Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 4 pps

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 07
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số:
3 2 2
2 2 5 2
2
x
z x x xy y y
= + − + + −
1. Tìm cực trị của hàm
2. Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc
0
45
3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Tính
( ) ( )
2 2
2
L
x xy dx xy y y dy
− + − +
∫
Ñ
L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B (
2

, 2), C (0, 2) trong đó
đoạn AB là đường
2
y x=
, đoạn BC là đường y=2 và đoạn CA là
đường y = x + 2 bằng 2 cách:
Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2.
Cách 2: Áp dụng công thức Green.
Câu 3: Giải hệ phương trình vi phân:
{
'
'
3 2 1
3
y y z
z y z
= − +
= + −
với điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0.
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
2
-2
-4
y
x
N
Bài giải
Câu 1:
3 2 2

2 2 5 2
2
x
z x x xy y y
= + − + + −
' 2
'
1
3 4 2 0
2
2 4 5 0
x
y
z x x y
z x y
= + − + =
=− − + =



→-2y=x-
5
2
Thay vào phương trình trên ta có:
2 2
5 1
3 4 3 5 2 0
2 2
x x x x x
+ + − + = + − =

→
1
2
1
3
2
3
x
x
=
= −
→
1
2
13
12
9
4
y
y
=
=
M
1
(
1 13
,
3 12
) M
2

(-2,
9
4
)
''
6 4
xx
z x r
= + =
6 - 8

''
2
xy
z s
= − =
- 2 - 2
''
4
yy
z t
=−=
- 4 - 4
s
2
- rt 4+24=28 4-32=-28<0
Không cực trị Có cực trị
r = -8 cực đại
2.
'

'
1 5
( ) 3.4 8 2
2 2
( ) 4 4 5 5
5
os 5 os 0
2 4 4
x
y
z N
z N
z
c c
l
π π
= − − + =
= − + =
∂
= + >
∂
Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng
lập với truc Ox một góc
0
45
.
3. Hướng thay đổi nhanh nhất là
5
2
i+5j.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
1
2
x
y
A
B
C
Câu 2: * Trực tiếp:
AB: x: -1→
2
,
2
y x=
( )
2
2 2 2 4 2
1
2
2 3 4 5 3
1
2
3 5 6
2
2 4 5
1
1
2 . . .2
2 2 2 2
2

2 2
3 5 3
2 2 8 2 8 1 2 1 2 2 8 2 2
2
3 5 3 3 5 3 3 5 5
x x x x x x x x dx
x x x x x dx
x x x
x x x dx
−
−
−
−
 
− + − +
 
 
= − + − +
 
 
 
= + − = + −
 ÷
 
 
= + − + + + = + + −
∫
∫
∫
BC: x:

2
→0, y=2
( )
0
3
2 2 0
2
2
2 2
4 2 4
3 3
x
x x dx x
 
− = − = − +
 ÷
 
∫
CA: x : 0→-1, y=x+2
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
( )
1
2
2
0
1
2 2 2 2
0

1
3 2
2 1
0
0
2 2 2 2 2
2 4 2 4 4 2
5
5 2 2
3 2
1 5
2
3 2
x x x x x x x dx
x x x x x x x x dx
x x
x x dx x
−
−
−
−
 
 
− + + + − + + +
 
 
= − − + + − − − + +
 
= − − − = − − −
 ÷

 
= − +
∫
∫
∫
Vậy
( ) ( )
2 2
2 2 8 2 2 2 2 1 5
2 2 4 2
3 5 5 3 3 2
8 2 67
5 30
L
x xy dx xy y y dy
− + − + = + + − − + + − +
= +
∫
Ñ
* Áp dụng công thức Green:
2
2P x xy= −
2
P
x
y
∂
= −
∂
,

2
Q xy y y= − +
,
Q
y
x
∂
=
∂
Vậy
( )
2
D
I y x dxdy= +
∫∫
Phần 1: x:-1→0
( )
( )
( )
2
2
2
0 0
2
2 2
1 1
2
0
4
3

1
0
2 4
2 3
1
0
4 2
3
1
5 4 3
2 0
1
dx 2 dx 2
2
2
2 2 2
2 2
2 4 2 2 2
2 2
5
2 6 2
2 2
5
3 2
10 2 6
1 1 5
3 2
10 2 6
y x
y x

y x
y x
y
x y dy x y
x
x
x x x dx
x x
x x x x dx
x x
x x dx
x x x
x x
=+
=+
=
− −
=
−
−
−
−
 
