Hình học OXY

Hình oxy là một phần không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh đại học,nó có
đầy đủ các dạng và biến hoá theo ý đồ người ra đề làm cho chúng ta có thể
thấy hơi mệt mỏi.Nhằm cho các bạn có một cách nhìn đầy đủ hơn mình xin
giới thiệu phương pháp cần thiết và cách nhìn bài toán để có thể tìm ra
hướng giải nhanh nhất.Các định nghĩa cơ bản đã có sẵn trong sách giáo khoa
và các tài liệu tham khảo khác rồi ,các bạn hãy nắm vững nhé,ở đây để
không làm loãng ý tưởng mình sẽ không nêu lên nữa nhé.Thật tiếc là mình
chưa thể vẽ hình để minh hoạ cho ý tưởng.Các bạn nên nắm kỹ phương pháp
vì đa số đều sẽ áp dụng cho hình oxyz sau này!
I/ Cách viết Phương trình đường thẳng:
1/Cách 1 :Chỉ một điểm và một vec tơ pháp tuyến của
đường thẳng
Lưu ý :Vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương có thể chuyển đổi qua lại và
các thể phóng to thu nhỏ được.
Ví dụ :
do đó ta nên chọn là để viết cho đơn giản hơn.
2/Cách 2: Định dạng phương trình đường thẳng và sử dụng phương trình
khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng này để giải tìm ra tham số còn
thiếu của đường thẳng.
a)Biết của đường thẳng
Thường cho song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho
trước(song song thì chọn của là của ,vuông góc thì chọn
của là của )
(thiếu )
Phương trình giải tìm sẽ có dạng
b)Biết đường thẳng đi qua điểm
Gọi là
Lưu ý o tính chất phóng to thu nhỏ của vecto pháp tuyến nên mặc dù có
hai ẩn là nhưng ta chỉ cần một phương trình để giải,ta cần tìm ra mối
liên hệ giữa và rồi chọn hoặc bất kỳ là được.
Phương trình giải tìm mối liên hệ giữa :nhân qua vế kia rồi

bình phương hai vế
Ví dụ : ta được phương trình :
phương trình :
II/ Cách tìm toạ độ một điểm:Có thể kết hợp cùng lúc 3 ưu tiên dưới đây
a)Ưu tiên 1 : là giao điểm của hai đường đã biết hoặc có thể viết được
Toạ độ là nghiệm của hệ : (Bấm máy là ra)
b) Ưu tiên 2: là giao điểm của đường thẳng (đường tròn) và đường tròn đã
biết hoặc có thể viết được
Biết thì ẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính
Toạ độ là nghiệm của hệ : (rút theo hoặc theo từ
thế xuống )
c)Ưu tiên 3 :Đặt ẩn giải ( ẩn cần phương trình để giải,sử dụng hết dữ
liệu đề cho)
Một điểm tự do sẽ có hai ẩn :cần hai phương trình để giải
chỉ có một ẩn và cần phương trình để giải
Lưu Ý : có ẩn và ẩn hay cũng được nhưng nên chọn sao cho dễ
thương nhất
ví du:
không nên chọn xấu xí
Các phương trình thường sử dụng để giải ẩn:
tuỳ theo đề bài cho,nhớ phải sử dụng hết dữ liệu bài toán nhé,cẩn thận các
phương trình giải bị trùng nhau,ta cứ tưởng đủ phương trình giải nhưng thật
ra còn thiếu do chưa sử dụng hết dữ liệu!
1)Vuông góc :
Lưu ý : nếu nằm trên thì ta nên sử dụng phương trình :
Trực tâm là giao điểm của hai đường cao,đưởng cao thứ cũng qua
nhé
Lưu Ý :các vecto trên nên thay thế bằng các của đường thẳng chứa nó!
2) Trọng tâm ,trung điểm
Ở đây mình ký hiệu theo điểm cho dễ nhìn

