Xử lý tín hiệu số - Chương 4 doc

Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

71
chơng 4
phép biến đổi Fourier rời rạc


Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc, X(f), về mặt lý thuyết cho ta
những công thức giải tích gọn và đẹp. Nó đợc sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu
các tín hiệu viết đợc dới dạng giải tích. Tuy nhiên nó có một số hạn chế khi áp
dụng trong thực tế khi chạy chơng trìng máy tính. Cụ thể là:
1. Độ dài tín hiệu số( số mẫu tín hiệu đem phân tích) là vô cùng. Trong khi
độ dài tín hiệu trong thực tế bao giờ cũng là hữu hạn.
2. Biến độc lập f ( tần số) của X(f) là một biến liên tục, trong khi đó việc xử
lý tín hiệu trên máy tính bao giờ cũng phải đợc rời rạc hoá, số hoá.
Do tầm quan trọng to lớn của phép biến đổi Fourier nên ngời ta đã tìm
cách khắc phục các hạn chế trên bằng cách đa nó về dạng thích hợp. Đó là phép
biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu có độ dài hữu hạn và có trục tần số cũng
đợc rời rạc hoá, thờng đợc gọi một cách ngắn gọn là phép biến đổi Fourier
rời rạc, đợc viết tắt trong tiếng Anh là DFT, là một thuật ngữ đợc dùng phổ
biến. Cần phân biệt với tên gọi phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc mà ta
đã nghiên cứu ở chơng 3. Ngoài ý nghĩa về mặt lý thuyết, DFT còn đóng vai trò
rất quan trọng trong thực tế xử lý tín hiệu số do tồn tại cách tính DFT rất hiệu
quả, tốc độ nhanh FFT.

I. lấy mẫu trong miền tần số - biến đổi Fourier rời rạc

Trớc khi nghiên cứu DFT, ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier đối

với dãy tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoàn và từ đó có thể thiết lập
đợc quan hệ giữa biến đổi Fourier đã đợc lấy mẫu với DFT.

I.1. lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục tín hiệu rời rạc
theo thời gian

Xét biến đổi Fourier X(e
j

) hay X() của một tín hiệu không tuần hoàn rời
rạc theo thời gian x(n):



=

=
n
nj
e)n(x)(X
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

72
Giả sử tín hiệu X(
) đợc lấy mẫu tuần hoàn và khoảng cách lấy mẫu là
. Vì X() là tuần hoàn với chu kỳ 2, do vậy chỉ cần xét đến các mẫu đợc lấy
trong miền tần số cơ bản: 0

2 và số lợng mẫu đợc lấy trong khoảng này
là N, thì khoảng cách lấy mẫu là
= 2/N, (hình 4.1).







Hình 4.1. Lấy mẫu tần số của biến đổi Fourier

Xét giá trị của X() tại = 2k/N ta đợc:



=


=

n
N
kn2
j
e)n(x)k
N
2
(X , với k nguyên, k =[0 N-1] (4.1.1)
Nếu chia tổng (4.1.1) thành một số lợng vô hạn các tổng, trong đó mỗi tổng

chứa N phần tử thì ta đợc:




=
+
=



=



=



=


=++
+++=

l
1NlN
lNn
N
kn2

j
1N2
Nn
N
kn2
j
1N
0n
N
kn2
j
1
Nn
N
kn2
j
e)n(x e)n(x
e)n(xe)n(x )k
N
2
(X

Thực hiện việc đổi biến n = n - lN và đổi thứ tự lấy tổng ta đợc:

N
kn2
j
1N
0nl
e)lNn(x)k

N
2
(X



=

=







=

(4.1.2)
Chú ý trong biểu thức trên, đã sử dụng tính chất:

N
kn2
j
kl2j
N
kn2
j
N
)lNn(k2

j
ee.ee







=
=
Ta thấy tín hiệu:


=
=
l
p
)lNn(x)n(x (4.1.3)
nhận đợc do sự xếp chồng của vô số tín hiệu x(n) đặt lệch nhau một chu kỳ N.
Nh vậy, x
p
(n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là N. Do vậy nó có
thể khai triển qua chuỗi Fourier nh sau:
X(

)
2

k

X (k )
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

73



=


=
1N
0k
N
kn2
j
kp
ec)n(x
,với n nguyên: [0 N-1] (4.1.4)
với các hệ số:


=

=
1N
0n
N
kn2
j
pk
e)n(x
N
1
c
,với k nguyên: [0 N-1] (4.1.5)
Từ (4.1.2), (4.1.3) và (4.1.5) ta có:

)k
N
2
(X
N
1
c
k

=
(4.1.6)



=

=
1N
0k
N
kn2
j
p
e)k
N
2
(X
N
1
)n(x
(4.1.7)
Quan hệ (4.1.6) chính là công thức cho phép khôi phục lại tín hiệu tuần
hoàn x
p
(n) từ các mẫu của phổ X(). Tuy nhiên quan hệ này không thể đảm bảo
đợc rằng x(n) hoặc X(
) có thể khôi phục từ các mẫu hay không. Để đảm bảo
điều này, cần phải khảo sát quan hệ giữa x(n) và x
p
(n).
Vì x
p
(n) là tín hiệu nhận đợc do sự xếp chồng của các tín hiệu x(n) đặt

lệch nhau một chu kỳ N. Vì vậy x(n) có thể đợc khôi phục từ x
p
(n) nếu không có
sự trùm thời gian giữa các thành phần của x
p
(n). Điều này đòi hỏi x(n) phải có
độ dài hữu hạn L và phải nhỏ hơn chu kỳ N của x
p
(n). Hình 4.2 mô tả hai trờng
hợp của tín hiệu x
p
(n) ứng với các trờng hợp N > L và N < L.













