Uốn ngang phẳng những thanh phẳng

84
Chương 5
UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

5.1.KHÁI NIỆM.
Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực.
Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm.
Ví dụ: Dầm chính của một cái cầu (hình 5.1), trục bánh xe lửa (hình 5.2), xà nhà

Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc
với trục dầm, hay là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm.
Một số định nghĩa :
- Nếu ngoại lực cùng tác dụng trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt
phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng.
- Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường
tải trọng.
- Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là một mặt phẳng tạo bởi một trục quán
tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục dầm.
Trên hình 5.3, giả sử y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm, thì mặt phẳng Oyz
là mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn
nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung
tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng
Trong thực tế, những dầm bị uốn
thường là những dầm có mặt cắt ngang là
hình đối xứng qua một tr
ục. Vì vậy, trong
chương này ta chỉ xét các loại dầm có tính
chất đó, nghĩa là các loại dầm có ít nhất một
mặt đối xứng đi qua trục của dầm (hình 5.3).

Ngoài ra, ta cũng giả thiết thêm rằng, ngoại
lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm
và trục đối xứng của mặt cắt ngang, tức là
ngoại lực tác dụng trong một mặt phẳng đối
xứng đi qua trục của dầm. Như vậy, trong
trường hợp uốn phẳng đang xét, mặt phẳng
đối xứng là mặt phẳng tải trọng và đồng thời
là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Vì tính chất đối xứng, nên trục dầm sau khi bị
uốn là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó.
Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng. Ta chia u
ốn phẳng làm hai loại:
a) Uốn thuần túy phẳng.
b) Uốn ngang phẳng.
Hình 5.3:Một dầm chịu uốn
ph
ẳng
V
x
y
z
M
0
P
q(
z)

O
Hình 5.1: Dầm chính
ầ
Hình 5.2: Trụ

c

á
ử
B
P q

85

A. DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG
Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt
ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính
trung tâm.
Trên hình 5.4, hình 5.5: P, M
o
nằm trong mặt phẳng đối xứng.
Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành
phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm (mặt phẳng quán tính chính
trung tâm).
Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy.
5.2. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN
THUẦN TÚY PHẲNG.
Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn
thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của
dầm.
5.2.1. Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm
chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình
chữ nhật.
Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những
đường thẳng song song với trục để biểu diễn các

thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với
trục để biểu diễ
n các mặt cắt ngang (hình 5.6a).
Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu
dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước
kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với
trục dầm
Những đường thẳng trước kia vuông góc với trục dầm, bây giờ vẫn vuông góc với
trục dầm. Như vậy, những góc vuông vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc
vuông (hình 5.6b).

5.2.2. Giả thuyết.
Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một
thanh chịu uốn thuần túy:
a
a
A

Hình 5.4: Dầm chịu
uốn thuần tuý phẳng
M
O
M
O
(M
x
)
M
O
B

l
Hình 5.5: Dầm chịu uốn thuần
tuý ph
ẳng
P
P
C
AB
D
P
P
P
P
(Q
y
)
(M
x
)
Hình 5.6: Biến dạng
của dầm chịu uốn
p
hẳn
g
thuần tu
ý
a)
b
M
x M

x
a
b
c
d

86
a) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Bemili): Trước khi biến dạng mặt cắt
ngang của dầm là phẳng thì sau biến đạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm.
b) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép
lên nhau và cũng không đẩy xa nhau.
Ngoài hai giả thuyết trên, ta còn giả thuyết rằng vật liệu làm việc trong giới hạn
đàn hồi, tức là vật liệu tuân theo đị
nh luật Hooke.
5.2.3. Công thức tính ứng suất pháp:
* Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên
hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên trục dầm bị co lại (thớ ab), các thớ dọc phía
dưới trục dầm bị giãn ra (thớ cd). Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các
thớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng. Các thớ đó gọi là thớ trung
hòa (hình 5.7a).
Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa.
Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa.
Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ
phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b). Mặt cắt
ngang không còn nguyên dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung
hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng
vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng
của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa.
Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a).

Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn
phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc dϕ. Gọi ρ là bán
kính cong của thớ trung hòa O
1
O
2
(hình 5.8b). Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên:
Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý
ẳ
Thớ trung
hoà
Đường
t
rung
hà
y
x
M
x
M
x
Lớp trung

hoà
O
a)

b)
Trục đối
x
ứng
Đường trung
hoà
a
)
Thớ trung
hà
y
d
z
12
O
2
O
1
2
1
m
n
Hình 5.8: Xét sự biến dạng của một th
ớ

ρ

y
d
ϕ
Thớ trung
hoà
m
1
2
n
O
1
O
2
1
2
b
)

87
O
1
O
2
ϕρ=== dOOdz
21

Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách
y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng:
ϕρ
ddzmn ==

và sau khi biến dạng : mn= (ρ + y) dϕ
Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng:
ρ
=
ϕρ
ϕ
ρ
−
ϕ
+
ρ
=ε
y
d
dd)y(
z

Trong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa
xác định.
* Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2. Mặt cắt
đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là
đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiề
u
của các trục như hình vẽ (hình 5.9a).

Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt
tọa độ. Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b. Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt
cắt của phân tố không thể có ứng suất tiếp. Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh
chỉ có ứng suất pháp
σ
z.
.Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σ
x
= σ
y
= 0.
Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên
mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ
giữa σ
z
và ε
Z
như sau :
ρ
εσ
y
EE
zz
== (b)

* Quan hệ ứng suất và nội lực:
Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội lực tác dụng lên phân
tố diện tích đó là σ
z
dF.
Nếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta
được các thành phần phân tố nội lực:
dN
z
= σ
z
dF
dM
y
= (σ
z
dF)⋅x
dM
x
= (σ
z
dF)⋅y
Vì chúng ta nghiên cứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên mọi mặt cắt
ngang của dầm chỉ có mô men uốn M
x
; còn M
y
= 0 và N
z
= 0. Do đó :

N
z
=
0dF
F
z
=
∫
σ
(c)
y
σ
z
d
F
d
F
z
x
x
y
O
M
x
F
a
)
σ
z
σ

z
b
)
Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn
thu
ần tuý phẳng

88
M
y
= 0xdF
F
z
=
∫
σ
(d)
M
x
=
∫
F
z
ydF
σ
(e)
Trong đó các tích phân lấy trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt ngang.
a) Lực trục N
Z
: Mang (b) vào (c) và chú ý tỉ số

ρ
E
là một hằng số ở trên mọi
điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân :
N
z
=
∫∫
==
FF
0ydF
E
ydF
E
ρρ

Rút ra S
x
=
∫
=
F
0ydF
Trong đó, S
x
là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều
đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang.
b) Mô men uốn M
y
: Mang (b) vào (d) ta có :

