Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng ppsx

z



Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải
Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải
toán Hình học phẳng
toán Hình học phẳng
1
MỤC LỤC
Trang 2
MỞ ĐẦU
Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải
những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh
mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật . Đối với học sinh bậc
THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh
mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng
của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải
2
các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải
toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học.
Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức
vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài
nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”.

Chương 1: SỐ PHỨC
Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép toán
và tính chất của số phức.
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán
học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo

1, 1, 1b a b
− − + −
xuất
hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của của các nhà toán học Italy “Nghệ
3
thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và
“Đại số” (1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849
– 1925) đã đánh giá công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột
đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học
thời cổ đại”.
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
1−
là lời giải hình thức của phương trình
2
1 0x
+ =
.
Xét biểu thức
1b −
là nghiệm hình thức của phương trình
2 2
0x b
+ =
. Khi đó biểu
thức tổng quát hơn có dạng
1, 0a b b+ − ≠
có thể xem là nghiệm hình thức của
phương trình
2 2
( ) 0x a b− + =

.
Về sau biểu thức dạng
1, 0a b b+ − ≠
xuất hiện trong quá trình giải phương
trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được
Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là
a ib
+
, trong đó kí hiệu
: 1i
= −
được
L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra
rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu
: 1i = −
là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều
nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung
với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu
tượng thỏa mãn định nghĩa
2
1i = −
.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số
phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì
1i = −
nên
2
1i = −

, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường
của phép toán khai căn bậc hai lại thu được
2 2
1 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 1i = − − = − − = − = =
Như vậy
1 1
− =
.
Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức
2
1i = −
là định nghĩa số mới
i
cho phép ta đưa
vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là
quy ước.
4
Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách
“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó
như sau:
Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tùy ý của
nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các
đoạn AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương
đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí
hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm
i
là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của
phép chứng minh đã lập luận như sau:
Đoạn thẳng RS là
i

, đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí vừa
nhắc lại ở trên ta có
2
( 1)( 1) 1i = − + = −
Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy ở
một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II.
Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức
nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương trình
10
50
x y
xy
+ =


=

Cardano đã tìm được nghiệm
5 5± −
và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” và
thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.
Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của
số học”.
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản
chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn
đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa nhận cá đại
lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G. Leibniz
thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh
thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa
cái có thật và cái không có thật”.

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là
nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các
5
phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số
“ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào thế kỉ
XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng
ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L. Euler (1777 – 1855)
nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre
(1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với
số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là
C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong
công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được gọi
là “sơ đố Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R. Argand – người
thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có
thứ tự (a,b),
,a R b R
∈ ∈
được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton
(1837). Ở đây đơn vị “ảo”
i
chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là
đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách
vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh
chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số
phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở

rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R nghiệm
i
của phương trình

2
1 0x
+ =
.
Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành
trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số
trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực R (và
do đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với
hệ số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái
niệm về số có thể tóm tắt bởi
N Z Q R C
→ → → →
với các bao hàm thức:
6
N Z Q R C
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
.
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học
K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng
tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã
chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách
ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính
và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức.
Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần
khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tgawcs

thực hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó các nhà Toán học luôn luôn
cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của phép cộng và phép
nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số). Tuy nhiên
sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng
trường số phức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong
trường số thực.
Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức
L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:
“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình
sáng tạo của con người”
Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng
vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu.
1.2 Khái niệm số phức
Ta biết rằng trường số thực
¡
nhận được bằng cách làm “đầy” trường số
hữu tỉ
¤
, mà nó được xây dựng từ vành số nguyên
¢
. Việc làm đầy xuất phát từ sự
nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ.
Tuy nhiên trường
¡
vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản

2
1 0 (1)x + =

cũng không có nghiệm trong

¡
. Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong
¡
, người
ta không thể giải thích được tại sao hàm
2
1
( )
1
f x
x
=
+
không thể khai triển được
thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng.
7
Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa
¡
như một
trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói
¡
là trường con
của K nếu các phép toán trên
¡
được cảm sinh bởi các phép toán trên K.
1.2.1 Xây dựng trường số phức
Giả sử trường
£
chứa
¡

như một trường con mà phương trình
2
1 0x
+ =
có nghiệm trong nó, khi đó
£
phải có một phần tử i để
2
1i = −
. Vì
⊂
¡ £
nên
£
chứa tất cả các phần tử dạng
, ,a ib a b+ ∈¡
. Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập
£
các cặp số thực (a,b):
{( , ) : , }a b a b= ∈£ ¡
.
Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng
£
trở thành một trường chứa
¡
như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó). Các
phép toán náy được dẫn dắt từ các phép toán của trường
¡
với chú ý
2