Hình 4.2. Dy không tuần hoàn x(n) và dy mở rộng x
p
(n).

x(n)

n
L
x
p
(n)
n
L N
N>L
x
p
(n)
n
LN0-N
N< L
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

74
Không làm mất tính tổng quát, ta có thể xem x(n) là một dãy có độ dài hữu
hạn với các giá trị bằng không ngoài khoảng [0 L-1].
Nh vậy ta có:
x(n) = x
p
(n), 0 n N-1
Cuối cùng, phổ của tín hiệu không tuần hoàn rời rạc theo thời gian có độ
dài hữu hạn L có thể khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của nó tại các tần
số

k
= 2k/N nếu N L:





=
0
1Nn0)n(x
)n(x
p
(4.1.8)



=



=
1N
0k
N
kn2
j
e)k
N
2
(X

N
1
)n(x
, với: 0 n N-1 (4.1.9)
và:









=









=


=

=

=


=


1N
0k
n)
N
k2
(j
1N
0k
1N
0n
nj
1N
0k
N
kn2
j
e
N
1
)k
N

2
(Xee)k
N
2
(X
N
1
)(X
(4.1.10)
Tổng của các phần tử trong dấu ngoặc vuông của (4.1.10) biểu diễn công
thức nội suy đợc dịch bởi 2
k/N theo tần số. Đặt:
2
)1N(
j
2
j
2
N
j
2
j
2
j
2
N
j
2
N
j

j
Nj
1N
0k
nj
e
2
sinN
2
N
sin
e
e
ee
ee
N
1
e1
e1
N
1
e
N
1
)(p

=



=


=


==


(4.1.11)
)
N
k2
(p)k
N
2

(X)(X
1N
0k



=


=
, N L (4.1.12)
Nh vậy X(
) có thể đợc xác định thông qua các mẫu )k
N
2
(X

của nó
qua công thức nội suy (4.1.11) và (4.1.12).

II. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hon
II.1. các định nghĩa
a. Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc.
Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn x
p
(n) có chu kỳ N đợc định
nghĩa nh sau:
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK

Photocopyable

75



=


=
1N
0n
kn
N
2
j
pp
e)n(x)k(X
(4.1.13)
Đặt:
N
2
j
N
eW


= thì ta có:
kn
N

2
j
kn
N
eW


= và
kn
N
2
j
kn
N
eW


= (4.1.14)



=
=
1N
0n
kn
Npp
W)n(x)k(X
(4.1.15)
Đây chính là biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc.

Ví dụ:

Cho dãy tuần hoàn x
p
(n) với chu kỳ N = 10, nh sau:







=
9n50
4n01
)n(x
p

Tìm X
p
(k).
Giải:

Dạng của x
p
(n) đợc biểu diễn nh sau:

Hình 4.3. Đồ thị tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N=10.

áp dụng biểu thức (4.1.15) ta có:

k
10
k
10
sin
k
2
k
2
sin
e5
e
k
10
sin
k
2
sin
e1
e1
eW)n(x)k(X
4k
10

j
4k
10
j
k
10
2
j
5k
10
2
j
4
0n
kn
10
2
j
9
0n
kn
10pp


=


=

===








=


=


Đặt:
1
x
p
(n)
n104 5-6 -5
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

76

k
10

k
10
sin
k
2
k
2
sin
5)k(A
p



=
ta có:

[]
)k(j
p
)k(Xargj
pp
4k
10
j
p
e)k(Xe)k(X)k(Ae)k(X
p

===
ở đây:
[
]
)k(Xarg)k(
p
=

)k(A)k(X
pp
=

[
]
{
}
)k(ASgn1
2
k
5
2
)k(
p


+

=
b. Định nghĩa biến đổi Fourier ngợc.
Biến đổi Fourier ngợc đợc định nghĩa nh sau:

=

=
1N
0k
k
N
2
j
pp
e)k(X
N
1
)n(x (4.1.16)
hoặc:



=

=
1N
0k
kn
Npp
W)k(X
N

1
)n(x (4.1.17)

II.2. các tính chất của Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín
hiệu tuần hoàn có chu kỳ n

a. Tính chất tuyến tính.
DFT là một biến đổi tuyến tính, tức là nếu có hai dãy x
1p
(n) và x
2p
(n) là các
dãy tuần hoàn có cùng chu kỳ N và x
3p
(n) là tổ hợp tuyến tính của hai dãy trên:
x
3p
(n) = a.x
1p
(n) + b.x
2p
(n)
thì ta có:
DFT[x
3p
(n)] = X
3p
(k) = a.X
1p
(k) + b.X

2p
(k) (4.1.18)
trong đó: DFT[x
1p
(n)] = X
1p
(k) và DFT[x
2p
(n)] = X
2p
(k)
b. Tính chất trễ.
Nếu x
p
(n) là dãy tuần hoàn có cùng chu kỳ N với DFT[x
p
(n)] = X
p
(k), và
dãy x
p
(n + n
0
) là dãy trễ của x
p
(n) cũng là dãy tuần hoàn chu kỳ N thì:
DFT[x
p
(n+n
0

)] = )k(XW
p
kn
N
0

(4.1.19)
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

77
c. Tính đối xứng
Nếu x
p
(n) là dãy tuần hoàn có cùng chu kỳ N với DFT[x
p
(n)] = X
p
(k) thì:
DFT[x*
p
(n)] = X*
p
(-k) (4.1.20)
Chứng minh:

[]
)k(XW)n(x

W)n(xW)n(x)n(xDFT
p
*
1N
0n
kn
Np
*
*
1N
0n
kn
N
*
p
1N
0n
kn
N
*
p
*
p
=

=
















==



=


=

=

Tơng tự ta cũng có:
DFT[x*

p
(-n)] = X*
p
(k) (4.1.21)
Chứng minh:

[]


=
=
1N
0n
kn
N
*
p
*
p
W)n(x)n(xDFT

đổi biến m = - n ta đợc:

[]


=

=
)1N(

0m
km
N
*
p
*
p
W)m(x)n(xDFT
do tính tuần hoàn chu kỳ N của x
p
(n) và
km
N
W

nên ta có:

[]
)k(XW)m(x)n(xDFT
*
p
*
1N
0m
km
Np
*
p
=

=


=

Và:

[]
{}
[
]
)k(X)k(X
2
1
)n(xReDFT
*
ppp
+=
(4.1.22)

[]
{}
[
]
)k(X)k(X

j2
1
)n(xImDFT
*
ppp
= (4.1.23)

Chứng minh:
x
p
(n) = Re[x
p
(n)] + j .Im[x
p
(n)]
x*
p
(n) = Re[x
p
(n)] - j .Im[x
p
(n)]

[]
[
]
)n(x)n(x
2
1
)n(xRe

*
ppp
+=

[]
{}
[
]
[
]
)k(X)k(X
2
1
W)n(x)n(x
2
1
)n(xReDFT
*
pp
kn
N
1N
0n
*
ppp
+=+=


=

Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

78
và:

[]
[
]
)n(x)n(x
j2
1
)n(xIm
*
ppp
=


[]
{}
[
] []
)k(X)k(X
j2
1
W)n(x)n(x
j2
1

)n(xImDFT
*
pp
kn
N
1N
0n
*
ppp
==


=

d. Tích chập tuần hoàn
Công thức tích chập đợc trình bày trong chơng 1:



=
==
m
21213
)mn(x)m(x)n(x*)n(x)n(x
đợc gọi là tích chập tuyến tính. Đối với tích chập này các dãy là bất kỳ. Tuy
nhiên ở tích chập tuần hoàn, chiều dài các dãy tuần hoàn là vô cùng nhng có các
chu kỳ lặp lại giống nhau, vì thế tổng chỉ lấy trong một chu kỳ. Và ta có định
nghĩa tích chập tuần hoàn nh sau:
Tích chập tuần hoàn của hai dãy tuần hoàn x
1p

(n) và x
2p
(n) là có cùng chu
kỳ N là dãy x
3p
(n) cũng tuần hoàn với chu kỳ N:

()


=
==
1N
0m
p2p1p2
N
p1p3
)mn(x)m(x)n(x*)n(x)n(x (4.1.24)
Xét tích chập tuần hoàn trong miền k:
X
3p
(k) = X
1p
(k). X
2p
(k) (4.1.25)
Chứng minh:

=

=

=

=
=






=
1N
0n
kn
Np2
1N
0m
p1
kn
N
1N
0n
1N
0m
p2p1p3
W)mn(x)m(xW)mn(x)m(x)k(X

đổi biến: l = n - m, n = l + m và vì x
2p
(n) là dãy tuần hoàn có chu kỳ N, nên ta có:

)k(X)k(X
W)l(xW)m(xW)l(x)m(x)k(X
p2p1
1N
0l
kl
Np2
1N
0m
km
Np1
1Nm
ml
)ml(k
Np2
1N
0m
p1p3
=
==


=

=
+

=
+

=

e.Tích của hai dãy
Nếu ta coi tích của hai dãy tuần hoàn x
1p
(n) và x
2p
(n) có cùng chu kỳ N là
dãy x
3p
(n) cũng tuần hoàn với chu kỳ N:
x
3p
(n) = x
1p
(n).x
2p
(n)
thì ta có:

()


=
==
1N
0m

p2p1p2
N
p1p3
)mk(X)m(X
N
1
)n(X*)n(X)k(X (4.1.26)
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

79
Nh vậy, tích đại số trong miền n thì tơng ứng với tích chập trong miền k.
f. Tơng quan tuần hoàn.
Nếu ta có hai dãy tuần hoàn x
1p
(n) và x
2p
(n) với cùng chu kỳ N thì hàm
tơng quan chéo của chúng sẽ đợc tính toán trên một chu kỳ theo biểu thức sau:



=
=
1N
0m
p2p1xx
)nm(x)m(x)n(r

p2p1
(4.1.27)
Nh vậy, hàm tơng quan chéo của hai dãy cũng là một dãy tuần hoàn với
chu kỳ N.
Xét trong miền k:

)k(X).k(X)k(R
ppxx
p2p1

=
(4.1.28)

III. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dy không tuần
hon có chiều di hữu hạn
III.1. Các định nghĩa
Nh đã đề cập đến trong phần lấy mẫu trong miền tần số, một dãy x(n)
không tuần hoàn và có chiều dài hữu hạn N, ta ký hiệu là x(n)
N
sẽ nhận đợc bằng
cách trích ra một chu kỳ N của dãy tuần hoàn x
p
(n) có chu kỳ N:




><

=

1Nn,0n0
1Nn0)n(x
)n(x
p
N

Để nhận đợc dãy x(n)
N
ta có thể sử dụng một dãy chữ nhật:




><



=
1Nn,0n0
1Nn01
)n(rect
N

và thực hiện tích:
x(n)
N
= x
p
(n).rect
N

(n)
Trong miền k, đối với dãy X(k) có thể đợc xác định nh sau:




><

=
1Nn,0n0
1Nn0)k(X
)k(X
p

và: X(k) = X
p
(k).rect
N
(k)
Hơn nữa, biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N chỉ
tính trong một chu kỳ rồi kết quả đó đợc tuần hoàn hoá từ -
đến + với chu kỳ
N để làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy có chiều dài hữu hạn
N nhng không đợc thực hiện tuần hoàn hoá mà chỉ lấy từ 0 đến N-1.
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

80

Nh vậy, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đối với các dãy không tuần hoàn
có chiều dài hữu hạn N đợc định nghĩa nh sau:
a. Biến đổi Fourier thuận:






><

=


=
1Nn,0n0
1Nk0W)n(x
)k(X
1N
0n
kn
N
(4.3.1)
b. Biến đổi Fourier ngợc:

><

=


=

1Nk,0k0
1Nk0W)k(X
N
1
)n(x
1N
0k
kn
N
(4.3.2)
ở đây ta gọi X(k) là phổ rời rạc của tín hiệu x(n), nếu biểu diễn dới dạng
modun và argument ta có:

)k(j
e)k(X)k(X

=


(k) = arg[X(k)] (4.3.3)
trong đó:
X(k) gọi là phổ rời rạc biên độ và (k) gọi là phổ rời rạc pha.
Ví dụ 1:

Tìm DFT của dãy có chiều dài hữu hạn x(n) sau:
x(n) =
(n)
Giải:

Trớc hết ta chọn chiều dài của dãy, giả sử là N. Vậy dãy x(n) có dạng:






(a) (b)
Hình 4.4. a- Biểu diễn của dy x(n), b- Biểu diễn của phổ rời rạc biên độ

Khi đó X(k) đợc tính nh sau:




><



==


=
1Nk,0k0

1Nk01
W)n()k(X
1N
0n
kn
N

Vậy phổ biên độ rời rạc và phổ pha rời rạc là:

X(k)

k
N-1 21
0
-1
x(n)
n
N-1
2 1
0
-1
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

81

><



=
1Nk,0k0
1Nk01
)k(X

(k) = 0.
Dạng của
X(k) đợc biểu diễn trên hình 4.4b.
Ví dụ 2:

Tìm DFT của dãy có chiều dài hữu hạn x(n) sau, với a < 1:





=
0
1Nn0a
)n(x
n

Giải:

Theo định nghĩa DFT ta có:

=


=
0
1Nk0Wa
)k(X
1N
0n
kn
N
n


()
(
)
k
N
N
k
N
1N

0n
n
k
N
aW1
aW1
aW)k(X


==


=

Vì:
1eeWeW
k2j
kN
N
2
j
kN
N
kn
N
2
j
kn
N
====

()
()
)(j
N
k
N
2
jk
N
2
j
k
N
2
j
N
k
N
2
j
N
k
N

N
e)k(X
k
N
2
cos.a2a1
k
N
2
sin.jak
N
2
cos.a1a1
ae1ae1
ae1a1
ae1
a1
aW1
a1
)k(X






=

+

=

=


=


=

Vậy:
[]
{}
[]
{}
()
ak
N
2
cos.a21
ak
N
2
cos.a21
a1)k(XIm)k(XRe)k(X

2
N
22
+








+


=+=


[]
[]

=














==
k
N
2
cos.a1
k
N
2
sin.a
arctg
k
N

2
cos.a1
k
N
2
sin.a
arctg
)k(XIm
)k(XRe
arctg)(

Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

82
III.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dy
chiều dài hữu hạn

Trong phần I, cho thấy DFT chính là tập hợp N mẫu {X( 2
k/N)} của biến
đổi Fourier X(
) của dãy {x(n)} với độ dài hữu hạn L N. Việc lấy mẫu của
X(
) đợc thực hiện tại N tần số cách đều nhau và thông qua N mẫu. Và ta đã có
đợc DFT, IDFT của dãy x(n). Trong phần này ta sẽ xét một số tính chất quan
trọng của DFT. Ngoại trừ một số tính chất riêng, về cơ bản các tính chất này cũng
giống các tính chất của biến đổi Fourier. Các tính chất của DFT có một vai trò rất
quan trọng khi giải quyết các bài toán trong thực tế.

a. Tính chất tuyến tính
DFT là một biến đổi tuyến tính, tức là nếu ta có hai dãy chiều dài hữu hạn
x
1
(n) và x
2
(n) và dãy x
3
(n) là tổ hợp tuyến tính của hai dãy này, thì:
X
3
(k) = a.X
1
(k) + b.X
2
(k) (4.3.4)
Chú ý: nếu chiều dài của dãy x
1
(n) và x
2
(n) khác nhau thì ta phải chọn chiều dài
của dãy x
3
(n) nh sau:
L[x
3
(n)] = N
3
= max[N

1
, N
2
]
và tất cả các DFT[x
1
(n)], DFT[x
2
(n)] và DFT[x
3
(n)] đều phải tính trên N
3
mẫu.

b. Trễ vòng
Trớc hết ta xét hai ví dụ sau nhằm so sánh trễ tuyến tính và trễ tuần hoàn:
Ví dụ 1.
Cho dãy x(n) sau:







=
0
4n0
4
n

1
)n(x

Tìm trễ tuyến tính x(n-2) và x(n+2)

Giải:
Ta giải bằng phơng pháp đồ thị nh hình sau:






n
n
x(n)
0
1
2 1 3 4
x(n+2)
n
0
1
21 -1 -2 -3
0,5
x(n-2)
0
1
2
1

3 4
5 6
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

83
Ví dụ 2.
Cho dãy x
p
(n) tuần hoàn với chu kỳ N = 4 sau:







=
0
4n0
4
n
1
)n(x
p

Tìm trễ tuần hoàn x
p

(n-2) và x
p
(n+2) sau đó lấy ra một chu kỳ của các dãy này.

Giải: Ta giải bằng phơng pháp đồ thị nh hình sau:

x
p
(n)
n 0
1
21 3 4
x
p
(n-2)
n 0
1
21 3 4
x
p
(n+2)
n 0
1

21 3 4
x(n-2)
N
n 0
1
21 3 4
x(n+2)
N
n 0
1
21 3 4
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

84

ở đây ta dùng các ký hiệu:
x(n
n
0
): Trễ tuyến tính
x
p
(n n
0
): Trễ tuần hoàn chu kỳ N
x(n
n

0
)
N
: Trễ vòng với chiều dài N
Qua hai ví dụ trên ta thấy:
Nếu trích ra một chu kỳ (từ 0 đến N-1) của trễ tuần hoàn chu kỳ N thì ta sẽ
đợc trễ vòng x(n
n
0
)
N
, so sánh với trễ tuyến tính x(n n
0
) thì ta thấy rằng nếu
các mẫu của trễ tuyến tính vợt ra ngoài khoảng [0, N-1] thì nó sẽ vòng vào bên
trong khoảng đó để sao cho dãy có chiều dài hữu hạn x(n)
N
xác định trong khoảng
[0, N-1] thì trễ vòng của nó x(n
n
0
)
N
xác định trong khoảng [0, N-1] chứ không
đợc vợt ra ngoài khoảng đó.
Vậy trễ vòng tơng ứng với việc hoán vị vòng các mẫu của dãy x(n)
N
trong
khoảng [0, N-1] và đợc biểu diễn nh sau:
x(n) = x(n)