= + = +
 ÷
 
 
+
= + + − −
 

 
 
 
= + + + + − −
 ÷
 
 
= − − + + +
 ÷
 
 
= − − + + +
 ÷
 
=− + + − +
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
1 10 7
10 12 30
=− + =
Phần 2: x : 0→
2
( )
2
2
2
2 2
2

2
0 0
2 2
4 4
3 3
0 0
5 4
2 2
0
2 2
2
4 2 2 2 4 2
2 2
2 2
10 2
4 2 8 2
2 4 2 2 2
10 5
y
y
y x
y x
y
dx x y dy xy dx
x x
x x dx x x dx
x x
x x
=
=

=
=
 
+ = +
 ÷
 
   
= + − − = − − +
 ÷  ÷
   
 
= − − + +
 ÷
 
=− − + + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Vậy

7 4 2 16 2 7 8 2 67
2 2 2 2
30 10 10 30 5 30
D
=− − + + = + + = +
∫∫
Câu 3:
( )
'' ' ' '
' ' '
3 2 3 2 2 3

3 2 2 6 3 2 3 1 6
y y z y y
y y z y y y y
= − = − + −
= − − + = − + − − +
'
'' '
4 5 5
4 5 5
y y
y y y
= − +
→ − + =
* Phương trình thuần nhất:
'' '
4 5 0y y y
− + =
Phương trình đặc trưng:
2
4 5 0
λ λ
− + =
' '
2 2
1 2
4 5 1
2
cos , sin
x x
i

i
y e x y e x
λ
∆ = − =− → ∆ =±
→ = ±
→ = =
2 2
1 2
cos sin
x x
y c e x c e x
= +
* Phương trình không thuần nhất:
{
{
{
' 2 ' 2
1 2
' 2 2 ' 2 2
1 2
' '
1 2
' ' 2
1 2
' '
1 2
' ' 2
1 2
cos sinx 0
(2 cos sinx) (2 sin cos ) 5

cos sinx 0
(2cos sinx) (2sin cos ) 5
cos sinx 0
sinx cos ) 5
x x
x x x x
x
x
c e x c e
c e x e c e x e x
c x c
c x c x x e
c x c
c c x e
−
−
+ =
− + + =
+ =
− + + =
+ =
− + =
→
→
' 2 2 *
1 1 1
5 sinx 5 sin x
x x
c e c e dx c
− −

→ = − → = − +
∫
' 2 2 *
2 2 2
5 cosx 5 cosx
x x
c e c e dx c
− −
→ = → = +
∫
*
2
sin x ?
x
e dx
−
=
∫

2x
e u
−
=
→ du=-2
2x
e dx
−
sinxdx=dv →v =- cosx
2 2
cos 2 cos

x x
e x e xdx
− −
= − −
∫
2 2
2
cos sinx
x x
e u du e dx
xdx dv v
− −
= → = −
= → =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos 2 sinx 2 sin x
5 sin x cos 2 sin
1 2
sin x cos sin
5 5
x x x
x x x
x x x
e x e e dx
e dx e x e x
e dx e x e x
− − −
− − −

− − −
 
=− − +
 
→ =− −
→ =− −
∫
∫
∫
*
2 2 2
cosx 2
x x x
e dx e u du e dx
− − −
→ = → =−
∫

cos sinx xdx dv v
= → =

2 2 2
cosx sin 2 sin
x x x
e dx e x e x
− − −
= +
∫ ∫
2 2
2

sin x cos
x x
e u du e dx
dx dv v x
− −
= → = −
= → = −
2 2 2
cosx sin 2 sin
x x x
e dx e x e x
− − −
= +
∫ ∫
2 2 2
2 2 2
2 2 2
sin 2 os 2 os
5 cosx sin 2 os
1 2
osx sin os
5 5
x x x
x x x
x x x
e x e c x e c x
e dx e x e c x
e c dx e x e c x
− − −
− − −

− − −
 
= + − −
 
→ = −
→ = −
∫
∫
∫
2 2 *
1 1
2 2 *
2 2
cos 2 sin
sin 2 os
x x
x x
c e x e x c
c e x e c x c
− −
− −
 
