Báo cáo khoa học: "MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN" pot

MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG
TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

TS. LÊ HỒNG LAN
Bộ môn Toán giải tích
Khoa Khoa học Cơ bản
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Trong bài báo này, tác giả đưa ra một phương pháp tìm nghiệm gần đúng bậc
cao của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến có nhiều ứng dụng trong hệ động
lực, vật lý, điều khiển, cơ học,
Summary: In this paper, the author proposes a method to solve approximately a class of
nonlinear differential equations that has many applications in dynamical system, physics,
cybernetics, mechanics,… with the high - grade accuracy solution.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình vi phân nói chung, không giải được, ngay cả đối với dạng tuyến tính, dạng
tiền định hay ngẫu nhiên. Vì vậy việc tìm lời giải gần đúng (tốt nhất có thể) của phương trình,
đặc biệt lời giải của các bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn được mô tả bởi phương trình vi
phân là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, với kết quả phải tiến bộ không ngừng.
CT 2
II. NỘI DUNG
Xét hệ phương trình phi tuyến:
)(),(),(
2
2
1
2
txxfxxfxx
ξεσεεω

&
&&&&
++=+ (1)
Trong đó,
σ
ω
,
là các hằng số dương,
ε
là tham số bé, còn và là các hàm phi
tuyến theo
1
f
2
f
x
và , là kích động ngẫu nhiên.
x
&
)(t
ξ
&
Nghiệm của hệ (1) sẽ được tìm bằng cách sử dụng phép biến đổi:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

+=
∂
∂
+
∂
∂
+−=
++=
θωϕ
εεϕω
ϕεϕεϕ
t
t
u
t
u
ax
auauax
,sin
),,(),(cos
2
2
1
2
2
1
&
(2)
Phương trình vi phân Ito có dạng:

⎩
⎨
⎧
+=
+=
)(),(),(
),(),(),(
tdadtad
tdadtada
ξϕγϕμθ
ξϕβϕα
(3)
với
β
α
,
,
μ
và
γ
là các hàm cần tìm của a và
ϕ
.
Vi phân (2) theo t bằng cách sử dụng quy tắc vi phân Ito, ta nhận được:

)cos)((sin
2
2

121
2
2
1
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++
∂
∂
+
∂
∂
+−= dtuuall
t
u
t
u
adx
εεϕεεϕω

(4)
),()cos(
2
2
13

tduual
ξεεϕ
+++
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+−++
∂
∂
+
∂
∂
+−= dt
t
u
t
u
all
t
u
t

u
axd )cos)((cos
2
2
1
21
2
2
2
2
2
1
2
2
εεϕωεεϕω
&


)()sin(
2
2
1
3
td
t
u
t
u
al
ξεεϕω

∂
∂
+
∂
∂
+−+
(5)
Ở đây:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂

∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
α
γβ
α
γ
ϕ
βγβ
α
μα
a
l
a
a
l
a
l
3
2
2
2
2
2
2

2
2
1
2
1
2
1
(6)
CT 2
Phương trình (1) có thể được xét như hệ sau đây của phương trình vi phân ngẫu nhiên :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−==
)()(
sin

2
2
2
1
2
2
1
tddtxffxd
dt
t
u
t
u
adtxdx
ξεσωεε
εεϕω
&
&
(7)
Từ (4), (5), (7) ta có:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+++=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−+
=++
=+++
),(),(),(cos)(
0)cos(
0)cos)((
4
3
3
2
2
1
2
2
1
21
2
2
13

2
2
121
εϕεϕεϕεεεϕω
εεϕ
εεϕ
aFaFaF
t
u
t
u
all
uual
uuall

(8)



Trong đó:
,),(:),(
2
1
2
1
2
11
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=
ϕ
ωϕϕ
u
uafaF
(9)
,),(:),(
2
2
2
2
2
22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂

+−=
ϕ
ωϕϕ
u
uagaF
(10)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+=
ϕ
ωϕϕ
1
1
1
1
1
22

),(:),(
u
u
x
f
u
x
f
afag
&
(11)
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