M
y
=
∫∫
==
FF
0xydF
p
E
xydF
p
E

Rút ra : J
xy
=
∫
=
F
0xydF
Trong đó J
xy
là mô men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy.
Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
c) Mô men uốn M
x
: Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thiết lập
công thức ứng suất pháp. Mang (b) vào (e) ta có:
M
x

=
∫∫
ρ
=
ρ
=
ρ
FF
x
22
J
E
dFy
E
dFy
E

Rút ra :
x
x
EJ
M
1
=
ρ
(5-1)
Trong đó EJ
x
: Độ cứng của dầm khi uốn.
Khi thay (5-1) vào (b) ta được:

y
J
M
x
x
z
=
σ
(5-2)
Trong đó, M
x
: Mô men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox và được
coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dương của trục y.
J
x
: Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox

.
y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox.
Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất
nén .Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ
thuật :
|y|
J
M
x
x
z
±=
σ

(5-3)
Trong đó, ta lấy dấu (+) khi σ
z
là ứng suất kéo và dấu (-) khi σ
z
là ứng suất nén ở
điểm chúng ta tính ứng suất.

5.3. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT.
5.3.1. Biểu đồ ứng suất pháp.

89
Theo công thức (5-2), biểu đồ ứng xuất pháp trên mặt cắt ngang là một mặt phẳng
(thường gọi là mặt phẳng ứng suất), hình 5.10a.
Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hòa.
Theo công thức (5-2), ta thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song
song với đường trung hòa (tức có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp.
Do đó, ta chỉ cần biểu diễ
n sự biến thiên của ứng suất pháp σ
z
theo chiều cao của
mặt cắt ngang (hình 5.10b). Như vậy, ứng suất pháp ở những điểm nằm trên đường thẳng
AB song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng đoạn thẳng ab trên biểu đồ
phẳng (hình 5.10a, b). Trên biểu đồ phẳng (hình 5.10b), dấu (+) chỉ ứng suất pháp kéo,
dấu (-) chỉ ứng suất pháp nén.

5.3.2. Ứng suất pháp lớn nhất.
Từ biểu đồ ứng suất pháp, ta thấy ở những điểm cách xa đường trung hòa nhất thì
ứng suất pháp σ
z

có giá trị lớn nhất.
Kí hiệu: |y
k
max
| là khoảng cách từ điểm chịu kéo cách xa đường trung hòa nhất,
|y
n
ma x
| là khoảng cách từ điểm chịu nén cách xa đường trung hòa nhất.
Thay các trị số này vào (5-3), ta được các ứng suất pháp cực trị như sau:


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=−=
=+=
n
x
x
n
max
x
x
min

k
x
x
k
max
x
x
max
W
|M|
|y|
J
|M|
W
|M|
|y|
J
|M|
σ
σ
(5-4)
Trong đó, ta đặt:
|y|
J
W;
|y|
J
W
n
max

x
n
x
k
max
x
k
x
==
Những đại lượng W
k
x
, W
n
x
được gọi là mô men chống
uốn của mặt cắt ngang; thứ nguyên của nó là (chiều dài)
3
, đơn
vị m
3
, cm
3
v.v
Mô men chống uốn là một đại lượng hình học, ý nghĩa
của nó thể hiện trong công thức (5-4); tức W
x
càng lớn thì dầm
có thể chịu M
x

càng lớn. Như vậy, mô men chống uốn đặc
trưng cho ảnh hưởng của hình dáng và kích thước của mặt cắt
a
)
x
z
y
A
B
M
x
O
Đường trung
hoà
a
b
σ
ma
x
σ
mi
n
y
k
ma x
y
n
ma x
b
)

Hình 5.10: Biểu đồ ứng suất pháp
y
Hình 5.11:
Xác định mô
men chống uốn
của hình chữ
h
y
x
O
b

90
ngang đối với độ bền của dầm khi ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỉ lệ.
Dưới đây, ta tính mô men chống uốn của một vài mặt cắt ngang có dạng hình học
đơn giản.
- Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.11).
Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox:
J
x
=
12
bh
3

Ở đây |y
2
h
|y||
n

max
k
max
==
Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình chữ nhật là:

6
bh
WWW
2
x
n
x
k
x
=== (5-5)
- Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.12).
Mô men quán tính của mặt ngang hình tròn đối với đường trung hòa Ox:
J
x
=
64
D
4
R
44
ππ
=
Ở đây |y
2

D
R|y||
n
max
k
max
===

Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn:
W ===
x
n
x
k
x
WW
32
D
4
R
33
ππ
= (5-6)
hay: W
3
x
n
x
k
x

D1,0WW === (5-7)
- Mặt cắt ngang hình vành khăn (hình 5.12b) .
Nếu gọi α là tỉ số giữa đường kính trong d và đường kính ngoài D, thì mô men
quán tính của mặt cắt ngang vành khăn là:

)1(
64
D
)1(
4
R
J
4
4
4
4
x
α
π
α
π
−=−=
với
R
r
D
d
==
α

Ơ đây:
2
D
R|y|y
n
max
k
max
===
Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang
hình vành khăn là:
W
x
n
x
k
x
WW ==

)1(
4
R
4
3
α−
π
=

)1(
32

D
4
3
α−
π
= (5-8)
hay : W ≈==
x
n
x
k
x
WW0,1D
3
(1-α
4
) (5-9)

5.4. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG.
a)
D
R
r
R
D
d
b)
Hình 5.12: Xác định
mô men chống của
hình vành kh

ăn

91
Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất lớn nhất khi kéo và nén ở mặt cắt
ngang nguy hiểm (nói chung mặt cắt nguy hiểm có max |M
x
| không vượt quá ứng suất
pháp cho phép của vật liệu), đó là điều kiện bền.
Đối với vật liệu dẻo, ứng suất pháp cho phép khi kéo bằng khi nén, nhưng đối với
vật liệu giòn thì ứng suất pháp cho phép khi kéo khác khi nén, nên ta phải viết điều kiện
bền cho cả hai trường hợp:
- Dầm bằng vật liệu dẻo.
Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén bằng nhau:
[σ]
k
=

[σ]
n
= [σ]
Nên trong hai giá trị σ
max
, σ
min
ta sẽ chọn ứng suất pháp có giá trị tuyệt đối lớn
nhất để so sánh với ứng suất pháp cho phép. Điều kiện bền la:
max |σ| ≤ [σ] (5-10)
Trong đó [σ] - ứng suất pháp cho phép của vật liệu dẻo.
- Dầm bằng vật liệu giòn:
Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải có hai điều

kiện bền: σ
max
≤ [ σ]
k
; |σ
min
| ≤ [ σ]
n
(5-11)
Trong đó [σ]
k
và [σ]
n
- ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén.
* Ví dụ 1: Một dầm bằng vật liệu giòn có ứng suất pháp cho phép khi kéo |σ|
k
=
3,5KN/cm
2
và khi nén [σ]
n
= 11KN/cm
2
chịu lực như hình vẽ (hình 5.13). Kiểm tra độ
bền của dầm :
Bài giải :Trước hết ta phải tìm trọng tâm và mô men quán tính của mặt cắt ngang
(xem chương đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng): J
x
= 362,6667cm
4

Biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 5.13b. Vì mô men uốn là một hằng nên ở
bất kì một mặt cắt ngang: M
x
= 4,5 KNm

Qua biểu đồ mô men ta thấy phía trên bị kéo và phía dưới chịu nén. Tức là những
điểm phía trên trục x chịu kéo (điểm A chịu kéo lớn nhất), các điểm phía dưới trục x chịu
nén (điểm B chịu nén lớn nhất).
Ứng suất pháp kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:
max σ
k
= σ
A
=
2
2
k
x
x
cm/KN31,367,2
6667,362
105,4
W
M
≈⋅
⋅
=
Ứng suất pháp nén lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:
Hình 5.13: Kiểm tra độ bền của dầ

m

M
x
4,5KN
4,5KNm4,5KNm

a
)
b
)
y
c)
1
0
14
0
1
0
10
0
2
0
26
7
73
3
x
O
3,31KN/c

m
2
9,1KN/c
m
2
d
)
A
B

92
|max σ
n
| = σ
B
=
2
2
n
x
x
cm/KN11,933,7
6667,362
105,4
W
M
≈⋅
⋅
=
Dầm đủ bền vì max σ

k
< [σ]
k
và max| σ
n
| < [σ]
n

*
Ví dụ 2: Xác định đường kính đoạn trục bánh xe hỏa nằm giữa hai bánh, chịu
lực như trên hình 5.14a. Cho P = 63KN; a = 22,8 cm. Vật liệu có giới hạn bền bằng
26KN/cm
2
. Lấy hệ số an toàn n = 6,3.
Bài giải : Mô men uốn ở mặt cắt ngang trong đoạn nằm giữa hai bánh xe bằng:
M
x
= Pa = 63×22,8 = 1.436 KNcm
Mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn :
W
x
≈ 0,1 d
3
cm
3

Vì trục làm bằng vật liệu dẻo,
nên theo điều kiện bền :

[]

3,6
26
d1,0
4,1436
W
M
3
x
x
=σ≤=
Rút ra:

cm2,15
261,0
3,64,1436
d
3
≅
×
×
≥



5.5. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH DẠNG
HỢP LÍ CỦA MẶT CẮT NGANG
Hình dạng hợp lý của mặt cắt
ngang là hình dạng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít
vật liệu nhất.

a) Dầm bằng vật liệu giòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lí nhất khi ứng suất cực trị
thỏa mãn các điều kiện:
[
]
[
]
n
min
k
max
; σ=σσ=σ
Trong đó [σ]
k
là ứng suất cho phép khi kéo và [σ]
n
là ứng suất cho phép khi nén.
Thay các trị số σ
max
và σ
min
được tính theo công thức (5-7) vào các đẳng thức trên,
ta sẽ được:
n
n
max
x
x
k
k
max

x
x
][|y|
J
|M|
;][|y|
J
|M|
σ=σ=

Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta được:
n
k
n
max
k
max
][
][
|y|
|y|
σ
σ
= (5-12)
Vì đối với vật liệu giòn [σ]
k
<
[σ]
n
nên:

|y||y|hay1
|y|
|y|
n
max
k
max
n
max
k
max
<<
Vậy, đối với dầm bằng vật liệu
giòn, hình dạng hợp lí của mặt cắt
ngang là dạng mặt cắt không đối
xứng qua trục trung hòa Ox và phải
Hình 5.15: Xác định hình
á
í
y
z
x
y
k
ma
x
y
n
ma
x

M
x
O
Hình 5.14: Kiểm tra bền
P
P
P
a
P
P
P
a
(Q
y
)
(M
x
)
b)
a)

93
bố trí sao cho tỉ số giữa |y|vaì|y|
n
max
k
max
thỏa mãn (5-12).
Ví dụ mặt cắt hình chữ T (hình 5.15).

b) Dầm bằng vật liệu dẻo:
Vì với vật liệu dẻo [σ]
k
= [σ]
n
nên: |y||y|
n
max
k
max
=
Tức là mặt cắt ngang có dạng đối xứng qua đường trung hòa Ox, ví dụ như mặt
cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, tròn
Ngoài ra, qua biểu đồ ứng suất pháp như trên (hình 5.10), ta nhận thấy ở những
điểm càng gần trục trung hòa thì trị số ứng suất pháp càng nhỏ, nghĩa là những nơi đó vật
liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa đường trung hòa. Vì vậy, để tậ
n lượng khả năng làm
việc của vật liệu, nên người ta có khuynh hướng bố trí vật liệu ra xa trục trung hòa, ví dụ
mặt cắt ngang dạng chữ T, I, .
Việc bố trí mặt cắt cũng có một ý nghĩa rất lớn. Đó chính là định hướng của mặt
cắt ngang đối với mặt phẳng tải trọng. Ví dụ mặt cắt ngang hình chữ I được bố trí hợp lý
nhất là làm sao cho trụ
c trung hòa trùng với trục mà đối với trục đó J
x
= J
max
.

B. DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt

ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội
lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm.
Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16).
Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực
là lực cắt Q
y
và mô men uốn M
x
. Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng
đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17).
5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG .
Công thức tính ứng suất pháp σ
z
(5-2) được suy ra cho trường hợp M
x
= const.
Nếu mô men uốn M
x
là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt:
dz
dM
Q
x
y
=
x
y
z
M
x

Q
y
Hình 5.17: Nội lực trên
mặt cắt ngang của dầm
ch
ịuuốn ngang phẳng
Hình 5.16: Dầm chịu
lực có mặt cắt ngang
hình ch
ữ nhật
b
d
z

y
x
P
l
1
1
2
2
P
Pl

94
Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn
M
x
gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Q

y
gây ra. Đối với trường hợp này, sau khi bị
biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Mặt cắt ngang không những bị xoay như
trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác dụng của ứng suất
tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp. Nhưng "Lý thuyết đàn
hồi" đã chứng minh rằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang
phẳng mà sai số
mắc phải không lớn. Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính
ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng:
σ
z
= y
J
M
x
x
(5-13)
5.7. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG
PHẲNG.
Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật.
Nói chung, ứng suất tiếp τ
z
ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không
cùng phương với lực cắt Q
y
.
Phân tích ứng suất tiếp τ
z
ra thành hai thành phần τ
zy

và τ
zx
(hình 5.18):

