Xử lý ảnh số - Khôi phục ảnh part 5 doc

Hay tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng
W
−1
ˆ
f =(
¯
DD + γA
−1
B)
−1
¯
DW
−1
g.
T`u
.
´y ngh˜ıa cu
˙’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’

cu
˙’
a ma trˆa
.
n A v`a B ta thˆa
´
yrˇa
`
ng c´ac ma trˆa
.
n bˆen trong
dˆa
´
u ngoˇa
.
cc´oda
.
ng d¯u
.
`o
.
ng ch´eo v`a do d¯´o c´o thˆe
˙’
´ap du
.
ng c´ac kˆe
´
t qua
˙’
Phˆa

`
n 5.2.3 d¯ˆe
˙’
viˆe
´
tla
.
idu
.
´o
.
ida
.
ng (gia
˙’
thiˆe
´
t M = N)
ˆ
F (u, v)=

¯
H( u, v)
|H( u, v)|
2
+ γ[S
η
(u, v)/S
f
(u, v)]


G(u, v)
=

1
H( u, v)
|H( u, v)|
2
|H( u, v)|
2
+ γ[S
η
(u, v)/S
f
(u, v)]

G(u, v)
(5.22)
v´o
.
i u, v =0, 1, ,N − 1, trong d¯´o |H(u, v)|
2
=
¯
H( u, v)H(u, v).
Khi γ =1sˆo
´
ha
.
ng trong dˆa

´
u ngoˇa
.
c ngo`ai c`ung go
.
il`alo
.
c Wiener. Nˆe
´
u coi γ l`a
biˆe
´
nd¯iˆe
`
u khiˆe
˙’
n th`ı biˆe
˙’
uth´u
.
c n`ay go
.
il`alo
.
c tham sˆo
´
Wiener. Trong tru
.
`o
.

ng ho
.
.
p khˆong
c´o nhiˆe
˜
uth`ıS
η
(u, v) = 0 v`a lo
.
c Wiener ch´ınh l`a lo
.
c ngu
.
o
.
.
cl´ytu
.
o
.
˙’
ng x´et trong Phˆa
`
n
5.4. Tuy nhiˆen khi γ = 1 th`ı Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.22) c´o thˆe

˙’
khˆong pha
˙’
il`al`o
.
i gia
˙’
itˆo
´
iu
.
u
theo ngh˜ıa trong Phˆa
`
n 5.3.2 do γ chu
.
achˇa
´
c d¯˜a thoa
˙’
m˜an r`ang buˆo
.
c g−H
ˆ
f
2
= n
2
.
Tuy nhiˆen c´o thˆe

˙’
ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng l`o
.
i gia
˙’
iv´o
.
i γ =1l`atˆo
´
iu
.
u theo ngh˜ıa cu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a
h`am E{[f(x, y) −
ˆ
f(x, y)]
2
}. Hiˆe
˙’
n nhiˆen d¯ˆay l`a tiˆeu chuˆa
˙’
n thˆo

´
ng kˆe trong d¯´o coi f v`a
ˆ
f l`a c´ac d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng ngˆa
˜
u nhiˆen.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p S
η
(u, v)v`aS
f
(u, v) chu
.
abiˆe
´
t (b`ai to´an thu
.

`o
.
ng gˇa
.
p trong thu
.
.
c
tˆe
´
) ta thu
.
`o
.
ng d`ung xˆa
´
pxı
˙’
ˆ
F(u, v) 

1
H( u, v)
|H( u, v)|
2
|H( u, v)|
2
+ K

G(u, v)

trong d¯´o K l`a hˇa
`
ng sˆo
´
n`ao d¯´o. B`ai to´an cho
.
n γ sao cho tˆo
´
iu
.
u trong phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh s˜e
x´et trong Phˆa
`
n 5.6.
5.6 Khˆoi phu
.
c b`ınh phu
.
o
.
ng tˆo
´
i thiˆe
˙’

u c´o d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
Phu
.
o
.
ng ph´ap b`ınh phu
.
o
.
ng tˆo
´
i thiˆe
˙’
u trong phˆa
`
n tru
.
´o
.
c l`a mˆo
.
tthu
˙’
tu
.
c thˆo

´
ng kˆe do tiˆeu
chuˆa
˙’
ntˆo
´
iu
.
udu
.
.
a trˆen c´ac ma trˆa
.
ntu
.
o
.
ng quan cu
˙’
aa
˙’
nh v`a h`am nhiˆe
˜
u. D
-
iˆe
`
u n`ay chı
˙’
ra

rˇa
`
ng c´ac kˆe
´
t qua
˙’
nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
cbˇa
`
ng c´ach su
.
˙’
du
.
ng lo
.
c Weiner l`a tˆo
´
iu
.
u theo ngh˜ıa trung
b`ınh. Mˇa
.
t kh´ac, phu

