Báo cáo khoa học: "Đại số gia tử mở rộng" doc

Đại số gia tử mở rộng


Th.S. Nguyễn Văn Long
Bộ môn Toán - ĐH GTVT

Tóm tắt: Trong bi báo ny chúng tôi tiếp tục mở rộng đại số gia tử bằng cách đa vo 2 toán tử

,

với định ý l infimium v supremus của 2 tập giá trị LH(X) sản sinh bởi phần tử x. Điều đó chỉ ra rằng
với mỗi một phần tử của miền giá trị đợc sản sinh từ các phần tử nguyên thuỷ.
Summarry: This paper continues our investigation on hedge algebras [2]. We extend hedge
albebras by two additional operations correspending to infimum and supremum of the so-called concept
category of an element x, i.e, the set which is generated from x by means of the hedge operations. It is
shown that every extended hedge algebra with a lattice of the primary generators is a lattic.
1. Mở đầu v các khái niệm
Xét đại số gia tử mở rộng AX = (X, G, LH, )
trong đó X là tập cơ sở, G là tập các phần tử sinh,
LH là dàn phân phối các gia tử sinh tự do từ H
qua các phép toán , và là quan hệ thứ tự bộ
phận trên X.
Ta biết rằng LH(x) là tập tất cả các phần tử
sinh đợc từ x nhờ tác động liên tiếp các toán tử
một ngôi trong LH. Nhìn chung ta cha biết tập
LH(x) có tồn tại cận trên và cận dới đúng hay
không. Đặc biệt nếu tập LH(x) là vô hạn thì
chắc chắn chúng không tồn tại trong X. Nh vậy
xuất hiện một nhu cầu tự nhiên giải bài toán làm
đầy đủ đại số gia tử AX để thu đợc đại số

AX = (X, G, LH, , , ) sao cho với mỗi phần tử
trong x
X, tập LH(x) có cận trên và cận dới
đúng trong
X.
Tuy nhiên động cơ thúc đẩy việc bổ sung
các phần tử giới hạn nh vậy xuất phát từ yêu
cầu nghiên cứu ngữ nghĩa định lợng của các
khái niệm ngôn ngữ hay các khái niệm mờ.
Giả sử AX là một đại số gia tử mở rộng
tuyến tính. Khi đó một ánh xạ f: X -> [0, 1] thoả
mãn các điều kiện đã nêu trong [2] gọi là một
ánh xạ ngữ nghĩa định lợng của AX, tức là của
biến ngôn ngữ tơng ứng. Nhờ ánh xạ này chúng
ta có thể định nghĩa đợc khái niệm rất khó
xác định và khó lợng hoá trong lý thuyết tập mờ:
tính mờ của một khái niệm xX đợc xác định bởi
đờng kính của tập ảnh f(LH(x)) và ký hiệu là
(x). Để thấy sự cần thiết phải bổ sung phần tử
cận trên đúng và cận dới đúng chẳng hạn ta hãy
xét hai phần tử sinh nguyên thuỷ của một biến
ngôn ngữ. Trong [2] ta phải buộc chấp nhận giả
thiết rằng (c

-
) + (c
+
) = 1, với ý nghĩa trực quan
là ta ngầm định mà cha chứng minh rằng

supremum f(LH(c
-
)) = infimum f(LH(c
+
)) = (c
-
).
Giả thiết này cũng bắt nguồn từ một trực cảm là
tập f(LH(c
-
)) f(LH(c
+
)) trù mật trong đoạn [0,1]
(phần tham khảo [2]).
Cũng giống cách tiếp cận giải quyết vấn
đề này trong [1], ta sẽ bổ sung thêm phần tử
vào X bằng cách nhúng AX vào đại số
AX = (X, G, LH, , , ) với việc thêm hai toán tử
một ngôi , mà ngữ nghĩa định ý của nó là (x)
là cận trên đúng của tập LH(x) và (x) là cận dới
đúng của tập LH(x).
Trong bài báo này chúng tôi sẽ đa ra một
hệ tiên đề để đảm bảo đợc ngữ nghĩa mong
muốn của hai toán tử , và nghiên cứu những
tính chất cơ bản làm rõ các mối quan hệ thứ
tự giữa các phần tử trong tập
X. Đây là vấn đề
quan trọng vì theo các tiếp cận của đại số gia tử,
ngữ nghĩa của các khái niệm của một biến ngôn
ngữ đợc biểu thị qua quan hệ thứ tự của các