1i = −
i) Quan hệ bằng nhau:
( , ) ( , ) ,a b c d a c b d
= ⇔ = =
ii) Phép cộng:
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d
+ = + +
iii) Phép nhân:
( , ).( , ) ( , )a b c d ac bd ad bc
= − +
Tập hợp
£
với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập
thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:
1)
¡
chứa trong
£
như một trường con (qua đồng nhất
a∈¡
với
( ,0)a ∈£
)
2) Tồn tại nghiệm của phương trình
2
1 0x + =
trong
£
.
1.2.2 Định nghĩa

•
Trường
£
được xây dựng như trên được gọi là trường số phức
•
Mọi phần tử của
£
được gọi là số phức
•
Vậy
z
∀ ∈
£
, ta có

( , ) (1,0) (0,1) , ,z a b a b a ib a b
= = + = + ∀ ∈
¡
Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó
a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez
b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz
•
Số phức liên hợp
Cho
, ,z a ib a b
= + ∀ ∈
¡
, khi đó
z a ib
= − ∈

£
được gọi là số phức liên hợp
của số phức z, kí hiệu là
z
.
8
1.3 Các phép toán trên tập các số phức
1.3.1 Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
là số phức
1 2 1 2
( ) ( ) (1)z a a i b b
= + + +

và được kí hiệu là
1 2
z z z
= +
.
Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau:
i) Kết hợp:
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
+ + = + +
ii) Giao hoán:
1 2 2 1
z z z z

+ = +
Đặc biệt khi
1 2
;z z
là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với định nghĩa phép cộng các
số thực.
1.3.2 Phép trừ
Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
ta có thể tìm được số phức z sao cho
2 1
z z z
+ =
. Số phức
này gọi là hiệu của hai số phức
1
z
và
2
z
, kí hiệu là
1 2
z z z
= −
, rõ ràng từ định nghĩa
ta có
1 2 1 2
( ) ( ) (2)z a a i b b

= − + −
1.3.3 Phép nhân
Ta gọi tích của hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
là số phức z xác định
bởi

1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) (3)z a a bb i a b b a
= − + +
Và kí hiệu là
1 2
z z z=
.
Từ định nghĩa ta có những tính chất sau:
i) Kết hợp
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
=
.
ii) Giao hoán
1 2 2 1
z z z z=
.
iii) Phép nhân có tình phân phối với phép cộng
1 2 3 1 2 1 3
( )z z z z z z z
+ = +

.
Nếu
1
z
và
2
z
là hai số thực thì định nghĩa (3) trùng với định nghĩa thông
thường của phép nhân trong tập hợp các số thực.
Đặc biệt khi lấy
1 2
z z i= =
từ định nghĩa (3) ta có
2
. 1i i i= = −
Rõ ràng với
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
thì công thức (3) có được bằng cách nhân
9
thông thường (phép nhân trong tập hợp số thực) và thay
2
1i = −
.
Chú ý:
2 2
. 0z z a b
= + ≥
1.3.4 Phép chia

Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đó khác
không. Giả sử
2
0z ≠
. Khi đó ta có thể tìm được một số phức
z a ib
= +
sao cho
2 1
.z z z=
. Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

2 2 1
2 2 1
(4)
a a b b a
b a a b b
− =


+ =

Vì
2
0z ≠
nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên luôn luôn
có một lời giải duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z
1
và z
2

.
Giải hệ (4), ta được

1 2 1 2
2 2
2 2
1 2 1 2
2 2
2 2
(5)
a a b b
a
a b
b a a b
b
a b
+

=

+


−

=

+

Kí hiệu

1
2
z
z
z
=
.
Chú ý: Hệ thức (5) cũng có được bằng cách nhân
1
2
z
z
với
1
2
z
z
1.3.5 Lũy thừa bậc n
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Kí hiệu
n
z
.
1.3.6 Căn bậc n
Số phức w được gọi là Căn bậc n của số phức z nếu
w
n
z
=
. Kí hiệu
w

n
z
=
.
1.3.7 Định lí
Với các số phức
1 2
, ,z z z
, ta có:
10
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 1
2
2
) ,
) ,
)
) . 0 ( , , )
)
Suy ra: , ,
)
) 2Re 2 ; 2 Im 2 ( , , )
i z z z
ii z z z
iii z z z z
iv z z a b z a ib a b
v z z z z
z z z

z z
vi
z
z
vii z z z a z z i z ib z a ib a b
λ λ λ
= ∀ ∈ ⊂
= ∀ ∈
+ = +
= + ≥ ∀ = + ∀ ∈
=
= ∀ ∈ ∀ ∈
 