∂
∂
+
∂
∂
=
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
21
2
1
3
2
1
2
1
),(
x
fu
x
f
u

u
x
f
u
x
f
aF
&
ϕ
ω
ϕ
ωϕ


ϕ
ω
ϕ
ω
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
∂
∂

+
12
1
21
2
1
u
x
f
u
x
f
xx
fu
&&
(12)
Hàm
),(
1
ϕ
au
được xác định bởi phương trình
0),(
2
1
2
1
2
1
=

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
ϕ
ωϕ
u
uaf
(13)
Do đó:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
+=
∑
∞
=2
11

2
1
2
1
]coscossinsin[
1
1
2),(
1
),(
n
nnfnnf
n
afau
ϕϕϕϕϕ
ω
ϕ
(14)
Chuỗi Fourier của
),(
2
ϕ
ag
có dạng:

+++=
ϕϕϕϕϕϕ
sin)sin2cos)cos2),(),(
2222
ggagag

CT 2

∑
∞
=
++
2
22
]sinsin2coscos2[2
n
nngnng
ϕϕϕϕ
(15)
Hàm
),(
2
ϕ
au
xác định bởi điều kiện:
∑
∞
=
+
−
+=
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
2
22
2
2
2
2
2
2
2
]sinsin2coscos2[
1
1
2),(
n
nngnng
n
ag
u
u
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ω
(16)

Từ (16) suy ra rằng:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++=
∑
∞
=2
222
2
2
]sinsincoscos[2),(
1
),(
n
nngnngagau
ϕϕϕϕϕ
ω
ϕ
(17)
Như vậy, hàm
),(
2
ϕ
aF
trong (10) được quy về dạng:
ϕϕϕϕϕ

sinsin2coscos2),(
222
ggaF +=
(18)
Từ (6) và (8) ta nhận được hệ phương trình với các hàm phải tìm của
β
α
,
,
μ
và
γ
:
,0sincos
2
2
12
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂

+
∂
∂
+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
γ
ϕ
ε
ϕ
εϕβεεϕ
uu
a
a
u
a
u
(19.1)

εσγ
ϕ
ωε
ϕ
εωϕωβ
ϕ
ε
ϕ
εωϕω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+−
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
cossin
uu
a
a
u
a
u
, (19.2)

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
μ
ϕ
ε

ϕ
εϕαεεϕ
2
2
12
2
1
sincos
uu
a
a
u
a
u
(19.3)
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
++=
2
1

2
2
2
2
1
2
2
2
1
4
2
2
32
2
22
sin2sin.sin
2
sin)sin1(cos
2 a
uu
a
a
u
aa
ϕ
ω
σ
ϕ
ϕϕ
ω

σ
ϕ
ω
σ
εϕϕ
ω
σε


,)sin21(cos
2
4
2
1
2
32
22
2
ε
ϕ
ϕϕ
ω
σ
+
⎥
⎦
⎤
∂
∂
++

u
a

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂∂

∂
+−
μ
ϕ
ωε
ϕ
εωϕωα
ϕ
ε
ϕ
εωϕω
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
cossin
uu
a
a
u
a
u

(19.4)
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
−
∂
∂
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
ϕ
ϕ
ω
σ
ϕϕ
ω
σ
ϕεϕϕϕ
ω
σ
ε
1

3
2
2
1
2
3
3
2
2
2
2
coscos2sin
2
),(),(cossin
2
u
a
a
u
a
aFaF
a

cossincos2sin
2
sincos
4
3
1
3

2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
ε
ϕ
ϕ
ω
σ
ϕ
ϕ
ω
σ
ϕ
ϕϕ
ω
σ

