ANALYTIC SOLUTIONS OF ELASTIC TUNNELING PROBLEMS Phần 10 pdf

Section C.3 Fourier Expansion in the Transformed Plane 97
which can be derived from (4.8). Equation (C.6) can be converted into an
expression for the function G

(ασ ), introduced in (4.31), by multiplying (C.6)
by 2µ(1 −ασ). This gives
−i
α
3
µu
o
G

(ασ ) =
c
1
σ
3
+ c
2
σ
2
+ c
3
σ + c
4
+ c
5
σ
−1
+ c

6
σ
−2
(1 − ασ)
2
(1 − ασ
−1
)
2
. (C.8)
§ C.3 Fourier Expansion in the Transformed Plane
The next step in the solution is the conversion of G

(ασ ) into a Fourier series.
This can be accomplished analytically by breaking the fraction on the right-hand
side of (C.8) into partial fractions. Before this is possible, however, we must
reduce the order of its numerator by long-hand division. This results in
−i
α
3
µu
o
G

(ασ ) = α
6
− 2α
4
− 3α
2

+ 2 + α(1 + α
4
)σ
+
e
1
σ
3
+ e
2
σ
2
+ e
3
σ + e
4
(1 − ασ)
2
(α − σ)
2
,
(C.9)
where we have multiplied the remaining fraction on the right by (−σ)
2
/(−σ)
2
,
and where
e
1

= α(α
8
− 2α
6
+ 4α
4
− 6α
2
+ 3),
e
2
=−α
10
− 4α
6
+ 10α
4
− 3α
2
− 2,
e
3
= α(2α
8
+ 2α
6
− 6α
4
− 2α
2

+ 4),
e
4
= 2α
2
(−α
6
+ α
4
+ α
2
− 1).
Breaking the last expression on the right-hand side of (C.9) into partial fractions
gives
e
1
σ
3
+ e
2
σ
2
+ e
3
σ + e
4
(1 − ασ)
2
(α − σ)
2

=−
3(1 − α
2
)
2
1 − ασ
+
(1 − α
2
)
3
(1 − ασ)
2
−
α
3
(1 − α
2
)
2
α − σ
.
(C.10)
Utilizing the series expansions
1
1 − z
=
∞

k=0

z
k
and
1
(1 − z)
2
=
∞

k=0
(k + 1)z
k
, (C.11)
which converge for
|
z
|
< 1, combining coefficients of equal powers of σ , and
converting the last term in (C.10) to the form of the first expansion in (C.11) by
multiplying with (−σ
−1
)/(−σ
−1
), we can finally write (C.9) as
G

(ασ ) =
∞

k=−∞

A
k
σ
k
, (C.12)
98 The Ovalization Boundary Condition Appendix C
where
A
k
= iµu
o









α
−k−1
(1 − α
2
)
2
if k ≤−1
−2α if k = 0
2α
2

(2 − α
2
) if k = 1
α
k−3
(1 − α
2
)
2
[−3 + (k + 1)(1 − α
2
)] if k ≥ 2.
This completes the expansion of the boundary function G

(ασ ), defined in
(4.31), for the ovalization of a tunnel. The stresses and strains can be now be
determined via (B.24), (B.25), and (B.26).
BIBLIOGRAPHY
[1] Atkinson, J.H. (2000) ‘Non-linear soil stiffness in routine design.’
Géotechnique 50(5), 487–508
[2] Attewell, P.B. (1977) ‘Ground movements caused by tunnelling in soil.’
In ‘Proceedings of the International Conference Large Gound Movements
and Structures, Cardiff’ Pentech Press London pp. 812–948
[3] Brinkgreve, R.B.J., and P.A. Vermeer (1998) PLAXIS - Finite Element
Code for Soil and Rock Analyses (Rotterdam: Balkema)
[4] Carranza-Torres, C., and C. Fairhurst (1999) ‘The elasto-plastic response
of underground excavations in rock masses that satisfy the Hoek-Brown
failure criterion.’ International Journal of Rock Mechanics and Mining
Sciences 36, 777–809
[5] Chen, Y.Z. (1994) ‘Multiple circular hole problem for an elastic half-

