Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum pot

Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum
Võ Quốc Phong
Ngày 14/10/2009
Mục lục
1 Mở đầu 2
2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII 4
3 Phương trình trường hấp dẫn 5D 5
3.1 Phương trình trường hấp dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Giải phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Hệ thống thứ bậc và vấn đề về hằng số vũ trụ 16
5 Hấp dẫn 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D 19
6 Năng-xung lượng trong mô hình Randall-Sundrum 22
7 Lạm phát trong mô hình Randall-Sundrum 24
8 Giãn nở tăng tốc trong RS 30
9 Shortcut của hấp dẫn trong không-thời gian 5 chiều của mô hình RS 34
9.1 Metric trong Bulk của mô hình Randall-Sundrum: . . . . . . . . . . . . 34
9.2 Metric trong Brane của mô hình Randall-Sundrum . . . . . . . . . . . 35
9.3 Chân trời điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.4 Chân trời hấp dẫn trong mô hình RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.5 Nếu ta sử dung metric tĩnh thì sẽ không có shortcut . . . . . . . . . . . 38
10 Vi phạm bất biến Lorentz trong mô hình RS 40
11 Những vấn đề thực nghiệm 44
12 Tổng kết 44
1
1 Mở đầu
Từ những năm cuối thế kỉ 20 đến nay, hiện tượng vũ trụ giãn nở tăng tốc luôn
là hiện tượng thúc đẩy vũ trụ học cũng như vật lý học phát triển những mô hình lý
thuyết phù hợp để giải thích. Hiện tại, hiện tượng này được lột tả bằng nhiều mô hình
cũng như dữ liệu thực nghiệm, tuy có những thành công rất đáng kể nhưng chưa có
mô hình nào đạt được lời giải thích triệt để. Chúng tôi thấy có hai hướng tiếp cận
chính để giải thích hiện tượng này. Một là, hướng tiếp cận không dùng extra dimension

(chiều ngoại phụ) như các mô hình trường vô hướng (quintessence, K-essence, ), và
hướng thêm vào bằng tay một hằng số vũ trụ bé trong hình thức hấp dẫn Einstein
4D để gây ra sự giãn nở và chấp nhận fine-tuning. Hai là, các mô hình sử dụng chiều
ngoại phụ gọi là các mô hình Braneworld, hướng này có điểm lợi thế là cho thấy vũ
trụ tự giãn nở không như lý thuyết về hằng số vũ trụ. Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn
về vũ trụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề:
• Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toán
của vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn).
• Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Hiện tại, mật độ năng lượng tối (ρ
Λ
) cùng bậc với
mật độ vật chất (ρ
m
) và sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai.
• Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Tồn tại ít nhất 2 thang năng lượng cơ bản trong tự
nhiên - Thang điện yếu m
EW
= 10
3
GeV và thang Planck M
pl
= G
−1/2
N
= 10
18
GeV
- Tỉ số giữa thang điện yếu và khối lượng Planck quá nhỏ m
EW
/Mpl ∼ 10

−16
.
Các mô hình lý thuyết Braneworld là những mô hình đang rất được chú ý. Hầu hết
các mô hình Braneworld đều lấy ý tưởng chính từ lý thuyết nhiều chiều của Kaluza-
Klein, và gọi không-thời gian (3+1) chiều của chúng ta là Brane, không thời gian nhiều
chiều hơn là Bulk, tức là vũ trụ của chúng ta hành xử như một siêu mặt trong một
không thời gian nhiều chiều hơn. Theo tinh thần của các mô hình Braneworld thì vật
chất bị cầm tù trong Brane, riêng hấp dẫn có thể thoát ra khỏi Brane và truyền được
trong Bulk. Tính chất rò rỉ của hấp dẫn là một hệ quả của viêc nguồn hấp dẫn (vật
chất) chỉ tồn tại hạn chế trong Brane, đồng thời là một tính chất khơi nguồn cho các
vấn đề như vi phạm bất biến Lorentz, hay vấn đề về shortcut, và trọng yếu là gây ra
sự giản nỡ tăng tốc của vũ trụ.
Hiện tại, chúng tôi phân chia các mô hình Braneworld theo các tính chất của chiều
ngoại phụ (extra dimension) là: tính compact, tính flat hay tính warp. Chúng tôi thấy
rằng các mô hình Braneworld hiện tại chỉ có (4+1) hay (5+1) chiều tức là chỉ có 1 hay 2
chiều ngoại phụ, và theo tiêu chí trên, tạm thời chia thành những mô hình Braneworld
như sau:
2
+Mô hình Braneworld phẳng (flat) và chiều ngoại phụ compact như mô hình ADD.
+Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ compact như mô hình RSI.
+Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ noncompact, đơn cử như
mô hình DGP, RSII.
Mô hình Braneworld Randall-Sundrum (RS)[3, 4] khảo sát không-thời gian 5 chiều
được làm đầy bởi hằng số vũ trụ âm. Tùy vào đặc điểm của chiều thứ 5 compact hay
vô hạn mà mô hình này được chia thành hai loại: Mô hình RSI và mô hình RSII.
Mô hình RSI[3] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc. Trong mô hình
này, chiều thứ 5 thêm vào compact trên Orbifold S
1
/Z
2

