Báo cáo khoa học: "ứng dụng tính toán xác suất trong phân tích ổn định bờ dốc" ppt

ứng dụng tính toán xác suất trong phân tích ổn định bờ dốc


KS. trần Trung dũng
ThS. Vũ quý ánh
Bộ môn Địa Kỹ thuật
Khoa Công trình
Trờng Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bi báo đã ứng dụng phơng pháp thử Monte Carlo trong phân tích xác suất độ
ổn định của bờ dốc v đa thêm các chỉ số để đánh giá độ ổn định của bờ dốc.

Summary: The paper presents the application of the Monte Carlo test to probability
analysis of the slope stability and proposes indexes to assess it.

I. Đặt vấn đề
Đánh giá độ ổn định bờ dốc thông qua hệ số an toàn dựa trên một tập hợp cố định các điều
kiện và tham số vật liệu. Nếu hệ số an toàn lớn hơn 1 bờ dốc ổn định, Ngợc lại nếu hệ số an
toàn nhỏ hơn 1 bờ dốc đợc coi nh mất ổn định. Câu hỏi đặt ra là "bờ dốc có mức độ ổn định
nh thế nào?" không thể trả lời đợc. Quan điểm xác suất cho biết đợc mức độ ổn định của bờ
dốc. Phân tích xác suất cho phép sử dụng các giá trị đầu vào khác nhau và nó ảnh hởng đến
xác suất phá hoại của bờ dốc.
CT 2
II. Phân tích xác suất độ ổn định bờ dốc bằng phơng pháp Monte Carlo
1. Phơng pháp Monte Carlo
Phơng pháp Monte Carlo tuy đơn giản nhng khối lợng tính toán rất lớn và phù hợp với
máy tính tốc độ cao. Nhìn chung, việc cài đặt phơng pháp theo các bớc sau:
* Lựa chọn thủ tục quyết định nh phơng pháp Spencer hoặc phơng pháp phần tử hữu
hạn.
* Quyết định các giá trị đầu vào sẽ dùng để dựng mô hình xác suất và biểu diễn các biến

đó theo mô hình phân bố chuẩn sử dụng giá trị trung bình và độ lệch chuẩn.
* ớc lợng các giá trị mới tiếp theo cho các tham số và xác định giá trị hệ số an toàn một
số lần.
* Xác định một số thống kê để tính hệ số an toàn, mật độ xác suất phân bố của bài toán.
Trong tính toán ổn định bờ dốc, mặt trợt nguy hiểm (tới hạn) đầu tiên đợc xác định dựa
trên giá trị trung bình của các tham số đầu vào thông qua các phơng pháp cân bằng giới hạn
và phần tử hữu hạn. Phân tích xác suất đợc tiến hành sau đó trên mặt trợt nguy hiểm, sử


dụng các tham số đầu vào khác nhau. Các tham số đầu vào này giả định phân bố chuẩn với giá
trị trung bình và độ lệch chuẩn do ngời dùng đa vào.
Với mỗi phép thử Monte Carlo, tham số đầu vào đợc dựa trên số ngẫu nhiên. Hệ số an
toàn sau đó đợc tính thông qua các giá trị của tham số đầu vào. Cũng với giả thiết hệ số an
toàn có phân bố chuẩn, xác định giá trị trung bình, độ lệch chuẩn cho nó. Hàm phân bố xác
suất nhận đợc từ việc chuẩn hóa đờng cong.
Số phép thử Monte Carlo trong phân tích phụ thuộc vào số biến và xác suất phá hoại mong
đợi. Nhìn chung, số phép thử cần tiến hành tăng lên khi số biến tăng hoặc xác suất phá hoại
mong muốn giàm đi. Thông thờng phải tiến hành hàng nghìn phép thử Monte Carlo khi phân
tích xác suất cho độ ổn định bờ dốc.
2. Biến tham số, hàm phân bố chuẩn và sinh số ngẫu nhiên
a) Biến tham số
Đất có các chỉ tiêu cơ lý thay đổi theo từng vị trí trong nền. Sự khác nhau xuất hiện thậm
chí ngay trong các lớp đất nhìn bề ngoài có vẻ đồng nhất. Tính bất ổn định của đất là nguyên
nhân chính tạo nên sự không chắc chắn khi tính độ ổn định bờ dốc. Các kết quả thí nghiệm đối
với đất tự nhiên cho thấy các thông số về đất có thể đợc coi nh các giá trị ngẫu nhiên tuân
theo luật phân bố chuẩn (Lumb, 1966, Tan, Donald and Melchers, 1993)
Nh vậy ta có thể coi sự khác nhau của tham số đầu vào là theo luật phân bố chuẩn và
bao gồm:
* Các tham số vật liệu liên quan đến nhiều mô hình độ bền, bao gồm cả trọng lợng thể
tích, cờng độ lực dính, góc ma sát trong của đất;