phần tử.
Giả sử H là tập các gia tử đợc phân hoạch
thành hai tập H
+
và H
-
sao cho H
+
+ I và H
-
+ I tạo
thành các dàn MODULAR với các phần tử đơn vị
(phần tử lớn nhất) tơng ứng là V, L và I là toán tử
thoả mãn Ix = x với mọi x X, đợc gọi là toán tử

đồng nhất (hay còn gọi là toán tử không). Đặt
UOS = {V, L}. Để tránh lặp lại trong phát biểu các
tính chất hay trong trình bày ta ký hiệu H
c
hiểu
chung là H
+
hoặc H
-
.
Để thuận tiện chúng ta nhớ lại một số ký
hiệu và khái niệm: Giả sử rằng H
c
là dàn modular
có độ dài hữu hạn đợc phân bậc bởi hàm

độ cao. Khi đó mỗi H

Đối với mọi h LH, tồn tại các phân tử đơn
vị h
c
có thể phân thành nhiều
lớp dựa theo hàm độ cao và ký hiệu là H
i
c
, ở đây i
chỉ độ phân bậc của lớp H
i
c
, trong trờng hợp số
phần tử của H
i
c
lớn hơn 1 nghĩa là CardH
i
c
>1,
ta ký hiệu tập các chỉ số i này là SI
c
, tức là
SI


Đối với mỗi x X, nếu hx < kx và không tồn
tại i SI
c

= {i: Card H
i
c
> 1}. Đồng thời mỗi i SI
c
thì
các tập H
c
i+1
, H
c
i-1
chỉ có một phần tử duy nhất,
Card H
c
i+1
= Card H
c
i-1
= 1. Gọi LH
i
c
là dàn phân
phối sinh tự do từ H
i
c
nhờ các toán tử , . Ký
hiệu LH
c
= LH

=
c
N
1i
i
c
trong đó N
c
là độ phân bậc tối
đa trong LH
c
, c = {+, -}, LH
c
hiểu chung là LH
+

hoặc LH
-
. Đặt LH = LH
+
LH
-
. Các toán tử V, L
trong H
+
+ I, H
-
+ I cũng là các toán tử đơn vị
trong LH

+
+ I, LH
-
+ I tơng ứng.
Cấu trúc đại số AX = (X, G, LH, ) thoả mãn
hệ tiên đề đã giới thiệu trong [3] gọi là đại số
gia tử.

Xét một cấu trúc đại số
Đối với h, k LH
c
, h đợc gọi là không lớn
hơn k (ký hiệu là h k) nếu hoặc là x hx kx
hoặc là x hx kx, với X. Hai gia tử h và k
đợc gọi là ngợc nhau nếu: hx x khi và chỉ khi
kx x. Hai gia tử h, k là tơng thích nếu: hx x
khi và chỉ khi kx x với x X. Nếu x hx kéo
theo hx khx và x hx kéo theo hx khx với
x X thì k đợc gọi là positive đối với h. Nếu
x hx kéo theo hx khx và x hx kéo theo
hx khx với x X thì k đợc gọi là negative đối
với h. Đối với h, k H ta nói rằng: hx < kx nếu
m, n N, h', k' UOS ta có: V



m
hhx V
n
kkx.