Lưu ý : Nếu ta rút ẩn của hai điểm (hai ẩn phải khác nhau)từ cùng môt
phương trình đường thẳng thì khi giải phương trình trung điểm hay hệ
phương trình hai vecto bằng nhau thì chỉ cần phương trình hoành độ
thôi,phương trình tung độ sẽ tự động thoã mãn ,sử dụng cả hai sẽ bị trùng
lặp!
Xem ví dụ sau:
Trích:
Trog mp cho tam giác có , trực tâm , trọng tâm
Xđ tọa độ các đỉnh ?
Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng nếu ta không tỉnh táo lập tức sẽ
rơi vào vòng lẩn quẩn ngay.
Mình kí hiệu bằng điểm cho gọn nha
Ở đây cố định do đó nếu thì đương nhiện sẽ là trọng
tâm tam giác ,nếu ta áp dụng tiếp hoặc bất cứ phương
trình trung điểm nào khác thì sẽ bị trùng ngay. cùng thuộc một đường
thẳng (mà ta rút ẩn) do đó nếu chuyển ẩn giải thì chỉ cần hoành độ thoã mãn
điều kiện trung điểm là đủ ,tung độ tự nhiên sẽ thoã.
chỉ nằm trên đường cao nên chưa thoã mãn lả trực tâm do đó ta phải
ép vuông góc (hoặc vuông góc ) thì mới là trực tâm được
và phương trình giải ẩn nằm ở đây (không áp dụng điều kiện này sẽ không
bao giờ ra do chưa thoã hết yêu cầu bài toán đặt ra)
Giải :
Dễ dàng tìm được
là trung điểm và vuông góc ta có hệ:
Vậy hoặc
3/Sử dụng phương trình diện tích đề cho
Các công thức tính thường sử dụng :
( là nữa chu vi, :bk nội tiếp, :ngoại tiếp)
(thường sử dụng trong
bài toàn đường thẳng cắt đường tròn tại )

*Chọn một đỉnh bất kỳ của tam giác sẽ được vecto
Lưu ý :Nếu trong đỉnh có chứa ẩn thì ta nên chọn trong đỉnh không chứa
ẩn để chẻ ra vecto(nhằm giảm bớt biểu thức chứa ẩn)
4/Các hướng suy nghĩ khi gặp dữ liệu bài toán :
a)Đường trung tuyến :
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào
đó(trọng tâm,trung điểm,đỉnh ứng với đường trung tuyến)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường trung tuyến
-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
-Sử dụng phương trình trung điểm tương ứng
b)Đường cao :
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào
đó(trực tâm,chân đường cao,đỉnh ứng với đường cao)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường cao
- Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
-Sử dụng phương trình tích vô hướng bằng 0 cùa vtcp và vecto vuông góc
với đường thẳng.
c)Đường trung trực :là tổng hợp của đường cao và đường trung tuyến.
d)Đường phân giác trong:
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào
đó(chân đường phân giác,đỉnh ứng với đường phân giác)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường phân giác
-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
Tính chất quan trọng :Tìm một điểm bên cạnh này (cạnh này thường biết
rồi,chờ lấy điểm này là viết được cạnh ) đối xứng với điểm bên cạnh kia
(điểm này có rồi) qua đường phân giác.
Giả sử lấy điểm đối xứng với qua đường phân giác trong
góc
Ý tưởng :Trung điểm của thuộc
Ví dụ Toạ độ là nghiệm cũa hệ :

III.Tam giác :
-Trọng tâm là giao đường trung tuyến
-Trực tâm là giao đường cao
-Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao đường trung trực ,bán kính
-Tâm của đường tròn nội tiếp là giao đường phân giác ,bán kính
Cách viết phương trình đường phân giác trong góc khi biết đỉnh :
Gọi là chân đường phân giáctrong ta có :
Tìm tâm K :
a/Tam giác cân:
-tam giác cân tại : (ít sử dụng)
(thường sử dụng)
-Đường thẳng qua một điểm bất kỳ và song song với cũng tao thành một
tam giác cân,sử dụng tính chất trung điểm tam giác cân mới để viết đường
cao trong tam giác (đa số sử dụng điều kiện này khi đề bài cho thêm
một điểm nào đó)
-Đường cao đỉnh cân cũng là đường trung tuyến,đường trung trực,đường
phân giác
b/Tam giác vuông ví dụ tại
- ta có :
-Nếu có ptrinh thì có và ngược lại
-Trung điểm cạnh huyền chính là tâm đường tròn ngoại tiếp (3 diểm A,B,C
sẽ nằm trên đường tròn này nếu ta viết được nó khi biết tâm và bán kính)
c/ vuông cân :là tổng hợp giữa vuông và cân
d/tam giác đều:sử dụng điều kiện của hai tam giác cân.tại 2 đỉnh cùng lúc
(hoặc tam giác cân có cạnh bên bằng cạnh đáy,tuỳ đề bài cho mà ta linh hoạt
sử dụng )
IV/tứ giác
a/Hình thang :
-ví dụ
-Hình thang cân có : ( lần lượt là hình chiếu vuông góc của