→ = + +
 
 
= − +
 
Vậy
( ) ( )
( )

( ) ( )
2 2 * 2 2 2 * 2
1 2
* * 2
1 2
' * * * * 2 * * * * 2
1 2 2 1 2 1 1 2
cos 2sinx . cos cos sinx 2cos . sinx sinx
cos sinx 1
sin 2 sinx cos 2 cos 2 sinx 2 cos
x x x x x x
x
x x
y x e e x c e x x e e c e
y c x c e
y c x c c x c x e c c c c x e
− −
= + + + − +
= + +
 
 
= − + + + = − + +
 
 
Thay vào 2z = y
’
-3y-1
( ) ( )
( ) ( )
* * * * 2 * * 2

2 1 1 2 1 2
* * * * 2
1 2 2 1
* * * *
2
2 1 1 2
2 sinx 2 cos 3 cos sinx 3 1
sinx cos 4
cos sinx 2
2 2
x x
x
x
c c c c x e c x c e
c c c c x e
c c c c
z x e
 
 
= − + + − + − −
 
 
 
= − − + − −
 
 
− +
→ = − −
 ÷
 

* *
1 1
y 0 0 1 1c c
= → = + → = −
*
*
2
2
1
3
z 0 0 2
2 2
c
c
+
= → = − → =
2
3
cos sinx 1
2
x
y x e
 
→ = − + +
 ÷
 


2
5 1

cos sinx 2
4 4
x
z x e
 
= − −
 ÷
 
Đáp án-Thang điểm
Câu 1(2đ): *
2
3 5 2 0x x+ − =
→
1 13
,
3 12
 
 ÷
 
(1)
→
9
2,
4
 
−
 ÷
 
* Tại
1

1 13
,
3 12
M
 
 ÷
 
không cực trị (28) (0.25)
* Tại
2
9
2,
4
M
 
−
 ÷
 
cực trị (-28,-8) (0.25)
2. Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo
hướng lập với truc Ox một góc
0
45
(0.25)
3. Hướng thay đổi nhanh nhất là
5
2
i+5j (0.25)
Câu 2(5đ): Vẽ hình: (1/2)
1. Trực tiếp AB→

2 2 8 2 2
2
3 5 5
+ + −
(1/2)
BC →
2 2
4
3
− +
(1/2)
CA→
1 5
2
3 2
− +
(1/2)
8 2 67
5 30
L
= +
∫Ñ
(1/2)
2. Công thức Green:
( )
2
D
y x dxdy+
∫∫
(1/2)

Tích phân trên bằng tổng 2 tích phân:


( )
2
2
0
1
7
2
30
y x
y x
dx x y dy
= +
−
=
+ =
∫ ∫
(1.0)

( )
2
2
2
0
8 2
2 2
5
y

y x
dx x y dy
=
=
+ = +
∫ ∫
(1.0)
Vậy
( )
8 2 67
2
5 30
D
y x dxdy+ = +
∫∫

Câu 3(3đ):
* Khử →
'' '
4 5 5y y y
− + =
(1/2)
* Thuần nhất →
2
4 5 0
λ λ
− + =
→
2 i
λ

= ±

2 2
1 2
cos , sin
x x
y e x y e x→ = =
(1/2)
* Không thuần nhất: →
{
' '
1 2
' ' 2
1 2
cos sinx 0
sinx cos 5
x
c x c
c c x e
−
+ =
− + =

' 2 2 *
1 1 1
5 sinx 5 sin x
x x
c e c e dx c
− −
→ = − → = − +

∫
(0.25)
' 2 2 *
2 2 2
5 cosx 5 cosx
x x
c e c e dx c
− −
→ = → = +
∫
(0.25)

2 2 *
1 1
2 2 *
2 2
cos 2 sin
sin 2 os
x x
x x
c e x e x c
c e x e c x c
− −
− −
 
→ = + +
 
 
= − +
 

(1/2)

( )
* * 2
1 2
cos sinx 1
x
y c x c e= + +
(0.25)

* * * *
2
2 1 1 2
cos sinx 2
2 2
x
c c c c
z x e
 
− +
→ = − −
 ÷
 
(0.25)
* Thay điều kiện:
( )
( )
2 2
2 2
5cos sinx 5

5 1
3cos 2sinx
2 2
x x
x x
y x e e
z x e e
= − + +
=− + + +

→


(1/2)