.
chˆo
`
ia
˙’
nh trong phˆa
`
n n`ay l`a tˆo
´
iu
.
ud¯ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
ia
˙’
nh cho tru
.
´o
.
c v`a
chı
˙’
cˆa
`
nbiˆe
´

t tru
.
´o
.
cvˆe
`
nhiˆe
˜
u trung b`ınh v`a phu
.
o
.
ng sai. Ngo`ai ra, ch´ung ta c˜ung kha
˙’
o
s´at b`ai to´an thay d¯ˆo
˙’
i tham sˆo
´
γ sao cho r`ang buˆo
.
c (5.13) thoa
˙’
m˜an.
131
Nhu
.
chı
˙’
ra trong Phˆa

`
n 5.3.2, l`o
.
i gia
˙’
icu
˙’
a b`ai to´an phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
˙’
du
.
ng (5.13) phu
.
thuˆo
.
c v`ao ma trˆa

.
n Q.V`ıvˆa
.
y, trong mˆo
.
tsˆo
´
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pa
˙’
nh bi
.
nho`e
do nghiˆe
.
mcu
˙’
a b`ai to´an khˆong ˆo
˙’
nd¯i
.
nh khi thay d¯ˆo
˙’
i c´ac gi´a tri

.
cu
˙’
a ma trˆa
.
n Q. Do d¯´o
vˆa
´
nd¯ˆe
`
quan tˆam l`a nghiˆen c´u
.
u t´ınh chˆa
´
p nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
ccu
˙’
aviˆe
.
ccho
.
n ma trˆa
.
n Q sao cho

nh˜u
.
ng a
˙’
nh hu
.
o
.
˙’
ng xˆa
´
u l`a ´ıt nhˆa
´
t. Ta c´o thˆe
˙’
ph´at biˆe
˙’
umˆo
.
t tiˆeu chuˆa
˙’
ntˆo
´
iu
.
udu
.
.
a trˆen
d¯ ˆo

.
d¯o cu
˙’
a t´ınh tro
.
nchˇa
˙’
ng ha
.
nnhu
.
:cu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a phiˆe
´
m h`am n`ao d¯´o phu
.
thuˆo
.
c v`ao
c´ac d¯a
.
o h`am riˆeng bˆa
.
c hai. Tru
.
´o

.
chˆe
´
tch´ung ta x´et tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pmˆo
.
tchiˆe
`
u.
V´o
.
i h`am r`o
.
ira
.
c f(x),x=0, 1, , d¯ a
.
o h`am bˆa
.
c hai ta
.
i x c´o thˆe
˙’
xˆa

´
pxı
˙’
bˇa
`
ng
∂
2
f(x)
∂x
2
 f(x +1)−2f(x)+f(x − 1).
Khi d¯´o, tiˆeu chuˆa
˙’
ndu
.
.
a trˆen biˆe
˙’
uth´u
.
c n`ay l`a cu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a biˆe
˙’
uth´u
.

c[
∂
2
f(x)
∂x
2
]
2
;t´u
.
cl`a

x
[f(x +1)− 2f(x)+f(x − 1)]
2
−→ min .
Hay du
.
´o
.
ida
.
ng ma trˆa
.
n, cu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a phiˆe

´
m h`am
f
t
C
t
Cf −→ min
trong d¯´o
C =
















1
−21
1 −21
1 −21
.

.
.
1 −21
1 −2
1
















l`a ma trˆa
.
n “tro
.
n” v`a f l`a vector m`a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’

cu
˙’
a n´o l`a c´ac gi´a tri
.
f(x).
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p 2D, ta cˆa
`
ncu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a phiˆe
´
m h`am


∂
2
f(x, y)
∂x
2
+
∂
2
f(x, y)
∂y
2

2
−→ min (5.23)
trong d¯´o to´an tu
.
˙’
Laplace d¯u
.
o
.
.
cxˆa
´
pxı
˙’
bo
.
˙’
i

∂
2
f
∂x
2
+
∂
2
f
∂y
2
 [2f(x, y) − f(x +1,y) −f(x − 1,y)] +
[2f(x, y) − f(x, y +1)− f(x, y −1)]
 4f(x, y) −[f(x +1,y)+f(x − 1,y)+
f(x, y +1)+f(x, y − 1)] .
132
Ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng cˆong th´u
.
c trˆen d¯ˆe
˙’
t´ınh to´an tu
.
˙’

Laplace. Tuy nhiˆen c˜ung c´o thˆe
˙’
t´ınh biˆe
˙’
uth´u
.
c n`ay bˇa
`
ng c´ach t´ıch chˆa
.
p h`am a
˙’
nh f(x, y)v´o
.
i to´an tu
.
˙’
p(x, y):=



