Ôn thi liên thông đại học môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.84 MB, 98 trang )
1
PGS TS TÔ VĂN BAN
Ôn tập
THI ĐẦU VÀO
VĂN BẰNG II
(Môn TOÁN)
(Phiên bản bê ta VI: 07 - 2007, 03 - 2008,
04 - 2009, 04 - 2010, 4-2011, 4-2012)
2
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI CHUYỂN CẤP VĂN BẰNG 2
Năm 2012 - môn TOÁN
I. Đaị số tuyến tính
1. Đại số ma trận: các phép toán trên ma trận, định thức, cách tính định
thức, hạng ma trận.
2. Hệ phương trình tuyến tính: phương pháp Gauss để giải hệ phương
trình tuyến tính, biện luận nghiệm, nghiệm tổng quát.
3. Không gian véctơ, cơ sở và chiều, một số không gian véc tơ thông
dụng.
II. Vi phân hàm nhiều biến
1. Đạo hàm riêng và vi phân; đạo hàm hàm hợp; tính giá trị gần đúng.
4. Cực trị địa phương.
III. Tích phân bội - Tích phân đường
1. Tính tích phân hai lớp trong toạ độ Đề các, toạ độ cực.
2. -Tính tích phân đường loại 2
- Công thức Green
- Tích phân đường không phụ thuộc đường cong lấy tích phân.
V. Phương trình vi phân
1. Phương trình vi phân cấp 1: phương trình phân ly biến số, phương
trình đẳng cấp, phương trình tuyến tính, phương trình Becnuli, phương
trình vi phân toàn phần.
2. Phương trình vi phân cấp hai: phương trình tuyến tính cấp hai hệ số
hằng số vế phải đặc biệt.
VI. Chuỗi
1. Chuỗi số: các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương (tiêu chuẩn
Dalambert, Côsi,; chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Lepnitz.
2. Chuỗi luỹ thừa: miền hội tụ.
(Chỉ ôn tập trong những dạng cơ bản!)
Tài liệu tham khảo:
[1] Tô Văn Ban, Đào Trọng Quyết, Nguyễn Thị Thanh Hà. Giáo trình
Toán Cao cấp, Nxb QĐND, 2011.
[2] Lê Ngọc Lăng (Chủ biên). Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2
Môn toán T 1,2. NXB giáo dục 1994.
[3] Tống Đình Quỳ. Giúp học tốt môn toán cao cấp ( 4 tập).
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh. Toán học cao
cấp TI, II, III, NXB Giáo dục 2000.
[5] Nguyễn Xuân Viên. Bài tập giải tích 1. HVKTQS 2005.
3
C ẤU TR ÚC Đ Ề MÔN TOÁN CHUYỂN CẤP- VBII
Năm 2012
TT Phần Nội dung Số điểm
1 Đại số TT Ma trận
Hệ PTTT
Cơ sở, số chiều của KGVT
3
2 Hàm nhiều biến Đạo hàm riêng
Cực trị
2
3 Tích phân hàm
nhiều biến
Tích phân kép (2 biến)
Tích phân đường loại II
2
4 Phương trình vi
phân
Cấp I: Phân ly, đẳng cấp Tuyến
tính, Bernoulli, toàn phần
Cấp II: Tuyến tính, hệ số hằng
số, vế phải đặc biệt
2
5 Chuỗi Miền hội tụ 1
Ngày 24 - 03 – 2012
Chủ nhiệm Khoa
4// Đào Thanh Tĩnh
Chủ nhiệm Bộ môn
4// Tô Văn Ban
Người biên soạn
Tô Văn Ban
Địa chỉ liên hệ
Bộ môn Toán, Khoa CNTT,
Phòng 1408, Tầng 4, Nhà A1
(sát đường Hoàng Quốc Việt)
ĐT. 069 515 330
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
4
CHƯƠNG I. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
§ 1.1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
1.1.1 Ma trận, các phép toán trên ma trận
a. Định nghĩa ma trận, các loại ma trận
Ma trận A cấp
m n
là một bảng m.n số xếp thành m hàng n cột
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a . . . a
a a . . . a
A
. . . . . . . . .
a a . . . a
(Ta còn viết
ij mxn
A [a ]
hay
ij
A [a ]
)
Ở đây: i là chỉ số hàng, j là chỉ số cột; phần tử trên hàng i, cột j là
ij
a
.
Ví dụ 1.1 A=
1 2 3
4 5 6
là ma trận cỡ 23, a
11
=1 a
23
= 6 …
Nếu số hàng khác số cột, ta có ma trận chữ nhật. Nếu số hàng bằng số cột (m = n), ta
có ma trận vuông cấp n.
Ma trận vuông mà mọi phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 gọi là ma trận đường
chéo.
Ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 gọi là ma trận
đơn vị, ký hiệu là E (đôi khi là I).
Hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và những phần tử tương ứng ở cùng
hàng, cùng cột thì bằng nhau.
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0, ký hiệu là O.
Ví dụ 1.2. Cho các ma trận
2
2
2 a a a 0 0
1 3 0 1 3 a
A ; B a 0 1 ; C 0 1 0 ; D
3 2 5 3 a 2 5
0 0 2
a 1 2
;
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
(đôi khi viết tắt là
1
1
1
);
0 0 0 0
F 0 0 0 0
0 0 0 0
.
A là ma trận cấp
2 3
, có 2 dòng, 3 cột;
23
a 5
.
