Báo cáo khoa học: "XỬ LÝ TÍN HIỆU BẰNG LỌC THÍCH NGHI WAVELET" ppt

XỬ LÝ TÍN HIỆU BẰNG LỌC THÍCH NGHI WAVELET


TS. ĐỖ XUÂN THIỆU
Bộ môn Kỹ thuật điện tử
Khoa Điện – Điện tử
Trường Đại học Giao thông Vận tải


Tóm tắt: Kết quả biến đổi tín hiệu sử dụng wavelet phụ thuộc vào wavelet mẹ. Để
wavelet mẹ có thể thích ứng được với một tín hiệu hoặc một lớp các tín hiệu cần phân tích,
phương pháp trong bài báo sẽ thực hiện tối ưu hoá các bộ lọc wavelet trên cơ sở các gói
wavelet. Viêc tối ưu bộ lọc sử dụng phân giải lưới, đi đến giải thuật biến đổi nhanh không
ràng buộc.

Summary: The wavelet transform results depend on the mother wavelet. For the purpose
of adaptation of mother wavelet to a specific signal or to a class of signal, the method in this
paper is optimization the wavelet filters based on wavelet packets. The optimization uses
lattice decomposition and leads to a fast unconstrained algorithm.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
CT 2
Biến đổi wavelet rời rạc bằng cách đưa tín hiệu qua các bộ lọc thông thấp và thông cao sau
đó thực hiện phân chia hệ số hai. Giữ lại các hệ số thông cao, lặp lại lọc và phân chia tiếp cho
các hệ số thông thấp… cho đến khi tín hiệu còn bằng độ dài của bộ lọc [3]. Quá trình biến đổi
này phải thoả mãn một số điều kiện ràng buộc nào đó. Thoả mãn điều kiện trực giao sẽ cho các
hệ số trực giao. Những ràng buộc này được biểu diễn qua các dạng khác nhau. Hướng nghiên
cứu sẽ dựa vào phương pháp vùng thời gian và phương pháp lưới. Phương pháp vùng thời gian
thể hiện những ràng buộc trực tiếp trên các hệ số lọc, thực hiện giải thuật tối ưu hoá các ràng
buộc. Phương pháp lưới dựa vào cấu trúc lưới để tái tạo tham số các hệ số đến khi các ràng buộc

tự thoả mãn, thực hiện giải thuật tối ưu hoá không ràng buộc.
II. PHƯƠNG PHÁP VÙNG THỜI GIAN
Để có thể đưa ra được các điều kiện ràng buộc, hãy xét ví dụ phân tích một mẫu tín hiệu có
độ dài bằng 8:

T
70
]x, ,x[x =
r
, (1)
sử dụng bộ lọc có độ dài bằng 4, các hệ số lọc thông thấp và thông cao tương ứng sẽ là: c
0
,… c
3
,
và d
0
,…d
3
. Tín hiệu sau khi qua các bộ lọc được đưa đến bộ phân chia hệ số 2. Các giải thuật
này được biểu diễn theo ma trận như sau:



CT 2
}

{
xC,,,,,,,
1

T
32103210
r
=δδδδσσσσ
, (2)
trong đó:
(3)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
=
2301
0123
0123
0123
2301
0123
0123
0123
1
dd0000dd
dddd0000
00dddd00
0000dddd
cc0000cc
cccc0000
00cccc00
0000cccc
C
Quá trình lại lặp lại với các hệ số lọc thông thấp:

{}
2
T
32101010
C,,,,,,, =δδδδηηξξ
{

}
T
32103210
,,,,,,, δδδδσσσσ
(4)
trong đó:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
=
00000000
01000000
00100000
00010000
0000dddd
0000dddd
0000cccc
0000cccc
C
0123
0123
1302
0123
2
(5)
Kết hợp hai bước biến đổi tín hiệu
y
r
sẽ là:

xCCxCy
12
r
r
r
=
=

(6)
Dễ dàng thấy rằng C
1
là trực giao và do vậy, C
2
và C cũng trực giao. Điều kiện trực giao sẽ
là:
(7)
0cccc
1cccc
3120
2
3
2
2
2
1
2
0
=+
=+++
(8)
0dddd
1dddd
3120
2
3
2
2
2

1
2
0
=+
=+++




0dcdc
0dcdc
0dcdcdcdc
1300
3120
33221100
=+
=+
=
+
+
+
(9)
Trong các điều kiện trên, điều kiện với các hệ số c thoả mãn thì các điều kiện còn lại cũng
thoả mãn, bằng cách chọn:

(
)
3, ,0k;c1d
k3
k

k
=−=
−
(10)
Trong trường hợp tổng quát, với độ dài bộ lọc: N+1 và độ dài tín hiệu: M+1, biến đổi
wavelet:

xCy
r
r
=
, (11)
với:

max011QQ
QQ;CC CCC
≤
=
−
(12)
Q
max
là số mức phân giải cực đại, phụ thuộc vào độ dài tín hiệu và độ dài bộ lọc:

)
1N
1M
(logfloorQ
2max
+

+
=
(13)
Các điều kiện trực giao tổng quát sẽ là:

()
∑
=
−
−
=δ=
N
k2n
k2nn
2
1N
, ,0k;kcc
(14)
CT 2

()
∑
=
−
−
=δ=
N
k2n
k2nn
2

1N
, ,0k;kdd
(15)

()
()
∑
∑
=
−
=
−
−
=δ=
−
=δ=
N
k2n
nk2n
N
k2n
k2nn
2
1N
, ,0k;kdc
2
1N
, ,0k;kdc
(16)
Các hệ số lọc thông cao có thể được tính từ thông thấp:

(17)
()
N, ,0k;c1d
kN
k
k
=−=
−
III. PHƯƠNG PHÁP LƯỚI
Phương pháp tái tạo các tham số lọc để các ràng buộc tự thoả mãn. Ta hãy bắt đầu bằng ví
dụ lọc 4 hệ số, điều kiện ràng buộc (7) cụ thể sẽ là:

1cccc
2
31
2
20
=+++
(18)



Điều kiện này tự thoả mãn bằng cách đặt:
(19)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

⎧
θθ=
θθ−=
θθ=
θθ=
213
212
211
210
cossinc
sinsinc
sincosc
coscosc
Trường hợp tổng quát:

()
(
)
2
1N
, ,0k;1cc
2
1k2
2
k2
−
==+
∑∑
+
(20)

Đặt:
(21)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ=
∑∑∑∑
−
=
−
=
+
−
=
−
=

2/)1N(
0n
n
2/)1N(
0n
1n2
2/)1N(
0n
n
2/)1N(
0n
n2
sinc;cosc
Công thức (19) có thể viết lại như sau:
, (22)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
θ=θθ=
θ−=θθ−=
θ=θθ=
θ=θθ=
2
)1(
121
)2(

3
2
)1(
121
)2(
2
2
)1(
021
)2(
1
2
)1(
021
)2(
0
cosccossinc
sincsinsinc
sincsincosc
cosccoscosc
CT 2
viết dưới dạng ma trận:
(23)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣

⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
θ−
θ
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
)1(
0
)1(
1
2
2
2
2
)2(
0
)2(
1
)2(
2
)2(
3
c
c
cos0
sin0
0sin
0cos
c
c
c
c
Có thể mở rộng cho 6 hệ số:
(24)

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)2(
0
)2(

1
)2(
2
)2(
3
3
3
33
33
3
3
)3(
0
)3(
1
)3(
2
)3(
3
)3(
4
)3(
5
c
c
c
c
k000
s000
0kk0

0ks0
000s
000k
c
c
c
c
c
c



Với s
j
=sinθ
j
và k
j
=cosθ
j
. Thế (23) vào (24) và làm tương tự với các hệ số d, kết hợp ma trận
các hệ số c và d ta được:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)3(
0

)3(
1
)3(
2
)3(
3
)3(
4
)3(
5
)3(
0
)3(
1
)3(
2
)3(
3
)3(
4
)3(
5
dddddd
cccccc
=
= (25)
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
−
11
11
sk
ks
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
22
22
ks00
00sk
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

−
−
−
33
33
33
33
ks0000
00sk00
00ks00
0000sk
Như vậy ma trận biến đổi tầng lọc wavelet thứ nhất được biểu diễn dưới dạng:

)(R.S).(R.S).(R.EC
3211
θ
θ
θ
=
, (26)
trong đó, R(θ
j
) là ma trận vòng:
(27)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=θ
jj
jj
jj
jj
jj

jj
jj
jj
j
sk000000
ks000000
00sk0000
00ks0000
0000sk00
0000ks00
000000sk
000000ks
)(R
CT 2
và S là ma trận dịch lên:
(28)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00000000
10000000
01000000
00100000
00010000
00001000
00000100
00000010
S
E để tách các hệ số lọc thông cao từ thông thấp.
Trường hợp tổng quát, với bộ lọc dài 2K:

)(R.S) (R.S).(R.EC
K211
θ
θ
θ

=
(29)