N
= x
p
(n).rect
N
(n)
x(n
n
0
)
N
= x
p
(n n
0
)rect
N
(n) (4.3.5)
Bản chất của trễ vòng có thể đợc minh hoạ nh sau:

x(n)

x(n)
4
n0
1
21 3-1
n0
1
-1
x(n-2)

n0
1
-1
x(n-2)
4
=x(n)
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

85

Để xác định trễ vòng trong miền k, do tính đối ngẫu nên trong miền k trễ
vòng cũng có bản chất tơng tự nh trong miền n, tức là:
X(k) = X
p
(k).rect
N
(k)
X(k - n
0
)
N
= X
p
(k - n
0
).rect
N
(k) (4.3.6)
và:

[]
)k(XW)nn(xDFT
0
kn
NN0
= (4.3.7)
trong đó: DFT[x(n)] = X(k)

Chứng minh:

Ta có:
[]
)k(XW)nn(xDFT
p
kn
NN0p
0
=
Nếu cả hai vế ta đều lấy ra một chu kỳ [0, N-1]:
x(n - n
0
)
N
= x
p
(n - n
0
).rect
N
(n)

X(k) = X
p
(k ).rect
N
(k)
Vậy ta có:
[]
)k(XW)nn(xDFT
0
kn
NN0
=


c. Tính đối xứng
Tính đối xứng của DFT có thể nhận đợc bằng cách áp dụng phơng pháp
đã đợc sử dụng đối với biến đổi Fourier. Trong trờng hợp tổng quát, dãy x(n)
có chiều dài hữu hạn N và DFT của nó đều có giá trị phức. Khi đó, các dãy này có
thể đợc biểu diễn dới dạng:
x(n) = Re[x(n)] +j .Im[x(n)]
và X(k) = Re[X(k)] +j .Im[X(k)]
X
*
(k) = X(-k) = Re[X(k)] -j .Im[X(k)]
x(1)
x(2)
x(3)
x(0)0
1
2

x(2)
x(3)
x(0)0
2
3
x(1)
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

86
Từ các biến đổi Fourier thuận và nghịch (DFT, IDFT) ta có:

[] [] []


=







+

=
1N
0n

N
kn2
sin)n(xIm
N
kn2
cos)n(xRe)k(XRe
(4.3.8)

[] [] []


=









=
1N
0n
N
kn2
cos)n(xIm
N
kn2
sin)n(xRe)k(XIm

(4.3.9)
và

[] [] []


=









=
1N
0k
N
kn2
sin)k(XIm
N
kn2
cos)k(XRe
N
1
)n(xRe
(4.3.10)

[] [] []


=







+

=
1N
0k
N
kn2
cos)k(XIm
N
kn2
sin)k(XRe
N
1
)n(xIm
(4.3.11)

Dy có giá trị thực:
Nếu x(n) là dãy thực thì ta có:
X(N- k) = X

*
(k) = X(-k) (4.3.12)
X(N- k)=X(k) và arg[X(N-k)] = - arg[X(k)]
và x(n) còn đợc xác định theo (4.3.10), là một dạng khác của IDFT.

Tín hiệu chẵn và thực:
Nếu x(n) là dãy chẵn và thực, thì ta có:
x(n) = x(- n) = x(N-n) (4.3.13)
Từ hệ thức (4.3.10) ta có Im[X(k)] = 0 và do vậy DFT trở thành:



=

=
1N
0n
N
kn2
cos)n(x)k(X
(4.3.14)
là một dãy chẵn. Do Im[X(k)] = 0 nên IDFT trở thành:



=

=
1N
0k

N
kn2
cos)k(X
N
1
)n(x
(4.3.15)

Tín hiệu lẻ và thực:
Nếu x(n) là dãy lẻ và thực, thì ta có:
x(n) = -x(- n) = -x(N-n) (4.3.16)
Từ hệ thức (4.3.10) ta có Re[X(k)] = 0 và do vậy DFT trở thành:



=

=
1N
0n
N
kn2
sin)n(xj)k(X
(4.3.17)
là một dãy lẻ, phức thuần tuý. Và do đó, IDFT trở thành:

[]


=

=

=

=
1N
0k
1N
0k
N
kn2
sin)k(X
N
1
j
N
kn2
sin)k(XIm
N
1
)n(x
(4.3.18)
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

87

Dy phức thuần tuý:

[] []


=

=
1N
0n
N
kn2
sin)n(xIm)k(XRe
(4.3.19)

[] []


=

=
1N
0n
N
kn2
cos)n(xIm)k(XIm
(4.3.20)
Nếu Im[x(n)] là lẻ thì Im[X(k)] = 0 và do vậy X(k) là thực thuần tuý. Nếu
Im[x(n)] là chẵn thì Re[X(k)] = 0 và do vậy X(k) là phức thuần tuý.

d. Tích chập vòng.
Giả sử x
1
(n) và x
2
(n) là hai dãy có độ dài hữu hạn N với các DFT tơng ứng
là:



=

=
1N
0n
N
k
n2j
11
e)n(x)k(X
và


=

=
1N
0n
N
k

n2j
22
e)n(x)k(X

Gọi X
3
(k) là tích của hai DFT trên: X
3
(k) = X
1
(k). X
2
(k); Là DFT của x
3
(n).
Ta sẽ tìm quan hệ giữa x
3
(n) với x
1
(n) và x
2
(n).
Biến đổi Fourier ngợc của X
3
(k) là:

[]