B là ma trận vuông cấp 3 (3 dòng, 3 cột);
C là ma trận đường chéo (cấp 3); E là ma trận đơn vị (cấp 3).
F là ma trận không, cấp
3 4
.
A D
, khi và chỉ khi
a 0
.
b. Các phép toán trên ma trận
Cộng ma trận. Cho hai ma trận cùng cấp
ij ij
m n m n
A a , B b
.
Tổng của A và B là ma trận
ij ij
m n
C A B a b
.
Tính chất
* A B B A
* A O O A A
* (A B) C A (B C)
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
5
Nhân ma trận với một số
Cho
ij
m n
A a , k
; tích kA là ma trận xác định bởi
ij
m n
kA ka
.
Quy tắc: Khi nhân một số với ma trận, ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với số đó.
Tính chất. Cho A, B là những ma trận cùng cấp, h,k
. Khi đó,
k(A B) kA kB,
(h k)A kA hA, k(hA) (kh)A.
Phép nhân ma trận với ma trận
Cho hai ma trận
ij ij
m p p n
A a , B b
(số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B).
Ta gọi tích AB là ma trận
ij
m n
C c
có m hàng, n cột mà phần tử c
ij
được xác định
bởi công thức:
p
ij i1 1j i2 2j ip pj ik kj
k 1
c a b a b a b a b
.
Như vậy, để thu được phần tử ở hàng i, cột j của ma trận tích, ta thực hiện theo sơ đồ
nhân sau
Hàng i của ma trận A Cột j của ma trận B
Ví dụ 1.3.
1 0
1 3 0 5 4
A ; B AB
2 1
3 2 5 22 3
3 1
.
Tính chất. Giả sử rằng các phép nhân sau đây thực hiện được, ta có:
(AB)C A(BC)
: Tính kết hợp
A(B C) AB AC
(B C)A BA CA
: Phép nhân phân phối với phép cộng
Lưu ý. Nói chung, kể cả 2 ma trận A và B vuông, cùng cấp, ta không có
AB BA
.
Như vậy, phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Xét ví dụ
1 0 0 1 0 1 0 0
A ; B AB BA .
0 0 1 0 0 0 1 0
c. Ma trận chuyển vị. Cho ma trận
ij mxn
A [a ]
. Ma trận B nhận được từ ma trận A
bằng các viết dòng i thành cột i:
ji nxm
B [a ]
, được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A,
ký hiệu là
T
A
.
1j
2j
i1 i2 i3 in 3j
nj
b
b
(a a a . . . a ) b
b
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
6
Tính chất. Nếu có thể nhân ma trận A với ma trận B thì
T T T
(AB) B A
.
Ma trận đối xứng. Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu
T
A A
.
Ví dụ 1.4.
T
1 1
1 2 4
2 3
1 3 0
4 0
. Ma trận
1 2 5
C 2 0 3
5 3 4
là đối xứng.
1.1.2. Định thức
a. Định nghĩa
Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) hoặc | A |,
xác định theo quy nạp như sau.
* A là ma trận cấp một: A = [a], det(A) = a.
* A là ma trận cấp hai:
a b
A
c d
,
a b
det(A) det ad bc.
c d
* Giả sử ta đã xác định được định thức cấp n - 1. Cho A là ma trận cấp n
11 12 1n
21 22 2n
ij
n1 n2 nn
a a . . . a
a a . . . a
A a
. . . . . . . . .
a a . . . a
.
Gọi
1j
A
là ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách bỏ đi hàng 1, cột j. Khi đó
1 n
11 12 1n
11 12 1n
det(A) a det(A ) a det(A ) ( 1) a det(A )
.
Định thức của ma trận vuông cấp n gọi chung là định thức cấp n.
* Tính định thức cấp 2 và 3
Ví dụ 1.5. Tính det(A) với i.
2 3
A
5 4
, ii. A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Giải. i. det(A) = 2 4 - 3 5 = - 7
ii.
1 2 3
5 6 4 6 4 5
4 5 6 1 2 3
8 9 7 9 7 8
7 8 9
= (4.5 + 6.8) - 2(-4.9 -6.7) + 3 (4.8-5.7) = 240.
Có thể tính định thức cấp 3 theo sơ đồ sau: Giả sử A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
.
* Viết thêm cột 1 và 2 bên cạnh A :
* Tính det(A) = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
- a
13
a
22
a
31
- a
11
a
23
a
32
- a
12
a
21
a
33
Ví dụ 1.6. Tính det(A) với A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
7
1 2 3 1 2
4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
det(A) = 1.5.9 + 2.6.7 +3.4.8 - 3.5.7 +1.6.8 +2.4.9 = 240
b. Tính chất của định thức
Phép chuyển vị ma trận không làm thay đổi giá trị định thức
T
det(A) det(A )
.
Nếu đổi chỗ 2 hàng của ma trận thì định thức đổi dấu.
Nếu ta cộng vào một hàng nào đó một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định
thức không đổi.
Nếu ta nhân các phần tử của hàng nào đó với cùng một số C rồi cộng vào hàng khác
thì định thức không đổi.
Một ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của nó bằng 0.
Nếu ma trận có một hàng gồm toàn số 0 thì định thức của nó bằng 0.
Nếu ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức tương ứng bằng 0.
Nếu nhân các phần tử của một hàng của ma trận với cùng một số k thì định thức của
ma trận được nhân lên k lần.
Tương tự các điều nói trên với cột.
Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì
det(A B) det(A)det(B)
.
