’, B’, vẽ hình chiếu của đỉnh thứ 3 C
của tam giác. ( H 1.11 )
A’
B’
O’
A’
B’
G’