Xử lý tín hiệu số - Chương 2 docx

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

37

Chơng
2
Biểu diễn hệ thống v tín hiệu rời rạc
trong miền tần số liên tục

I. Mở đầu.
Trong chơng 1 đã trình by về việc biểu diễn tín hiệu của hệ thống rời rạc trong
miền biến số độc lập tự nhiên (miền n); đây l phơng pháp nghiên cứu trực tiếp. ở chơng
2, thông qua biến đổi Z chúng ta đã nghiên cứu tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền Z
v đây l một phơng pháp nghiên cứu gián tiếp. Một trong những phơng pháp nghiên
cứu (biểu diễn) gián tiếp khác thờng đợc sử dụng l biến đổi Fourier (FT) để chuyển việc
biểu diễn tín hiệu v hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập tự nhiên n sang miền tần số
liên tục .
Sự liên hệ giữa các miền đợc biểu diễn qua hình 3.1 sau:

Hình 3.1. Sơ đồ liên hệ giữa các miền.
II. Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc
II.1. Định nghĩa biến đổi Fourier.
a. Định nghĩa:
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) đợc định nghĩa nh sau:


j
n
j
e)n(x)e(X


=

= (3.2.1)
b. Các phơng pháp thể hiện X(e
j

)
- Thể hiện dới dạng phần thực v phần ảo.
X(e
j

) = Re[X(e
j

)] + j.Im[X(e
j

)] (3.2.2)
trong đó: Re[X(e
j

)] l phần thực của X(e
j

)
Im[X(e
j

)] l phần ảo của X(e
j

)
Z
IZ
F
I
F

Miền n

Miền Z
Miền
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên

Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

38
- Thể hiện dới dạng modun v argument

[
]
)e(Xargjjj
j
e)e(X)e(X


=

trong đó: X(e
j

) gọi l phổ biên độ của x(n).
arg[X(e
j

)] gọi l phổ pha của x(n).
Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha với phần thực v phần ảo của X(e
j

) nh sau:

[][]
)e(XIm)e(XRe)e(X

j2j2j

+=
(3.2.3)

[]












=
)
j
e(XRe
)
j
e(XIm
arctg)e(Xarg
j

(3.2.4)
Thờng dùng ký hiệu () để chỉ argument:
() = arg[X(e
j

)]
Cuối cùng ta có:
)(jjj
e)e(X)e(X

=
(3.2.5)
- Thể hiện dới dạng độ lớn v pha
Giả sử ta biểu diễn X(e
j

) ở dạng sau:
)(jjj
e)e(A)e(X

=
(3.2.6)
khi đó:
A(e
j

) l thực v:
A(e
j

) = X(e
j

) (3.2.7)

[]
()





<+
=
=
0)(:12
, 2,1,0;0)(:2
)(arg





j
j
j
eAk
keAk
eA
(3.2.8)

hay:
[] []






















+=

+=
)(
)(
1
2
1
2)](sgn[1
2
1
2)(arg
j
j
jj
eA
eA
keAkeA
(3.2.9)
Còn () sẽ đợc thể hiện nh sau:
arg[X(e
j

)] = arg[A(e
j

)] + () = ()
() = () - arg[A(e
j

)] (3.2.10)

Ví dụ:

Cho phổ X(e
j

) có dạng sau:



3sin)(
2
j
j
eeX

=

Tìm: a. Re[X(e
j

)] v Im[X(e
j

)]
b. A(e
j

) v (). c. X(e
j

) v ().
d. Vẽ A(e
j

), (), X(e
j

) v ().
Giải:

a. Ta có:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

39

[]
[]

3sin.
2
sin)(Im
3sin.
2
cos)(Re
3sin
2
sin
2
cos3sin)(
2
=
=






==

j
j
j
j
eX
eX
jeeX

b. Từ biểu thức (3.2.6) ta có: A(e
j

) = sin3 v
2
)(


=
c. X(e
j

) = sin3

++=
3sin
3sin
1
2
1
k2
2
)(

d. Đồ thị của A(e
j

), (), X(e
j

) v () đợc biểu diễn trên các hình:

/2
-/2
-

(

)
-


A(e
j

)
2

/3

/
3
-2

/3-



X(e
j

)

-

(

)
-
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

40





Hình 3.2. Đồ thị của A(e
j

),

(

),

X(e
j

)

v

(

)