Lưu ý. Nói chung
det(A B) det(A) det(B)
.
c. Cách tính định thức
Cách 1.( Khai triển theo hàng hoặc cột)
Xét ma trận vuông
ij
A a
cấp n.
ij
A
: Ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j;
i j
ij
ij
A 1 A
: phần bù đại số của phần tử a
ij
.
(Ta thường làm xuất hiện thêm số 0 ở hàng hoặc cột dự định sẽ khai triển để giảm
bớt số định thức cấp n - 1). Khi đó
n
ik ik
k 1
det A a A
(Khai triển theo hàng i)
n
kj kj
k 1
detA a A
(Khai triển theo cột j)
Cách 2. (Chủ yếu)
Sau đây chúng ta dùng các phép biến đổi sơ cấp (xem Bảng 1.1) để đưa định thức đã
cho về dạng tam giác. Khi ấy, giá trị của định thức cho bởi
11 12 1n
22 2n
11 22 nn
nn
a a a
0 a a
det(A) C C.a .a a
0 0 a
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
8
11
21 22
11 22 nn
n1 n2 nn
a 0 0
a a 0
det(A) C C.a .a a
a a a
(1.7)
(Giá trị C phụ thuộc vào các phép biến đổi sơ cấp đã sử dụng).
Bảng 1.1. Các phép biến đổi sơ cấp về hàng
Biến đổi sơ cấp (về hàng) Tác dụng
Nhân một hàng với một số
k 0
Định thức được nhân với k Hạng không đổi
Đổi chỗ 2 hàng Định thức đổi dấu Hạng không đổi
Cộng k lần một hàng nào đó vào
hàng khác
Định thức không đổi Hạng không đổi
Ví dụ 1.7. Tính định thức:
0 1 2 10
1 2 3 4
A
2 5 15 18
1 1 1 4
Giải. Trước tiên ta làm xuất hiện thêm hai số 0 ở cột một rồi khai triển theo cột này:
2 1
0 1 2 10 0 1 2 10
1 2 10
1 2 3 4 1 2 3 4
A 1 .1. 1 9 10
2 5 15 18 0 1 9 10
1 2 0
1 1 1 4 0 1 2 0
1 3
1 2 10
0 7
0 7 0 ( 1) 10 . 10. 7 70
1 2
1 2 0
.
Ví dụ 1.8. Tính định thức của ma trận
2 2 0 2
1 2 0 1
A
1 1 1 1
2 1 0 1
.
Giải. Ta đưa dịnh thức về dạng tam giác trên bằng các phép biến đổi sơ cấp
2 2 0 2 1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 0 1 0 2 0 0 0 1 1 2
det(A) 2 2
1 0 1 1 0 1 1 2 0 2 0 0
2 1 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 2 0 1 1 2
2 2 4
0 0 2 4 0 0 2 4
0 0 2 5 0 0 0 1
.
Bài tập. Tính các định thức:
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
9
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1 1 4 3 6
1. 3 1 4 2. 3.
1 1 1 1 1 3 4 5
1 2 1
1 1 1 1 1 8 7 10
3 5 7 4 4 1 1 6
2 1 4 3 5 1 1 7
4. 5.
1 2 1 0 3 2 1 3
2 1 2 2 1 4 1 2
Đáp số: 1) 0; 2) 16; 3) -16; 4) 24; 5) -5
1.1.3. Ma trận nghịch đảo
Cho A - ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = E,
(E là ma trận đơn vị cấp n) thì ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu
1
B A
. Khi đó, ma trận A gọi là khả nghịch.
Điều kiện tồn tại. Giả sử A là ma trận vuông.
A khả nghịch
det (A) 0
.
Tính chất của ma trận nghịch đảo
+ Nếu A khả nghịch thì
1
A
cũng khả nghịch và
1 1
(A ) A
.
+ Nếu 2 ma trận vuông cùng cấp A, B khả nghịch thì tích AB khả nghịch và
1 1 1
(AB) B A
.
Cách tính ma trận nghịch đảo
Cách 1: +Tính detA.
+Tính các phần bù đại số A
ij
của phần tử a
ij
của ma trận A:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
A A A
A A A
A A A
T
1
ij
1
A A .
det A
Cách 2: (Chủ yếu)
Có nhiều cách tính ma trận nghịch đảo. Chúng ta tìm hiểu cách tính thông dụng và có
tốc độ tính toán nhanh sau đây.
* Viết ma trận đơn vị E bên phải ma trận A, ta được ma trận
[A E]
.
* Thực hiện các biến đổi sơ cấp theo hàng của
[A E]
như sau:
Nhân hay chia các phần tử của cùng một hàng với một số khác 0;
Đổi chỗ hai hàng cho nhau;
Nhân một hàng nào đó với một số rồi cộng vào hàng khác.
(Không thực hiện các phép biến đổi với cột).
[A E] [E B]
: Quá trình kết thúc.
* Kết luận
1
A B
.
.