τ
z
=
2
zx
2
zy
ττ
+
Trong đó:τ
zy
là thành phần ứng suất tiếp song song với
lực cắt Q
y
(tức là song song với Oy); τ
zx
là thành phần ứng suất
tiếp vuông góc với lực cắt Q
y
(tức là song song với O
x
).
Cách xác định ứng suất tiếp τ
z
ở một điểm bất kì trên mặt
cắt ngang là vấn khó khăn. Vả lại nếu mặt cắt có dạng hình chữ

nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp τ
zx
rất bé so với τ
zy
. Nên
trong thực tế, người ta thường chỉ xác định thành phần ứng suất
tiếp song song với lực cắt τ
zy
.
Để lập công thức tính thành phần ứng suất tiếp song song
với lực cắt, ta thừa nhận giả thuyết sau:
Thành phần ứng suất tiếp song song và cùng chiều với lực
cắt ở một điểm bất kì K trên mặt cắt ngang là phân tố đều theo đoạn
thẳng đi qua điểm K và vuông góc với lực cắt.
Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằ
ng hai mặt cắt 1-1 và 2-2
(xem hình 5.19 và hình 5.20).
Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc
với lực cắt Q
y
. Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai phần, ta xét sự cân bằng của phần dưới
ABCDEFGH (hình 5.20).
Viết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của
các lực lên phương của trục dầm (trục O
z
).
- Trên mặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là σ
z(1)
(hình 5.20), ta có:
Hình

5.18: Ứng
suất trên
mặt cắt
ngang của
dầm chịu
ố
Q
y
O

τ
τ
xy
τ
zx

95
σ
z(1)
=
y
J
M
x
x

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương Oz bằng:
N
1
=

c
x
x
x
FcFc
x
x
)1(z
S
J
M
ydF
J
M
dF ==
∫∫
σ
(a)
Trong đó: F
c
- Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện tích cắt; S
c
x
- Mô men
tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa O
x
- Trên mặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là σ
z(2)
:
σ

z(2)
= y
J
dMM
x
xx
+

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương O
Z
bằng:
N
2
=
∫
+
=
Fc
x
xx
)2(z
J
dMM
dF
σ
∫
+
=
Fc
c

x
x
xx
S
J
dMM
ydF
(b)
- Trên mặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất
tiếp. Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứng suất tiếp τ
yz
song song với trục O
Z
bằng:
τ
yz
= τ
zy

Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp τ
zy
phân bố đều trên đoạn AB (hình 5.20)
nên thành phần ứng suất tiếp τ
yz
cũng phân bố trên toàn mặt ABEF. Do đó, hình chiếu
của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên phương O
Z
bằng:
T = τ
yz

× diện tích (ABEF) = τ
zy
b
c
dz
Trong đó b
c
là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB) đi qua điểm đang xét
K và vuông góc với lực cắt Q
y
.
Vậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát hình chiếu của các lực
tác dụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương O
Z
:
Σz = 0; N
1
- N
2
+ T = 0
hay
0dzbS
J
dMM
S
J
M
c
zy
c

x
x
xx
c
x
x
x
=+
+
−
τ

Hình 5.19: Phân
tố VCB
y
x
z
σ
z
(
2)
σ
z
(
1)
AB
F
E
DC
G

H
O
b
c
d
z
M
x
+dM
x
M
x
Q
y
Q
y
d
z

1
1
2
2
Hình 5.20: Xác định ứng
suất tiếp

96
rút ra: τ
zy
=

c
x
c
xx
bJ
S
dz
dM

Vì
y
x
Q
dz
dM
=

nên τ
zy
=
c
x
c
xy
bJ
S.Q
(5-14)
Trong đó: S
c
x

- Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục trung hòa; b
c
-
Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt.
Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski.
Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản.

a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21).
Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp τ
zy
trên toàn bộ mặt cắt,
trước hết ta tính thành phần ứng suất
tiếp τ
zy
ở điểm K (hình 5.21).
Bề rộng mặt cắt đi qua điểm K bằng :
b
c
= b.
Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt
(phần dưới) đối với trục trung hòa Ox
bằng:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
22
c
x
h
y
41
8
bh
2
1
y
2
h
y

c
h
bS
Mô men quán tính của mặt cắt đối với
trục trung hòa Ox: J
x
=
12
bh
3

Khi thay các giá trị trên vào (5-
14) ta được:
τ
zy
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
2
y
h
y

41
bh
Q
2
3

Như vậy, quy luật phân bố của τ
zy
là một đường Parabol bậc hai. Những điểm ở trên trục
trung hòa Ox là những điểm có ứng suất tiếp τ
zy
lớn nhất (y=0):
τ
max
=
bh
Q
2
3
y
(5-15)
b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22).
Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp τ
zy
trong lòng chữ I
Tính ứng suất tiếp τ
zy
ở điểm K nằm trong lòng chữ I.
Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng:
b

c
= d ;
S
2
y
dS
2
y
)yd(S
2
xx
c
x
−=−=
Thay chúng vào (5-14), ta được:
Hình 5.2: Xác định ứng
suất tiếp
y
x
y
K
O
b
Q
y
τ
max
h
b
y

x
h
y
Q
y
K

d
O
τ
max
Hình 5 22: Xác
đ
ịnh ứng

97
τ
zy
=
dJ
2
y
dSQ
x
2
xy
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−

Vậy, luật phân bố của τ
zy
dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang chữ I là một
đường Parabol bậc hai.
Ứng suất tiếp τ
zy
đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung hòa (y=0) : τ
max
=
dJ
S.Q
x
xy

Trong đó S
x
là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với trục trung hoà O
x
, đại
lượng này được cho trong các sổ tay kĩ thuật.
c) Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.23)
Đối với trường hợp này : b
c
= 2

22
yR − ; J
x
=
4
R
4
π

() ()
∫∫
−=⋅⋅−=⋅⋅=
R
y
2
3
222
R
y
c
x
)yR(
3
2
dyR2dbS
ξξξξξ

Thay chúng vào (5-14) và chú ý diện tích mặt cắt hình tròn F là π.R
2
:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=
2
2
y
zy
R
y
1
F
Q
3
4
τ

Công thức này chứng tỏ τ
zy
biến
thiên dọc theo đường kính của
mặt cắt ngang hình tròn là đường cong
bậc hai.
Ứng suất tiếp τ

zy
đạt tới giá trị
lớn nhất ở những điểm nằm trên đường
trung hòa (y=0):

F
Q
3
4
y
max
⋅=
τ
(5-17)