plane.’ Computers & Structures 52(6), 1277–1281
[6] Churchill, R.V., and J.W. Brown (1990) Complex Variables and Applica-
tions, fifth ed. (McGraw-Hill)
[7] Detournay, E., and C.M. St. John (1988) ‘Design charts for a deep circular
tunnel under non-uniform loading.’ Rock Mechanics and Rock Engineer-
ing 21, 119–137
[8] Detournay, E., and C. Fairhurst (1987) ‘Two-dimensional elastoplastic
analysis of a long, cylindrical cavity under non-hydrostatic loading.’ In-
ternational Journal of Rock Mechanics and Mineral Science & Geome-
chanics Abstracts 24(4), 197–211
[9] Duddeck, H. (1980) ‘Empfehlungen zur berechnung von Tunneln im
Lockergestein.’ Die Bautechniek. (in German)
[10] England, A.H. (1971) Complex Variable Methods in Elasticity (Wiley-
Interscience)
[11] Galin, L.A. (1946) ‘Plane elastic-plastic problem: Plastic regions around
circular holes in plates and beams.’ Prikladnaya matematika i mekhanika
10, 365–386
[12] Gonzalez, C., and C. Sagaseta (2001) ‘Patterns of soil deformations around
tunnels. Application to the extension of Madrid metro.’ Computers and
Geotechnics 28(6-7), 445–468
[13] Gradshteyn, I.S., and I.M. Ryzhik (1994) Table of Integrals, Series, and
Products, fifth ed. (San Diego, CA: Academic Press). Edited by A. Jeffrey
99
100 Bibliography
[14] Hasebe, N., J. Qian, and Y.Z. Chen (1996) ‘Fundamental solutions for half
plane with an oblique edge crack.’ Engineering Analysis with Boundary
Elements 17, 263–267
[15] Jeffery, G.B. (1920) ‘Plane stress and plane strain in bipolar coordinates.’
Transactions of the Royal Society of London, Series A 221, 265–293
[16] Markushevich, A.I. (1977) Theory of Functions of a Complex Variable,

second ed. (New York: Chelsea). Translated from the Russian by R.A.
Silverman
[17] Melan, E. (1932) ‘Der Spannungszustand der durch eine Einzelkraft im in-
nern beanspruchten Halbscheibe.’ Zeitschrift für Angewandte Mathematik
und Mechanik 12, 343–346
[18] Mindlin, R.D. (1940) ‘Stress distribution around a tunnel.’ Transactions
of the ASCE pp. 1117–1153
[19]
(1948) ‘Stress distribution around a hole near the edge of a plate
under tension.’Proceedings of the Society of Experimental Stress Analysis
5, 56–57
[20] Mogilevskaya, S.G. (2000) ‘Complex hypersingular integral equation for
the piece-wise homogeneous half-plane with cracks.’ International Jour-
nal of Fracture 102, 177–204
[21] Morgan, H.D. (1961) ‘A contribution to the analysis of stress in a circular
tunnel.’ Géotechnique 11, 37–46
[22] Muir Wood, A.M. (1975) ‘The circular tunnel in elastic ground.’ Géotech-
nique 25, 115–127
[23] Muskhelishvili, N. I. (1964) Some Basic Problems in the Mathematical
Theory of Elasticity, second ed. (Groningen: Noordhoff). Translated from
Russian by J.R.M. Radok
[24] Peck, R.B. (1969) ‘Deep excavations and tunneling in soft ground.’ In
‘Proceedings of the 7th ICSMFE, Mexico City’ pp. 225–290
[25] Pender, M.J. (1980) ‘Elastic solutions for a deep circular tunnel.’ Géo-
technique 30, 216–222
[26] Pinto, F. (1999) ‘Analytical methods to interpret ground deformations
due to soft ground tunneling.’ Masters thesis, Massachusetts Institute of
Technology
[27] Qian, J., and N. Hasebe (1996) ‘An oblique edge crack and an internal
crack in a semi-infinite plane acted on by concentrated force at arbitrary

position.’ Engineering Analysis with Boundary Elements 18, 155–161
[28] Sagaseta, C. (1987) ‘Analysis of undrained soil deformation due to ground
loss.’ Géotechnique 37, 301–320
[29]
(1988) ‘Author’s reply to Schmidt.’ Géotechnique 38(4), 647–649
[30]
(1998) ‘On the role of analytical solutions for the evaluation of soil
deformations around tunnels.’ In Application of Numerical Methods to
Geotechnical Problems, ed. A. Cividini number 397. In ‘CISM Courses
and Lectures.’ (Vienna: Springer) pp. 3–24. Invited Lecture
Bibliography 101
[31] Schmidt, B. (1988) ‘Discussion to Sagaseta (1987).’ Géotechnique
38(4), 647
[32] Schweiger, H.F. (2001) ‘Comparison of finite element results obtained for
a geotechnical benchmark problem.’ In Computer Methods and Advances
in Geomechanics, ed. Desai et al. Balkema pp. 697–702
[33] Sherman, D.I. (1961) ‘The elastic, heavy half-plane, weakened by holes
of elliptic shape lying sufficiently close to its boundary.’ In Problems of
Continuum Mechanics, Contributions in Honor of the Seventieth Birth-
day of Academician N.I. Muskhelishvili, ed. J. R. M. Radoc and M. A.
Lavrentiev SIAM Philadelphia, PA pp. 440–472
[34] Sokolnikoff, I.S. (1956) Mathematical Theory of Elasticity, second ed.
(McGraw-Hill)
[35] Strack, O.E., and A. Verruijt (2000) ‘A complex variable solution for the
ovalization of a circular tunnel in an elastic half-plane.’In ‘GeoEng 2000,
An International Conference on Geotechnical & Geological Engineering,
Melbourne Australia’ Technomic Publishing Co.
[36]
(2002) ‘A complex variable solution for a deforming buoyant tunnel
in a heavy elastic half-plane.’ International Journal for Numerical and