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
10
Ví dụ 1.9. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1 3 2
A 2 5 3
3 2 4
Cách 1: detA = -1 ≠ 0 nên A khả nghịch. Ta tính các phần phụ đại số của A
11 12 13
5 3 2 3 2 5
A 14, A 17, A 19
2 4 3 4 3 2
21 22 23
31 32 33
3 2 1 2 1 3
A 8, A 1, A 11
2 4 3 4 3 2
3 2 1 2 1 3
A 1, A 1, A 1
5 3 2 3 2 5
T
1
14 17 19 14 8 1
1
A 8 10 11 17 10 1
1
1 1 1 19 11 1
Cách 2: Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng của (A | E):
1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0
2 5 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0
3 2 4 0 0 1 0 11 10 3 0 1
1
1 3 2 1 0 0 1 3 0 37 22 2
0 1 1 2 1 0 0 1 0 17 10 1
0 0 1 19 11 1 0 0 1 19 11 1
1 3 0 37 22 2 1 0 0 14 8 1 14 8 1
0 1 0 17 10 1 0 1 0 17 10 1 A 17 10 1
0 0 1 19 11 1 0 0 1 19 11 1 19 11 1
Lưu ý. Nếu quá trình biến đổi không thể làm xuất hiện ma trận E ở bên trái - chẳng hạn
được ma trận có một số dòng toàn số 0 - thì kết luận ma trận A không khả nghịch.
Bài tập
1.Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận
3 1 0
1)A 1 1 2
1 1 1
1 0 0
2) B 1 1 0
1 1 1
1 2 0
3)C 1 3 2
1 2 1
ĐS:
1
1 1 1
2 6 3
1 1
A 1
2 2
1 1
0
3 3
;
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
11
1
1 0 0
B 1 1 0
0 1 1
;
1
7 2 4
C 3 1 2
1 0 1
1.1.4. Hạng của ma trận
Xét ma trận cấp
m n
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
Giả sử p là số nguyên dương và
p min(m,n)
.
Mỗi ma trận vuông cấp p suy từ ma trận A bằng cách bỏ đi m - p hàng và
n p
cột gọi
là ma trận con cấp p của ma trận A.
Định nghĩa. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không
của A, ký hiệu là rankA.
Tính chất.
Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Phương pháp tính hạng
Cách 1 (Dùng định nghĩa).
Chỉ ra một định thức con cấp r của A khác 0;
Chứng tỏ mọi định thức con cấp r + 1 của A đều bằng 0;
Kết luận rank A = r.
Cách 2. Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng hoặc đối với cột để đưa ma trận về dạng
bậc thang. Khi đó, hạng của ma trận đã cho bằng số hàng (hoặc số cột) khác không của ma
trận dạng bậc thang thu được.
(Ma trận bậc thang là ma trận mà hàng có nhiều số không hơn ở thấp hơn, cột có nhiều
số không hơn ở bên trái cột có ít số không hơn).
Chú ý. Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
rankA = n
A khả nghịch (
1
A det(A) 0
).
Ví dụ 1.10. Tìm hạng của ma trận
1 0 0 1
0 1 1 2
A
1 1 1 1
4 2 3 1
.
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
12
Giải.
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2
A
1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0
4 2 3 1 0 2 3 5 0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 2
B rankA rankB 3
0 0 1 1
0 0 0 0
.
Có thể viết quá trình trên vào các bảng liên tiếp như sau
-1 0 0 1
0 1 1 2
1 1 1 1
4 2 3 1
-1 0 0 1
0 1 1 2
0 1 1 2
0 2 3 5
-1 0 0 1
0 1 1 2
0 0 0 0
0 0 1 1
-1 0 0 1
0 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 0
Vậy
rankA 3
.
Bài tập
1. Tìm hạng của các ma trận
1 3 5 1
2 1 3 2 4
2 1 3 4
A 4 2 5 1 7 ; B
5 1 1 7
2 1 1 8 2
7 7 9 1
2. Biện luận hạng của ma trận theo λ.
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
13
3 1 2 1 2 1 1 1
1 4 7 2 1 1 1 1
1) A 2) B
1 10 17 4 1 0 1 1
1 1 3 3 1 2 2 1 1
2. Tùy theo giá trị của tham số a, tìm hạng của ma trận
1 3 2 2
2 0 1 1
5 3 0 a
ĐS.
*a 4 0 a 4 Rank(A) 2
* a 4 0 a 4 Rank(A) 3
§ 1.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.2.1. Dạng tổng quát
Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(*)
trong đó
ij i
a , b
cho trước,
1 2 n
x ,x , ,x
là ẩn.
Như vậy, hệ có n ẩn và m phương trình.
Bộ số
1 2 n
( , , , )
, hay đầy đủ hơn,
1 1 n n
x , , x
được gọi là nghiệm của hệ
nếu khi thay vào hệ thì mỗi phương trình của hệ trở thành đẳng thức.
Đặt
11 12 1n
21 22 2n
ij
m1 m1 mn
a a a
a a a
A (a )
a a a
: ma trận các hệ số của ẩn.
1
2
n
x
x
x
x
: ma trận cột các ẩn số,
1
2
3
b
b
b
b
: ma trận cột các hệ số tự do.
Hệ được đưa về dạng ma trận
Ax b
1.2.2. Hệ thuần nhất
Khi
1 2 n
b b b 0
, hệ trên trở thành
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
14
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
a x a x a x 0
a x a x a x 0
a x a x a x 0
được gọi là hệ thuần nhất (m phương trình, n ẩn), dạng ma trận của nó là
Ax 0.
Rõ ràng,
1 n
x x 0
là một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường.
1.2.3. Hệ Gauss. Hệ (*) với m = n, và det(A) ≠ 0 gọi là hệ Gauss.
Gọi
j
x
A
là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột hệ số thứ j bằng cột hệ số tự do
j
11 12 1j 1 1j 1 1n
21 22 2j 1 2j 1 2n
x
n1 n2 nj 1 nj 1 nn
a a a a a
a a a a a
A
a a a a a
1
2
n
b
b
b
.