Biểu diễn x = h
n
h
1
u đợc gọi là biểu diễn
chính tắc của x đối với u nếu:
h
i
h
1
u h
i-1
h
1
u với i N mà i n
Để thuận tiện cho việc tham khảo các chứng
minh sau này chúng ta nhắc lại các định lý sau
đây:
Định lý 1-1 (chỉ dẫn bi báo có chứng minh)
Với h LH, tồn tại các toán tử đơn vị h
-
và
h
+
sao cho h
-
là negative và h
+
là possitive đối với
h sao cho mọi h

1
, h
n
LH, x X, ta có các bất
đẳng thức sau đây:
V
n
h
-
hx h
n
h
1
hx V
n
h
+
hx, nếu hx x
V
n
h
+
hx h
n
h
1
hx V
n
h
-

hx, nếu hx x
Hệ quả
+
và h
-
tơng ứng là possitive và negative đối
với gia tử h, đồng thời đối với mọi h
1
, H
n
LH,
mọi x X ta có:
h
n
h
1
hx V
n
h
+
x nếu hxx
Định lý 2-1 (chỉ dẫn bi báo có chứng minh)
c
sao cho h, k cùng thuộc LH
i
c
thì với
mọi , LH* ta có bất đẳng thức sau đây:
hx < 'kx.
2. Tiên đề hoá đại số gia tử mở rộng

đầy đủ
AX = (X, G, LH
e
, )
nh đã đề cập ở trên với LH
e
= LH {, }, nghĩa
là tập các toán tử đợc bổ xung thêm hai toán tử
mới và . Nh đã trình bày ở trên, ta ký hiệu
UOS = {V, L} là tập các toán tử đơn vị tơng ứng
của LH
+
và LH
-
. Để cho dễ hiểu, các phần tử
trong UOS đợc ký hiệu là o hay o với chỉ số nếu
cần. Vì G là tập các phần tử sinh (generators)
nên ta giả định LH
e
(G) = X. Ký hiệu Lim (X) là
tập tất cả các phần từ giới hạn của LH(G), nghĩa
là Lim (X) = X\LH(G). Sau này ta sẽ chứng tỏ
rằng các phần tử trong Lim(X) có dạng u hoặc
u với u LH(G).
Bây giờ ta sẽ đa ra một cách tiên đề hoá
đại số gia tử mở rộng đầy đủ (complete hedge
algebra).
Định nghĩa 2.1
Cấu trúc đại số
AX = (X, G, LH

e
, ) đợc gọi
là đại số gia tử mở rộng đầy đủ nếu (LH(G), G,
LH, ) là đại số gia tử và
AX thoả mãn những tiên
đề sau:
(L1) đối với x X và mọi k LH, x kx x.
Đặc biệt đối với mọi k, k, h, h LH ta có
kx kox và hox hx
(L2) đối với mọi x X và mọi o UOS,
x ox ox x
(L3) nếu với mọi z X và x LH(x) ta có x z
thì x z.
Ngợc lại nếu với mọi z X và x LH(x) ta
có x z thì x z.

(L4) nếu h là phần tử attom trong LH
c
(tức là phần
tử nhỏ nhất trong dàn tơng ứng) thì:
hx x kéo theo hx = x
và hx x kéo theo hx = x
(L5) đối với mọi h, k mà h LH
i
c
, k LH
c
i+1
nếu
x, x Lim(X) thì hx kx kéo theo

hx = kx và hx kx kéo theo hx = kx
x v
Để dễ theo dõi chúng ta nêu lên một số
cách hiểu trực giác của một số tiên đề trên.
Tiên đề (L1) theo một nghĩa nào đó thể hiện
rằng , có hiệu quả tác động mạnh hơn bất kỳ
toán tử nào khác trong LH.
Vì x ox và ox x nên tiên đề (L2) phản
ánh tính kế thừa ngữ nghĩa của hai toán tử mới
và .