=
 ÷
 
+ = = − = = ∀ = + ∀ ∈
¡ £
£
¡
¡ £
¡
1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.4.1 Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số
phức
, ,z a ib a b
= + ∀ ∈
¡
bởi một điểm có tọa độ (a,b). Như vậy các số thực sẽ

được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực, các số thuần ảo
được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương
ứng với một số phức
z a ib
= +
Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức
£
với tập hợp tất cả các
điểm của một mặt phẳng.
Vì mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ có
bán kính véc tơ
2 2
r a b
= +
và góc cực tương ứng
ϕ
. Do đó mỗi số phức z có thể
biểu diễn dưới dạng
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
. Đây là dạng lượng giác của số phức,
11
Hình 1
trong đó r,
ϕ
lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z. Bán kính r gọi là
modun của số phức z, kí hiệu
r z=

. Góc cực
ϕ
gọi là argument của số phức z, kí
hiệu là
Argz
ϕ
=
Modun của số phức được xác định một cách duy nhất
2 2
0z a b
= + ≥
.
Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của
2
π
.
ar 2 , ( ) 0
Ar
ar (2 1) , ( ) 0
b
ctg k k khi a
a
gz
b
ctg k k khi a
a
π
ϕ
π


+ ∈ >


= =


+ + ∈ <


¢
¢
Với
ar [- ; ]
2 2
b
ctg
a
π π
∈
là giá trị chính của hàm
arctg
.
1.4.2 Một số tính chất
Cho các số phức
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;

1 1 1 1

( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;
2 2 2 2
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
.
Ta có các tính chất sau:
1) Nếu
1 2
z z≡
thì modul của chúng trùng nhau và argument của chúng
1 2
;
ϕ ϕ

sai khác nhau một số nguyên lần
2
π
2) Tính chất của modun và argument
12
Hình 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
) . .
) Re
) Im

) Re Im
)
)
i z z z z
ii z z
iii z z
iv z z z
v z z z z
vi z z z z
=
≥
≥
≤ +
+ ≤ +
− ≤ −
3) Tích của hai số phức
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
. ( os isin ). ( os isin )
[( os os sin sin ) ( os sin sin os )]
[ os( ) sin( )]
z z z r c r c
rr c c i c c
rr c i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = + +
= − + −

= + + +
Như vậy, tích
z
của hai số phức viết dưới dạng lượng giác
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
, ở đó
r
là tích của
1 2
rr
, hoặc
1 1 2 1 2
. .z z z z z=
; còn argument
ϕ
là tổng
1 2
( )
ϕ ϕ
+
của
hai argument thừa số, hay nói cách khác
1 2 1 2
arg arg argz z z z= +
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2

[ ( os isin )].[ ( os isin )] [ ( os isin )]
r [ os( ) sin( )]
n n n
n n n
r c r c r c
r r c i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + +
= + + + + + + +
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1
1 2 1 2
2
( os isin ) ( os isin )( os - isin )
= =
( os isin ) ( os isin )( os - isin )
[( os os sin sin ) (sin os os sin )]
[ os( ) sin( )]
z r c r c c
z r c r c c
r
c c i c c
r
r

c i
r
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ +
+ +
= + + −
= − + −
Do đó,
1
1 1
1 2
2 2 2
àarg arg arg
z
z z
v z z
z z z
= = −
Bây giờ có thể dễ dàng biểu diễn tích
của hai số phức
1 2
z z z=
, với
1 1 1 1
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +

;
2 2 2 2
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +

13
là một điểm với bán kính véc tơ
1 2
rr
và argument
1 2
ϕ ϕ
+
.
1.4.3 Công thức Moivre
Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
, theo công thức ở
trên ta có
[ ( os isin )] ( osn isin ),
n n n
z r c r c n n N
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + ∀ ∈
Công thức trên được gọi là công thức Moivre.
Công thức Moivre cũng đúng khi
n

là các số nguyên âm. Thật vậy:
1 1
1
[ os( ) isin( )]
( os isin )
z r c
r c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −
= = − + −
+
Và:
1 1
( ) [ ( os( ) isin( ))]
[ os( ) isin( )]
n n n
n
z z r c
r c n n
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− − −
−
= = − + −
= − + −
Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của số phức:
Cho
( os isin )z r c
ϕ ϕ