=












=
==




=


=

=

=

=


=


=


=

1N
0k
N/k)lnm(2j
1N
0l
2
1N
0n
1
1N
0k
N/mk2j
1N
0l
N
k
l2j

2
1N
0n
N/nk2j
1
1N
0k
N/mk2j
21
1N
0k
N/mk2j
33
e)l(x)n(x
N
1
ee)l(xe)n(x
N
1
e)k(X).k(X
N
1
e)k(X
N
1
)m(x
(4.3.21)
Trong đó, tổng biểu diễn bởi biểu thức trong ngoặc vuông của (4.3.21) có giá trị:

()()

=+=
=


=

Other0
nmpNnmlN
e
N
1N
0k
N/k)lnm(2j

Thay vào (4.3.21) ta đợc:

()
1N ,2,1,0m)nm(x)n(x)m(x
N
2
1N
0n
13
==


=

(4.3.22)
Biểu thức (4.3.22) có dạng của một tích chập. Tuy vậy, đây không phải là
một tích chập biểu diễn quan hệ giữa đáp ứng và kích thích của hệ thống tuyến
tính bất biến. Trong tích chập này, có chứa chỉ số (m-n)
N
đặc trng cho tính dịch
vòng, vì vậy công thức (4.3.22) đợc gọi là tích chập vòng. Nh vậy tích các DFT
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

88
của hai dãy sẽ tơng đơng với tích chập vòng của hai dãy trong miền biến số độc
lập tự nhiên n.
Ví dụ
: Tích tích chập vòng của hai dãy sau:







=

1212)n(x
1
và

=

4321)n(x
2

Giải:

Để tính tích chập vòng của hai dãy, ta sẽ tiến hành qua hai phơng pháp
sau:
PP1: Sử dụng các phép biến đổi DFT và IDFT.
Ta có:

=

=+++==
3
0n
2/k3jkj2/kj4/nk2j
11
)3,2,1,0k(,ee.2e2e)n(x)k(X
X
1
(0) = 6; X
1
(1) = 0; X

1
(2) = 2; X
1
(3) = 0.

=

=+++==
3
0n
2/k3jkj2/kj4/nk2j
22
)3,2,1,0k(,e.4e.3e.21e)n(x)k(X
X
2
(0) = 10; X
2
(1) =-2 + j .2; X
2
(2) = -2; X
2
(3) = -2 - j .2.
X
3
(0) = 60; X
3
(1) = 0; X
3
(2) = - 4; X
3

(3) = 0.
theo định nghĩa biến đổi Fourier ngợc ta có:


=

===
3
0k
nj4/nk2j
33
)3,2,1,0n(),e460(
4
1
e)k(X
4
1
)n(x
x
3
(0) = 14; x
3
(1) = 16; x
3
(2) = 14; x
3
(3) = 16.
PP2: Mô tả các mẫu của từng dãy thông qua các điểm trên hai vòng tròn khác
nhau. Cách mô tả này nh thể hiện trên hình 4.5a, chiều dơng đợc quy ớc là
ngợc chiều kim đồng hồ.

+. Với m = 0, ta có:

=
=
3
0n
4213
))n((x)n(x)0(x
Hình 4.5b mô tả vị trí các mẫu của dãy biến số đảo x((-n))
4
trên đờng tròn.
Các vị trí này nhận đợc bằng cách vẽ các điểm mẫu theo chiều âm; và ta nhận
đợc: x
3
(0) = 14.
+. Với m = 1, ta có:

=
=
3
0n
4213
))n1((x)n(x)0(x
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

89
Dãy x

2
((1-n))
4
nhận đợc bằng cách quay các điểm của x
2
((-n))
N
đi một
đơn vị thời gian theo chiều dơng, hình 4.5c mô tả vị trí các mẫu của dãy biến số
đảo x
2
((1-n))
4
trên đờng tròn, và nhận đợc: x
3
(1) = 16.
Tơng tự, (các hình 4.5d và e) ta cũng xác định đợc các giá trị các mẫu
còn lại: x
3
(2) = 14 và x
3
(3) = 16.

x
2
(0) =1
x
1
(2) =2
x
1

(3) =1
x
1
(0) =2
x
1
(1) =1
x
2
(1) =2
x
2
(2) =3
x
2
(3) =4
x
2
(n)
x
1
(n)
2
x
2
(2) =3
x
2
(1) =2
x

2
(0) =1
x
2
(3) =4
4
6
2
x
1
(n)x
2
((-n))
4

x
2
((-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo
4
x
2
(3) =4
x
2
(2) =3
x

2
(1) =2
x
2
(0) =1
1
8
3
x
1
(n)x
2
((1-n))
4

x
2
((1-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo quay 1 đơn vị
3
x
2
(0) =1
x
2
(3) =4
x

2
(2) =3
x
2
(1) =2
4
1
8
x
1
(n)x
2
((2-n))
4

x
2
((2-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo quay 2 đơn vị
4
x
2
(1) =2
x
2
(0) =1
x

2
(3) =4
x
2
(2) =3
6
2
2
x
1
(n)x
2
((3-n))
4

x
2
((3-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo quay 3 đơn vị
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK

Photocopyable

90

Hình 4.5. Tích chập vòng của hai dy.