ϕ
ϕϕ
ω
σ
+
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
u
aa
uu
a
a
u
a

Nghiệm của hệ (19) có dạng:
+−=
ϕ
ω
σ

ϕ
ω
σε
ϕα
sincos
2
),(
2
2
2
2
22
F
a
a

+
∂
∂
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++
a

u
a
F
1
234
2
2
2
cossin2cossincos2(
2
cossin
ϕϕϕϕϕ
ω
σ
ϕϕ
ω

CT 2

−
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++
ϕ

ϕϕϕϕ
ω
σ
ω
ϕ
1
22
22
2
2
2
)sincos1(cossin
cos
u
a
a
F

⎢
⎣
⎡
+−−
∂
∂
−
)cossin2cossin3cossin2(
2
sincos
2323
2

2
2
1
2
2
2
2
ϕϕϕϕϕϕ
ω
σ
ϕϕ
ω
σ
aa
u

−
⎢
⎣
⎡
−−−
∂∂
∂
⎥
⎦
⎤
+
)cossin2cos3cossin2(
2
sin

2322
22
2
1
2
2
2
ϕϕϕϕϕ
ω
σ
ϕ
ϕ
ω
a
a
uF


+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
⎥
⎦
⎤

−
2
1
3
2
2
2
1
3
3
2
2
2
1
2
2
2sinsin
2
sincossin
ϕ
ϕϕ
ω
σ
ϕ
ϕ
ω
σ
ϕ
ϕϕ
ω

a
u
aa
uu
a
F


,
sin
cossin
4
3
3
1
3
2
22
2
ε
ω
ϕ
ϕ
ϕϕ
ω
σ
+
⎭
⎬
⎫

−
∂
∂
+
F
u
a

⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
+=
2
1
2
1
2

1
2
2
1
2
2sin
2
1
sin
1
sin
1
sin),(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕω
σ
εϕ
ω
σ
εϕβ
u
a
u
aa
uu

a
a


,2sin
2
1
3
1
εϕ
+
⎟
⎠
⎞
∂
∂
+
a
u




+
∂
∂
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+−
−−−=
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ω
σ
ω
ϕ
ε
ω
ε
ϕ
ω
σε
ϕμ
1
2225
22
2
2
2
3
2

2
22
22
)cossincossin2sin2(
2
sin
2sin
2
),(
u
a
a
F
a
F
a
a

+
∂
∂
−
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

−+++
2
1
2
3
2
2
1
324
33
2
2
2
sin)cossin(sincos
2
2sin
a
u
a
u
aa
F
ϕ
ω
σ
ϕ
ϕϕϕϕ
ω
σ
ω

ϕ

+
∂∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−++++
ϕ
ϕϕϕϕ
ω
σ
ω
ϕ
a
u
a
a
F
1
2
43
22
2
2
)1cos2sin2sin3(cos

2
2
2sin

+
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
3
1
3
3
23
2
2
1
3
22
22
2
1
3
2
2

2
coscos2sin
2
sincos
ϕ
ϕ
ω
σ
ϕ
ϕϕ
ω
σε
ϕ
ϕϕ
ω
σ
u
aa
u
aa
u
a


,
cos
4
3
ε
ω

ϕ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
+
a
F

−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
−−=
2
1
2

2
2
1
2
1
2
1
2
cos
2
2sin
2
2sin1
cos),(
ϕω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕω
ϕ
ω
σεϕ
ω
σ
εϕγ
u
a
u
a

a
u
aa
u
aa
a


,
cos
3
1
2
ε
ω
ϕ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
∂
∂
−
a
u
a
(20)

III. KẾT LUẬN

CT 2
Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1) có ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán của hệ
động lực, điều khiển, vật lý, … Nghiệm nhận được ở đây có độ chính xác cao trong đó có thể
nghiên cứu đầy đủ ảnh hưởng của các hàm phi tuyến và mà với cách giải
thông thường các tác động này bị bỏ qua.
),(
1
xxf
&
),(
2
xxf
&
Bài báo được hoàn thành với sự giúp đỡ về chuyên môn và một phần kinh phí của chương
trình nghiên cứu khoa học tự nhiên 121.304.

Tài liệu tham khảo
[1]. Mitropolskii Yu. A., Nguyen Van Dao, Nguyen Dong Anh, Nonlinear oscillations in the systems of
arbitrary order. Kiev, 1992.
[2]. Nguyen Dong Anh, Extend first order stochastic averaging method for a class of nonlinear systems,
V. I. Math., 1993.
[3]. R. Stratonovich, Topics in the Theory of Random Noise, V.1, Gordon and Breach, New York, 1963.
[4]. R. Khasminskii, Averaging principle for the parabolic and elliptic diff .eqs. and Markovian processes
with small diffusion, Theory Probability Appl. 9, 1963.
[5]. Le Hong Lan, Second order approximate solution in the extended stochastic averaging method. VNU,
Journal of Science, Mat. Sci., 2002♦