Báo cáo khoa học: "lập ma trận độ cứng phần tử thanh từ ma trận chuyển tiếp" pptx

lập ma trận độ cứng phần tử thanh
từ ma trận chuyển tiếp



GS. Vũ đình lai
Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT
Tóm tắt: Bi báo giới thiệu một cách thiết lập ma trận độ cứng của thanh v siêu thanh
của phơng pháp phần tử hữu hạn xuất phát từ ma trận chuyển tiếp.
Summary: In this paper, is introduced a efficient method for founding the Stiffness Matrix
of a bar or superbar in the finite element method from the transfert matrix.
i. đặt vấn đề
Trong các tài liệu nghiên cứu hoặc giảng dạy phơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) [1, 2,
3] nói chung, ngời ta thờng sử dụng nguyên lý năng lợng để lập ma trận độ cứng (MTĐC).
Riêng đối với phần tử thanh, ngời ta lại thờng sử dụng những công thức sẵn có của Sức bền
vật liệu, do đó việc lập MTĐC đợc dễ dàng lại chính xác. Tuy nhiên, đối với phần tử thanh phức
tạp, thí dụ thanh có mặt cắt biến đổi, thanh thành mỏng, thì việc sử dụng nh thế lại không
dễ dàng. Nhiều trờng hợp ngời ta lại phải trở về phơng pháp năng lợng trong đó hàm
chuyển vị thờng là hàm gần đúng, làm cho độ cứng của phần tử cũng là gần đúng. Khi đó bài
toán giải bằng phơng pháp PTHH chỉ đạt đợc độ chính xác mong muốn khi hệ đợc phân
thành nhiều phần tử nhỏ. Trong [4] tuy vẫn dùng phơng pháp năng lợng nhng các tác giả đã
sử dụng hàm chuyển vị của thanh trên nền đàn hồi là hàm đúng đã đợc giải ở môn Sức bền
vật liệu nên đã đạt đợc MTCĐ đúng.
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu phơng pháp lập MTĐC thanh hoặc thanh dạng dải
phức tạp dựa vào ma trận chuyển tiếp (MTCT) của chúng. Vì MTCT rút ra từ phơng pháp giải
tích của SBVL, nên có thể coi MTĐC của phần tử thanh hoặc siêu thanh tính theo cách này là
chính xác (theo nghĩa đã đợc chấp nhận trong lý thuyết thanh và hệ thanh). Do u điểm này
của MTĐC lập từ MTCT nên trong bài toán cụ thể chiều dài phần tử thanh hoặc siêu thanh
không bị hạn chế mà vẫn đảm bảo độ chính xác.
Ii. lập mtđc thanh từ mtct
Theo lý thuyết từ MTCT ta có quan hệ giữa véc tơ chuyển vị nội lực ở 2 đầu thanh nh

sau (hình 1).
{w
2
W
2
} = L
CT
{w
1
W
1
} (1)
trong đó:
{W
i
} = {u

li
u

2i
u

3i


li


2i

3i
}: véc tơ chuyển vị tại nút i (i = 1, 2);

{W
i
} = {Q

li
Q

2i
Q

3i
M

li
M

2i
M

3i
}: véc tơ lựa tại nút i (i = 1, 2);

2221
1211
CT

LL
LL
L =
: ma trận chuyển tiếp từ nút 1 đến nút 2.

Hình 1.
Do véc tơ lực tại nút 2 của phơng pháp MTCT có ý nghĩa là véc tơ lực ở nút 1 đợc chuyển
tiếp đêns đầu của phần tử kế tiếp, trong khi đó, ở phơng pháp PTHH, véc tơ này có ý nghĩa là
véc tơ lực ở nút cuối của phần tử đang xét (hình 2), vì vậy để bảo đảm ý nghĩa đã quy định,
trớc khi tính toán cần đổi dấu véc tơ
2
W
, cũng tức là đổi dấu của các phần tử tơng ứng ở ma
trận L
CT
. Khi đó ta đợc MTCT theo quy ớc dấu mới:
2221
1211
LL
LL
L

=
.

Hình 2.
Thay L
CT
ở (1) bằng L ta viết đợc:

{}
{
}
{
}
{} {} {}



=
+=
1221212
1121112
WLwLW
WLwLw
(2)
Giải hệ (2) ta rút ra:
{W
1
} = K
11
{w
1
} + K
12
{w
2
}
{W
2

} = K
21
{w
1
} + K
22
{w
2
}
hay:











=

=










2
1
2221
1211
2
1
2
1
w
w
KK
KK
w
w
K
W
W

(3)

trong đó K
ij
(i, j = 1, 2) là những ma trận thành phần của MTĐC cần tìm:
(4)









=
+=
=
=




1
122222
11
1
12222121
1
1212

11
1
1211
LLK
LLLLK
LK
LLK
iii. thí dụ thiết lập mtđc
Phần tử dầm có mặt cắt không đổi trên nền đn hồi Winkler:
MTCT của dầm (xem [5]):

A
m
B
D
m
k
C
m
k
mD4AC
m
k
B
m
k
EJm
B
EJm
C

AmD4
EJm
C
EJm
D
m
B
A
L
32
2
2
23
CT




=

áp dụng (4) ta rút ra dạng cuối cùng của MTĐC của phần tử dầm:

mQ
Nm2Pm2XĐ
mD8Cm8mQ
Cm8Bm8Nm2Pm2
M
EJ
K
23

2
2323



=

Trong những quan hệ trên:
k: hệ số nền ở đáy dầm, m = (k/4EJ) (1/4): hệ số dầm nền,
A = chml.cosml,
B =
),shml.mlcoschml.ml(sin
2
1
+
C = shml.sinml,
D =
),shml.mlcoschml.ml(sin
4
1

M = ch
2
ml + cos
2
ml, N = ch
2
ml cos
2
ml,

P = sh2ml + sin2ml, Q = sh2ml sin2ml.
Vì mục đích minh hoạ thí dụ trên đã đợc tính bằng chữ. Trong thực tế, các siêu phần tử có
thể phức tạp hơn, khi đó việc lập MTCT sẽ phải thực hiện bằng số ngay từ đầu, sau đó có thể
viết dới dạng tờng minh biểu thức quan hệ chuyển tiếp giữa véc tơ chuyển vị nội lực ở 2 mặt
cắt đầu và cuối của thanh phức tạp (siêu phần tử) [6], rồi từ MTCT của biểu thức lập đợc
MTĐC theo các quan hệ (4).

Tài liệu tham khảo
[1] J. H. Argiris. Recent advances in matrix methods of structural analysis. Pergamon press. Oxford. 1964
(bản dịch tiếng Nga).
[2] Hồ Anh Tuấn, Trần Bình. Phơng pháp phần tử hữu hạn. Nhà xuất bản KH và KT. Hà Nội. 1978
[3] Nguyễn Xuân Lựu. Phơng pháp phần tử hữu hạn. Giáo trình Trờng Đại học Giao thông Vận tải. Hà
Nội, 2000.
[4] Vũ Văn Thnh, Lơng Xuân Bính. Kết hợp phơng pháp phần tử hữu hạn và phơng pháp giải tích để
nâng cao độ chính xác phơng pháp phân tích kết cấu. Tạp chí KH và CN Xây dựng. Bộ xây dựng. Số
3/2000.
[5] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi. Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản GTVT. Hà Nội, 2002.
[6] Vũ Đình Lai. Mở đầu về phơng pháp ma trận chuyển tiếp. Chuyên đề Cao học. Đại học Giao thông
vận tải. Hà Nội, 1999 Ă