IV. Hiệu ứng hạn chế độ di tín hiệu để phân tích Fourier

Ta đã biết rằng một tín hiệu có độ dài hữu hạn N có thể đợc biểu diễn một
cách đầy đủ thông qua phép biến đổi Fourier rời rạc DFT. Tuy vậy, khi các tín
hiệu có độ dài quá lớn hoặc vô hạn thì việc xác định biến đổi Fourier rời rạc của
nó là không thể thực hiện đợc. Trong trờng hợp này, ta cần lấy một đoạn thích
hợp nhất của tín hiệu với một độ dài cho phép để thực hiện biến đổi DFT. Khi đó
rõ ràng rằng phơng pháp DFT chỉ cho ra một kết quả xấp xỉ của tín hiệu. ở đây,
ta xem xét vấn đề hạn chế độ dài của tín hiệu và các hiệu ứng phát sinh do việc sử
dụng phơng pháp DFT đối với dãy đã đợc hạn chế về độ dài.
Nếu tín hiệu cần phân tích là tín hiệu tơng tự thì trớc tiên tín hiệu này
cần đợc chuyển qua bộ lọc để loại bỏ các nhiễu (hoặc các thành phần của tần số
không cần thiết) và sau đó đợc lấy mẫu với tần số F
s
2B, với B là độ rộng của
dải thông. Nh vậy tần số cao nhất của hài thành phần có chứa tín hiệu khi lấy
mẫu là F
s
/2. Để có thể hạn chế độ dài của tín hiệu đã đợc lấy mẫu, giả sử chỉ xét
tín hiệu trong một khoảng thời gian hữu hạn T
0
= NT, trong đó N là số lợng mẫu
và T là khoảng thời gian giữa hai lần lấy mẫu (chu kỳ lấy mẫu). Khoảng thời gian
lấy mẫu này về nguyên tắc sẽ hạn chế độ phân giải về tần số; nghĩa là nó sẽ hạn

chế khả năng phân biệt đối với các thành phần tần số mà khoảng cách giữa chúng
nhỏ hơn 1/ T
0
= 1/NT trong miền tần số.
Giả sử rằng
{x(n)} là tín hiệu cần phân tích. Có thể thấy việc giới hạn độ
dài của dãy
{x(n)} với N mẫu trong khoảng n
0
n n
0
+ N-1 , sẽ tơng đơng với
việc nhân tín hiệu này với một hàm cửa sổ với độ dài N (để đơn giản, từ đây ta coi
n
0
= 0, khi đó các kết quả với n
0
<> 0 sẽ nhận đợc bằng cách áp dụng tính chất
trễ và dịch chuyển. Và khi đó khoảng xác định của N mẫu sẽ là: 0


n

N-1).
Nghĩa là:
Trong đó

==
n0
1Nn0)n(x
)n(w)n(x)n(x
N

Việc nhân tín hiệu với hàm cửa sổ theo thời gian tơng đơng với việc lấy
tích chập phổ của tín hiệu x(n) với phổ của cửa sổ:
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

91

)e(W*)e(X'd)e(W)e(X
2
1
)e(X
jj)'(j'jj
N




=

=


trong đó: X
N
(e
j

), X(e
j

) và W(e
j

) là các biến đổi Fourier tơng ứng của x
N

Với tín hiệu x
N
(n), chúng ta có thể áp dụng DFT vì nó có chiều dài hữu
hạn. Các hệ số X
N
(e
j

) của DFT lúc này sẽ biểu diễn gần đúng cho các mẫu của
X(e
j

). Để đánh giá mức độ xấp xỷ, chúng ta phải đánh giá tích chập trên đây,

theo từng kiểu cửa sổ quan sát.
Vấn đề thứ hai là số lợng mẫu N đợc chọn nh thế nào và vị trí cửa sổ
đặt ở đâu (tức là tìm n
0
), cũng nh mức độ ảnh hởng của hàm cửa sổ đã chọn.
Để chọn vị trí cửa sổ, ta phải cần biết cụ thể thêm về tín hiệu cần phân tích.
Nói chung, nguyên tắc chọn vị trí cửa sổ (chọn n
0
) sao cho cửa sổ bao trùm lên
phần quan trọng của tín hiệu và bỏ qua những đoạn tín hiệu có biên độ nhỏ không
đáng kể.
Ví dụ tín hiệu có dạng:
x(n) = a
|n|

với a<1
thì các mẫu có biên độ lớn tập trung ở gốc toạ độ. Bởi vậy cửa sổ cần đặt xung
quanh gốc toạ độ.

a. Hàm cửa sổ chữ nhật
Hàm cửa sổ chữ nhật đợc biểu diễn nh sau:








==

n0
1Nn01
)n(ctRe)n(w
NR

Trong miền tần số, ta có:

2
1N
j
j
R
e
2
sin
2
N
sin
)e(W





=


b. Cửa sổ tam giác
Trong miền n, cửa sổ tam giác đợc định nghĩa nh sau:
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

92


















=
n0
1Nn
2
1N
1N
n2

1
2
1N
n0
1N
n2
)n(w
T

Trong miền tần số, ta có:

2
sin
2
2
1N
sin
e
1N
2
)e(W
2
1N
j
j
T

=




c. Cửa sổ Hanning và Hamming
Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming đợc định nghĩa nh sau:











=
n0

1Nn0
1N
n2
cos)1(
)n(w
H

- Nếu
= 0,5 ta có cửa sổ Hanning nh sau:










=
n0
1Nn0
1N
n2
cos5,05,0
)n(w
Han

- Nếu
= 0,54 ta có cửa sổ Hamming nh sau:

=
n0
1Nn0
1N
n2
cos46,054,0
)n(w
Ham


Và trong miền tần số, ta có:

+









+

+

+


=



1N2
sin
1N
N
2
N
sin
2

1
1N2
sin
1N
N
2
N
sin
2
1
2
sin
2
N
sin
e)e(W
2
1N
j
j
H

Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

93

Bởi vì thông qua DFT ta có thể biểu diễn một dãy với độ dài hữu hạn trong miền
tần số qua các tần số rời rạc, do đó DFT có thể đợc sử dụng nh một công cụ
tính toán trong việc phân tích các hệ thống tuyến tính và đặc biệt cho các bộ lọc
tuyến tính. Tuy nhiên không thể tínhChúng ta đã biết rằng, khi một hệ thống với
đáp ứng tần số H(
) đợc kích thích bởi tính hiệu đầu vào có phổ là
y(
)=X()H(). Dãy đầu ra y(n) đợc xác định từ phổ của nó thông qua biến đổi
ngợc Fourier .tuyvậy, khi tính toán ,có thể thấy vấn đề nảy sinh khi sử dụng các
phơng pháp trong miền tần số là cả X(
), H() và Y() đều là các hàm liên tục
của biến
vì vậykhông thể sử dụng máy tính số để xử lý bởi ví máy tính chỉ có
thể lu trữ và thực hiện các việc tính toán trên các giá trị rời rạc của tần số .
Có thể thấy DFT rất thích hợp với việc tính toán trên máy tính số và có thể
đợc sử dụng để thực hiện việc lọc tuyến tính trong miền tần số .Mặc dù chúng ta
đa ra các thủ tucf tính toán trong miền thơì gian nh tổng chập ,tuy vậy trong
miền tần số các phơng pháp dựa trên DFT lại tỏ ra hieeuj quả hơn nhiều so với
phơng pháp tổng chập trong miền thời gian dợ tồn tại một loạt thuật toán mới
hiệu quả hơn .Câc thuật toán này đợc gọi là biến đổi nhanh Fourier(FFT) và sẽ
đợc trình bày trong chơng 5.
4.3.1 Sử dung DFT trong lọc tuyến tính
Mặc dù tích của hai DFT sẽ tơng đơng với tổng chập vòng của hai dãy
tơng ứng đợc biểu diễn trong miền thời gian, nhng có thể thấy công thức của
tổng chập vòng lại không dùng đợc trong trơng hợp cần xác định đầu ra của bộ
lọc tuyến tính khi đầu vào chịu sự tác động của tín hiệu. Trong trờng hợp này
cần phải tìm một phơng pháp nào đó trong miền tần số tơng đơng với tổng

chập tuyến tính.
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

94
Giả sử x(n) là dãy có độ dài hữu hạn Lvà đợc tác động lên bộ lọc tuyến
tính với độ dài M. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử :
x(n)=0 n<0 và n
L
h(n)=0 n
0 và nM
ở đây h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR có thể đợc xác định thông qua
tổng chập của x(n) và h(n):



=
=
1
0
)()()(
M
k
knxkhny

Bởi vì x(n) và h(n) là các dãy với dộ dài hữu hạn do vậy tổng chập của
chúng cũng có độ dài hữu hạn. Cụ thể độ dài là L + M-1.
Trong miền tần số, công thức tơng đơng với 4.3.1 sẽ là :

Y(
)=X()H()
Nếu dãy y(n) đợc biểu diễn một cách duy nhất trong miền tần số bằng
cách lấy phổ Y(n) tại các tần số rời rạc phân biệt nhau thì số lợng các mẫu này
phải bằng hoặc lớn hơn L + M-1. Nh vậy để có thể biểu diễn y(n) một cách duy
nhất trong miền tần số thì cần phảI sử dụng DFT với độ dài N
M+L-1.
Sau khi lấy mâũ ta có:
Y(k)
Y()=2k/N, k=0,1,,,N-1
Xk)H
)=2k/N, k=0,1,,,N-1
Và Y(k)=X(k)H(k), k=0,1,,,N-1 (4.3.3)
Trong công thức (4.3.3) thì X(k) và Y(k) là các DFT - N điểm của các dãy
tơng ứng x(n) và y(n) có độ dài hữu hạn nhỏ hơn N do vậy ta chỉ cần thêm các
mẫu không vào các dãy để tăng độ dài của chúng lên N .Việc tăng độ dài của các
dãy sẽ không ảnh hởng đến phổ liên tục X(
) và H) của chúng bởi vì các dãy
này là các dãy tuần hoàn. Tuy vậy, bằng cách này (sử dụng DFT-N điểm) số
lợng mẫu dùng để biểu diễn các dãy trong miền tần số đã vợt quá số lợng nhỏ
nhất (L hoặc M).
Bài giảng Xử lý tín hiệu số

NNK
Photocopyable

95
Bởi vì DFT với độ dài M+L-1 điểm của dãy đầu ra y(n) trong miền tần
số suy ra rằng có thể xác định đợc
{y(n)} thông qua IDFT sau khi đã xác định

tính của các DFT N điểm X(k) và H(k). Nh vậy giống nh điều đã khẳng định
trong phần 4.2.2 có thể kết luận rằng tổng chập vòng N điểm của x(n) và h(n) sẽ
tơng đơng với tổng chập tuyến tính của hai dãy này. Nói một cách khác,bằng
cách tăng độ dài của hai dãy x(n) và h(n) lên N điểm thông qua việc đa thêm các
không và tính tổng chập vòng trên các dãy mới ta sẽ nhận đợc kết quả giống với
trờng hợp sử dụng tổng chập tuyến tính. Từ đây suy ra với các mẫu không đợc
thêm vào thì DFT có thể đợc sử dụng để thực hiện việc lọc tuyến tính.
Ví dụ 4.3.1: Sử dụng IDFT và DFT hãy xác định đáp ứng của bộ lọc tuyến
tính.
H(n) =
{1,2,3}
Khi tín hiệu vào là:
X(n) =
{1,2,2,1 }
Giải: dãy đầu vào có độ dài L=4 và đáp ứng xung có độ dài M=3. Tổng cập
tuyến tính của hai dãy này sẽ cho kết quả với độ dài là N=6. Suy ra rằng, độ dài
của các DFT cần sử dụng ít nhất phảI bằng 6.
ở đây, để đơn giản ta sẽ sử dụng các DFT 8 điểm. DFT 8 điểm của x(n)
sẽ là:
X(k)=
=

=

7
0
8/2
)(
n
knj

enx

1 + 2E
- j

k/4
+ 2e
j

k/2
+2e
j3

k/4
, k=0,1,7
Từ đây suy ra:
X(0) =6 X(1)=
2
22 +
- j








+
2

234

X(2) = - 1-j X(3) =
2
22
- j









2
234

X(4) = 0 X(5) =
2
22
- j

2
234

X(6) = - 1+j X(7) =
2
22 +
+j








+
2
234