II.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier.
Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (3.2.1) hội tụ. Ta có thể phát biểu điều
kiện hội tụ của chuỗi ny nh sau:
Chuỗi trong (3.2.1.1) hội tụ nếu v chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau đây:
<


=n
)n(x (3.2.11)
Nếu điều kiện ny đợc thoả mãn thì chuỗi (3.2.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hm
liên tục của .
Nhận xét:

Về mặt toán học chúng ta có quan hệ sau:

2
nn
2
x
)n(x)n(xE

=


=

=

Nếu (3.2.11) thoả mãn thì:

2
n
)n(x








=
< <=


=n
2
x

)n(xE (3.2.12)
Vậy: nếu năng lợng E
x
của tín hiệu x(n) l hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn điều kiện
(3.2.11) hay: Biến đổi Fourier của tín hiệu có năng lợng hữu hạn l luôn hội tụ.

Ví dụ:
Xét sự tồn tại của biến đổi Fourier v tính năng lợng E
x
của các dãy x(n) sau:
a. x
1
(n) = u(n). b. x
2
(n) = r(n). c. x
3
(n) = (n). d. x
4
(n) = rect
N
(n).
Giải:

a.
===


=

=

= 0nnn
1
1)n(u)n(x
===


=

= 0n
2
n
2
11x
1)n(xE
Vậy X
1
(e
j

) không tồn tại.
b.
===


=

=

= 0nnn

2
n)n(r)n(x
===


=

= 0n
2
n
2
22x
n)n(xE
Vậy X
2
(e
j

) không tồn tại.
c.
1)n()n(x
nn
3


=

=
==

1)n()n(xE
0n
2
n
2
33x


=

=
===


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

41
Vậy X
3
(e
j

) tồn tại.
d.
N1)n(rect)n(x
N
0nn

N
n
4

=

=

=
===

N1)n(xE
N
0n
2
n
2
44x

=

=
===
Vậy X
4
(e
j

) tồn tại.
II.2. Biến đổi Fourier ngợc.

Vì X(e
j

) l một hm tuần hon của biến tần số có chu kỳ 2 v X(e
j

) tồn tại nếu
thoả mãn điều kiện (3.2.11). Nên ta có thể khai triển hm X(e
j

) thnh chuỗi Fourier
trong khoảng (-, ) v có thể coi các hệ số của khai triển chuỗi Fourier ny chính l x(n),
tức l ta có thể tìm đợc các giá trị của x(n) từ X(e
j

) xét trong khoảng (-, ).
Từ biểu thức (3.2.1);


j
n
j
e)n(x)e(X


=

=
Nhân cả hai vế với e
j

m


rồi lấy tích phân trong khoảng (-, ) ta đợc:









=



=

==

de)n(xde)n(xde)e(X
)nm(j
n
)nm(j
n
mjnj

Mặt khác ta có:





=
=



nm:0
nm:2
de
)nm(j

=
=





=
nm:0
nm:)m(x2
de)n(x
)nm(j
n






Cuối cùng ta có:



=

de)e(X
2
1
)m(x
mjj

Hay:


=





de)e(X
2
1
)n(x
njj
(3.2.13)
Đây chính l biểu thức biến đổi Fourier ngợc (IFT).
Ví dụ:

Cho:

><

=

cc
c
nj
j
,:0
:e
)e(X
0





Tìm x(n), vẽ X(e
j

) v x(n) với:
4n,
2
0c
==

.
Giải:


[]
)nn(
)nn(sin
1
e
)nn(j
1
2
1
de
2
1
de)e(X
2
1
)n(x
0
0c
)nn(j
0
)nn(j
njj
c
c
0
c

c
0


=

=
==

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

42
Với:
4n,
2
0c
==


ta có:







=

0
2
:e
)e(X
4j
j

v
[
]
)4n(
)4n(
2
sin
1
)n(x


=




Biểu diễn X(e
j

) v x(n) bằng đồ thị:
Ta có:






=

0
2
:1
)e(X
j



v:
[]






=
0
2
:4
)e(Xarg
j

Hình 3.3. Đồ thị của X(e
j

) v x(n).