5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng
suất
pháp σ
z
do mô men uốn M
x
gây ra, còn có ứng suất tiếp τ
zy
do lực cắt Q
y
gây ra.
Trên hình 5.24 biểu diễn biểu đồ ứng suất pháp σ
z
và ứng suất tiếp τ

zy
dọc theo
x
M
x
b
C
O
B
A
Q
y
τ
ma x
σ
min
A

O

C
D
a
Hình 5.23: Xác định ứng
su
ấttiếp
Q
y
O

K

x

b
c
b(ξ
)
d(ξ
)
y
R
τ
ma
x
ξ

98
chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng.
Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất của các phân tố trên
mặt cắt ngang sẽ khác nhau. Nói chung, chúng ta có ba trường hợp sau :
a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm mép trên cùng và
dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là
trạng thái ứng suất đơn (tại điểm Avà D trên hình 5.24). Điều kiện bền của các phân tố :
- Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max|σ| ≤ |σ| (5-18)
- Đối với dầm bằng vật liệu giòn: σ
max
≤[σ]
k
; σ

min
≤ [σ]
n
(5-19)
b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những điểm trên trục trung hòa
bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái trượt
thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24. Ứng suất chính của phân tố có trị số:
σ
1
= -σ
3
= τ
max
; σ
2
= 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt).
- Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố:
τ
max
≤
2
][
σ
(5-20)
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: τ
max
≤
3
][
σ

(5-21)
Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra.
c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :
Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục trung hòa và mép
trên cùng hay mép dưới cùng đều khác không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở
những điểm này là trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24.
Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất):
2
2
1
22
τ
σσ
σ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
3
22
τ
σσ
σ
+

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
; σ
2
= 0
Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là :
- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
][4
22
σ≤τ+σ
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:
][3
22
σ≤τ+σ
- Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền.
*
Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở trên cùng một mặt cắt
ngang. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men
uốn lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực
cắt lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặ
c biệt, phải chọn mặt cắt có
mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng
của mặt cắt ngang hình chữ I) , cũng có khí ba mặt cắt đó trùng nhau trở thành 2 hay 1 vị
trí.
*

Ví dụ 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu 36 chịu lực như
hình vẽ (hình 5.25a). Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều là

99
q=10
4
N/m , lực tập trung P=20⋅10
4
N, đặt cách gối tựa một khoảng cách a= 0,2m. Ứng
suất cho phép là [σ]=150MN/m
2
.
Bài giải :Biểu đồ lực cắt Q
y
và mô men uốn M
x
được biểu diễn trên hình 5.25b, c.
Chúng ta nhận thấy:
- Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: M
max
= 4,5.10
4
Nm
- Mặt cắt ngang ở A và B có lực cắt lớn nhất: Q
max
= 21.10
4
N
- Mặt cắt ngang ở C, D có mô men uốn M
x

và lực cắt Q
y
đều lớn:
Q
y
= 20,8.10
4
N; M
x
= 4,2.10
4
Nm
Số liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho theo bảng) như sau:
J
x
= 13380cm
4
; W
x
= 743cm
3
; S
x
= 423cm
3
, d = 0,75cm; h = 36cm
a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất và ở biên
trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này. Ứng suất pháp lớn nhất bằng:
σ

max
= ][m/MN150m/MN57,60
10.743
10.5,4
W
M
22
6
4
y
max
σ
=<==
−

So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy nhỏ hơn. Vậy điều kiện bền đối với phân
tố này được thỏa mãn.
b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy:
Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất và ở ngay trên
trục trung hòa của mặt cắt ngang này. Ứng suất tiếp lớn nhất bằng:
τ
max
=
2
28
64
x
xmax
m/MN5,88
10.75,0.10.13380

10.423.10.21
dJ
S.Q
==
−−
−

Trị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình
dạng : [τ] =
2
m/MN6,86
732,1
150
3
][
≈=
σ

So sánh τ
max
với [τ], ta thấy τ
max
lớn hơn một ít khoảng 2%. Điều đó có thể cho
phép.
a
)
b
)
c
)

d
)
a
a
PP
q
l
21.10
4
N
21.10
4
N
20,8.1
0
4
N
4,18.10
4
4,5.10
4
h
x
d
b
t
4
db
−
A

C
D
B
Hình 5.25: Kiểm tra bền

100
c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của chữ I trên mặt cắt
ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát mép trái C hay sát mép phải D. Gọi K là
điểm tiếp giữa lòng và đế của chữ I.
σ
k
=
2
8
4
k
x
x
m/MN6,52)0123,018,0(
10.13380
10.2,4
y
J
M
=−=
−

τ
k

=
2
28
64
x
c
xy
m/MN8,65
10.75,010.13380
10.5,31710.8,20
dJ
SQ
=
⋅
⋅
=
−−
−

Trong đó: S
3
k
xx
c
x
cm5,317
2
77,16
75,077,16423
2

y
dyS =⋅⋅−=−=

Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta xác đinh ứng suất
tương đương là:
σ
td
=
][m/MN150m/MN125)8,65(36,523
22222
k
2
k
σ=<=+=τ+σ

Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền .

5.9. CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN.
Phần trên ta đã trình bày bài toán kiểm tra bền. Ta sẽ trình bày tiếp các dạng bài
toán cơ bản khác trong uốn ngang phẳng:
- Chọn kích thước của mặt cắt.
- Xác định tải trọng cho phép.
Đối với bài toán chọn kích thước của mặt cắt (hay xác định kích thước của mặt
cắt) ,vì ảnh hưởng của ứng suất pháp lớn hơn nhiều so với ảnh hưởng của ứng suất tiếp,
nên để đơ
n giản ta giải quyết bài toán như sau: Trước tiên ta bỏ qua lực cắt và sơ bộ chọn
kích thước mặt cắt như đã làm đối với dầm chịu uốn thuần túy. Nói một cách khác, ta dựa
vào trạng thái ứng suất đơn (phân tố A hoặc D hình 5.24) để sơ bộ chọn kích thước mặt
cắt. Sau đó, phải tiến hành kiểm tra bền ở các phân tố khác như đã nói trên. Nếu điề
u kiện

bền đối với các phân tố chịu trạng thái ứng suất khác không thỏa mãn, thì ta phải thay đổi
kích thước mặt cắt (thường tăng kích thước lên hoặc chọn số hiệu thép định hình lớn
hơn).
Đối với bài toán xác định tải trọng cho phép cũng tiến hành tương tự như vậy.
*
Ví dụ 4: Dầm có mặt cắt ngang với hình dạng chữ I chịu lực như trên hình vẽ
(hình 5.26a). Lực tác dụng P = 2,6.10
4
N, l = 6m và ứng suất cho phép [σ]=160MN/m
2
Xác định số liệu của mặt cắt .
Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M
x
, lực cắt được biểu diễn như trên hình vẽ (hình
5.26b, c). Vì lực cắt ở mọi mặt cắt có trị số
tuyệt đối như nhau, nên mặt cắt nguy hiểm là
mặt cắt có mô men uốn lớn nhất. Ta hãy lấy
mặt cắt về phía bên trái của lực P. Trên mặt
cắt đó ta có:
Q
y
= N13000
2
P
=
M
x
= Nm10.9,3
4
Pl