Định lý. Hệ Gauss có nghiệm duy nhất cho bởi công thức
j
j
x
x
j
A
det(A )
x , j 1, ,n
det(A) A
Ví dụ 1.11. Giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
2x x x 2
3x x 2x 0
Giải.
A 1
;
1 2 3
x x x
1 1 1 1 1 1
A 1 1 7, A 2 1 3, A 2 1 9
1 2 3 2 3 1
1 1 1
2 2 2
0 0 0
3
1 2
x
x x
1 2 3
A
A A
x 7, x 3, x 9
A A A
(nghiệm duy nhất).
Phương pháp vừa nêu còn gọi là phương pháp định thức hay phương pháp Cramer.
Nhược điểm của nó là chỉ giải được hệ có số phương trình bằng số ẩn. Nghiêm trọng hơn cả
là số phép tính toán trở nên đặc biệt lớn khi n lớn. Chúng ta giới thiệu phương pháp khử dần
các ẩn sau đây có thể giải quyết trong trường hợp tổng quát hơn, khi
m n,
ưu điểm nổi bật
là số lượng tính toán giảm đi rất nhiều so với phương pháp Cramer.
1.2.4. Phương pháp Gauss (giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát) (Chủ yếu)
Xét hệ m phương trình tuyến tính n ẩn (*). Trình tự giải như sau.
Thêm cột hệ số tự do vào bên phải ma trận A ta được ma trận mở rộng B:
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
15
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn m
a a . . . a b
a a . . . a b
B
. . . . . . . . . . . . . . .
a a . . . a b
.
Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng cho ma trận mở rộng B để đưa về ma trận
dạng hình thang. Chẳng hạn nếu a
11
≠ 0, ta biến đổi sao cho từ hàng thứ 2 trở đi, các phần tử ở
cột đầu tiên bằng 0 (còn nếu a
11
= 0 thì đổi thứ tự hàng - ứng với nó là đổi chỗ hai phương
trình - để có a
11
≠ 0). B được đưa về dạng:
11 12 1n 1
22 2n 2
1
m2 mn m
a a . . . a b
0 a . . . a b
B B
. . . . . . . . . . . . . . .
0 a . . . a b
.
Giả sử
22
a 0
, xuất phát từ đây để tiếp tục biến đổi từ hàng thứ 3 trở đi đối với ma trận
mới này.
Cứ mỗi bước biến đổi ta giữ lại một phương trình gọi là phương trình gốc và loại trừ
được ít nhất một ẩn ra khỏi các phương trình còn lại. Tiếp tục sau một số bước ta đưa B về
dạng hình thang:
11 12 1r 1n 1
22 2r 2n 2
rr rn r
r 1
a a a a b
0 a a a b
0 0 a a b
T
0 0 0 0 b
0 0 0 0 0
.
Tương ứng với ma trận này là hệ phương trình tương đương với hệ đã cho.
Kết thúc quá trình giải
* Nếu
r 1
b 0
(
rankA ≠ rankB), hệ vô nghiệm.
* Nếu
r 1
b 0
(
rankA = rankB), hệ có nghiệm:
+ Khi r = n hệ có nghiệm duy nhất
+ Khi r < n hệ có vô số nghiệm.
* Để tìm nghiệm, ta giải ngược từ hàng cuối cùng lên hàng đầu tiên.
Nhận xét. Có thể dùng phương pháp Gauss cho hệ thuần nhất.
Nếu hệ thuần nhất Ax = 0 có số phương trình bằng số ẩn thì:
det(A) 0 r rank A n
: Hệ chỉ có nghiệm tầm thường;
det(A) 0 r rank A n
: Hệ có vô số nghiệm
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
16
Ví dụ 1.12. Giải hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
x x x 2x 0
x 2x x x 0
3x 4x x 3x 0
2x 3x x 0
Giải.
1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0
1 2 1 1 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0
B
3 4 1 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0
(Nhận thấy
r 2 4 n
nên hệ có vô số nghiệm). Thu được hệ
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 4 2 3 4
x x x 2x 0 x x x 2x
x 2x 3x 0 x 2x 3x
1 3 4
2 3 4
3 4
x 3x 5x
x 2x 3x
x , x tùy ý
Ví dụ 1.13. Giải và biện luận hệ theo λ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x 3x x 3
x 2x x x 1
x x x x 3
x x x x 1
Giải.
1 1 3 1 3 1 1 3 1 3
1 2 1 1 1 0 2 2 0 2
1 1 1 1 3 0 0 2 2 6
1 1 1 1 0 0 4 1 4
1 1 3 1 3
0 1 1 0 1
0 0 1 1 3
0 0 0 3 8
* λ = -3 : hệ vô nghiệm;
1 2 3 3
2 2 4 4 3 1 8
3: x ; x ; x , x .
3 3 3 3
1.2.5. Sử dụng máy tính bỏ túi
Một số máy tính bỏ túi như CASIO fx-500, cho phép ta giải hệ phương trình tuyến
tính hai, ba ẩn. Chẳng hạn, với hệ
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d3
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
17
Chọn chương trình tính:
Mode Mode EQN[1]
Chọn cấp phương trình:
3
Nhập các hệ số:
1 1 1 1
a b c d
Cú thế ta nhập hết các hệ số của 2 phương trình còn lại
Gọi kết quả
x [ ] y [ ] z [ ]
.