= +
, căn bậc n của số phức z là một số phức biểu diễn
dưới dạng lượng giác
w ( os isin )c
ρ θ θ
= +
, sao cho
w
n
z=
, hay
[ ( os isin )] ( os isin )
n
c r c
ρ θ θ ϕ ϕ
+ = +
.
Theo công thức Moivre, ta có
n
r
ρ
=
, suy ra
n
p r=
, Còn argument
14
Hình 3
n
θ

và
ϕ
sai khác nhau , hay
2 ,( )n k k Z
θ ϕ π
= + ∈
. Vậy
2k
n
ϕ π
θ
+
=
.
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số
2 2
w ( os isin ), ( ),
n
k k
r c k Z
n n
ϕ π ϕ π
+ +
= + ∈
thì ta được
z
. Như vậy:
2 2
( os isin ) ( os isin ),
n

n
k k
r c r c
n n
ϕ π ϕ π
ϕ ϕ
+ +
+ = +
với
0,1,2, , 1k n= −
sẽ nhận được
n
giá trị khác nhau cho
n
z
.
Mỗi giá trị của
n
z
tạo thành cấp số cộng với công bội
2
n
π
, và số hạng
đầu
n
ϕ
(tương ứng k=0).
Do tính chu kì của hàm
sin ;cosx x

với
1k n> +
thì những giá trị của
n
z
lại lặp lại một trong
n
giá trị ban đầu.
Do đó, căn bậc
n
của một số phức
có đúng
n
giá trị khác nhau. Những số
này biểu diễn như đỉnh của
n
đa giác đều
nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ
và bán kính là
n
z
.
1.4.4 Dạng mũ của số phức
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt

os isin
i
c e
ϕ
ϕ ϕ

±
± =
dạng lượng giác được biến đổi thành dạng mũ
15
Hình 4
i
z re
ϕ
=
đó là dạng số mũ của số phức
0z ≠
.
Dễ dàng chứng minh rằng nếu
1 2
1 1 2 2
;
i i
z re z r e
ϕ ϕ
= =
thì :
1 2 )
1 2)
(
1 2 1 2
(
1 1
2
2 2
1. ;

2. ; 0
i
i
z z rr e
z r
e r
z r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
−
=
= ≠
Phép nâng số phức
( os isin )z a ib r c
ϕ ϕ
= + = +
lên lũy thữa bậc n của số
phức được thực hiện theo công thức Moivre
n n in
z r e
ϕ
=
2
w ; 0;1; ; 1
k
i
n n
n
k

z re k n
ϕ π
+
= = = −
Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả của hình
học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học.
16
2.1 Phương pháp giải toán
Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức
z x iy
= +
với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là
tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là
M; đồng thời cũng đồng nhất số phức
z x iy
= +
với véc tơ
OM
uuur
trong đó điểm đầu O
là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z, vì vậy nếu nói M có tọa vị z
thì cũng nói véc tơ
OM
uuur
có tọa vị z. Nhờ vậy, nếu A(z), B(z’) thì véc tơ
AB OB OA
= −
uur uur uur
có tọa vị (z’ -z), hoặc kí hiệu là (A-B), và

| |AB
uur
= |z’ – z| (hay
| |AB
uur
=|A-B|). Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm M
0
(z
0
),
bán kính R là |z – z
0
| = R hay
( )
0
cos isinz z R t t= + +
với tham số t biến thiên trong
đoạn [0; 2
π
] hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung
tương ứng, còn phương trình đường thẳng có dạng:
z x ib
= +
,
onsb c t
=
, đường thẳng song song với trục Ox
z a iy
= +
,

onsa c t
=
, đường thẳng song song với trục Oy
z x iy
= +
,
tany x
ϕ
=
,
ϕ
là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox.
Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành
vectơ
OM
uuur
(O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức
B A−
thành
độ dài vectơ
AB
uur
, bình phương modul của điểm phức
2
M M .M
=
thành vô hướng
vectơ
2
OM

