Giáo trình hình thành quy trình điều khiển nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p2 ppsx

Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 60 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
> 0 : n N , z D, | z - a | | u
n
(z) - u
n
(a) | < / 3N
Suy ra
z D, | z - a |
| S(z) - S(a) | | S(z) - S
n
(z) | +

=

N
0k
nn
|)a(u)z(u|
+ | S(a) - S
n
(a)| <
Vậy hàm S(z) liên tục trên miền D.



2. Tích phân từng từ
Nếu n , u
n
(z) liên tục trên đờng cong trơn từng khúc,
nằm gọn trong miền D và

)z(S)z(u
D
0n
n
=

+
=
thì hàm S(z) cũng khả tích trên đờng cong .



+
=

+
=








=

0n
n
0n
n
dz)z(udz)z(u (4.1.3)
Chứng minh
Theo tính chất 1. hàm S(z) liên tục và trơn từng khúc nên khả tích trên .
Kí hiệu s() =



b
a
dt|)t(| . Do tính hội tụ đều
> 0, N > 0 : n > N , z | S(z) - S
n
(z) | < / s()
Suy ra


=


n
0k
n

dz)z(udz)z(S
dz)z(S)z(S
n


<

3. Đạo hàm từng từ Nếu n , u
n
(z) giải tích trong miền D và
)z(S)z(u
D
0n
n
=

+
=
thì
hàm S(z) cũng giải tích trong miền D.
k ,
)z(S)z(u
)k(
D
0n
)k(
n
=

+

=
(4.1.4)
Chứng minh
Với mọi z D, B(z, R)

D. Kí hiệu

=

B
+
và G = D - B(z, R/2) khi đó

n



,
z
)(u
n


giải tích trong G và
z
)(S

z
)(u
G

0n
n


=



+
=

Sử dụng công thức (3.4.3) và công thức (4.1.3)
S(z) =

+
=0n
n
)z(u
=


+
=





0n
n

d
z
)(u
i2
1
=






d
z
)(S
i2
1

Theo định lý về tích phân Cauchy hàm S(z) giải tích trong miền D và do đó có đạo hàm
mọi cấp trên miền D. Kết hợp công thức (3.5.3) và công thức (4.1.3)


k



, S
(k)
(z) =

+




d
)z(
)(S
i2
!k
1k
=


+
=

+




0n
1k
n
d
)z(
)(u
i2

!k
=

+
=0n
)k(
n
)z(u

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 61

4. Xác định trên biên Nếu n , u
n
(z) liên tục trên miền

D
, giải tích trong miền D
và
)z(S)z(u
D
0n
n

+
=
=

thì
)z(S)z(u
D
0n
n
=

+
=
.
Chứng minh
Theo nguyên lý cực đại
z D, a D : | S(z) -

=
n
0k
k

)z(u
| | S(a) -

=
n
0k
k
)a(u
| <






Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức

Chuỗi hàm phức
n
0n
n
)az(c

+
=
= c
0
+ c
1
(z - a) + + c

n
(z - a)
n
+ (4.2.1)
gọi là
chuỗi luỹ thừa
tâm tại điểm a.

Định lý Abel
Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại điểm z
0
a thì nó hội tụ tuyệt đối và đều
trong mọi hình tròn B(a, ) với < | z
0
- a |.
Chứng minh
Do chuỗi số phức
n
0
0n
n
)az(c

+
=
hội tụ nên
+n
lim c
n
(z

0
- a)
n
= 0. Suy ra

M > 0 sao cho

n



,
|
c
n
(z
0
- a)
n

|


M
Với mọi z

B(a,

) đặt q =
|

z - a
|
/
|
z
0
- a
|
< 1 ta có

n



,

z

B(a,

),
|
c
n
(z - a)
n

|
=
|

c
n
(z
0
- a)
n

|

n
0
az
az


Mq
n
Do chuỗi số dơng

+
=
0n
n
q
hội tụ, theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra chuỗi luỹ thừa hội tụ
tuyệt đối và đều.



Hê quả 1

Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại z
1
thì nó phân kỳ trên miền | z - a | > | z
1
- a |
Chứng minh

Giả sử trái lại chuỗi luỹ thừa hội tụ tại z : | z - a | > | z
1
- a |. Từ định lý suy ra chuỗi luỹ
thừa hội tụ tại z
1
. Mâu thuẫn với giả thiết.



Hệ quả 2
Tồn tại số R 0 sao cho chuỗi luỹ thừa hội tụ trong đờng tròn | z - a | = R và
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

o
m
.
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 62 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
phân kỳ ngoài đờng tròn | z - a | = R.
Chứng minh
Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ tại z = 0 và phân kỳ tại z = . Kí hiệu
R
1
= Max{ 3
+
: chuỗi luỹ thừa hội tụ trong | z - a | < }
R
2
= Min{ 3
+
: chuỗi luỹ thừa phân kỳ ngoài | z - a | < }
Ta có R
1
= R
2
= R

Số R gọi là bán kính hội tụ còn hình tròn B(a, R) gọi là hình tròn hội tụ của chuỗi luỹ
thừa. Nếu D là miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa thì ta luôn có
B(a, R) D
B
(a, R)

Hệ quả 3 Bán kính hội tụ đợc tính theo một trong các công thức sau đây
R =
+n
lim
1n
n
c
c
+
=
+n
lim
n
n
|c|
1
(4.2.2)
Chứng minh

Lập luận tơng tự chuỗi luỹ thừa thực.