1



X(e
j

)



2


-

/2-3/2-2

-


-
-10
2
4
6

8

arg[X(e
j

)]
10

x
(n)
n
-1/9
1/5
1/
-1/3
-1/5
-1/5
1/9
1/3
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

43

III. các tính chất của Biến đổi Fourier
III.1. Tính chất tuyến tính.
Giả sử có hai tín hiệu x
1
(n) v x

2
(n) với các biến đổi Fourier tơng ứng l: X
1
(e
j

) v
X
2
(e
j

).
Gọi dãy x(n) l tổ hợp tuyến tính của x
1
(n) v x
2
(n):
x(n) = ax
1
(n) + bx
2
(n); với a, b l các hằng số.
thì biến đổi Fourier của x(n) nh sau:

[]
)e(bX)e(aXe)n(xbe)n(xa
e)n(x.b)n(axe)n(x)e(X
j
2

j
1
n
nj
2
n
nj
1
n
nj
21
n
njj


+=+=
+==



=


=


=


=

(3.3.1)

III.2. Tính chất trễ.
Giả sử y(n) l tín hiệu trễ của x(n), tức l: y(n) = x(n- n
0
)
Ta có:

)e(Xee)nn(xe
ee)nn(xe)nn(xe)n(y)e(Y
j
nj
nn
)nn(j
0
nj
nn
nj)nn(j
0
n
nj
0
n
njj
0
0
00
0
00

=


=


=


=

==
===


(3.3.2)
Biểu diễn dới dạng mô đun v argumen ta có:
Y(e
j

)= X(e
j

)

arg[Y(e
j

)] = - n
0
+ arg[X(e
j

)] (3.3.3)
Từ biểu thức (3.3.3) ta thấy rằng tín hiệu x(n) bị trễ đi n
0
mẫu trong miền biến số độc lập,
thì trong miền tần số phổ biên độ của nó không đổi, còn phổ pha của nó thì sẽ tăng thêm
một lợng -n
0
.
Ví dụ:
Cho x(n) = rect
N
(n-n
0
).
- Tìm X(e
j

)
- Tìm phổ biên độ v phổ pha của x(n).
Giải:

áp dụng tính chất trễ ta có:

2
sin
2
N
sin
e
e
e
ee
ee
e
e1
e1
eeee)e(X
)
2
1N
n(j
2
j
2
N
j
2
j
2
j
2
N

j
2
N
j
nj
j
Nj
nj
1N
0n
nj
nj
1nN
nn
njj
0
0
00
0
0

+









=


+
=

=


=


===

Vậy ta có phổ biên độ v phổ pha của x(n) nh sau:

2
sin
2
N
sin
)e(X
j



=
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

44

[]

+

+=
2
sin
2
N
sin
arg)
2
1N
n()e(Xarg
0
j





trong đó:

+=










2
sin
2
N
sin
sig1
2
1
k2
2
sin
2
N
sin
arg

III.3. Tính chất đối xứng.
Trong trờng hợp tổng quát, tín hiệu x(n) l tín hiệu phức v ta có thể viết:
x(n) = Re[x(n)] + j .Im[x(n)]
Vậy dãy liên hợp phức của x(n) l x
*
(n) có dạng:
x
*
(n) = Re[x(n)] - j .Im[x(n)]
Khi đó, quan hệ giữa các biến đổi Fourier tơng ứng nh sau:

[]


=

==
n
njj
e)n(x)e(X)n(xFT


[]
[]
)e(X)e(Xe)n(x
e)n(xe)n(x)n(xFT
nj*
*
nj

*
n
nj
*
*
n
nj*
n
nj**




=

=


=

==






=

==



Vậy:
[
]
)e(X)n(xFT
j**


= (3.3.4)

Với x(n) l thực, ta có quan hệ:
X
*

(e
-j

) = X(e
j

) hay X
*
(e
j

) = X(e
-j

).
(3.3.5)
Quan hệ (3.3.5) cho thấy tính chất đối xứng Hermit của phổ của tín hiệu thực.
Từ đây thấy rằng, đối với x(n) thực ta có:
Re[X(e
j

)] = Re[X(e
-j

)]
Im[X(e
j

)] = - Im[X(e
-j

)] (3.3.6)
Tơng tự, đối với modun v argument ta cũng có:
X(e
j

)= X(e
-j

)
arg[X(e
j

)] =- arg[X(e
-j

)] (3.3.7)
III.4. Tính chất biến số n đảo
Giả sử ta có tín hiệu x(n) v biến đổi Fourier của nó l:

[]
[]
)e(Xargj
n
njj
j
e)e(Xe)n(x)e(X)n(xFT


===

=


Xét biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n):

[]


=

=
n
nj
e)n(x)n(xFT


đổi biến: m = - n ta có:
[]
)e(Xe)m(x)n(xFT
j
m
mj



=
==

(3.3.8)
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

45
Nếu x(n) v x(-n) l thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có:
[]
[
] []
)e(Xargjj)e(Xargjjj*j
jj
e)e(Xe)e(X)e(X)e(X)n(xFT