0 −10
−14−1
0 −10



.
Nhu
.

chı
˙’
ra trong Phˆa
`
n 5.1.3, lˆo
˜
iphu
˙’
trong t´ıch chˆa
.
pr`o
.
ira
.
c c´o thˆe
˙’
khˇa
´
c phu
.
cbˇa
`
ng
c´ach th´ac triˆe
˙’
n c´ac h`am f(x, y)v`ap(x, y). Tu
.
o
.
ng tu

.
.
nhu
.
c´ach x´ac d¯i
.
nh f
e
ta c´o th´ac
triˆe
˙’
n sau
p
e
(x, y):=



p(x, y)nˆe
´
u(x, y) ∈ [0, 2] ×[0, 2],
0nˆe
´
u x ∈ [3,M − 1] hoˇa
.
c y ∈ [3,N − 1].
Nˆe
´
u f(x, y) c´o k´ıch thu
.

´o
.
c A ×B ta cho
.
n M ≥ A +3−1v`aN ≥ B +3−1dop(x, y)
c´o k´ıch thu
.
´o
.
c3× 3.
Khi d¯´o t´ıch chˆa
.
p
g
e
(x, y)=
M−1

m=0
N− 1

n=0
f
e
(m, n) p
e
(x − m, y −n)
tr `ung v´o
.
i (5.4).

Tu
.
o
.
ng tu
.
.
v´o
.
il´yluˆa
.
n trong Phˆa
`
n 5.1.3, ta c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
udiˆe
˜
n tiˆeu chuˆa
˙’
nd¯ˆo
.
tro
.
no
.
˙’
da
.

ng ma trˆa
.
n. D
-
ˆa
`
u tiˆen, x´et ma trˆa
.
n khˆo
´
i chu tr`ınh
C =











C
0
C
M−1
C
M−2
C

1
C
1
C
0
C
M−1
C
2



C
M−1
C
M−2
C
M−3
C
0












,
trong d¯´o C
j
l`a ma trˆa
.
n chu tr`ınh cˆa
´
p N × N x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i
C
j
:=














p
e
(j, 0) p
e
(j, N −1) p
e
(j, N −2) p
e
(j, 1)
p
e
(j, 1) p
e
(j, 0) p
e
(j, N −1) p
e
(j, 2)
p
e
(j, 2) p
e
(j, 1) p
e
(j, 0) p
e
(j, 3)

p
e
(j, N −1) p
e
(j, N −2) p
e
(j, N −3) p
e
(j, 0)













.
133
V`ı C l`a ma trˆa
.
n khˆo
´
i chu tr`ınh nˆen c´o thˆe
˙’

ch´eo ho´a bˇa
`
ng ma trˆa
.
n W trong Phˆa
`
n 5.2.2.
N´oi c´ach kh´ac
E = W
−1
CW (5.24)
trong d¯´o E l`a ma trˆa
.
nd¯u
.
`o
.
ng ch´eo c´o c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
E(k,j)=



P

k
N


,k mod N

nˆe
´
u k = j,
0nˆe
´
u k = j.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay P(u, v) l`a biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier cu
˙’
a p
e
(x, y). Ch´u´yrˇa
`
ng, c´ac phˆa
`
n
tu

.
˙’
P (u, v) d¯ ˜a d¯ u
.
o
.
.
c chia cho MN (xem d¯oa
.
n cuˆo
´
icu
˙’
a Phˆa
`
n 5.2.3).
Do d¯´o tiˆeu chuˆa
˙’
n l`am tro
.
na
˙’
nh cu
˙’
a (5.23) c´o da
.
ng
f
t
C

t
Cf → min,
trong d¯´o vector f ∈ R
MN
, C l`a ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p MN. D
-
ˇa
.
t Q=Cv`a ch´u´yrˇa
`
ng
Qf
2
= Qf, Qf = f
t
QQf
ta d¯u
.
ad¯ˆe
´
ncu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a phiˆe

´
m h`am c´o da
.
ng trong Phˆa
`
n 5.3.2:
Qf
2
→ min .
Thˆa
.
tvˆa
.
y, nˆe
´
u d¯`oi ho
˙’
i
g − H
ˆ
f
2
= n
2
th`ı nghiˆe
.
mtˆo
´
iu
.

u cho trong (5.13) v´o
.
i Q=Cl`a
ˆ
f =(H
t
H + γC
t
C)
−1
H
t
g.
Hay tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng (do (5.7) v`a (5.24))
ˆ
f =(W
¯
DDW
−1
+ γW
¯
EEW