Analytical Methods Geomechanics. In press
[37] Timoshenko, S.P., and J.N. Goodier (1970) Theory of Elasticity, third ed.
(McGraw-Hill)
[38] Tsamasphyros, G., and P.S. Theocaris (1983) ‘Integral-equation solution
for half planes bonded together or in contact and containing internal cracks
or holes.’ Ingenieur-Archiv 53, 225–241
[39] Uriel, A.O., and C. Sagaseta (1989) ‘Selection of parameters for under-
ground construction.’ In ‘Proceedings of the XIIth International Confer-
ence on Soil Mechanics and foundation Engineering, Rio de Janeiro, Gen-
eral Report, Session 9,’ vol. 4 pp. 2521–2551
[40] Verruijt, A., and J.R. Booker (1996) ‘Surface settlements due to deforma-
tion of a tunnel in an elastic half plane.’ Géotechnique 46(4), 753–756
[41]
(2000) ‘Complex variable analysis of Mindlin’s tunnel problem.’ In
Developments in Theoretical Geomechanics - The John Booker Memorial
Symposium, ed. D. W. Smith and J. P. Carter Balkema pp. 3–22
[42] Verruijt, A. (1997) ‘A complex variable solution for a deforming circular
tunnel in an elastic half-plane.’ International Journal for Numerical and
Analytical Methods in Geomechanics 21, 77–89
[43]
(1998) ‘Deformations of an elastic half plane with a circular cavity.’
International Journal of Solids and Structures 35(21), 2795–2804
[44]
(2001) ‘An approximate solution for the stresses on a rigid tunnel.’In
Proceedings of the International Symposium on Modern Tunneling Science
and Technology, Kyoto, Japan, ed. T. Adachi and K. Tateyama Balkema
pp. 73–76
[45] Yu, Y. (1952) ‘Gravitational stresses on deep tunnels.’ Journal of Applied
Mechanics 19, 537–542
SAMENVATTING

Analytische Oplossingen van Elastische Tunnelproblemen
De methode der complexe variabelen voor het oplossen van tweedimension-
ale lineair-elastische problemen wordt gebruikt om een aantal fundamentele
oplossingen te vinden voor problemen gerelateerd aan tunnels.
De methode wordt gebruikt om de algemene wiskundige representatie te vin-
den voor problemen met resulterende krachten werkend op gaten in een halfvlak.
Zulke problemen komen in de grondmechanica voor bij het ontgraven van tun-
nels. Als tunnels worden ontgraven dan zwelt de grond onder de tunnel als
gevolg van het weghalen van de grond binnen de tunnel. De zwel onder de tun-
nel genereert een resulterende opdrijfkracht op de tunnel, die aanwezig is totdat
de spanningen rondom de tunnel weer in evenwicht komen. De wiskundige rep-
resentatie die afgeleid wordt in dit proefschrift vertoont bijna altijd oneindige
verplaatsingen op het oneindige voor tweedimensionale problemen met resul-
terende krachten die werken op gaten in een halfvlak.
Het oneindige karakter van de verplaatsingen op het oneindige veroorzaakt
door het ontgraven van tunnels leidt ertoe dat de verplaatsingen niet eenduidig
bepaald kunnen worden. Er moet een punt worden gekozen waar de verti-
cale verplaatsingen nul zijn. Voor de oplossingen in dit proefschrift wordt
aangenomen dat de grond zich erg stijf gedraagt voor spanningen onder een
bepaald niveau. Contouren van de spanningen worden gebruikt om het dichtste
punt bij de tunnel te bepalen waar de spanningen onder dit niveau vallen. Als
de spanningen voorbij dit punt steeds kleiner worden, dan kan dit punt gebruikt
worden om de verplaatsingen vast te leggen. De keuze van dit punt heeft uiter-
aard een grote invloed op de verplaatsingen, maar beïnvloedt de spanningen en
rekken niet.
Vervolgens wordt een algemene oplossing afgeleid voor een enkele ronde
tunnel in een elastisch halfvlak, inclusief een resulterende kracht werkend op
de tunnel. De randvoorwaarden voor dit probleem zijn dat de spanningen langs
het oppervlak nul zijn, en dat de verplaatsingen langs de rand van de tunnel
worden opgelegd. Deze algemene oplossing wordt in de rest van dit proefschrift