====



III.4. Tích chập của hai tín hiệu
Xét hai dãy x
1
(n) v x
2
(n) có biến đổi Fourier tơng ứng l X
1
(e
j

) v X
2
(e
j

).
Ta có tích chập của hai dãy l:
x
3
(n) = x
1
(n)*x
2
(n)
Biến đổi Fourier của x
3
(n) đợc xác định nh sau:

[] [ ]



=


=

=

=

=

=






==
n
nj
2
k
1
n
nj
k
21
n
nj
213
e)kn(x)k(x
e)kn(x)k(xe)n(x*)n(x)]n(x[FT



áp dụng tính chất trễ ta có:

)e(X)e(Xe)k(x)e(X)e(Xe)k(x)e(X
j
2
j
1
kj
k
1
j
2
j
2
kj
k
1
j
3

===


=


=


Vậy:
X

3
(e
j

) = X
1
(e
j

).X
2
(e
j

).
Ví dụ:

Cho hai tín hiệu: x
1
(n) = x
2
(n) = (n+2) + (n-2). Tính tích chập: x
3
(n) = x
1
(n)*x
2
(n)
thông qua tính chất biến đổi Fourier.
Giải:

Ta có:
[]



2cos2ee
e)2(k)2(ke)k(x)e(X)e(X
2j2j
kj
k
kj
k
1
j
2
j
1
=+=
++===



=


=


Vậy X

3
(e
j

) = X
1
(e
j

).X
2
(e
j

) = 2cos2.2cos2 = 4cos
2
2
= (e
j 2

+ e
-j 2

)
2
= e
j 4

+ 2 + e
-j 4

.
áp dụng biến đổi Fourier ngợc ta có:
x
3
(n) = (n+4) +2(n) + (n-4).

III.5. Tích của hai dãy
Nếu ta có:
FT[x
1
(n)] = X
1
(e
j

) v FT[x
2
(n)] = X
2
(e
j

).
thì:

[][]
'd)e(X)e(X
2
1

)e(X)n(xFT)n(x).n(xFT
'j
2
)'(j
1
j
3321









===
Chứng minh:

[]








=

=


=

=






==











'd)e(Xe)n(x
2
1
e'de)e(X
2

1
)n(xe)n(x).n(x)e(X
'j
2
n)'(j
n
1
nj
n
n'j'j
21
n
nj
21
j
3

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

46
Vậy:

()



=

'd)e(XeX
2
1
)e(X
'j
2
)'(j
1
j
3

=
)e(X*)e(X
j
2
j
1

(3.3.9)
=
)e(X*)e(X
j
1
j
2

(3.3.10)
Quan hệ (3.3.9 v 3.3.10) đợc gọi l tích chập liên tục v tuần hon voí chu kỳ 2.
Nhận xét:

Tích x
3
(n) = x
1
(n). x
2
(n) thờng đợc dùng trong trờng hợp nghiên cứu x
1
(n) có
chiều di rất lớn, để hạn chế chiều di của x
1
(n) ta sẽ nhân nó với x
2
(n) có chiều di hữu
hạn, nh l ta dùng một cửa sổ chữ nhật x
2
(n) = rect
N
(n). Đây gọi l kỹ thuật cửa sổ, đợc
dùng để tổng hợp bộ lọc số FIR.

III.6. Vi phân trong miền tần số
Nếu:
FT[x(n)] = X(e
j

)
thì:

[]


d
)e(dX
j)n(nxFT
j
=

Chứng minh:

[]
)n(nxFT.je)n(nxje
d
d
)n(x
e)n(x
d
d
d
)e(dX
e)n(x)e(X
n
nj
n
nj
n

nj
j
n
njj
===






==



=


=


=


=

Vậy ta có:
[]


d
)e(dX
j)n(nxFT
j
=

III.7. Trễ tần số
Nếu ta có:
FT[x(n) ] = X(e
j

)
thì:
[
]
)e(X)n(xeFT
)(jnj
00


= (3.3.11)
Chứng minh:
Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ta có:

[]
)e(Xe)n(xee)n(x)n(xeFT
)(j
n
n)(j
n
nj
njnj
0000





=


=

===


Nhận xét:
Việc nhân dãy x(n) với
nj
0
e

trong miền biến số n sẽ tơng đơng với việc dịch

chuyển tần số của phổ X(e
j

) đi một lợng
0
.
Ví dụ:

Cho x(n) v FT[x(n)] = X(e
j

). Tìm phổ của x(n)cos
0
n = y(n) v minh hoạ phổ của
x(n) v y(n) với
0
= /2.
Giải:

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

47
Vì:
2
ee
ncos
njnj
0

00



+
=

Do đó:
[]
()()()
)(j)(j
n
n)(jn)(j
n
nj
njnj
n
nj
00
0000
00
eX
2
1
eX
2
1
ee)n(x
2
1

e
2
ee
)n(xnecos)n(xncos)n(xFT





+

=
+

=



=

+=+=
+
==



Minh hoạ phổ của x(n) v y(n) với
0
= /2.

III.8. Quan hệ parseval
Nếu ta có:
FT[x
1
(n) ] = X
1
(e
j

)
FT[x
2
(n) ] = X
2
(e

j

)
thì:






d)e(X)e(X
2
1
)n(x).n(x
j*
2
j
1
n
*
21




=
=
(3.3.12)
Chứng minh:

=

=



=


=
=






=
=

=




















d)e(X)e(X
2
1
de)n(x)e(X
2

1
de)e(X
2
1
)n(x
de)e(X
2
1
)n(x)n(x).n(x
j
1
j*
2
nj
n
1
j*
2
n
njj*
21
*
n
njj
21
n
*
21

Trong trờng hợp x

1
(n) = x
2
*
(n) = x(n), quan hệ Parseval cho ta:






d)e(X
2
1
)n(x
2
j
n
2




=
= (3.3.13)
X(e
j

)

/2


2
-

/2 -


-2
1

1/2
Y(e
j

)
X(e
j (

-

/2
)/2 X(e
j (

+

/2

)/2
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

48
2
j
)e(X

gọi l phổ mật độ năng lợng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng lợng
theo hm của tần số; đợc ký hiệu l S
xx
(e
j

).
Vậy: S
xx
(e
j

) =
2
j
)e(X


(3.3.14)
Mặt khác năng lợng của tín hiệu x(n) l E

x
:


=
=
n
2
x
)n(xE
Nh vậy quan hệ Parseval chính l quan hệ giữa năng lợng của tín hiệu v phổ
mật độ năng lợng của tín hiệu đó.
Trong trờng hợp x(n) l thực thì X(e
j

) l đối xứng:
X(e
j

)=X(e
-j

)
Vậy ta có thể nói rằng: nếu x(n) thực thì S
xx
(e
j

) cũng l đối xứng:
S

xx
(e
j

) = S
xx
(e
-j

) (3.3.15)

III.9. Định lý tơng quan v định lý weiner khintchine
Nếu ta có:
FT[x
1
(n) ] = X
1
(e
j

)
FT[x
2
(n) ] = X
2
(e
j

)
thì:

[
]
)e(X)e(X)e(R)n(rFT
j
2
j
1
j
xxxx
2121


== (3.3.16)
Chứng minh:

[]
[]



=

=


=


=

=

=






==
mn
nj
21
n
nj
m
21
n
nj
xxxx
e)nm(x)m(x
e)nm(x)m(xe)n(r)n(rFT
2121



đổi biến: m - n = k.
[]
() ()

[]
)e(X)e(X)e(Xe)m(x
eekx)m(xekx)m(x)n(rFT
j
2
j
1
j
2
mj
m
1
mj
mk
kj
21
mk
)km(j
21xx
21




=


=

=

=

=

==






==



Nhận xét:

Nếu x
2
(n) l thực, ta có:
)e(X)e(X)e(R
j*
2
j
1
j
xx
21

=
Nếu x
1
(n) = x
2
(n) = x(n) ta có hm tự tơng quan:
)e(X)e(X)e(R
jjj
xx


=
Nếu hm tự tơng quan x(n) l thực, ta có:

)e(S)e(X)e(X)e(X)e(R
j
xx
2
jj*jj
xx

===
Vậy: Biến đổi Fourier của hm tự tơng quan sẽ bằng phổ mật độ năng lợng của tín
hiệu.