xuống cạnh )
b/Hình bình hành :
c/Hình chữ nhật :Là hình bình hành có một góc vuông
d/Hình thoi : là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
e/Hình vuông:là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc hoặc là hình
thoi có một góc vuông
:hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
:giao điểm của hai đường chéo là tâm đường tròn ngoại tiếp
:giao điểm của hai đường chéo là tâm đường tròn nội tiếp
V/ BÀI TOÁN MIN,MAX :trong tất cả những câu sau đây đều sử dụng luôn
cho
*Với các điểm và đường thẳng ,Các hằng số cho trước
*Tìm để :
Giải:
Chúng ta có thể xét xem nằm cùng phía hay khác phía so với đường
thẳng rồi chuyển về khác phía để giải,tuy nhiên cách này hơi dài một xíu.
Hạn chế sử dụng trực tiếp bất đẳng thức mincopxki ,nếu sử dụng phải
chứng minh.(ở đây chúng ta sẽ dụng bất đẳng thức vecto ,thực ra nó cũng là
mincopxki thôi nhưng khỏi mất công chứng minh)
Để giải quyết hai vấn đề trên thì chúng ta nên sử dụng cách giải sau đây cho
thuận tiện nhất.
( ẩn)
Ta sẽ có ngay(bằng cách nhóm bình phương)
(các hằng số này xuất hiện khi
ta nhóm bình phương, )
Đặt
Đẳng thức xảy ra khi cùng phương cùng chiều hay:
Lưu ý: Nếu tồn tại thì chắc chắn rằng (
không vuông góc với )
Giải :

Đẳng thức xảy ra khi (Đến đây ta đã tìm được rồi hoặc có thể
nhận xét là giao của đường trung trực và cũng được)
Ý tưởng tương tự câu nhưng chuyển về cùng phía để giải.
Giải :
(các hằng số này xuất hiện
khi ta nhóm bình phương, )
Đặt
Đẳng thức xảy ra khi cùng phương cùng chiều hay:
(GTTD:là giá trị tuyệt đối)
Ta sẽ tìm điểm thõa :
(Viết theo điểm cho dễ thấy,nghĩa là hoành đô,tung độ của điểm thõa mãn
công thức trên)
Hay là hình chiếu vuông góc của I xuống
cách 1 :
+Do có ẩn nên ta có thể lần lượt tính .ta sẽ được một tam
thức bậc theo ẩn
+
Nếu : ta sẽ tìm được min
Nếu ta sẽ tìm được max
Lưu ý :
Cách 2 : sử dụng luôn khi thuộc mặt phẳng trong hình
Ta cũng tìm điểm như câu trên
Mà là hằng số do đó :
Nếu thì khi hay
là hình chiếu vuộng góc của xuống (hoặc xuống mặt phẳng )
Tương tự nếu thì tìm được
thì biểu thức trên sẽ là hằng số
PHẦN II/ ĐƯỜNG TRÒN :
Các em phải đọc kỹ để nắm nguyên tắc và đa số đều sẽ sử dụng cho bài toán
mặt cầu trong hình

I/ Viết phương trình đường tròn:
Muốn viết được phương trình đường tròn ta phải xác định được tâm
và bán kính cùa nó.
hoặc
Lưu ý : cái theo (cái theo ,nếu hệ số của thì ta
phải chia để ra dạng rồi xác định tâm và bán kính.
ví dụ :
sẽ có tâm
Các dữ liệu đề thường cho để giải,cho
Qua điểm
Tiếp xúc với đường thẳng
Tâm ( có một ẩn )
Cắt đường thẳng tại cho
tiếp xúc ngoài với
tiếp xúc trong với
Nguyên tắc :
Một phương trình sẽ có ẩn là hoặc do đó đề sẽ cho dữ liệu
trong thể loại dữ liệu(dl) ở trên (Các dữ liệu có thể cho cùng một thể loại)
Tất cả các thể loại dữ liệu trên đều đưa về theo và ta sẽ cho chúng bằng
nhau để giải.
Ví dụ : có tâm qua điểm và tiếp xúc với đường thẳng
ta cần một phương trình để giải ra
Phương trình để giải là :
Bài toán đặc biệt :
qua
nên ta thay toạ độ ba điểm này vào
phương trình sẽ được hệ phương trình ẩn và chỉ việc bấm máy tính
qua và tiếp xúc với
Chúng ta phải lưu ý chỗ này để khỏi phải xét từng trường hợp để phá giá trị
tuyệt đối sẽ làm cho bài toán dài dòng không cần thiết:

Phải nhớ sẽ cùng dấu với sẽ cùng dấu với
có tâm và cắt có tâm bán kính theo một dây cung
Gọi là trung điểm vuông góc với
4/Một ví dụ :
Trích:
Trên cho và ( Viết phương trình đường
tròn có tâm thuộc có và tiếp xúc với
Dễ dàng thấy và không có điểm chung
Đẳng thức xảy ra khi hay
+Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi tiếp xúc với tại
Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với
Phương trình đường tròn (C) cần cần tìm có tâm bán kính
II/ TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN :
Ở đây anh sẽ không xét xem trường hợp tiếp tuyến có dạng hay không
rồi đặt tiếp tuyến là vì anh nhận thấy không cần thiết.
Tiếp tuyến tại ta sẽ dùng phương pháp phân đôi toa độ
cho biết véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến :thường cho
song song hoặc vuông góc với đường thẳng nào cho trước.
(thiếu )
tiếp xúc
tiếp tuyến qua ( phải nằm ngoài đường tròn)
Gọi của là
tiếp xúc (Xem lại phần )
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
a/Vị trí tương đối của hai đường tròn :
Ta sẽ so sánh với và
:hai đường tròn Không có giao điểm (đường tròn có bán
kính nhỏ nằm trong đường tròn bán kính lớn ) không có tiếp tuyến chung
* :tiếp xúc trong,có giao điểm có một tiếp tuyến chung là
trục đẳng phương)

: có giao điểm có hai tiếp tuyến chung
:Tiếp xúc ngoài ,có giao điểm có tiếp tuyến chung trong
đó có một tiếp tuyến chung là trục đẳng phương (Thường gặp trường hợp
này nhất)
:Không có giao điểm có tiếp tuyến chung
LƯU Ý : Trục đẵng phương (d) của hai đường tròn :
*Cho dễ nhớ ta cho hai phương trình đường tròn bằng nhau rút gọn sẽ đươc
phương trình của trục đẳng phương
*Nếu hai đường tròn có giao điểm thì Trục đẳng phương chình là đường
thẳng qua hai giao điểm này.Nếu tiếp xúc nhau thì Trục đẳng phương là một
tiếp tuyến chung
*Trục đẳng phương sẽ vuông góc với đường thẳng nối hai tâm
Cách viết tiếp tuyến chung:
Anh chỉ trình bày cách viết các đường tiếp tuyến còn lại (trừ tiếp tuyến là
trục đẳng phương mà ta đã có rồi nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau,nhớ kết
luận có nó nữa nha)
Bước : Xét vị trí tương đối của hai đường tròn để kết luận số tiếp tuyến
chung
Bước : Vẽ hình minh hoạ thôi
Bước
Trường hợp : nếu
Tiếp tuyến chung sẽ song song với nên đã có trở thành bài
toán viết tiếp tuyến với một đường tròn khi biết (sử dụng tiếp xúc với
đường tròn nào cũng được)
Trường hợp :nếu
Đến đây có hai trường hợp có thể xảy ra :
Hai tiếp tuyến chung cắt nhau tại thẳng hàng) và nằm ngoài
Ta sẽ có : qua nên trở thành bài toán viết tiếp tuyến qua
một điểm.
Hai tiếp tuyến chung cắt nhau tại thẳng hàng) và nằm ở khoảng

giữa (trường hợp có tiếp tuyến chung thì mới có trường hợp này)
Ta sẽ có : qua nên trở thành bài toán viết tiếp tuyến
qua một điểm.
Ví dụ :
Trích:
2)Cho hai đường tròn :
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
có tâm có tâm
nên tiếp xúc ngoài với nhau do đó chúng có tiếp
tuyến chung trong đó có tiếp tuyến là trục đẳng phương của đường
tròn.
(Kéo dài sẽ cắt tiếp tuyến chung còn lại tại ,áp dụng hai tam giác
đồng dạng)
Phương trình đường thẳng đi qua có dạng
với
tiếp xúc với
Vậy có tiếp tuyến chung là
III/ TỪ MỘT ĐIỂM KẺ HAI TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Không có giao điểm
tiếp xúc (có giao điểm)
có hai giao điểm
Vị trí tương đối của một điểm và đường tròn
nằm ngoài nên vẽ được hai tiếp tuyến
nằm trên nên vẽ được một tiếp tuyến
nằm trong nên không vẽ được tiếp tuyến
Bài toán thường gặp:
Qua kẻ được hai tiếp tuyến hợp với nhau một góc .Nếu
sẽ nằm chung với bài toán ở ý
Vẽ hình