gebruikt om drie fundamentele oplossingen te vinden voor tunnelproblemen:
het probleem van een opdrijvende starre tunnel, het probleem van grondverlies
rondom een tunnel, en het probleem van de ovalisatie van een ronde tunnel.
102
Samenvatting 103
Het probleem van een opdrijvende starre tunnel doet zich voor wanneer een
zeer stijve tunnelmantel met een verwaarloosbaar gewicht (in vergelijking met
het gewicht van het ontgraven grond) geplaatst wordt in een pas ontgraven
tunnel. Het probleem wordt opgelost door aan te nemen dat de verplaatsingen
op de rand van het gat constant zijn. Dit komt overeen met het geval dat er
een grote hoeveelheid wrijving bestaat tussen de tunnelmantel en de grond. Uit
de oplossing blijkt dat zulke ontgravingen tot een grote mate van zwel kunnen
leiden, maar dat de mate van zwel sterk afhankelijk is van de keuze van het
verticaal gefixeerde punt in de oplossing.
Het probleem van grondverlies rondom een tunnel doet zich voor wanneer
het tunnel graafproces of het plaatsen van een tunnelmantel de grond rondom
de tunnel dichter opeen laat komen (volumeverlies). In de oplossing wordt
aangenomen dat de grond op een uniforme wijze dichter opeen komt. De
oplossing toont dat de zakkingstrog voor dit probleem breder is dan in de prak-
tijk vaak wordt gemeten. Uit de oplossing blijkt dat voor de meeste gevallen
het volume van de zakkingstrog groter is dan het volumeverlies rondom de tun-
nel. Een eenvoudige formule wordt gegeven voor de maximale diepte van de
zakkingstrog voor tunnels waarvan de diepte meer dan tweemaal de straal van
de tunnel bedraagt. Uit de oplossing blijkt ook dat de tunnel zelf zakt als gevolg
van het grondverlies rondom de tunnel.
Het ovalisatieprobleem doet zich voor als de beginspanningen in de onder-
grond ongelijk zijn in verticale en horizontale richting. In de oplossing wordt
aangenomen dat de oneffenheid van de spanningen veroorzaakt dat de tunnel
van een cirkel vervormt naar een ovaal. Uit de oplossing blijkt dat de zak-
kingstrog veel nauwer is dan voor het probleem van grondverlies rondom de

tunnel. Een eenvoudige formule wordt gegeven voor de maximale diepte van
de zakkingstrog voor tunnels waarvan de diepte meer dan tweemaal de straal
van de tunnel bedraagt.
De drie hiervoor behandelde fundamentele oplossingen worden in het proef-
schrift samengenomen om te illustreren hoe deze gebruikt kunnen worden voor
het voorspellen van zakkingstroggen. Het blijkt dat het meenemen van opdrijf-
effecten in de oplossingen een sterk versmallend effect kan hebben op de vorm
van de zakkingstrog. Het niet meenemen van het opdrijfeffect is wellicht een
reden dat de in de praktijk gemeten zakkingstroggen vaak smaller zijn dan uit
de theorie zou volgen.
O.E. Strack, Analytic Solutions of Elastic Tunneling Problems. Ph.D. Thesis,
Delft University of Technology. Delft University Press, 2002.
ABOUT THE AUTHOR
Otto Erik Strack was born in The Hague, The Netherlands in 1971. His family
immigrated to the United States of America in 1974, and he grew up in St. Paul
Minnesota. From 1992 to 1998 he attended the University of Minnesota, where
he graduated cum laude with a Bachelor’s Degree in Geological Engineering.
During his undergraduate career he focused on geo-environmental engineer-
ing, water resources engineering, and the Analytic Element Method (AEM)
for modeling groundwater flow. While completing his undergraduate degree
he worked for Strack Consulting Incorporated as a software developer. There
he designed the C++/FORTRAN user interface for the company’s groundwa-
ter program MLAEM (which has been used for modeling projects such as the
Dutch national groundwater model NAGROM and theYucca mountain project).
In addition, he worked on several modeling projects and tutored participants in
the annual AEM short course given by the company.
After graduating from the University of Minnesota Erik chose to specialize in
soil mechanics and decided to continue his academic career at Delft University
of Technology with Professor Arnold Verruijt. There he focused on analytic
solutions of elastic tunneling problems, which resulted in this thesis. During

his graduate work Erik taught several undergraduate courses and advised two
masters students in their thesis work. He has presented his work at two interna-
tional conferences and was an invited speaker at Professor Verruijt’s retirement
symposium.
Erik has ongoing interests in tunneling problems and the Analytic Element
Method, as well as in Object-Oriented programming. He is also interested in
the direct simulation of granular-fluid systems and will be studying this topic
as a post-doctorate researcher at Sandia National Laboratories in Albuquerque,
New Mexico.