CT 2
* Các điều kiện áp lực nớc lỗ rỗng;
* Độ lớn của lực ngoài;
b) Hm phân bố chuẩn
Hàm phân bố chuẩn, thờng đợc coi nh hàm phân bố Gauss, đợc dùng chủ yếu để
miêu tả sự biến thiên của tham số đầu vào trong phân tích xác suất. Phân bố chuẩn khá thịnh
hành vì nhiều hệ thống đo lờng vật lý cho kết quả gần với một đờng cong chuẩn (đờng cong
đối xứng). Hàm phân bố chuẩn có thể biểu diễn bằng biểu thức toán học nh sau:
f (x) =
2
2
2
2
1




)x(
e
-
;
- < x <
trong đó: f(x) - hàm tần suất;

- độ lệch chuẩn;

- giá trị trung bình.
Đờng cong chuẩn thờng có dạng vòm đối xứng với giá trị trung bình ở chính giữa. Một
đờng cong nh thế hoàn toàn xác định khi giá trị trung bình,

, và độ lệch chuẩn, đều biết.

Về lý thuyết, đờng cong này không bao giờ tiếp xúc với trục x và f(x) sẽ luôn khác 0 trên


toàn bộ khoảng [-; + ].
Toàn bộ miền nằm dới đờng cong đều bằng 1. Do đó, miền nằm dới đờng cong cho
một khoảng của x biểu diễn xác suất nhận đợc trong khoảng đó. Đờng cong chuẩn có một
đặc điểm là miền nằm dới đờng cong giữa trung vị và bất kỳ điểm nào chỉ phụ thuộc vào số
lần của độ lệch chuẩn kể từ trung vị.
Ví dụ: vùng hoặc xác suất của một gía trị, x, nằm giữa 1

là 68.26%, giữa 2

là
95.44%, giữa 3 là 99.72%, giữa 4


là 99.99% và giữa 5

là xấp xỉ 100%. Nh vậy cờng
độ lực dính trung bình của đất có thể giả thiết là 30kPa với độ lệch chuẩn là 5kPa. Điều đó có
nghĩa là với 100 mẫu đất, 68.26% mẫu sẽ có giá trị nằm giữa 25 và 35kPa, và 95.44% mẫu sẽ
có giá trị nằm giữa 20 và 40kPa.
c) Sinh số ngẫu nhiên
Cơ sở của phơng pháp Monte Carlo là sinh số ngẫu nhiên các tham số đầu vào dùng cho
mô hình xác định. Các số ngẫu nhiên đợc sinh từ một hàm phân bố đồng nhất có giá trị nằm
trong khoảng [0;1]. Để sử dụng các số ngẫu nhiên đợc sinh đồng nhất trong tính toán tham số
đầu vào phân bố chuẩn, cần thiết chuyển từ số ngẫu nhiên đồng nhất sang ngẫu nhiên phân bố

chuẩn. Tiến hành chuẩn hóa đợc thực hiện thông qua phơng trình Box và Muller:
)Rsin()RlnN
21
22 =

trong đó: N - số ngẫu nhiên chuẩn hóa
R
1
- số ngẫu nhiên đồng nhất 1
CT 2
R
2
- số ngẫu nhiên đồng nhất 2.
Phơng trình chuyển đổi đòi hỏi sinh ra hai số ngẫu nhiên đồng nhất. Số ngẫu nhiên chuẩn
hóa có thể đợc xem nh độ lệch chuẩn trung bình trên đờng cong đó gía trị trung bình 0 và độ
lệch chuẩn là 1.
3. Đánh giá các thông số đa vào
Tại thời điểm đầu của mỗi phép thử Monte Carlo, tất cả các biến đầu vào bao gồm ứng
suất cắt, lực tập trung, áp lực nớc lỗ rỗng đợc định lợng dựa trên trung vị, , độ lệch
chuẩn


và số ngẫu nhiên chuẩn hóa N.
Trong tính toán ổn định mái đất, phơng trình cập nhật (lợng giá) các tham số là:
P =

+ N


Trong đó P là giá trị thử mới của tham số nhất định với một độ lệch chuẩn.

Ví dụ: giả thiết lực tập trung có giá trị trung bình là 300kN và độ lệch chuẩn 25 kN. Trong
mỗi phép thử Monte Carlo, nếu số ngẫu nhiên là - 2.0, độ lớn lực tập trung dùng kiểm tra sẽ là
250kN.
Phơng trình đợc sử dụng để ớc lợng tham số ứng suất cắt, lực tập trung, các điều kiện
áp lực nớc mới. Tuy nhiên, trong trờng hợp áp lực nớc lỗ rỗng giá trị kiểm tra tiếp theo của
áp lực nớc lỗ rỗng đợc giới hạn không vợt quá bề mặt trợt.


