Báo cáo khoa học: "ứng dụng lý thuyết kalker vào bài toán đi qua đ-ờng cong của đầu máy toa xe" pps

ứng dụng lý thuyết kalker vo bi toán
đi qua đờng cong của đầu máy toa xe

TS. Nguyễn hữu dũng
Bộ môn Đầu máy - Toa xe
Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT

Tóm tắt: Bi báo đa ra phơng pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vo bi toán tính lực dẫn
hớng khi đầu máy toa xe thông qua đờng cong
Summary: This paper presents the applicasion of the Kalkers theorem in determining the
guide forces when railway locomotives run through the curve track.
i. đặt vấn đề
Bài toán tính lực dẫn hớng khi đầu máy
toa xe đi qua đờng cong đã đợc Heumann
một nhà khoa học đờng sắt ngời Đức đề ra
cách giải với những giả thiết để đơn giản hoá
cho nên kết quả thu đợc thờng xa với thực
tế. Tuy vậy cho đến ngày nay do cách giải
đơn giản và kết quả thu đợc mang tính an
toàn cao, đờng sắt nhiều nớc vẫn dùng
phơng pháp này để tính lực dẫn hớng và
dựa vào kết quả đó để quy định vận tốc cho
phép của đầu máy toa xe trên đờng cong.
Một trong những giả thiết đợc dùng trong bài
toán Heumann là mô hình bánh xe và đờng
ray tuyệt đối cứng, bánh xe có mặt lăn hình
trụ, giữa mặt lăn bánh xe và mặt đờng ray
chỉ có ma sát trợt do chuyển động quay của
giá xe khi vào đờng cong gây ra. Giả thiết
này cùng với một số giả thiết khác làm cho bài

toán và phơng pháp giải trở nên đơn giản có
thể thực hiện bằng tay nhờ sự trợ giúp của các
đồ thị trung gian [2]. Phơng pháp lập trình để
giải bài toán này trên máy tính đã đợc giới
thiệu trong bài báo [4] .
Gần đây các nhà khoa học đờng sắt đã
nghiên cứu sâu hơn về mối quan hệ giữa bánh
xe và đờng ray ở chỗ tiếp xúc để thấy đợc
thực chất hiện tợng xảy ra ở đây, đa ra
những mô hình mới gần với thực tế hơn và đề
ra những phơng pháp mới để tính những lực
xuất hiện ở chỗ tiếp xúc này. Một trong những
lý thuyết đã đợc nhiều nhà khoa học đờng
sắt trên thế giới sử dụng trong các công trình
nghiên cứu của mình là mô hình và phơng
pháp tính lực xuất hiện ở chỗ tiếp xúc của
Kalker [1], một nhà khoa học ngời Hà lan.
Ông đã mô hình hoá bánh xe và đờng ray
nh hai vật hình trụ đàn hồi tiếp xúc với nhau,
vết tiếp xúc là hình ellipse hiện tợng xảy ra ở
chỗ tiếp xúc là trung gian giữa trợt và lăn,
các phần tử vật chất của hai vật thể ở chỗ tiếp
xúc vừa lăn vừa trợt, vừa biến dạng đàn hồi
để tiến lên phía trớc. Theo lý thuyết Kalker
các lực xuất hiện ở đây tỉ lệ tuyến tính với các
vận tốc trợt tơng đối theo ba phơng dọc,
ngang và quay xung quanh trục thẳng đứng
nên mô hình là tuyến tính rất thuận lợi cho
việc tính toán:

=

3
2
1
3323
2322
11
Z
Y
X
ff0
ff0
00f
M
T
T
(1)
Trong đó f
ij
là các hệ số phụ thuộc mô
đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu
cũng nh tỉ số các bán trục của ellipse tiếp
xúc và tải trọng của bánh xe.
Hiện tợng này tiếng Anh gọi là creep,

trong [3] dịch là trợt dẻo còn theo chúng tôi
nên gọi là hiện tợng trờn với các hệ số
i
là
vận tốc trợt tơng đối theo các phơng đợc
gọi là hệ số trờn. ở đây chúng tôi muốn đa
ra phơng pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vào
việc xây dựng hệ phơng trình chuyển động
của đầu máy toa xe trên đờng cong.
ii. phơng trình chuyển động của
ĐMTX trên đờng cong
1. Mô hình nghiên cứu
Mô hình nghiên cứu là mô hình đầu máy
toa xe 4 trục với các bánh xe có mặt lăn hình
côn chạy trên đờng cong bán kính tơng đối
lớn. Mô hình có 14 bậc tự do.
2. Quỹ đạo chuyển động của trục
bánh xe trên đờng cong
Quỹ đạo chuyển động của trọng tâm cặp
bánh xe có mặt lăn hình côn với độ côn trên
đờng thẳng đã đợc xác định là một đờng
hình sin:
xsinyy
o

=
(2)
gọi là chuyển động rắn bò với biên độ y
o
bằng

nửa khe hở giữa lợi bánh xe và cạnh ray và
tần số vòng:


=
Sr
o
(3)
Độ dài bớc sóng của chuyển động rắn
bò:


=

2 không phụ thuộc tốc độ. Trung
tâm của quỹ đạo này trùng với trung tâm của
đờng.
Trên đờng cong theo [2] phơng trình
chuyển động của trọng tâm trục bánh là:
0])x(fy[
rS
y
o
=

+
&&
(4)
l
T

C
Y
C
X
2S
l
T
C
Y
C
X
2S
2l
OO
Trong đó f(x) là phơng trình của trung
tâm đờng cong
R2
x
)x(f
2
=
. Phơng trình
này có nghiệm là:

R
rS
R2
x
xsinyy

o
2
o

+=
(5)
Có nghĩa là trên đờng cong trục bánh xe
có mặt lăn hình côn vẫn chuyển động rắn bò

nhng trung tâm quỹ đạo của nó lệch ra khỏi
trung tâm đờng cong về phía ray ngoài một
lợng:

R2
rS
o
=
(6)
phụ thuộc bán kính đờng cong (R), khổ
đờng (S) và đờng kính (bán kính) bánh xe
(r
o
). Bán kính đờng cong càng nhỏ thì độ lệch
này càng lớn làm cho biên độ rắn bò bị giảm
nhỏ, đến mức độ nào đó thì trục bánh chuyển
động của trục bánh xe trên đờng cong không
còn bị rắn bò nữa.
3. Các lực và moment tác dụng và
phơng trình cân bằng lực của trục bánh xe
Trớc hết ta hãy xét các lực tác dụng vào

trục bánh dẫn. Nếu bỏ qua góc lắc
K
quanh
trục thẳng đứng, khi tốc độ ĐMTX là V ta có
tốc độ góc của bánh xe:
O
y
r
V
=
(7)
Nếu di chuyển ngang của trọng tâm trục
bánh là y
K
thì:
- Vòng lăn thực tế của bánh ngoài:
KOON
yrrrr

+=

+= (8)
- Tốc độ thực của bánh ngoài:

=
R
V
SVV
KX
&
(9)
Trong khi đó tốc độ ứng với khi bánh xe
lăn thuần tuý:

()
O
KOyNX
r
V
yrrV +==

(10)
- Từ đó tốc độ trợt theo phơng X:
XXX
VVV

=






=

R
V
S
r
V
y
K
O
K
&
(11)
- Tốc độ thực của bánh xe theo phơng Y
cũng gồm 2 phần: vận tốc theo phơng Y là
V
K
và vận tốc trợt V
y
:
yKK
VVy
+

=
&
(12)
Từ đó:
KKy
VyV

=

&
(13)
Ta tính đợc các tốc độ trợt tơng đối:

R
S
V
S
y
rV
V
kK
O
X
1
+

=

=
&

K
K
y
2
V
y
V

V
=

=
&
(14)
R
1
VV
KZ
3


=

=
&

Các lực tác dụng tại điểm tiếp xúc giữa
bánh ngoài với đờng ray tính theo (1):
- Theo phơng X có:
R
s
f
V
s
fy
r
fT
11K11K

O
11
N
X
+

=
&

- Theo phơng Y có:
+=
K22Y
y
V
1
fT
&

R
1
f
V
1
ff
23K23K22
++
&
(15)
- Theo phơng Z có:
R

1
f
V
1
ffy
V
1
fM
33K33K23K23Z
+=
&
&

Bằng cách phân tích tơng tự chúng ta
tính đợc các lực tác dụng ở bánh trong.
Các lực từ khung giá chuyển hớng tác
dụng vào trục bánh thông qua bầu dầu:
- Theo phơng ngang:



+

+=
R2
l
CbH
T
KTK
K
XX

+
(
)
]
KTK
K
X
K +
&&
(16)
- Theo phơng dọc:

+=
R8
l
2
l
yyCH
2
T
T
T
KTK
K
yY










+
T
T
KTK
K
y
2

l
yyK
&
&&
(17)
trong đó: y
K
,
K
: Độ sàng ngang và góc quay
quanh trục Z của trục bánh;
y
T
,
T
: Độ sàng ngang và góc quay
quanh trục Z của khung giá chuyển hớng;

K
: Hệ số; đối với trục trớc
K
= -1,
đối với trục sau
K
= 1;
l
T
: Cự ly trục cứng của giá chuyển
hớng.
Các lực và moment quán tính:

KKK
ymF
&&

= (18)
KKK
M
=
&&
(19)
Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và
siêu cao:








=
S2
h
g
R
V
mD
2
KK
(20)

Lực dẫn hớng chỉ xuất hiện ở những
bánh xe có lợi giáp với cạnh đờng ray, ký
hiệu là K.
Phơng trình dao động của các trục
bánh:
Xét sự cân bằng của tất cả các lực tác
dụng lên các trục bánh, theo nguyên lí
Dallambert mỗi trục bánh ta viết đợc hai
phơng trình:
Dao động sàng ngang của các trục bánh:
2T
Y
+ 2H
Y
+ F
K
+ D
K
+ K = 0 (21)
Dao động lắc đầu của các trục bánh:
-S
(T
XN
+ T
XT
) 2b.H
X
+
+ 2M
Z

+ M
K
= 0 (22)
4. Các lực và moment tác dụng và
phơng trình cân bằng lực của khung giá
chuyển hớng

Các lực của các trục bánh tác dụng
vào khung giá chuyển hớng thông qua bầu
dầu theo phơng ngang và phơng dọc cũng
có trị số nh H
X
, H
Y
nhng hớng ngợc lại.
Các lực và moment phục hồi:










+=
R2
l
lyyCBB

2
TTY1O


(
)

+


&
&&
lyyK
TTY1
(23)








+=

R
l
CMM
TT1OB

(24)
()
yyK
T1
&&


Các lực và moment quán tính:

TTT
ymF
&&

=
(25)

TTT
M


=
&&
(26)
Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và
siêu cao:

=
S2
h
g
R
V
mD
2
TT
(27)
Phơng trình dao động của các khung
giá chuyển hớng:
Xét sự cân bằng của tất cả các lực tác
dụng lên các trục bánh, đối với mỗi trục bánh
ta viết đợc hai phơng trình dao động:
Dao động sàng ngang của các khung giá
chuyển hớng:
F
T
- 2(H
Y1
+ H
Y2
) + D
T
+B = 0 (28)
Dao động lắc đầu của các khung giá

chuyển hớng:
M
T
- l
T
(H
Y1
H
Y2
) + 2b(H
X1
+ H
X2
) + M
B
= 0 B
(29)