Chẳng hạn, với hệ ở Ví dụ 1.8:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
2x x x 2
3x x 2x 0
,
ta thực hiện các thao tác sau:
1 1 1 1
2 1 1 2
3 1 2 0
Ví dụ 1.14. Giải biện luận hệ thuần nhất
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x 0
x x x x 0
x x x x 0
x x x x 0
Giải.
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 0 2 2 0 0
1 1 1 1 0 0 0 2 2 0
1 1 1 0 0 2 0 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 2 2 0 0 0 1 1 0 0
0 0 2 2 0 0 0 1 1 0
0 0 2 1 0 0 0 0 3 0
Nếu 3 hệ có nghiệm duy nhất ( 0,0,0,0)
Nếu = 3, hệ tương đương với hệ 3 phương trình 4 ẩn: Hệ có vô số nghiệm.
1 2 3 4
1 4
2 3 2 4 4
3 4
3 4
x x x x 0
x x
x x 0 x x , x tùy ý
x x
x x 0
Cho
4 1 2 3
x 1 x 1, x 1, x 1
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
18
e ( 1, 1, 1,1)
là nghiệm cơ bản (cơ sở của không gian nghiệm).
2. Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 3 4
x 2x 3x 2x 0
2x 3x x 4x 0
4x 7x 7x ax a
a. Giải và biện luận theo a.
b. Khi a = 0, tìm hệ nghiệm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm .
Giải.
1 -2 3 -2 0
2 -3 1 4 0
4 -7 7 a a
1 -2 3 -2 0
0 1 -5 8 0
0 1 -5 a+8 a
1 -2 3 -2 0
0 1 -5 8 0
0 0 0 a a
1 2 3 4
2 3 4
4
x 2x 3x 2x 0
Hê x 5x 8x 0
ax a
* a 0
,
1 3
1 2 3
2 3
2 3
4
4
3
x 7x 14
x 2x 3x 2
x 8 5x
Hê x 5x 8
x 1
x 1
x tùy ý
* a = 0,
1 3
1 2 3
2 3
2 3
4
4
3
x 7x 14
x 2x 3x 2
x 8 5x
Hê x 5x 8
x 1
x 1
x tùy ý
3 4 1 2
1
3 4 1 2
2
x 1, x 0 x 7, x 5
e (7,5,1,0)
x 0, x 1 x 14, x 8
e (14, 8,0,1)
1 2
{e , e }
là cơ sở của không gian nghiệm,
0
dim(N ) 2
.
1.2.6. Phương trình ma trận
Tìm ma trận X cấp n × m thỏa mãn A.X = B,
A: ma trân vuông cấp n, B: ma trận cấp n × m; A, B cho trước,
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
19
Trường hợp I :
1
det(A) 0 ( A )
.
Chỉ việc nhân 2 vế với A
-1
,được nghiệm duy nhất:
1
AX B X A B
Trong thực hành, ta có thể tìm X bằng biến đổi sơ cấp theo hàng:
1 1
A B E A .B X A .B
Trường hợp II:
1
det(A) 0 ( A )
; hơn nữa, có thể A là ma trận không vuông.
Tiến hành các biến đổi sơ cấp về hàng như khi giải hệ theo phương pháp Gauss, được
bảng cuối là
* *
A B
.
Tuy nhiên ma trận
*
A
không còn là E như ở trường hợp I, mà chứa một số hàng 0.
Ta phải hiểu bảng thu được chính là m hệ phương trình, mỗi hệ có ma trận hệ số giống
nhau là
*
A
, còn cột hệ số tự do lần lượt là các cột thứ nhất, thứ 2, , thứ m của ma trận
*
B
.
Giải m hệ này, ta thu được ma trận X.
Lưu ý rằng PT đã cho có thể có vô số nghiệm, nghiệm duy nhất, thậm chí vô nghiệm.
Ví dụ 1.15. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình
AX B
, trong đó
1 1 2 1 2
A 1 2 1 ; B 2 1
0 1 0 1 0
.
Giải.
1 1 2
1 2 1
0 1 0
1 2
2 1
1 0
1 1 2
0 3 3
0 1 0
1 2
1 1
1 0
1 1 2
0 1 1
0 1 0
1 2
1/ 3 1/ 3
1 0
1 1 2
0 1 1
0 0 1
1 2
1/ 3 1/ 3
4 / 3 1/ 3
1 1 0
0 1 0
0 0 1
11/ 3 4 / 3
1 0
4 / 3 1/ 3
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
20
1 0 0
0 1 0
0 0 1
8/ 3 4 / 3
1 0
4 / 3 1/ 3
8/ 3 4 / 3
X 1 0
4 / 3 1/ 3
(Các bạn hãy thử lại!)
Bài tập
1.Tìm nghiệm tổng quát của các hệ:
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x 0
2x x 3x x 1
2x 3x 2x x 0
a. 4x 2x 5x 3x 3 b.
3x 2x 2x 0
4x 2x 3x 5x 5
x 6x 2x 4x 0
2. Cho hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x 2x 2
2x x 3x x 3
x 2x 2x 3x 1
a. Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất.
b. Từ đó tìm nghiệm tổng quát của hệ
3. Cho hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x ax x 1
ax x x x 1
x x x ax 1
x ax x x 1
a) Tìm a để hệ có vô số nghiệm.
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
4) Tìm λ để hệ sau có nghiệm không tầm thường:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x x x 0
x x 2x 0
5x x x 0
Với λ tìm được hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ.