4. Phân tích thống kê
Giả sử rằng các phép thử hệ số an toàn là phân bố chuẩn. Kết quả, phân tích thống kê có
thể dùng để xác định trung vị, độ lệch chuẩn, hàm mật độ xác suất và phân bố xác suất của bài
toán ổn định bờ dốc. Phơng trình đợc dùng trong phân tích thống kê nh sau:
Giá trị trung bình của hệ số an toàn

:














=

=
n
F
n
i
i
0

Độ lệch chuẩn :


=
















=

n
)F(
n
i
i
0
2

Hàm mật độ xác suất: F (
F) =
2
2
2
2
1




)F(
e
; - < F <
Hàm phân bố xác suất: f(
F) = P
[
]
F
X

= dye

)F(
F
2
2
2
2








trong đó: F
i
- hệ số an toàn thử;
CT 2
n - số phép thử hệ số an toàn;
F - hệ số an toàn;
Ví dụ về hàm mật độ xác suất hàm phân bố xác suất tơng ứng trình bày trong hình dới
đây:

III. Xác suất chỉ số phá hoại v tin cậy
Ta thấy xác suất phá hoại là xác suất của việc nhận một hệ số an toàn nhỏ hơn 1. Nó đợc


xác định bằng cách lấy tích phân vùng nằm dới hàm mật độ xác suất với hệ số an toàn nhỏ
hơn 1. Xác suất phá hoại có thể đợc tính theo hai cách:
* Nếu mặt dốc đợc xây dựng nhiều lần, xác suất sẽ bằng tỷ lệ phần trăm phá hoại của

các lần đó.
* Xác suất phá hoại bằng độ tin cậy khi thiết kế.
Cách tính thứ nhất liên quan đến các dự án với cùng một bờ dốc đợc xây dựng nhiều lần
trong khi cách thứ hai liên quan đến các dự án mà mỗi thiết kế chỉ dùng cho một bờ dốc và nó
có thể hỏng hoặc không. Vì thế, xác suất phá hoại là chỉ số hữu ích cho biết mức độ ổn định
thực tế của bờ dốc.
Không có mối quan hệ trực tiếp giữa hệ số an toàn và xác suất phá hoại. Nói cách khác,
một bờ dốc với hệ số an toàn cao có thể cha chắc đã ổn định hơn bờ dốc có hệ số an toàn
thấp hơn.
Ví dụ: Một bờ dốc với hệ số an toàn 1.5 và độ lệch chuẩn 0.5 sẽ có xác suất phá hoại cao
hơn bờ dốc với hệ số an toàn 1.2 và độ lệch chuẩn 0.1.
Chỉ số tin cậy cung cấp nhiều ý nghĩa hơn khi đo độ ổn định so với hệ số an toàn. Chỉ số tin
cậy (
)

đợc suy từ
)(

và độ lệch chuẩn
)(

của các phép thử hệ số an toàn:

=

).( 01


Chỉ số tin cậy có quan hệ với xác suất phá hoại thông qua hàm phân bố xác suất. Mối
quan hệ của chỉ số tin cậy với xác suất phá hoại trong phân bố chuẩn của hệ số an toàn.

CT 2
Xác suất phá hoại
1
0.1
0.001
0.0001
0.01
0 0.5 1 1.5
2
2.5 3
3.5 4
Chỉ số tin cậy








Hm quan hệ xác suất phá hoại v chỉ số tin cậy với hệ số an ton phân bố chuẩn
IV. Kết luận
Trên cơ sở phân tích xác suất ổn định bờ dốc cho ta thấy:
- Hệ số an toàn thực tế chỉ cho biết mức độ nguy hiểm hiện tại của bờ dốc đất một cách
tơng đối. Nó không cho biết mức độ nguy hiểm hiện tại của bờ dốc do các tham số đầu vào
khác nhau.


- Với phân tích xác suất, hai chỉ số hữu ích để đánh giá độ ổn định và mức độ nguy hiểm
của bờ dốc đó là xác suất phá hoại và chỉ số tin cậy.

Tài liệu tham khảo
[1]. Lý thuyết xác suất và thống kê. Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, Hà nội 1995
[2]. Phơng pháp thống kê trong cơ học xây dựng. Nhà Xuất bản Xây dựng, 1965
[3]. Các phơng pháp lý thuyết xác suất và lý thuyết độ tin cậy trong tính toán công trình. Nhà xuất bản
Xây dựng, 1982.
Ă


CT 2