4
=
P
l
/
2
l/2
a)
P/2
b)
P/
2
Hình 5 26: Bi
ẻu đồ nội
c)
Pl/4

101
Trị số ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt : σ
max
=
26
x
4
x
x
m/N10.160
W
10.9,3
W

M
≤=
Trong điều kiện tiết kiệm nhất ta lấy
σ
ma x
bằng ứng suất cho phép và như vậy ta
sơ bộ tính được trị số mô men chống uốn :
W
x
=
34
6
4
m10.44,2
10.160
10.9,3
−
≈
Căn cứ vào trị số đó, ta sơ bộ chọn kích thước của mặt cắt.
Tra bảng, ta chọn mặt cắt chữ I số hiệu 22a với W
x
= 251cm
3
; J
x
= 2760cm
4
;
S
x

= 141cm
3
; d = 0,53cm; t = 0,88cm; h = 22cm .
Ta phải kiểm tra bền cho toàn dầm với giả thiết dầm có mặt cắt ngang với số hiệu
là 22a.
- Kiểm tra bền đối với phân tố trượt thuần túy: Trị số ứng suất tiếp trên phân tố:
τ
max
=
2
28
6
m/MN5,12
10.53,0.10.2760
10.141.13000
=
−−
−

- Nếu kiểm tra dầm theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất thì ứng
suất tiếp cho phép là: [
τ] =
2
m/MN3,92
732,1
160
3
][
≈=
σ

So sánh ta thấy
τ
max
< [τ], vậy phân tố trượt thuần túy đó thỏa mãn điều kiện bền.
- Kiểm tra bền đối với phân tố tiếp giáp giữa lòng và đế: Ứng suất pháp tại đó là:
σ
k
=
2
8
24
k
x
x
m/MN143
10.2760
10.12,10.10.9,3
y
J
M
==
−
−

Trong đó: y
k
= cm12,10t
2
h

=−
Và ứng suất tiếp:
τ
k
=
2
28
6
x
c
xy
m/MN1,10
10.53,0.10.2760
10.86,113.1300
dJ
S.Q
==
−−
−

Trong đó: S
3
k
xx
c
x
cm83,113
2
y
dyS =−=

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất, ta có ứng suất tương
đương:

σ
td
=
2222
k
2
k
m/MN144)11,10(31433 =+=τ+σ
Ứng suất này nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy điều kiện bền của phân tố được
thỏa mãn.
Số hiệu mặt cắt ngang phải chọn là chữ
I số hiệu 22a.
Ví dụ 5: Dầm có mặt cắt ngang hình
chữ I số hiệu 22a, chịu tải trọng như trên hình
vẽ (hình 5.27). Ứng suất cho phép là [
σ] =
160MN/m
2
, nhịp dầm có độ dài l=6m. Xác
định giá trị của lực P cho phép đặt lên dầm.
Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M
x
và lực
cắt Q
y
được biểu diễn như trên hình vẽ (hình
A

B C
P
l
l
/
3
a
)
b
)
c)
P
P/3
Pl/
3
Hình 5.27:Biểu đồ nội
l
ực

102
5.27). Mặt cắt ngang nguy hiểm nhất là mặt cắt phía bên phải của gối tựa B. Trị số nội
lực trên mặt cắt:
Q
y
= P ; M
x
=
3
lP
1

- Số hiệu kích thước của mặt cắt như đã cho ở ví dụ 4. Điều kiện bền của các điểm ở mép
dưới cùng của mặt cắt:

σ
max
=
2
6
x
x
m/MN160
10.251.3
6.P
W
M
≤=
−

Từ đó suy ra trị số của lực P cho phép:
[P] =
N20080
6
10.251.3.10.160
66
=
−

Kiểm tra các điều kiện khác:
- Đối với phân tố trượt thuần tuý (trên trục trung hoà) ở mặt cắt B có Q=P:

2
28
6
x
xy
max
mMN35,19
1053,0102760
1014120080
dJ
SQ
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
==τ
−−
−

Ứng suất này rất nhỏ so với [
τ], vì [τ] =
2
m/MN3,92
3
160
3
][
==
σ

- Đối với phân tố tiếp giáp giữa lòng và đế. Phân tố đó cách trục trung hòa một

khoảng cách: y
k
= cm12,10t
2
h
=−
Ứng suất tại đó có giá trị:
σ
k
=
22
8
k
x
x
m/MN2,14710.12,10.
10.2760.3
6.20080
y
J
M
==
−
−

τ
k
=
2
28

6
x
c
xy
m/MN62,15
10.53,0.10.2760
10.86,113.20080
dJ
S.Q
==
−−
−

Xét điều kiện bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất:
σ
td
=
2222
k
2
k
m/MN6,149)62,15(32,1473 =+=τ+σ
Ứng suất này nhỏ hơn ứng suất cho phép.
Vậy, lực cho phép trên dầm là [P] = 20080N.


5.10. KHÁI NIỆM VỀ DẦM CHỐNG UỐN ĐỀU.
Ở trên ta mới chỉ xét hinh dạng hợp lí của mặt cắt ngang. Trên thực tế nội lực
thường thay đổi theo chiều dài của dầm nên hợp lý nhất là kích thước mặt cắt ngang cũng
cần thay đổi theo chiều dài của dầm. Nên ngoài mặt cắt ngang hợp lý ta còn phải xét hình

dạng hợp lí của cả dầm.
Trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang không đổi, ta đã chọn kích thước của
dầm theo m
ặt cắt có mô men uốn lớn nhất. Cách sử dụng vật liệu như vậy chưa hợp lí vì
khi ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên mặt cắt có mô men uốn lớn nhất đạt tới trị số
ứng suất cho phép thì ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên các mặt cắt khác còn nhỏ
hơn rất nhiều so với ứng suất cho phép.
Như vậy, ta ch
ưa sử dụng hết khả năng chịu lực của vật liệu ở các mặt cắt khác.
Để tiết kiệm được vật liệu, ta phải tìm hình dạng hợp lí của dầm sao cho ứng suất tại

103
những điểm nguy hiểm trên mọi mặt cắt ngang đều cùng đạt đến giá trị ứng suất cho
phép. Dầm có hình dạng như vậy gọi là dầm chống uốn đều. Ta xét ví dụ cụ thể sau:
Giả sử có một dầm chịu lực như trên hình 5.28. Biểu thức mô men uốn và lực cắt
trên mặt cắt 1-1 nào đó là:
M
x
= z
2
P
; Q
y
=
2
P