sẽ nẳm trên đường tròn tâm bán kính
(Trong hai giá trị ở trên sẽ có một giá trị lớn và một giá trị nhỏ ,tạm gọi
là cho dễ)
Các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với yêu cầu bài toán
không tìm được
tìm được điểm
tìm được điểm
tìm được điểm
tìm được điểm
Ví dụ :
Trích:
cho và đường thẳng .tìm để trên có điểm mà
từ đó kẻ được tiếp tuyến tạo với nhau góc
Qua kẻ được hai tiếp tuyến sao cho nhau góc
.
Vẽ hình
sẽ nẳm trên đường tròn tâm bán kính
Các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với yêu cầu bài toán
không tìm được
tìm được điểm tiếp xúc
tìm được điểm cắt tại điểm phân biệt )
Ví dụ :
Trích:
Tìm để trên tồn tại hai điểm mà từ kẽ được tiếp tuyến
với sao cho tam giác đều
Tam giác đều nên góc
có tâm bán kính
phải nằm trên đường tròn tâm bán kính
Để có điểm thì phải cắt tại điểm phân biệt
Trích:

1/Cho đường tròn và điểm Tìm trên hai
điểm sao cho tam giác vuông cân tại
Vẽ hình: nẳm trên đường trung trực cùa cạnh nằm trong
góc
nằm trên đường tròn tâm bán kính
Toạ độ là nghiệm của hệ :
góc
nằm trên đường tròn tâm bán kính
Toạ độ là nghiệm của hệ :
Phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến tại điểm là :
Do là hai tiếp điển nên toạ độ thoả do đó phương trình đường
thẳng qua là :
Tìm hai tiếp điểm
*Lưu ý :Chúng ta nên sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp
điểm rồi giao đường thẳng này với sẽ tìm được ngay ,ở đây anh
nêu thêm một cách nhìn để chúng ta có thể linh hoạt sử dụng cho các bài
toán khác .
*Tương tự như trường hợp ở trên nhưng thay vì đi tính ta sẽ tính
Đề bài cho góc giữa hai tiếp tuyến là
nên sẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính
Đề bài không cho góc giữa hai tiếp tuyến
Lúc đó ta sẽ tính
Ví dụ :
Trích:
và điểm tìm toạ độ điểm trên trục tung sao cho
từ kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn với là hai tiếp
điểm sao cho đường thẳng đi qua điểm
Phương trình đường thẳng qua và tiếp xúc với tại có
dạng

(Ta đã sử dụng phân ly toạ độ sau đó thay toạ độ điểm vô luôn)
Do là hai tiếp điểm nên toạ độ thoả do đó phương trình đường
thẳng qua hai tiếp điểm là :
Nếu muốn tìm thì với
Bài toán có liên quan đến
góc
phải nằm trên đường tròn tâm bán kính
Đến đây ta có thể tìm được hoặc định điều kiện để có
Ví dụ :
Trích:
cho thuoc . Ke tiep tuyen den
Tim toa do de
Vẽ hình:góc ,
nằm trên đường tròn tâm bán kính
Toạ độ là nghiệm của hệ :
Viết phương trình đường thẳng cắt tại hai điểm phân
biệt :
Cho độ dài dây cung
Ta sẽ định dạng đường thẳng tuỳ theo đề cho (thường qua một điểm hoặc
cho biết ) rồi áp dụng công thức tính khoảng cách rồi sử dụng
Cho diện tích tam giác
Lưu ý : nếu thì
Đề bài cho qua và cho mối liên hệ giữa
lưu ý : nếu đề cho mối liên hệ giữa và thì ta cũng sẽ chuyển về để
được mối liên hệ giữa (cách chuyển này là tương đương do vị trí
tương đối của và hoàn toàn xác định)
Chúng ta sẽ sử dụng phương tích của điểm đối với để giải
quyết bài toán lại này (nếu là trung điểm thì sử dụng cho tam
giác ,thật ra cũng chỉ là hệ qủa của phương tích mà thôi)
Phương tích :

Từ phương trình này và phương trình liên hệ giữa mà đề bài cho ta
dễ dàng giải ra được
(Ta chỉ cần sử dụng hoặc (cái nào dễ thương hơn thì chọn nha) để
tìm ra điểm hoặc và có sẵn nên viết được )
sẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính
Ví dụ :
Trích:
Trong mp với hệ tọa độ , cho đường tròn và điểm
Lập pt đường thẳng đi qua cắt tại phân biệt sao cho
có tâm ( nằm ngoài đường tròn)
sẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính
tọa độ là nghiệm của hệ:
Dễ dàng tìm được hay
Vậy
Trích:
.Viết phương trình đường thẳng Qua cắt
tại sao cho
có tâm nên nằm ngoài đường tròn.
(Do vai trò của là như nhau nên ta chỉ cần chọn một cặp nghiệm như
trên là được)
phải nằm trên đường tròn tâm bán kính
Vậy
__________________