uuur
ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải
không ứng dụng số phức.
Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho.
2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức
Cho trước hai điểm M(m), N(n). Khi đó, độ dài đoạn
( )
MN n m d m;n= − =
.
Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB. Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo
tỷ số
{ }
1k \∈¡
khi và chỉ khi
MA kMB=
uuur uuur
,
( )
a m k. b m− = −
trong đó a, b và m là tọa
vị các điểm A, B và M theo thứ tự đó.
Từ đó, nếu kí hiệu
[ ]
AB
là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) là chỉ đường
17
thẳng AB, kí hiệu
[
)
AB

là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau
Cho trước hai điểm
( ) ( )
A a ,B b
phân biệt và điểm
( )
M m
. Khi đó
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
0 0 1 1 1M AB t : z m t. b m t ; : m t a tb
∈ ⇔ ∃ ≥ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2M AB t : m a t. b a t : m t a tb
∈ ⇔ ∃ ∈ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +
¡ ¡
Định lý 2.1. Cho trước hai điểm
( ) ( )
A a ,B b
phân biệt và điểm
( )
M m
. Khi đó, các
mệnh đề sau tương đương
[
)
( )
( ) ( )

0 1
M AB
t : m t a tb
arg m a arg b a
m a
t
b a
+
• ∈
• ∃ > = − +
• − = −
−
• = ∈
−
¡
Từ đó, để ý rằng
t t t= ∀ ∈ ¡
, ta thu được phương trình của đường thẳng đi
qua hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
W w ,W w
là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
0 3z w . w w z w . w w
− − − − − =

2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
và
1 2
k k
arg z ,k ,
α
= =
. Khi đó, do
( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 2
2Ox,OM OM ,OM Ox,OM mod
π
+ ≡
uur uuuur uuuur uuuur uur uuuur
nên
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 1
2OM ,OM Ox,OM Ox,OM mod
π
≡ −
uuuur uuuur uur uuuur uur uuuur

hay góc định hướng tạo bởi tia
1

OM
với tia
2
OM

bằng
2
1
z
arg
z
.
Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
thì góc định hướng tạo bởi đường
thẳng
1 3
M M
với
2 4
M M
bằng
4 2
3 1
z z
arg
z z

−
−
.
Định lý 2.2. Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi
c a c' a'
b a b' a'
− −
=
− −
18
Hình 5
Và hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi
c a c' a'
b a
b' a'
− −
=
−
−
2.2.2 Tích vô hướng của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
. Khi đó
·
1 2 1 2 1 2
OM .OM OM .OM .cosM OM=
uuuur uuuur
Nếu

k
z
có modul bằng
k
r
và có argument bằng
k
α
thì

( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
OM .OM r .r .cos rr cos cos sin sin
α α α α α α
= − = +
uuuur uuuur
Do đó
( )
1 2 1 2 1 2
1
2
z ; z . z .z z .z= +
Từ đó suy ra
1 2 1 2
z ; z z ;z=
và do đó
1 2
z ;z ∈ ¡
. Tích vô hướng của hai số phức
cũng có tính chất như tích vô hướng của hai vectơ. Ngoài ra

1 2 1 2 1 2 1 2
z ; zz z. z ;z và zz ;z z. z ;z= =
.
Nhận xét 2.1. 1. Trong mặt phẳng phức cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
. Khi đó
1 2
z ;z
bằng phương tích của O với đường tròn đường kính
1 2
M M
.
•
Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c ,D d
là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức, thì
0 0
b a
AB CD b a;d c Re
d c
−
 
⊥ ⇔ − − = ⇔ =
 ÷
−
 
2.2.3 Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích của tam giác ABC định hướng, với các đỉnh
( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c
được tính theo công thức
1
1
4
1
a a
i
S b b
c c
=
Do đó
( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c
thẳng hàng khi và chỉ khi
1
1 0
1
a a
b b
c c
=
.
2.2.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( )
0
M z

đến đường thẳng
0: .z .z
α α β
∆ + + =
bằng
19
( )
0 0
2
.z .z
d M ,
.
α α β
α α
+ +
∆ =
2.2.5 Đường tròn
Đường tròn tâm
( )
0 0
M z
bán kính R là tập hợp những điểm M(z) sao cho
0 0
M M R hay z z R
= − =
tức là
2
0 0 0 0
0zz z z z z z z R
− − + − =