2
jj
xx
j
xx

)e(X)e(S)e(R

== (3.3.17)
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

49
Quan hệ (3.3.17) gọi l định lý Weiner - Khintchine. Định lý ny có ý nghĩa rất
quan trọng v nó chứng tỏ rằng dãy tự tơng quan v phổ mật độ năng lợng có chứa cùng
một thông tin về tín hiệu. Tuy vậy, cả hai đều không chứa thông tin về pha, do vậy việc
phục hồi tín hiệu từ hm tự tơng quan hoặc phổ mật độ năng lợng không l duy nhất.
Đối với biến đổi Fourier của hm tơng quan chéo ta còn gọi
)e(R
j
xx
21

l phổ mật
độ năng lợng chéo của x
1
(n) v x
2
(n), ký hiệu l
)e(S
j
xx
21

)e(X)e(X)e(S)e(R
j*
2
j
1
j
xx
j
xx
2121

=
(3.3.18)

Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) l thực. Tính giá trị của hm tự tơng quan của x(n) tại n = 0
v nhận xét về kết quả.

Giải:
Theo định nghĩa hm tự tơng quan ta có:



=
=
m
xx
)nm(x)m(x)n(r
Tại n = 0:

x
m
2
m
xx
E)m(x)m(x)m(x)0(r ===


=

=

Theo công thức biến đổi Fourier ngợc ta có:







de)e(R
2
1
)n(r
njj
xxxx


=

d)e(R
2
1
)0(r
j
xxxx


=

Theo giả thiết x(n) l thực, nên:






d)e(X
2
1
)0(r
2
j
xx

=

Cuối cùng ta có:






d)e(X
2
1
)m(x)0(rE
2
j
m
2
xxx




=
===

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

50
III.10. Tổng kết các tính chất của biến đổi Fourier với tín hiệu rời rạc

Tính chất Miền biến số tự nhiên n
Miền tần số liên tục

FT v IFT


=





de)e(X
2

1
)n(x
njj



=

=
n
njj
e)n(x)e(X


Tuyến tính ax
1
(n) + bx
2
(n)
aX
1
(e
j

) + bX
2
(e
j

)

Tính chất trễ x(n - n
0
)
)e(Xe
j
nj
0




Đối xứng





x(n) thực





X
*
(e
j

) = X(e
-j

)
Re[X
*
(e
j

)] = Re[X(e
-j

)]
Im[X
*
(e
j

)] = -Im[X(e
-j

)]
)e(X)e(X
jj


=
arg[X
*
(e
j

)] = -arg[X(e
-j

)]
Liên hợp phức x
*
(n)
X
*
(e
j

)
Biến số đảo x(-n)
X(e
-j

)
Tích chập x
1
(n)*x
2
(n)
X
1
(e
j

). X
2

(e
j

)
Tích số


x
1
(n).x
2
(n)








'd)e(X)e(X
2
1
'j
2
)'(j
1

Vi phân trong miền

nx(n)


d
)e(dX
j
j

Trễ tần số
)n(xe
nj
0

)e(X
)(j
0



Điều chế


x(n) cos
0
n
)e(X
2
1
)e(X

2
1
)(j)(j
00

+
+

Quan hệ Farseval






=
n
*
21
)n(x).n(x


=
n
2
)n(x

d)e(X)e(X
2
1
j
1
j*
2






d)e(X
2
1
2
j



Tơng quan


=
=
m

21xx
)nm(x)m(x)n(r
21

r
xx
(n)

X
1
(e
j

). X
2
(e
-j

)

2
jj
xx
j
xx
)e(X)e(S)e(R

==

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

51
IV. Định lý lấy mẫu
Để có thể áp dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu số trong việc xử lý các tín hiệu tơng
tự thì điều cơ bản đầu tiên l cần chuyển đổi các tín hiệu tơng tự thnh dãy các số. Quá
trình ny đợc thực hiện bằng cách lấy mẫu tín hiệu tơng tự theo chu kỳ. Nếu gọi tín
hiệu tơng tự l x
a
(t), x(n) l tín hiệu rời rạc theo thời gian thu đợc sau quá trình lấy
mẫu, T l chu kỳ lấy mẫu thì:
x(n) = x
a
(nT) với - < n < (3.4.1)
Quan hệ (3.4.1) mô tả quá trình lấy mẫu trong miền thời gian. Để quá trình lấy
mẫu không lm mất mát thông tin của phổ tín hiệu (không gây ra hiện tợng trùng phổ )
thì tần số lấy mẫu F
s
= 1/T phải có giá trị đủ lớn. Khi điều ny đợc đảm bảo thì tín hiệu
tơng tự có thể đợc khôi phục chính xác từ tín hiệu rời rạc theo thời gian.
Nếu x
a
(n) l tín hiệu không tuần hon với năng lợng hữu hạn, thì phổ của nó có

thể đợc xác định bởi quan hệ của biến đổi Fourier :