Ma trận biến đổi wavelet tính cho các gói wavelet sẽ là:
(30)
)R.S R.S.R.E) (R.S R.S.R.E(C CC
)K(
11
)2(
11
)1(
11
)K(
QQ
)2(
QQ
)1(
QQ1Q
==
Cơ sở gói tốt nhất sẽ được chọn trong thư viện các gói wavelet theo một số tiêu chuẩn nào
đó [2]. Phương pháp trong bài báo này là tối ưu gradient, xác định tham số tái tạo tối ưu tín hiệu
hoặc một lớp tín hiệu bằng cách cực tiểu hàm mục tiêu tương ứng, thủ tục đơn giản là tính vi
phân các tham số biến đổi wavelet. Gradient của hàm mục tiêu theo các tham số biến đổi
wavelet:
(31)
φ∇=φ∇
y
T

pp
J
trong đó J
p
là Jacobi [4] của ℑ, với
[
]
xCx
r
r
=
ℑ
:

[
]
x)C, (x)C(,x)C(J
pq2p1pp
r
r
r
∂
∂
∂=
(32)
+
θ
θ
θ=
θ

θ∂ )(RS) (RD S).(R.E), (C
K11jQQQ1QK1j


+
θ
θ
θ
+
−−
)(RS) (RD S).(R.E
K11j1Q1QQ1Q

…
CT 2

)(RS) (RD S).(R.E
K11j11Q1Q
θ
θ
θ
+
, (33)
trong đó D
l
là các ma trận khối chéo gồm các khối:
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
− 01
10
Kết hợp chọn cơ sở tốt nhất trong thư viện các gói wavelet [1] và tối ưu gradient các hệ số
biến đổi. Điều này có thể phát sinh ràng buộc cho các hệ số lọc như số các điểm triệt tiêu, trở
thành tối ưu hoá có ràng buộc. Tuy nhiên, giá của điều kiện trung bình không đối với các hệ số
lọc thông cao lại rất thấp cho nên tối ưu ràng buộc lại trở về không ràng buộc.
IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Thực nghiệm phương pháp biến đổi wavelet trong môI trường Matlab đối với các tín hiệu
mẫu: Doppler, Bumps, HeaviSine, Blocks và tín hiệu thực đo khí mêtan đề tài KC03-04. Kết
quả liệt kê trong bảng 1 so sánh sai số cực đại của phép biến đổi sử dụng wavelet Daubechies:
db8 và phương pháp của đề tài, với sai số cực đại:
)xsmax(
kkmax
−=Δ
; k = 1,2,…N, (34)



trong đó s
k
là tín hiệu gốc, x
k
là tín hiệu khôi phục. Các kết quả cho thấy sai số giữa tín hiệu
khôi phục và tín hiệu gốc đối với các dạng tín hiệu thử nghiệm khác nhau của phương pháp lọc
thích nghi wavelet nhỏ hơn khi sử dụng hàm wavelet mẹ db8.
Bảng 1. Kết quả thử nghiệm đối với các dạng tín hiệu khác nhau

Tín hiệu khôi phục

Sử dụng db8
Tín hiệu khôi phục
Sử dụng lọc thích nghi wavelet
Tín hiệu
(Gốc max)
Giá trị
cực đại
Sai số cực đại
Giá trị
cực đại
Sai số cực đại
Doppler
(0,4975)
0,5268 0,139 0,5031 0,0790
Bumps
(5,0527)
5,0059 0,4311 5,0033 0,1333
HeaviSine
(6,0000)
5,9909 0,3467 5,9923 0,1711
Blocks
(5,2000)
5,3633 0,3634 5,3039

0,169
Đo mêtan
(3,8000)
3,7992 0,3617 3,8086 0,0946
CT 2
V. KẾT LUẬN

Phương pháp lọc thích nghi wavelet có khả năng chọn được cơ sở wavelet mẹ tối ưu thích
ứng với các dạng tín hiệu cụ thể nên có thể nâng cao được chất lượng đáng kể khi thực hiện xử
lý các tín hiệu có các dạng khác nhau. Các giải thuật để thực hiện phương pháp lọc đã được mô
phỏng trong môi trường Matlab, có thể lập trình được cho hệ vi xử lý kết hợp với DSP biến đổi
tín hiệu sử dụng wavelet, ứng dụng được trong thực tế.

Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Xuân Thiệu (2002), Nghiên cứu ứng dụng khai triển wavelet để giảm nhiễu tín hiệu - Phương pháp
sử dụng các gói wavelet, Tuyển tập các báo cáo khoa học Hội nghị toàn quốc về tự động hóa VICA 5, Hà
nội.
[2] Coifman, R.R. and Wickerhauser, M.V. (1992), Entropi-based algorithm for best basis selection, Yale
University New Haven, Connecticut 06520, USA.
[3] Lovescu, C. (2002), Wavelet transforms in the TMS320C55x, Texas Instruments Application report,
SPRA800.
[4] Thomas S. Shores. Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, McGraw-Hill Primus Custom
Publishing, Copyright â November 2003 All Rights Reserved ♦