.
Từ đó mọi đường tròn đều có phương trình dạng
0zz z z
α α β
+ + + =
, trong đó
,
α β
∈ ∈
£ ¡
. Đường tròn này có tâm với tọa vị
α
−
, bán kính
R
αα β
= −
.
2.2.6 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức
Phép dời hình.
Phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo véc-tơ
( )
v v
=
r
là phép biến hình biến
điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho
MM ' v.=
uuuur r
Do đó, biểu thức của phép tịnh tiến là

( )
z' f z z v
= = +
Phép quay. Phép quay tâm
( )
0 0
M z
góc quay
α
là phép biến hình biến
M(z) thành điểm M'(z') mà
( )
( )
0 0 0 0
2M M M M ' và M M ;M M ' mod
α π
= ≡
uuuuur uuuuuur
. Từ đó,
biểu thức của phép quay là
( )
0 0
i.
z' z e z z
α
− = −
Phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng
l
là phép biến hình
biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho

l
là trung trực của MM'. Từ đó
•
Phép đối xứng qua trục thực:
( )
z' f z z= =
•
Phép đối xứng qua trục ảo:
( )
z' f z z= = −
•
Do
( ) ( ) ( )
2 Ox; Ox;OM Ox;OM '= +
uur r uur uuur uur uuuur
l
( ở đây
( )
0
z=
r
l
) nên phép đối
xứng qua đường thẳng
l
đi qua gốc tọa độ O và điểm
2
0
i.
z e

α
=
có biểu thức
( )
i.
z' f z e z
α
= =
.
Từ đó, nếu
( )
v
T∆ =
r
l
với
( )
0
v z=
r
thì phép đối xứng qua
∆
có biểu thức
0
2
i.
z' e z z
α
= +

20

Phép vị tự.
Phép vị tự tâm
( )
0
C z
, tỷ số
r
∗
∈¡
là phép biến hình biến mỗi điểm M(z)
thành điểm M'(z') mà
CM ' r.CM
=
uuuur uuur
. Do đó, có biểu thức
( )
0 0
z' r. z z z= − +
.
2.2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn
Định lý 2.3. Ba điểm
( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3
M z ,M z ,M z
thẳng hàng khi và chỉ khi
3 1
2 1

z z
z z
∗
−
∈
−
¡
hay
3 1
2 1
0
z z
Im
z z
 
−
=
 ÷
−
 
.
Định lý 2.4. Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường thẳng hay
đường tròn khi và chỉ khi
3 2 3 4
1 2 1 4

z z z z
:
z z z z
− −
∈
− −
¡
Hệ quả 2.1. Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ
khi
3 2 3 4
1 2 1 4
z z z z
và
z z z z
− −
∈ ∈
− −
¡ ¡
Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
3 2 3 4 3 2 3 4

1 2 1 4 1 2 1 4
z z z z z z z z
: nhung và
z z z z z z z z
− − − −
∈ ∉ ∉
− − − −
¡ ¡ ¡
.
2.2.8 Tích ngoài của hai số phức
21
Hình 6
Hình 7
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
. Khi đó
·
1 2 1 1 1 2
OM OM OM . OM .sin M OM× =
uuuur uuuur uuuur uuuur
Nếu
k
z
có modul bằng
k
r
, và có argument bằng
k

α
thì
( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
OM OM r r .sin r r . sin cos cos sin
α α α α α α
× = − = −
uuuur uuuur
Do đó
( )
1 2 1 2 1 2
2
i
z z z .z z .z× = −
. Từ đó, do
1 2 1 2
z z z z
× = ×
nên suy ra
1 2
0Im z z
× =
.
Tích ngoài của hai số phức cũng có các tích chất như tích ngoài của hai véc-tơ trong
mặt phẳng, ngoài ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
zz z z. z z và z zz z. z z
× = × × = ×
.

Chương này mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số
phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học phẳng.
2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm E và F sao cho
( )
1
1EB k EC,FB FC k
k
= = ≠
uur uuur uur uuur
.
1) Tính
AE,AF , EF theo AB,AC.
uuur uuur uuur uur uuur
2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm.
3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho
DA k DB, IC kIA.= =
uuur uuur uur uur
Chứng
minh
0AE BI CD
+ + =
uuur uur uuur r
.
Giải
1) Tính
AE
uuur
.
Ta viết

AE E A= −
uuur
. Từ giả thiết
EB k EC=
uur uuur
( )
1
1
B E kC kE
k E kC B
kC B
E
k
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ =
−
Từ đó ta có
( )
1 1 1 1
k C A
kC B kC B kA A A B
E A A
k k k k
−
− − − + −
− = − = = +
− − − −
22