Kí hiệu
S(z) =

+
=

0n
n
n
)az(c
với z B(a, R) (4.2.3)
Kết hợp các tính chất của hàm luỹ thừa với các tính chất của chuỗi hội tụ đều ta có các
hệ quả sau đây.

Hệ quả 4
Hàm S(z) liên tục trong hình tròn B(a, R)
Chứng minh

Suy ra từ tính liên tục của hàm luỹ thừa và chuỗi hội tụ đều.



Hệ quả 5
Hàm S(z) khả tích trên đờng cong trơn từng khúc, nằm gọn trong B(a, R)



dz)z(S
=


+
=


0n

n
n
dz)az(c
(4.2.4)
Chứng minh

Suy ra từ tính khả tích của hàm luỹ thừa và công thức tích phân từng từ.



Hệ quả 6
Hàm S(z) giải tích trong hình tròn B(a, R)
k , S
(k)
(z) =

+
=

+
kn
kn
n
)az(c)1kn) (1n(n
(4.2.5)
Chứng minh

Suy ra từ tính giải tích của hàm luỹ thừa và công thức đạo hàm từng từ.

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 63
Hệ quả 7 k , c
k
=
!
k
1
S
(k)
(a) (4.2.6)
Chứng minh

Suy ra từ công thức (4.2.5) với z = a.

Ví dụ Chuỗi luỹ thừa

+
=0n
n
z
hội tụ đều trong hình tròn B(0, 1) đến hàm S(z) =
z
1
1

.
Suy ra


z

B(0, 1),


+
=

0n
z
0
n

d =

+
=
+
+
0n
1n
z
1n
1
=



z
0
1
d
= - ln(1 - z)

k



,

+
=

+
kn
kn
z)1kn) (1n(n
=
)k(
z1
1







=
1k
)z1(
!k
+

,




Đ3. Chuỗi Taylor

Định lý Cho D = B(a, R),

=

D
+
và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.


z

D, f(z) =

+
=

0n
n
n
)az(c
với c
n
=


+

d
)a(
)(f
i2
1
1n
, n



(4.3.1)
Công thức (4.3.1) gọi là khai triển Taylor của hàm f tại điểm a.
Chứng minh
Với mọi z

D cố định. Theo công thức tích phân Cauchy
f(z) =






d
z
)(f
i2
1
(1)
Với

ta có q =
|
z - a
|
/
|


- a
|
< 1 suy ra khai triển

z
1

=
a
az
1
1
a
1

=

+
=











0n
n
a
az
a
1
và
z
)(f


=

+

=












0n
n
a
az
a
)(f
(2)
Do hàm f liên tục nên có module bị chặn trên miền
D
suy ra
M > 0 : ,
n
a
az
a
)(f

R
M
q
n
Theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi (2) hội tụ đều trên , do đó có thể tích phân từng từ
dọc theo đờng cong . Tích phân từng từ công thức (1) suy ra công thức (4.3.1)




Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

c
k
.
c
o
m
.
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 64 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Hệ quả Kết hợp công thức (4.2.6) và (4.3.1) ta có
k , c
k
=
!
k
1
f
(k)
(a) (4.3.2)

Nhận xét Theo định lý Cauchy có thể lấy

là đờng cong bất kì đơn, kín, trơn từng
khúc bao a và z, định hớng dơng và nằm gọn trong B(a, R). Thông thờng, chúng ta
khai triển hàm f(z) trong hình tròn B(0, R) chuỗi nhận đợc gọi là
chuỗi Maclorinh

tơng tự nh hàm thực.

Ví dụ

1. e
z
= 1 +
!
1
1
z + +
!
n
z
n
+ =

+
=0n
n
!n
z
và e
-z
=

+
=

0n
n
n
!n
z

)1(

2. cos z =
2
1
(e
iz
+ e
-iz
) =
n
nn
z)
!n
)i(
!n
i
(
2
1
+

= 1 -
!
2
1
z
2
+
!

4
1
z
4
+ =

+
=

0n
n2
n
z
)!n2(
)1(

Tơng tự khai triển
sin z =
i
2
1
(e
iz
- e
-iz
), ch z =
2
1
(e
z

+ e
-z
), sh z =
2
1
(e
z
- e
-z
)
3. (1 + z)
m
= 1 + mz +
!2
)1m(m

z
2
+ =
n
0n
z
!n
)1nm) (1m(m

+
=
+

Với m = 1

z
1
1
+
= 1 - z + z
2
- =

+
=

0n
nn
z)1(

Thay z bằng z
2

2
z
1
1
+
= 1 - z
2
+ z
4
- =

+

=

0n
n2n
z)1(

Suy ra
ln(1 + z) =

+

z
0
1
d
=


+
=

0n
z
0
nn
d)1(
=
1n
0n
n

z
1n
)1(
+
+
=

+


arctanz =

+

z
0
2
1
d
=


+
=

0n
z
0
n2n
d)1(

=
1n2
0n
n
z
1n2
)1(
+
+
=

+






Đ4. Không điểm của hàm giải tích

Định lý
Cho hàm f giải tích trong miền D và dy số (z
n
)
n

hội tụ trên miền D đến điểm
a D. Nếu n , f(z
n
) = 0 thì R > 0 sao cho z B(a, R), f(z) = 0.

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.

d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.