Định lý 2
Tiên đề (L3) cho ta một cảm nhận nh sau:
Theo tiên đề (L1) x đã là cận trên của
LH(x), kết hợp điều này với tiên đề (L2) cho ta
cảm nhận x là cận trên bé nhất của LH(x).
Hai tiên đề (L4) và (L5) nêu lên đợc tính trù
mật của miền giá trị X.
3. Các tính chất cơ bản
Định lý 1
Giả sử AX = (X, G, LH
e
, ) là đại số gia tử
mở rộng đầy đủ. Khi đó với mọi x X, ta có:
(i) (x) x x
(ii) x = supremum LH(x); x = infimumLH(x)
Điều này có nghĩa là với mọi x X, tập
LH(x) có cận trên đúng và cận dới đúng trong X
và nó chính là phần tử x và x.
Chứng minh

(i) do h bất kỳ nên trong tiên đề (L1) chọn h
sao cho x hx khi đó x hx x nên x x,
tơng tự ta có x x.
(ii) trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức
LH(x) x:
Thật vậy, xét phần tử bất kỳ y LH(x).
Trong trờng hợp y = x, theo (i) ta có
y = x x.

Trong trờng hợp y x , nghĩa là y = hx, ta
xét hai khả năng sau:
(a) hx x: khi đó trong đại số gia tử mở rộng, ta
luôn có LH(hx) x, và do đó kết hợp với chứng
minh trên với mọi y LH(hx) ta có y x x.
(b) hx x - giả sử y đợc viết lại y = h
n
h
1
hx.
Theo định lý (1-1) ta có y = h
n
h
1
hx V
n
h
+
x. Mặt
khác áp dụng liên tiếp n+1 lần tiên đề (L2) ta có:
x h

+
x vh
+
x v
n
h
+
x
Và do đó theo khẳng định (i) ta thu đợc:
n
h
+
x y với y LH(hx)
Nh vậy ta đã chứng minh đợc rằng:
LH(x) x
Theo tiên đề (L3) nếu z LH(x) thì z x
nên (ii) đã đợc chứng minh cho toán tử .
Đẳng thức đối với trong (ii) đợc chứng
minh hoàn toàn tơng tự.
(i) nếu x là điểm bất động của h LH thì nó
cũng là điểm bất động của và và do đó ta có
thể sử dụng thuật ngữ điểm bất động chung mà
không cần nói của toán tử nào.
(ii) với mọi x Lim(X), x là điểm bất động.
Chứng minh
(i) do là điểm bất động của h LH nên x là
điểm bất động của mọi k LH. Vì vậy LH(x) = {x}
nên ta có x = infimum LH
(
x

)
= x và
x = supremumLH(x) = x. Vậy (i) đợc chứng
minh.
(ii) trớc hết ta xét trờng hợp x lim(X) và
có dạng x = u hoặc x = u với u LH(G). Ta chỉ
chứng minh cho trờng hợp x = u là đủ. Chọn
h LH sao cho x hx = hu. áp dụng liên tiếp
tiên đề (L2) đối với h và h ta thu đợc:
x hou hou ou
(ta có thể chọn đợc h sao cho hou ou)
Mặt khác:
ou Vou V
n
ou
với n và o UOS
Vậy với y = h
m
h
1
u LH(u), y sẽ thoả
mãn bất đẳng thức sau:
y = h
m
h
1
u V
m-1
h
+1

u
Và do đó ta thu đợc y hx x. Theo (L3),
điều này chứng tỏ x = u hu x. Nghĩa là
hx = x hay x là điểm bất động với x = u và
u LH(G).
Ta xét trờng hợp còn lại. Vì x limX, x phải
có dạng y = k
m
k
1
a với a G (vì LH
e
(G) = X),
trong đó có ít nhất một k
i
{, }. Gọi j là phần tử

nhỏ nhất sao cho k
j
{, }. Theo chứng minh
trên thì k
j-1
k
1
a là điểm bất động và k
j-1
k
1
a
là điểm bất động, và do đó:

x = k
m
k
j
k
1
a = k
j-1
k
1
a
là điểm bất động.
Nh vậy ta đã chứng minh đợc rằng
x LimX đều là điểm bất động và có dạng u
hoặc u.