5) Tìm các ma trận vuông cấp ba X sao cho:
1 2 1
2 7 5 X 0
4 1 5
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
21
§ 1.3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1.3.1. Khái niệm không gian véc tơ
Định nghĩa. Tập V được gọi là một không gian véc tơ (hay không gian tuyến tính) trên
nếu tập V được trang bị phép cộng các phần tử trong V và phép nhân 1 số với 1 phần tử
của V:
x, y V x y V
, x + y gọi là tổng của x và y,
, x V x V
gọi là tích của
với x.
thỏa mãn các tính chất:
* Tồn tại véc tơ không, ký hiệu là
, thỏa mãn
x x x, x V
.
Khi không sợ hiểu lầm, ta vẫn ký hiệu véc tơ không là 0.
*
x V
tồn tại véc tơ đối của x, ký hiệu là
x
, thỏa mãn:
x ( x)
.
*
x, y, z V x y y x; (x y) z x (y z)
.
Ta viết
x ( y)
là
x y
và gọi là hiệu của véc tơ x với y.
*
, , x, y V
thì
1x x, ( x) ( )x
.
* Hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các tính chất:
(x y) x y.
( )x x y.
(1.12)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất:
, x V
* 0x , * ,
0
* x * ( x) ( x) ( )x.
x
(1.13)
Phần tử của V gọi chung là véc tơ.
Ví dụ 1.16 i. Không gian các đa thức với hệ số thực
Tập P[x] các đa thức ẩn x hệ số thực là một không gian véc tơ đối với phép cộng các đa
thức và phép nhân các đa thức với các số thực.
n
o 1 n i
P[x] {a a x a x : a , n 0, 1, 2, }
Véc tơ không là đa thức 0, vecto đối của f(x) là -f(x).
ii. Không gian tuyến tính
n
Đây là không gian thông dụng nhất.
Gọi
n
là tập hợp các bộ n số thực
n
1 2 n 1 n
{(a , a , , a ), a , ,a }
.
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
22
Xác đinh phép toán cộng + trong
n
và phép nhân số thực với phần tử của
n
như
sau:
1 n 1 n
a (a , , a ); b (b , , a ), thì
1 1 n n
1 n
a b (a b , , a b ),
a ( a , , a ).
Dễ thấy
n
trở thành không gian tuyến tính, gọi là không gian tọa độ.
1
: Đường thẳng thông thường
2
{(x, y) : x, y }
: Tọa độ các điểm trong mặt phẳng;
3
{(x, y, z): x, y, z }
: Tọa độ các điểm trong không gian.
1.3.2. Nhận biết không gian con véc tơ
Giả sử F là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ V trên trường
.
Để chứng minh F là một không gian con của V ta kiểm tra điều kiện sau:
u,v F, , u v F
1.3.3. Cơ sở và chiều của một không gian véc tơ
a. Không gian sinh bởi một hệ véc tơ
Giả sử {a
1
, a
2
, …, a
m
} là hệ m véc tơ nào đó trong KGVT V. Ký hiệu
m
1 2 m k k 1 2 m
k 1
L a ,a , , a a a ; , , ,
L là không gian con của V, gọi là không gian sinh bởi hệ véc tơ {a
1
, a
2
, …, a
m
}.
Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính:
Hệ các véc tơ {a
1
, a
2
, …, a
m
} trong không gian véc tơ V được gọi là hệ phụ thuộc
tuyến tính nếu tồn tại α
1
, α
2
, …, α
m
không đồng thời bằng 0 để
m
k k
k 1
a 0
Trái lại, nếu tổ hợp
m
k k
k 1
a 0
chỉ xảy ra khi
1 2 n
0
thì hệ các véc tơ
1 2 n
{a , a , ,a }
được gọi là độc lập tuyến tính.
b. Cơ sở của không gian véc tơ
Định nghĩa. Hệ n véc tơ
1 2 n
{e , e , ,e }
là cơ sở của không gian véc tơ V nếu thỏa mãn
2 điều kiện sau:
+ Hệ
1 2 n
{e , e , ,e }
độc lập tuyến tính.
+ Mỗi véc tơ
a V
đều biểu diễn tuyến tính qua e
1
, e
2
,…, e
n
:
1 2 n 1 1 2 2 n n
, , , : a e e e
. (1.16)
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
23
Khi đó, với a đã cho, bộ số
1 2 n
( , , , )
là duy nhất và gọi là các tọa độ của véc tơ a
đối với cơ sở
1 2 n
{e , e , ,e }
.
Số véc tơ trong cơ sở gọi là số chiều của không gian đó.
Chiều của V ký hiệu là dim(V).
Ví dụ 1.17 i. Không gian
4
các bộ 4 số thực.
Một cơ sở là
{(1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1)
}
. Đây gọi là cơ sở chính tắc của
4
. Số chiều của
4
là 4.
Trong cơ sở này véc tơ (4, -1, 2, 3) có tọa độ là (4, -1, 2, 3).
ii. Không gian
4
P [x]
các đa thức (hệ số thực), bậc
4.
Một cơ sở là
2 3 4
{1, x, x , x , x }
. Đây gọi là cơ sở chính tắc của
4
P [x]
. Số chiều là 5. Đa
thức
3 4
p(x) 1 2x x 3x
có tọa độ
(1, 2, 0, 1, 3)
.
iii. Không gian
2 3
M ( )
các ma trận cấp 2 x 3 (thực).