( ) ( )
1
1 1
k
B A C A
k k
= − − + −
− −

1
1 1
k
AE AB AC
k k
⇔ = − +
− −
uuur uur uuur
.
Tính
AF
uuur
Ta viết
AF F A
= −
uuur
. Từ giả thiết
1
FB FC
k

=
uur uuur
( )
1
1
C F kB kF
k F kB C
kB C
F
k
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ =
−
Từ đó ta có
( )
1 1 1 1
k B A
kB C kB C kA A C A
F A A
k k k k
−
− − − + −
− = − = = − +
− − − −

( ) ( )
1
1 1

k
C A B A
k k
= − − + −
− −

1
1 1
k
AF AC AB
k k
⇔ = − +
− −
uuur uuur uur
.
Tính
EF
uuur
( )
1 1 1
1 1 1 1
k k k
EF AF AE AB AC AB AC
k k k k
+ +
 
= − = + − = −
 ÷
− − − −
 

uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
2) Ta có
1
kC B
E
k
−
=
−
;
1
kB C
F
k
−
=
−
Suy ra
( ) ( )
1 1
kA kB kC A B C
kC B kB C
A E F A
k k
+ + − + +
− + −
+ + = + =
− −

( ) ( )

( )
1
1
k A B C
A B C
k
− + +
= = + +
−
Đẳng thức này chứng tỏ hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm.
3) Từ giả thiết
DA kDB, IC kIA= =
uuur uuur uur uur
ta tính được
1 1
kB A kA C
D ; I
k k
− −
= =
− −
Sử dụng
AE E A= −
uuur
đã tính ở câu 1) ta có
23
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1

0
1
AE BI CD E A I B D C
kC B kA A kA C kB B kB A kC C
k
k A B C k A B C A B C A B C
k
+ + = − + − + −
− − + + − − + + − − +
=
−
+ + − + + + + + − + +
= =
−
uuur uur uuur
Hệ thức
0AE BI CD
+ + =
uuur uur uuur r
được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của
EF. Chứng minh AMK là tam giác đều.
Giải
Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với
đỉnh A của lục giác đều ABCDEF, trục hoành đi qua hai điểm A, D. Gọi I là tâm lục
giác đều ABCDEF. Ta nhận thấy tứ giác BCDI là hình thoi nên K là trung điểm của
CI. Ta có
C E=
.
( )

( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
30 30
30 30
C C cosarg C i sinarg C C cos i sin
E E cosarg E i sinarg E E cos i sin
= + = +
 
= + = − + −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
60 60 30 60 30 60
30 30
60 60 60 60
C cos i sin C cos isin
E cos i sin E
F F cos i sin I cos isin
   
− + − = − + −
   
 
= − + − =

 
   
= − + − = − + −
   
Vì M là trung điểm của EF, K là trung điểm của CI, nên
24
Hình 8
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 1
60 60 60 60
2 2
M E F C I cos i sin K cos i sin
   
= + = + − + − = − + −
   
Từ đó suy ra
·
0
60M K ,KAM
= =
, do đó tam giác KAM cân ( AK=AM), và có góc
ở đỉnh
·
0
60KAM =
nên KAM là tam giác đều.
Ví dụ 3. (Bất đẳng thức Ptolemy). Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ta luôn có
AB.CD AD.BC AC.BD

+ ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ
tự là đỉnh của một tứ một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.
Giải
Xét mặt phẳng phức, gọi a, b, c, d là tọa vị các đỉnh A, B, C, D trong mặt phẳng phức.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
AB.CD AD.BC a d d c d a c b a d d c d a c b
AB.CD AD.BC c a d b AC.BD
+ = − × − + − × − ≥ − × − + − × −
⇔ + ≥ − − =
Dấu bằng xảy ra khi

( ) ( ) ( ) ( )
0b a d c t d a c b , t− − = − − >
.
Khi đó
·
·
1d a d c d a d c
arg arg
b a t c b b a c b
hay DAB DCB
π
− − − −
   
= × ⇔ =
   
− − − −

   
= −
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm M bất kì trong mặt phẳng.
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2
1 1
3 9
MG MA MB MC AB BC CA= + + − + +
.
Giải
Chọn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn đơn vị và giả sử
( )
( ) ( ) ( )
0
M z ,A a ,B b ,C c
. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ của G xác
25
Hình 9