Ta có: hu u kéo theo x u
Định lý 3
Đối với mọi y LH(x), x X, ta có các bất
đẳng thức sau đây:
y x và y x
Chứng minh
Xét giá trị bất kỳ y LH(x). Khi đó y biểu
diễn đợc dới dạng y = x, trong đó là một dãy
các toán tử trong LH. Lấy một phần tử bất kỳ
y LH(y) tức là y LH(x). Khi đó y có dạng
biểu diễn sau: y = x, nghĩa là y LH(x). Điều
này chứng tỏ LH(y) LH(x), và do đó ta có:

Tài liệu tham khảo

supremumLH(y) supremumLH(x)
infimumLH(y) infimumLH(x)
áp dụng định lý 1, điều này có nghĩa là:
y x và y x
Điều phải chứng minh.
Định lý 4
Đối với mọi h, k LH
c
, mọi u X, LH*,
và x, y biểu diễn dới dạng x = hu, y = ku, ta có
hu ku kéo theo x y.
(Tính chất tịnh tiến)
Định lý 5
Đối với mọi h LH
i
c
, k LH
j
c
với i < j và đối
với mọi giá trị u X; mọi xâu , LH* và x, y
biểu diễn dới dạng: x = hu, y = ku.
Ta có: hu ku kéo theo x y.
Định lý 6
Đối với mọi giá trị x X mà tập LH(x) là hữu
hạn thì x LH(x).
Định lý 7
Đối với mọi giá trị x X, mọi h, k LH
i
c

nào
đó mà hx LH(hx).
kx LH(kx) (nghĩa là hx Lim(X),
kx Lim(X)) ta có đẳng thức sau:

[7] N. Cat Ho and H. Van Nam. A theory of refinement
structure of hedge algebras and its application to
linguistic-valued fuzzy logic. In D. Niwinski &
M. Zawadowski (Eds), Logic, Algebra and
Computer Science, Banach Center Publications
Vol. 46 (PWN - Polish Scientific Publishers
1999)
hx = kx
Định lý 8
Đối với mọi giá trị u X, mọi h LH
c
, mọi
xâu LH* mà x biểu diễn dới dạng x = hu, khi
đó ta có các khẳng định sau:
Ta có: hu u kéo theo x u

Kết luận
Bài báo này đã làm cơ sở để xây dựng hàm
lợng hoá ngữ nghĩa miền giá trị của một biến
ngôn ngữ. Đồng thời nó cũng làm tiền đề để ứng
dụng trong việc lập luận xấp xỉ mờ.


[1] N. Cat Ho and W. Wechler. Extended hedge
algebras and their application to Fuzzy logic. Fuzzy

Sets and Systems 52(1992), pp 259-281.
[2] Nguyễn Cát Hồ, Huỳnh Văn Nam. Ordered
Structure-Based Semantics of Linguistic Terms of
Linguistic Variables and Approximate Reasoning,
Hội nghị Quốc tế về các hệ phòng ngừa tính toán tổ
chức tại Liege, Bỉ từ 9-14 tháng 8 năm 1999 (nhận
đăng trong AIP Conference Proceedings of Ame-
rican Institute of Physics, USA distributed by
Springer - Verlag).
[3] N. Cat Ho and W. Wechler. Hedge algebras: an
algebraic approach to structures of sets of linguistic
domains of linguistic truth variable, Fuzzy Sets and
Systems, Vol. 35,3, pp 281-293 (1990).
[4] Nguyen Cat Ho, Tran Thai Son. On distance
between values of linguistic variable based on the
structure of hedge algebras. Journal of Informatics
and Cybernetics. Vol.11,1 (1995) (in Vietnamese).
[5] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam. A refinement
structure of Hedge Algebras, Procceding of NCST
of Vietnam, in printed.
[6] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam. Lattice character
of the refinement structure of Hedge Algebras,
submitted for publication in Journal of Informatics
and Cybernetics.