Một cơ sở (chính tắc) là
1 2 3 4 5 6
{e , e , e , e , e , e }
với
1 2 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
e ; e ; e
0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0
e ; e ; e
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Trong cơ sở này, ma trận
1 0 2
3 2 4
có tọa độ
(1, 0, 2, 3, 2, 4)
.
c. Chứng minh hệ n véc tơ {e
1
, e
2
,…, e
n
} là cơ sở của không gian véc tơ V.
Cách 1: Dùng định nghĩa
Cách 2: Trường hợp biết rõ dim(V) = n, thì chỉ cần kiểm chứng
+ Hoặc là hệ {e
1
, e
2
,…, e
n
} độc lập tuyến tính.
+ Hoặc là mọi
a V
đều biểu diễn tuyến tính qua {e
1
, e
2
,…, e
n
})
d. Tìm tọa độ của một véc tơ u theo cơ sở v = {e
1
, e
2
,…, e
n
}
* Bài toán. Trong một cơ sở
1 n
{e , ,e }
nào đó của KG V, cho u có tọa độ
1 2 n
(a , a , . . .,a )
và
1 m
{f ; ; f }
là một hệ véc tơ của V với các tọa độ tương ứng
11 12 1n m1 m2 mn
(a , a , , a ); ; (a , a , ,a )
.
Hãy biểu diễn u theo hệ
1 2 m
{f , f , , f }
.
Giải. Xét
1 1 m m
u x f . . . x f
Viết ra các tọa độ của 2 vế rồi cho các tọa độ tương ứng bằng nhau, ta sẽ được hệ
PTTT. Giải hệ này.
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
24
+ Nếu hệ vô nghiệm, không tồn tại biểu diễn.
+ Nếu hệ có vô số nghiệm: Biểu diến không duy nhất.
+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất: Biểu diễn là duy nhất.
* Nếu
m n
và hệ
1 2 n
{f , f , , f }
là cơ sở thì hệ PT thu được luôn có nghiệm duy
nhất. Bộ số
1 n
(x , . . ., x )
là tọa độ của u trong cơ sở này.
1.2.4. Hạng của hệ véc tơ
Định nghĩa. Hạng của hệ véc tơ {a
1
, a
2
, …, a
m
} trong KGVT V, ký hiệu là
1 2 m
rank a ,a , ,a
, là chiều của không gian con véc tơ
1 2 m
L(a ,a , , a )
.
Như vậy:
1 2 m 1 2 m
rank a ,a , ,a dimL(a ,a , , a )
* Phương pháp tìm hạng của hệ véc tơ {a
1
, a
2
, …, a
m
}
Giả sử trong một cơ sở nào đó của KGVT V, các tọa độ tương ứng của các véc tơ a
1
, a
2
,
…, a
m
là a
1
= ( a
11
, a
12
, … , a
1n
); a
2
= ( a
21
, a
22
, … , a
2n
); …; a
m
= ( a
m1
, a
m2
, … , a
mn
) .
Lập ma trận các tọa độ:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
Tìm hạng của ma trận A,
Kết luận: rank{a
1
, a
2
, …, a
m
} = rankA.
1.2.5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn:
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
a x a x a x 0
a x a x a x 0
a x a x a x 0
Dạng ma trận là của hệ này là AX = 0, trong đó
ij
a
: (đã nói trong phần II)
Định lý. Tập
0
N
tất cả các nghiệm (x
1
, x
2
, … , x
n
) của hệ m phương trình tuyến tính
thuần nhất n ẩn tạo thành không gian con véc tơ trong
n
.
Nếu rankA = r thì dim(
0
N
) = n - r.
Ví dụ 1.18. Trong
3
cho ba véc tơ
u (1,2,3); v ( 2, 5, 2); w (1,3, 1)
Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con L sinh bởi u, v, w
Tìm λ để véc tơ
b 2,5,
cũng là một véc tơ của L. Với λ đó, tìm biểu diễn đòi hỏi
Giải. Ta tìm hạng của ma trận
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011
25
1 2 3 1 2 3
1 2 3
A 2 5 2 0 1 4
0 1 4
1 3 1 0 1 4
Hai véc tơ u, v độc lập tuyến tính . Vậy không gian con sinh bởi 3 véc tơ
u,v,w
có số
chiều là 2, và có cơ sở là
u,v
.
Ta tìm a, b sao cho
b u v 2,5, 1,2,3 0,1, 4
2 2
2 5 1 2
3 4 2
. ĐS b = 2u + v.
Ví dụ 1.19. Cho hệ véc tơ
1 2 3 4
E e , e , e , e
trong đó
1 2 3 4
e 1,2, 1,0 , e 0,1,0,1 , e 1, 5,2,0 , e 2,3, 2,7
a. Chứng tỏ hệ các véc tơ đó là một cơ sở của
4
.
b. Tìm tọa độ của véc tơ
e 1,0,0,1
trong cơ sở đó.
Giải.a. Trước hết ta biết rằng
4
dim( ) 4
Bây giờ ta tìm hạng của ma trận A các tọa độ của các véc tơ của hệ:
1 0 1 2
2 1 5 3
A
1 0 2 2
0 1 0 7
1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2
0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1
A B
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 7 0 0 3 8 0 0 0 1
Rank(A) = Rank(B) = 4. Vậy hệ E độc lập tuyến tính.
Hệ E gồm 4 véc tơ, vậy đây là một cơ sở của không gian
4
.
b. Ta tìm các số thực x, y, z, u để
x 1,2,1,0 y 0,1,0,1 z 1, 5,2,0 u 2,3, 2,7 1,0,0,1
x z 2u 1
2x y 5z 3u 0
x 2z 2u 0
y 7u 1