5. Các lực và moment tác dụng và
phơng trình cân bằng lực của thân xe
Các lực và moment phục hồi: cũng có
giá trị nh B và M
B
trong công thức (23), (24)
nhng có hớng ngợc lại
B
Các lực và moment quán tính:
ymF
&&

= (30)


=
&&
M (31)
Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và
siêu cao:









=
S2
h
g
R
V
mD
2
(32)
Phơng trình dao động của thân xe
Dao động sàng ngang của thân xe:
F - (B
T

+ B
S
) + D
T
= 0 (33)
Dao động lắc đầu của thân xe:
M - 2l(B
T
BB
S
) + M
T
+ M
S
= 0 (34)
6. Hệ phơng trình dao động ngang
của toàn xe
Đối với toàn xe ta viết đợc 8 phơng
trình dao động của các trục bánh, 4 phơng
trình dao động của 2 khung giá chuyển hớng
và 2 phơng trình dao động của thân xe. Nh
vậy hệ phơng trình dao động ngang của đầu
máy toa xe khi chuyển động trên đờng cong
sẽ có 14 phơng trình vi phân cấp hai. Sau khi
thay trị số của các lực rồi viết lại dới dạng ma
trận ta đợc hệ phơng trình dạng:

(
)
(

)
RGtFyCyKyM +=++
&&&
(35)
trong đó:
-
M ,
K
,
C
: là các ma trận khối lợng, ma
trận cản và ma trận độ cứng
-
F : là véc tơ lực kích thích do chuyển
động rắn bò có tần số gây nên, biên độ rắn
bò sẽ giảm đi khi bán kính đờng cong càng nhỏ
G : là véc tơ lực kích thích do chuyển
động trên đờng cong gây nên, phụ thuộc bán
kính đờng cong R và độ siêu cao h và trong
đó có các lực dẫn hớng.
III. Kết luận
Hệ phơng trình (35) có thể coi là hệ
phơng trình tổng quát chuyển động của đầu
máy toa xe cả trên đờng thẳng và đờng
cong.
Trên đờng thẳng R bằng vô cùng và độ
siêu cao h = 0 làm cho véc tơ
G sẽ bằng
không. Khi đó nghiệm riêng của hệ này với vế
phải là véc tơ

F sẽ biểu diễn dao động cỡng
bức do chuyển động rắn bò gây nên.
Ngợc lại trên đờng cong bán kính nhỏ
do các trục bánh không có chuyển động rắn
bò nên véc tơ
F bằng không và nghiệm riêng
của hệ với vế phải là véc tơ
G sẽ biểu diễn
trạng thái cân bằng lực của các bộ phận đầu
máy toa xe trên đờng cong.
Chúng ta cũng lu ý rằng tuy rằng đây là
một hệ phơng trình vi phân cấp hai nhng do
trên đờng cong không có dao động nên các
véc tơ gia tốc dao động
y
&&
và vận tốc dao
động
y
&
đều bằng không nên hệ phơng trình
lúc này trở thành hệ phơng trình đại số:
()
(
)
y
K,RGyC
=

Cũng cần nói thêm do sự xuất hiện các

lực dẫn hớng K trong véc tơ
G phụ thuộc
chuyển vị ngang của các trục bánh nên hệ
này là phi tuyến.
Chúng ta có thể giải hệ phơng trình này
với những điều kiện nhất định để tìm ra các
lực dẫn hớng K.

Tài liệu tham khảo
[1]. Baránszky-Job Imre. Vasúti Jármu szerkezetek.
Budapest, 1979.
[2]. Nguyễn Hữu Dũng. Động lực học Đầu máy
diésel. Hà nội, 2001.
[3]. Khuất Tất Nhỡng. Kỹ thuật Đầu máy Toa xe
hiện đại. Hànội, 2002.
[4]. Nguyễn Hữu Dũng. Giải bài toán thông qua
đờng cong của ĐMTX trên máy tính. Tạp chí
KHGTVT số 5 - tháng 11/ 2003