−1
)
−1
W
¯
DW
−1
g.
Suy ra
W
−1
ˆ
f =(
¯
DD + γ
¯
EE)
−1
¯
DW
−1
g. (5.25)
Ch´u´yrˇa
`
ng c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
bˆen trong dˆa

´
u ngoˇa
.
c c´o da
.
ng d¯u
.
`o
.
ng ch´eo v`a su
.
˙’
du
.
ng kh´ai
niˆe
.
m trong Phˆa
`
n 5.2.3 ta c´o thˆe
˙’
viˆe
´
t
ˆ
F(u, v)=

¯
H( u, v)
|H( u, v)|

2
+ γ|P (u, v)|
2

G(u, v), (5.26)
134
v´o
.
i u, v =0, 1, ,N−1. Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng (5.26) tu
.
o
.
ng tu
.
.
v´o
.
ilo
.
c tham sˆo
´
Wiener trong
Phˆa
`
n 5.5. Kh´ac nhau chu
˙’

yˆe
´
ul`akˆe
´
t qua
˙’
sau n`ay khˆong yˆeu cˆa
`
uhiˆe
˙’
ubiˆe
´
ttu
.
`o
.
ng minh
c´ac tham sˆo
´
thˆo
´
ng kˆe ngoa
.
itr`u
.
mˆo
.
tu
.
´o

.
clu
.
o
.
.
ng nhiˆe
˜
u trung b`ınh v`a phu
.
o
.
ng sai.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
˙’
ng qu´at, Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.13) yˆeu cˆa
`
u tham sˆo
´

γ thoa
˙’
m˜an r`ang
buˆo
.
c g −H
ˆ
f
2
= n
2
. V`ıvˆa
.
y nghiˆe
.
mcu
˙’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh (5.26) chı
˙’
tˆo
´
iu
.
unˆe
´
u γ thoa

˙’
m˜an r`ang buˆo
.
c n`ay. Thuˆa
.
t to´an lˇa
.
pdu
.
´o
.
id¯ˆayd`ung x´ac d¯i
.
nh tham sˆo
´
n`ay. X´et vector
thˇa
.
ng du
.
r := g −H
ˆ
f. (5.27)
Thay
ˆ
f ta d¯u
.
o
.
.

c
r = g −H(H
t
H + γC
t
C)
−1
H
t
g.
Nhu
.
vˆa
.
yc´othˆe
˙’
coi r l`a h`am cu
˙’
a γ. Thˆa
.
tvˆa
.
y, c´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng
Φ(γ)=r, r

l`a h`am sˆo
´
d¯ o
.
nd¯iˆe
.
u tˇang theo γ. Ta cˆa
`
nd¯iˆe
`
uchı
˙’
nh γ sao cho
r
2
= n
2
± a,
trong d¯´o a l`a hˆe
.
sˆo
´
d¯ o d¯ ˆo
.
ch´ınh x´ac. Hiˆe
˙’
n nhiˆen, nˆe
´
u r
2

= n
2
th`ı d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
g − H
ˆ
f
2
= n
2
s˜e thoa
˙’
m˜an.
V`ıΦ(γ)d¯o
.
nd¯iˆe
.
u, nˆen ta c´o thˆe
˙’
dˆe
˜
d`ang x´ac d¯i
.
nh γ thoa
˙’
Phu
.

o
.
ng tr`ınh (5.25)
theo c´ac bu
.
´o
.
c sau:
Bu
.
´o
.
c1. Cho tru
.
´o
.
c gi´a tri
.
ban d¯ˆa
`
u γ;
Bu
.
´o
.
c2. T´ınh
ˆ
f v`a r
2
;v`a

Bu
.
´o
.
c3. D`u
.
ng nˆe
´
u (??) thoa
˙’
m˜an; ngu
.
o
.
.
cla
.
i tˇang γ nˆe
´
u r
2
< n
2
− a hoˇa
.
c gia
˙’
m
γ nˆe
´

u r
2
> n
2
− a.
Ta c´o thˆe
˙’
´ap du
.
ng nh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac t`ım γ, chˇa
˙’
ng ha
.
n thuˆa
.
t to´an Newton-
Raphson, d¯ˆe
˙’
ca
˙’
i thiˆe
.
ntˆo
´

cd¯ˆo
.
hˆo
.
itu
.
.
D
-
ˆe
˙’
thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac t´ınh to´an, ta cˆa
`
nmˆo
.
t v`ai thˆong tin vˆe
`
n
2
. Phu
.
o
.
ng sai cu
˙’

a
η
e
(x, y)l`a
σ
2
e
= E{[η
e
(x, y) − ¯η
e
]
2
}
= E[η
2
e
(x, y)] − ¯η
2
e
,
135