Báo cáo khoa học: "Một phương pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phương trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do" potx

Một phơng pháp xác định ma trận
độ cứng trong hệ phơng trình vi phân
dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do

PGS. TS. Lê văn doanh
Bộ môn Đầu máy - Toa xe
Khoa Cơ khí - Trờng ĐHGTVT
ThS. Lê quang hng
Bộ môn Cơ kết cấu
Khoa Công trình - Trờng ĐHGTVT

Tóm tắt: BI báo trình by một phơng pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phơng
trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự do. Đây l phơng pháp có u điểm l đơn giản,
thuận lợi cho quá trình tính toán.
Trên cơ sở phơng pháp ny có thể dễ dng xác định các ma trận khối lợng m v ma
trận quán tính J; ma trận cản của hệ phơng trình vi phân dao động.
Summary: The article presents the method to define hardness matrix in the
system of vibrating differential equations of the free finite system. The advantage of
this method is the simplicity and convenience in calculation process. The mass matrix
[M] and matrix [

] in the system of vibrating equations can similarly be defined.
i. ma trận độ cứng
Chúng ta đã biết phơng trình dao động
của hệ có hữu hạn bậc tự do đợc biểu thị:
[
]
{}
[
]

{
}
[
]
{}
[
]
PqkqqM =+

+
&&&
(1)
trong đó:
- [M] là ma trận khối lợng và mô men
quán tính.
- [
] là ma trận cản
- [k] là ma trận độ cứng
- [P] là ma trận kích động
- {q} là ma trận cột của biên độ tổng quát
ở đây giới thiệu chủ yếu về cách tính ma
trận độ cứng từ đó bằng cách tơng tự có thể
xác định các ma trận [
] và [M].
Một cách tổng quát theo nguyên lý cộng
tác dụng ta có:
q
i
= a
i1

F
1
+ a
i2
F
2
+ a
i3
F
3
++a
in
F
n
trong đó:
- q
i
là biên độ do các lực tổng quát F
1
, F
2
,
F
n
gây ra.
- a
i1
là biên độ theo phơng của q
i
do lực

tổng quát F
1
= 1 gây ra.
- a
i2
là biên độ theo phơng của q
i
do lực
tổng quát F
2
= 1 gây ra.
- a
in
là biên độ theo phơng của q
i
do lực
tổng quát F
n
= 1 gây ra.
Từ đó ta có thể biểu diễn các biên độ
tổng quát q
i
nh sau:

+++=
+++=
+++=
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
Fa FaFaq

Fa FaFaq
Fa FaFaq

viết dới dạng ma trận:
{}
[
]
{}
Faq
=

suy ra:
{}
{
}
[]
1
aqF

=

đặt
[]

[]
Ka
1
=

ta có:
{}
{
}
[
]
KqF =

hay:

=

n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
q

q
q
K KK

K KK
K KK
F

F
F

ở đây:
K
i j
là lực cần thiết theo hớng q
i
khi biên
độ q
j

= 1, các biên độ q q
j
đều bằng không.
Từ đó ta có quy tắc xác định các phần tử
cột bất kỳ nào đó trong ma trận [K] là lấy biên
độ q
i
của cột nào đó trong ma trận bằng 1 còn
các biên độ q q
j
bằng không. Thí dụ xây
dựng cột thứ nhất của ma trận độ cứng [K] cho
q
1
= 1 còn các q
2
, q
3
, , q
n
= 0 khi đó lực cần
thiết để các toạ độ tổng quát (biên độ) q
i
biến
dạng do q
1
= 1 lần lợt là K
11
, K
21

, K
31
, , K
n1
.
II. xác định ma trận độ cứng
a. Khái niệm về ma trận cơ sở - ký
hiệu là [K
v
]
Nếu gọi K
1
, K
2
, , K
m
là độ cứng của m
phần tử đàn hồi trong hệ thống dao động. Gọi
q
1
, q
2
, , q
n
là các
toạ độ tổng quát của
hệ thống.
Khi lấy q
1
= 1

còn các q
i
khác bằng
không thì lực đàn hồi suy rộng sản sinh trên k
1

là k
11
; trên k
2
là k
12
, trên k
n
là k
1n
.
Khi lấy q
n
= 1 còn các q
i
khác bằng
không thì lực trên các phần tử đàn hồi là k
n1
,
k
n2
, , k
nn
.