Ta giả thiết mặt cắt ngang là hình tròn. Như vậy ứng suất pháp lớn nhất trên mặt
cắt được tính với công thức:
σ

ma x
=
3
x
x
d1,02
zP
W
M
⋅⋅
⋅
=

Theo điều kiện ứng suất pháp lớn nhất trên mọi mặt cắt ngang đều đạt đến ứng
suất cho phép, ta rút ra:
d =
.3
][2,0
z.p
σ

Như vậy, hình dáng của
dầm phải có dạng đường nét đứt
như trên hình 5.29, nhưng hai
đầu mút của dầm, lực cắt là lớn
nhất. Như vậy, kích thước của
mặt cắt ngang ở hai đầu mút
dầm phải thỏa mãn điều kiện
bền về lực cắt, tức là phải xác
định đường kính theo điều kiện

bền:

τ
max
= ][
d
P
3
8
F
Q
3
4
2
y
τ≤
π
=
Từ đó rút ra:
d
1
=
][
P
.
3
8
τπ

Đó là hinh dạng hợp lí

của dầm, nhưng vì khó gia công
nên trong thực tế ngườta chế tạo các
trục có mặt cắt ngang thay đổi từng
bậc (gọi là trục bậc) gần sát với
dạng hợp lí (đường liền trên hình
5.29). Các nhíp xe cũng là những
dạng dầm chống uốn đều.


5.11. QUỸ ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH KHI UỐN
Nói chung một phân tố bất kỳ nào đó trong lòng của thanh chịu uốn ngang phẳng
đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Ở đây, ta hãy xác định phương các ứng suất chính của
các phân tố khác nhau trên một mặt cắt ngang nào đó của dầm chịu uốn ngang phẳng
(hình 5.30a).
Hình 5.29: Hình dáng hợp
lí
ủ
d
P
z
Hình 5.28: Biểu đồ nội lực
l/
P/2
Pl/4
P/2
a)
b)
c)
Q
y

M
x
A
Y
A
=P/2
Y
B
=P/
2
B
l/

104
Đối với các phân tố ở A và E, vì đó là những phân tố chịu trạng thái ứng suất đơn,
nên ta xác định được phương chính của các phân tố đó là các phương song song và vuông
góc với trục thanh.
Đối với phân tố C, vì phân tố đó nằm trên đường trung hòa, nên trạng thái ứng
suất của phân tố là trạng thái trượt thuần túy. Các phương chính có độ nghiêng với trục
thanh 1 góc 45
0
. Đối với các
phân tố ở B và D, các phương
chính tùy thuộc trị số các ứng
suất. Để xác định phương
chính của các phân tố đó, ta
vẽ các vòng tròn Mohr ứng
suất như trên hình vẽ (hình
5.30b). Bằng phương pháp
tương tự, ta có thể xác định

được phương chính của ứng
suất chính ở nhiều điểm trên
dầm. Ta vẽ đường cong có
tiếp tuyến là phương của ứng
su
ất chính. Các quỹ đạo này
họp thành hai họ đường cong
vuông góc với nhau, một họ
là quỹ đạo ứng suất kéo và một họ là quỹ đạo ứng suất nén.
Trên hình (5.31a) biểu diễn các quỹ đạo ứng suất chính của một dầm đặt trên hai
gối tựa, chịu tải trọng phân bố đều, quỹ đạo ứng suất kéo là đường nét đứt, quỹ đạo ứng
suất nén là đường nét liề
n.









Người ta thường dùng các phương pháp thực nghiệm để xác định quỹ đạo ứng
suất chính như phương pháp quang đàn hồi, phương pháp dùng sơn giòn. Sở dĩ ta cần biết
quỹ đạo ứng suất chính vì nó cho phép ta biết cách sắp xếp vật liệu đúng chỗ, làm tăng
khả năng chịu lực của dầm. Ví dụ đối với bêtông là loại vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo
kém. Để tăng khả năng chịu uốn của dầm làm bằng bêtông thì ta đặt cốt thép vào dầm
theo phương quỹ đạo ứng suất chính chịu kéo như trên hình vẽ (hình 5.31b).

5.12. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG THẲNG.
Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng, ta dùng công
thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố trong trạng thái ứng suất phức
tạp :
()
[]
133221
2
3
2
2
2
1
2
E2
1
u
σσσσσσµσσσ
++−++=
Hình 5.30: Phân tích trạng thái ứng
ất
M
x
M
x
Q
y
Q
y
A

B
C
D
E
b
)

a
)
P

P

τ

τ

σ
σ
O

D

O

B

Hình 5.31: Quỹ đạo các ứng suất chính
a)
b)

105
Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân tố là
trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên sẽ có dạng:

[]
31
2
3
2
1
2
E2
1
u σµσ−σ+σ= (a)
Nhưng:
()
2
2
3
22
1
2
2
,)2/(
2
τ+σ−
σ
=στ+σ+
σ

=σ
(b)
Cho nên
E
)1(2
2E2
u
22
µτσ
+
+=

Nếu kể đến:
G
1
E
)1(2
=
+
µ

Thì:
G2E2
u
22
τσ
+= (c)
Công thức (c) cho ta thế năng riêng biến dạng đàn hồi trong dầm chịu uốn ngang
phẳng.
Thay biểu thức của ứng suất pháp

σ và ứng suất tiếp của dầm chịu uốn ngang
phẳng vào đây, ta được:
(
)
()
2
22
x
2
c
x
2
y
2
2
x
2
2
bJG2
S.Q
y
EJ2
M
u
⋅⋅
+=

Thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz:
∫
⋅=

F
dFdzuUd
Thay trị số của u vào và chú ý dz là hằng số đối với biểu thức tích phân, ta có:

(
)
dF
)b(JQ2
SQ
y
EJ2
M
dzU
c2
x
2
c
x
2
y
2
2
x
2
x
F
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫

Nếu đặt:
(
)
()
∫
=
η
dF
b
S
J
F
2
c
2
c
x
2
x

Và chú ý rằng
∫
=

F
x
2
JdFy
Thì thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn dz của thanh:

GF2
dzQ
EJ2
dzM
dU
2
y
x
2
x
η
+=
Vậy, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài l:

∫∫
η+=
1
0
2
y
1
0
x
2

x
GF2
dzQ
EJ2
dzM
U

Nếu dầm có độ cứng hay mô men uốn và lực cắt thay đổi trong từng đoạn thì:

∑
∫
∑
∫
==
η+=
n
1i
li
n
11
li
2
y
x
2
x
GF2
dzQ
EJ2
dzM

U
Trong đó li là chiều dài của đoạn thứ i và n là số đoạn.
Đối với mỗi dạng mặt cắt ngang, ta có hệ số η khác nhau. Hệ số này được gọi là
hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp.
Mặt cắt ngang hình chữ nhật : η = 1,20

106
Mặt cắt ngang hình tròn: η = 1,11
Mặt cắt ngang hình I: η =
1
F
F

Trong đó: F - diện tích cũa chữ I ; F
1
- diện tích của lòng chữ I.

C. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN.
5.13. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.
Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong. Đường cong của trục dầm sau khi bị
uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32).
Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi dầm bị biến dạng,
điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K'.
Khoảng cách KK' được gọi là chuyển vị dài của điểm K. Ta sẽ phân tích chuyển
v
ị này làm hai thành phần:
- Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y).
- Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z).
Trong điều kiện biến dạng của dầm
là bé, ta có thể bỏ qua thành phần chuyển

vị u và xem KK' là bằng v, nghĩa là vị trí
của K sau biến dạng là nằm trên đường
vuông góc với trục thanh (hình 5.32).
Chuyển vị v được gọi là độ võng tại K của
dầm và nó là hàm số đối v
ới hoành độ z
của mặt cắt ngang. Vậy phương trình của
đường đàn hồi có thể viết :
y(z)
= v(z) (a)
Trong kỹ thuật, khi tính dầm chịu uốn, người ta thường khống chế không cho độ
võng lớn nhất của dầm vượt quá một giới hạn nhất định, điều kiện đó được gọi là điều
kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất c
ủa dầm:
f = v
max
(b)
Thì điều kiện cứng thường chọn là:

1000
1
100
1
÷=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

l
f
(c)
Trong đó: l- là chiều dài của nhịp dầm; tùy loại công trình mà người ta quy định
cụ thể trị số
lf .
Sau khi trục dầm bị biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc ϕ, ta gọi góc
xoay này là chuyển vị góc của mặt cắt ngang ở điểm K (còn gọi là góc xoay). Dễ dàng
thấy rằng góc xoay ϕ chính bằng góc giữa đường tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi
và trục dầm khi chưa biến dạng (trục z).
Do đó:
dz
dy
tg =≈
ϕϕ

Vậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng.
5.14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.
Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong của trục dầm sau khi biến
dạng và mômen uốn như sau [xem công thức (5-1)]:
Hình 5.32:Đường đàn hội của
ầ
K
K
’
u
v =
y

z

y
z
đường đàn
hồi

ϕ

ϕ

P

O
t

107

x
x
EJ
M
1
=
ρ
(a)
Mặc khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm số y(z), nên độ cong của
đường đàn hồi được tính theo công thức:

()
2
3

2
y1
y1
′
+
′
′
±=
ρ
(b)
Từ (a) và (b), ta có được buểu thức (c):

x
x
2
3
2
EJ
M
)'y1(
y
±=
+
′
′
(c)
Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Ta phải chọn dấu sao
cho hai vế của đẳng thức trên đều thỏa mãn. Các mẫu số EJ
x
và (1 + y'

1
)
3/2
đều là những
số dương, nên sự liên hệ về dấu giữa vế phải và vế trái của phương trình (c) phụ thuộc
vào sự liên hệ về dấu giữa M
x
và y". Để xét sự liên hệ về dấu, ta khảo sát một đoạn dầm
bị uốn cong trong hai trường hợp như trên hình 5.33.








Từ hình vẽ, ta thấy giữa M
x
và y" luôn luôn ngược dấu, cho nên phương trình vi
phân của đường đàn hồi sẽ có dạng:

()
x
x
2
3
2
EJ
M

y1
y
−=
′
+
′
′
(d)
Trong thực tế , không cho phép các công trình hay chi tiết máy có chuyển vị lớn,
nên góc xoay cũng bé và ta có thể bỏ qua y
’2

so với 1.
Phương trình vi phân có dạng gần đúng như sau:

x
x
EJ
M
y −=
′′
(5-24)
Trong đó, tích EJ
x
là độ cứng của dầm khi uốn.
5.15. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐÀN HỒI BẰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH.
Để có được phương trình của góc xoay và đường đàn hồi ta phải tích phân
phương
trình vi phân (5.24). Vế phải của phương trình (5.24) chỉ là một hàm số của biến số z,
nên phương trình vi phân đó là một phương trình vi phân thường.

Lấy tích phân lần thứ nhất phương trình (5.24) ta được phương trình góc xoay:

∫
+−==ϕ Cdz
JE
M
'y
x
x
(5-25)
Trong đó C là hằng số tích phân.
Hình 5.33: Xác
đ
ịnh dấu của
đ
ư
ờng dàn hồi
x
y
A
M
x
M
x
x
y
A
M
x
M

x
M
x
>0
y’’<
0
M
x
< 0
y’’>
0
b
)
a
)

108
Lấy tích phân lần thứ hai phương trình (5-25) ta được phương trình của đường
đàn hồi:
DdxCdz
JE
M
y
x
x
+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
(5-
26)
Trong đó D là hằng số tích phân.
Như vậy để có ϕ và y ta phải lập được biểu thức của mô men uốn M
x
và của độ
cứng EJ
x
. Các hằng số tích phân C và D được xác định theo các điều kiện biên.
Ví dụ 6: Viết phương trình góc xoay và độ võng của một dầm bị ngàm và chịu lực
tập trung ở đầu tự do. Dầm có độ cứng không đổi.
Bài giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là:
M
x
= - P (l-z) (a)
Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau:

)zl(
JE
P
y
x
−=
′′

Vì EJ
x
là hằng, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoay:
ϕ =
y
′
= C
2
z
JE
P
JE
Plz
2
xx
+− (b)
Tích phân lần thứ hai ta được phương trình của đường đàn hồi:
y =
DCzz
EJ6
P
z
JE2
Pl
3
x
2
x
++⋅−⋅ (c)

Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau:
Khi z=0, thì độ võng và góc xoay bằng không y

=0; y′= 0. Với điều kiện biên đó,
ta tìm được C=0 và D=0. Như vậy phương trình góc xoay và độ võng có dạng:
;
EJ2
Pz
EJ
zPl
y
x
2
x
−
×
=
′
=
ϕ

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=
l
z

3
EJ6
Plz
y
2

Nhìn trên hình (hình 5.34), ta thấy ngay độ võng và góc xoay có giá trị lớn nhất là
ở đầu tự do của dầm (tại z=1):
x
2
max
x
3
EJ2
Pl
;
EJ3
Pl
f ==
ϕ

q
Hình 5.34:Tính độ võng
àó
A
B
y
z
l
y

z
l
/
2
l
/
2
P
A
B
C
r
c
Hình 5.35 Tính độ võng và
ó