= dte)t(x)F(X
Ft2j
aa

(3.4.2)
Ngợc lại, tín hiệu x
a
(t) có thể đợc khôi phục từ phổ của nó qua biến đổi Fourier
ngợc:




= dte)F(X)t(x
Ft2j
aa

(3.4.3)
ở đây, việc sử dụng tất cả các thnh phần tần số trong khoảng :- < F < l cần
thiết để có thể khôi phục đợc tín hiệu x
a
(t) nếu tín hiệu ny có dải tần vô hạn.
Phổ của tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) nhận đợc bằng cách lấy mẫu của x
a

(t),
đợc biểu diễn qua phép biến đổi Fourier nh sau:



=

=
n
nj
e)n(x)(X


(3.4.4)
hoặc :


=

=
n
fn2j
e)n(x)f(X

(3.4.5)
Ngợc lại, dãy x(n) có thể đợc khôi phục lại từ X() hoặc từ X(f) qua biến đổi
ngợc:

==
2
1
2
1
fn2jnj
dfe)f(Xde)(X
2
1
)n(x






(3.4.6)
Từ quan hệ giữa chu kỳ lấy mẫu T, các biến độc lập t v n:

s
F
n
nTt ==
(3.4.7)
Thay vo (3.4.2), ta suy ra quan hệ tơng ứng trong miền tần số của các biến tần số
F v f giữa X
a
(t) v X(f) v ngợc lại:

= dFe)F(X)nT(x)n(x
s
F
F
n2j
aa

(3.4.8)
Từ (3.4.6) v (3.4.8) ta có hệ thức quan hệ:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

52





= dFe)F(Xdfe)f(X
s
F
F
n2j
a
2

1
2
1
fn2j


(3.4.9)
Khi quá trình lấy mẫu đợc thực hiện tuần hon thì:

s
F
F
f =
(3.4.10)
Khi đó, hệ thức (3.4.9) trở thnh:





= dFe)F(XdFe)
F
F
(X
F
1
s
s
s
s

F
F
n2j
a
2
F
2
F
F
F
n2j
ss

(3.4.11)
Biến đổi biểu thức thuộc vế phải của (3.4.11), ta có:




=
+



=
k
F)
2
1
k(

F)
2
1
k(
F
F
n2j
a
F
F
n2j
a
s
s
ss
dFe)F(XdFe)F(X

(3.4.12)
Thực hiện việc đổi biến trong (3.4.12) v sử dụng tính chất tuần hon của hm mũ:

ss
s
F
F
n2j
F
)kFF(
n2j
ee

=

sẽ cho ta: X
a
(F) trong khoảng tần số (k-1/2)F
s
đến (k+1/2)F
s
sẽ hon ton tơng ứng với
X
a
(F - kF
s
) trong khoảng -F
s
/2 đến F
s
/2. Từ đó, ta có:








=

=


=
+







=
=
2
F
2
F
F
F
n2j
k
sa
k
2
F
2
F
F
F

n2j
sa
k
F)
2
1
k(
F)
2
1
k(
F
F
n2j
a
s
s
s
s
s
s
s
s
s
dFe)kFF(X
dFe)kFF(XdFe)F(X


(3.4.13)
So sánh (3.4.6) v (3.4.13) ta đợc:

=
=








k
sas
s
)kFF(XF
F
F
X (3.4.14)
hoặc:
[]


=
=
k
sas
F)kf(XF)f(X (3.4.15)
Các hệ thức (3.4.14) v (3.4.15) đa ra mối quan hệ giữa phổ X(F/F

s
) hoặc X(f) của
tín hiệu rời rạc theo thời gian v phổ X
a
(F) của tín hiệu tơng tự. Thực chất, vế phải của
hai biểu thức ny l sự lặp lại có chu kỳ của phổ đã đợc lấy tỷ lệ X
a
(F) với chu kỳ F
s
.
Xét quan hệ (3.4.14) v (3.4.15) với các tần số lấy mẫu có giá trị khác nhau. Để
thực hiện điều ny, ta xét với ví dụ l một tín hiệu tơng tự với bề rộng phổ hữu hạn. Tín
hiệu ny đợc mô tả trên hình (3.4a). Phổ của tín hiệu sẽ bằng không khi F B.
Nếu chọn tần số lấy mẫu F
s
2B thì phổ X(F/F
s
) của tín hiệu rời rạc sẽ có dạng
nh trên hình (3.4b). Nh vậy, nếu tần số lấy mẫu F
s
đợc chọn sao cho F
s
2B, với 2B l
tần số Nyquist thì:

)F(XF
F
F
X
as

s
=








(3.4.16)
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

53
trong trờng hợp ny hiện tợng trùng phổ sẽ không xảy ra v vì vậy, trong miền giới hạn
của tần số cơ bản F F
s
/2 hoặc f 1/2, phổ của tín hiệu rời rạc sẽ đồng nhất với phổ
của tín hiệu tơng tự.
Nếu chọn tần số lấy mẫu F
s
< 2B thì trong công thức xác định

s
F
F
X
, do có sự lặp
lại có chu kỳ của X
a
(F) nên sẽ phát sinh hiện tợng trùng phổ, nh mô tả trên hình (3.4c).
Khi đó phổ








s
F
F
X
của tín hiệu rời rạc theo thời gian sẽ có chứa các thnh phần với các
tần số nhầm lẫn của phổ tín hiệu tơng tự X
a
(F), vì vậy việc khôi phục chính xác tín hiệu
gốc từ các mẫu sẽ không thể thực hiện đợc.

Hình 3.4. Mô tả sự lấy mẫu tín hiệu có bề rộng phổ hữu hạn v sự trùm phổ.

Trong trờng hợp không có hiện tợng trùng phổ, tín hiệu gốc x
a
(n) có thể đợc
khôi phục lại một cách chính xác từ các mẫu x(n):

>









=
2
F
F0
2
F
F
F
F
X
F
1
)F(X
s
s
ss
a

(3.4.17)
Theo phép biến đổi Fourier thì:



=

=








n
F
n
F2j
s
s
e)n(x
F
F
X


v biến đổi ngợc Fourier sẽ cho ta x
a

(t) từ phổ của nó X
a
(F):
T
n
x
(n)
(c
)

X(F/F
s
)
-F
s
F
s

F
T
n
x
(n)
(b)
X(F/F
s
)
-F
s
F

s
F
s
/2
-F
s
/2
F
S
X
a
(F) F
S
X
a
(F+F
s
)
F
S
X
a
(F-F
s
)
F
t
x
a
(t)

(a)
X
a
(F)
B
-B
F
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

54

()
dFeFX)t(x
Ft2j
2
F
2
F
aa
s
s



=

Giả sử F
s

= 2B, thay vo các hệ thức trên, ta đợc:

)18.4.3(
)nTt)(T/(
)nTt)(T/sin(
)nT(x
dFe)n(x
F
1
xdFee)n(x
F
1
)t(x
n
a
2
F
2
F
)
F
n
t(F2j
n
s
Ft2j
2
F
2
F

n
F
n
F2j
s
a
s
s
s
s
s
s






=



=


=



=

=






=







Công thức (3.4.18) có chứa hm:

Bt2
Bt2sin
t)T/(
t)T/sin(
)t(g




== (3.4.19)
đợc dịch bởi các lợng nT, n = 0, 1, 2, 3, v đợc nhân với các mẫu tơng ứng x
a
(nT)

của tín hiệu rời rạc. Công thức (3.4.19) đợc gọi l công thức nội suy v đợc dùng để khôi
phục tín hiệu liên tục x
a
(t) từ các mẫu, còn hm g(t) trong (3.4.19) đợc gọi l hm nội suy.
Vì tại t = kT thì hm nội suy g(t-kT) sẽ có giá trị bằng không, ngoại trừ k = n; Do đó giá trị
của x
a
(t) tại các thời điểm t = kT sẽ chính l mẫu x
a
(kT). ở tất cả các thời điểm còn lại, giá
trị của x
a
(t) sẽ bằng giá trị của hm nội suy sau khi đã lấy tỷ lệ với x
a
(nT).
Công thức (3.4.19) dùng để khôi phục tín hiệu liên tục x
a
(t) từ các mẫu, đợc gọi l
công thức nội suy lý tởng v l cơ sở của định lý lấy mẫu.

Phát biểu định lý lấy mẫu
Tín hiệu liên tục theo thời gian có bề rộng phổ hữu hạn với tần số cao nhất B(Hz)
có thể đợc khôi phục một cách duy nhất từ các mẫu, nếu quá trình lấy mẫu đợc thực
hiện với tốc độ F
s
2B trên 1 giây.