Ta qui định dấu nh sau: khi phần tử đàn
hồi chịu kéo là ; chịu nén là
\.
Khi đó ta sẽ đợc một ma trận [k
v
] đợc
gọi là ma trận cơ sở mà các phần tử của ma
trận này là các lực đơn vị, và có thể xác định
đợc từ mô hình dao động cụ thể.
Ta có ma trận [k
v
]:
[]














=
'
nn

'
2n
'
1n
'
n2
'
22
1
21
'
n1
'
12
'
'11
v
K KK

K KK
K KK
k

Gọi b
ii
, b
i j
, b
ji
là các hệ số của các phần

tử K
ii
, K
I j
, K
ji
các hệ số này với K
i j
khác
không sẽ có trị số là 1 hoặc -1.
Khi đó quan hệ K
i j
với K
I j
và b
i j
là:
K
11
= K
11
.b
11
+ K
12
b
12
+ + k
1n
b

1n
hay có thể viết:
K
11
= [K
11
K
12
K
1n
][b
11
b
12
b
1n
]
T
Tổng quát các phần tử của đờng chéo:
K
ii
= [K
i1
K
i2
K
in
][b
i1
b

i2
b
in
]
T
Các phần tử khác:
K
12
= [K
11
K
12
K
1n
][b
21
b
22
b
2n
]
T
K
21
= [K
11
K
22
K
2n

][b
11
b
12
b
1n
]
T
.
K
i j
= [K
i1
K
i2
K
in
][b
j1
b
j2
b
jn
]
T
Khi đó ta có ma trận độ cứng viết dới
dạng:

ì














=

nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK

21
22212
12111
''
2
'
1
'
2
'
22
'
21
'
1
'
12
'
11
21
22221
11211

Nhận xét:
- Ma trận
T
nn2n1n
n22221
n11211
nnn2n1
2n2212
1n2111
b bb

b bb
b bb
b bb

b bb
b bb

=















ta gọi là [K
D
]
T
ma trận [K
D
] chính là ma trận hệ số của
ma trận [K
v
].
Từ đây ta rút ra ma trận độ cứng [k] tính
nh sau:
[K] = [K

v
][K
D
]
T
(*)
Để làm rõ hơn cho tính đúng đắn của
công thức (*) chúng ta kiểm tra lại với hệ dao
động có 2 bậc tự do với toạ độ là Z
1
và Z
2
; độ
cứng của hệ đàn hồi là k
1
và k
2
. Khi đó ma
trận độ cứng của hệ phơng trình là:
[]






=

+

=
2221
1211
2121
11
KK
KK
KKK
KK
K

gọi:
- k
ii
là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I
lên toạ độ Z
i
do Z
i
biến dạng 1 đơn vị
(Z
i
= 1).
- k
ij

là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I
lên toạ độ Z
j
do Z
j
biến dạng 1 đơn vị
(Z
j
= 1).
Từ định nghĩa và từ hệ dao động 2 bậc tự
do trên ta có thể xác định ma trận [K
V
] .
[]







=

=
21
1
'
22
'
21
'
12
'
11
V
KK
0K
KK
KK
K

Gọi các hệ số K
ii
và K
I j
là b
ii
và b
i j
khi đó
ta có thể viết đợc:
[][
T

121112111212111111
bb'K'Kb'Kb'KK =+=
]

[]
[
]
T
222122212222212122
bb'K'Kb'Kb'KK =+=

suy ra các phần tử k
i j

K
12
= [k
11
k
12
][b
21
b
22
]
T
K
21
= [k
21

k
22
][b
11
b
12
]
T
khi đó ta có:
[]














=

+

=
2212
2111
21
1
211
11
bb
bb
KK
0K
KKK
KK
K

Dễ dàng tìm đợc:
b
11
= -1; b
12
= 0; b
21
= 1; b
22
= -1
nghĩa là:
[]

T
D
T
2212
2111
K
11
01
10
11
bb
bb
=








=


=

[]
v
21
1

K
KK
0K
=








là ma trận cơ sở.
[
K
D
] là ma trận hệ số của [K
v
]
từ đó ta có:
[
]
[
]
[
]
T
Dv
KKK =

Tơng tự nh vậy chúng ta hoàn toàn có
thể xác định các ma trận [M]; [] trong hệ
phơng trình dao động (1).
[
]
[
]
[
]
[
][][]
T
DV
T
DV
;MMM ==

Phơng pháp trên gọi tắt là phơng pháp
VZ.
III. Kết luận
Sử dụng phơng pháp VZ thiết lập hệ
phơng trình vi phân dao động của hệ có hữu
hạn bậc tự do là đơn giản, nhanh, thuận lợi
trong tính toán.
Phơng pháp trên không những sử dụng
cho hệ tuyến tính mà còn có thể sử dụng đợc
cho một số phơng trình phi tuyến.
Tài liệu tham khảo
[1]. PGS. TS. Lê Văn Doanh. ổn định động lực học
toa xe. Tài liệu giảng dạy cao học.

[2] Nguyễn Văn Khang. Dao động kỹ thuật - NXB
KHKT, 2001.
[3]. versínki c. b. Động lực học toa xe (tiếng
Nga) - NXB Matxcơva, 1999