bán kính R. Hai Brane 3 chiều
được đặt tại các điểm cố định φ = 0 và φ = π. Brane ở φ = 0 là Brane ẩn hay
Brane Planck năng lượng cao. Brane ở φ = π là Brane quan sát được hay Brane TeV
năng lượng thấp. Áp suất trên hai Brane lần lượt là σ và −σ với σ là một hằng số dương.
Mô hình RSII[4] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên Brane gắn trong
không-thời gian Bulk 5 chiều. Trong mô hình này, chiều thêm vào được mở rộng tới
vô hạn, tức là Brane có áp suất âm trong RSI bị dịch chuyển ra vô hạn. Còn lại một
Brane, vì vậy, mô hình RSII được gọi là mô hình RS một Brane, trong khi mô hình
RSI được gọi là mô hình RS 2 Brane.
Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề. Một là, tiên đề về hàm tác dụng
trong 5 chiều. Hai là tiên đề về dạng tổng quát của metric như chúng ta sẽ thấy trong
mục 1 dưới đây.
Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn 5 chiều,
vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăng tốc của vũ trụ
đã được khảo sát và giải thích. Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng.
Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sát mọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ là
tác dụng và metric. Tác dụng mô tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric
là phản ánh của trường hấp dẫn lên không-thời gian. Một mô hình về vũ trụ học cần
phải có hai yếu tố tiên quyết trên. Vì vậy, việc khảo sát mô hình RS, cần phải hiệu tốt
tác dụng của mô hình này. Sau đây là phần tóm tắt lại những vấn đề cơ bản nhất của
tác dụng và metric của mô hình RS.
3
2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và
RSII
Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đã đưa ra một mô hình 5 chiều theo
xu thế Braneworld nhằm giải quyết bài toàn thứ bậc với chiều thứ 5 compact, mô hình
này được gọi là mô hình RSI. Và về sau mô hình này được cải tiến thành mô hình RSII
khi cho chiều thứ 5 nocompact. Các tác dụng mà hai tác giả này đưa ra có dạng sơ
khai như sau:
S = S

gravity
+ S
vis
+ S
hid
,
S
gravity
=

d
4
x

dφ

−g
(5)

−Λ + 2M
3
R
(5)

,
S
vis
=

d

4
x
√
−g
vis
{L
vis
− V
vis
},
S
hid
=

d
4
x
√
−g
hid
{L
hid
− V
hid
},
(2.1)
Trong đó:
-S
gravity
: hàm tác dụng của trường hấp dẫn.

-S
vis
: hàm tác dụng trong Brane mà ta có thể quan sát được.
-S
hid
: hàm tác dụng trong Brane mà ta không thể quan sát được.
Có một nhận xét nhỏ là tác dụng trên thực chất là một mở rộng với của tác dụng
Hilbert-Einstein 4 chiều trong lý thuyết của tương đối rộng của Einstein. M là khối
lượng Planck 5 chiều, Λ là hằng số vũ trụ 5 chiều. Chúng ta dùng nguyên lý tác dụng
tối thiểu áp lên tác dụng trên chúng ta sẽ dẫn ra được phương trình hấp dẫn 5 chiều
tương tự như hệ phương trình Einstein trong lý thuyết tương đối rộng. Trong mô hình
RS, metric có dạng như sau:
ds
2
= e
−2σ(φ)
η
µν
dx
µ
dx
ν
+ r
2
c
dφ
2
. (2.2)
Ứng dụng metric trên chúng ta sẽ giải được phương trình trường 5 chiều sẽ tìm
được dạng cụ thể của metric hay cho ta biết được dạng cụ thể của không-thời gian.

Tuy nhiên, metric trong biểu thức bình phương khoảng (2.2) này được hai tác
giả đưa ra đầu tiên thể hiện mô hình vũ trụ tĩnh không mô tả được sự giãn nỡ của
vũ trụ, mà hai tác giả chỉ nhằm mục đích giải quyết bài toán vi phạm thứ bậc như
trình bày trong mục 4. Về sau, có những tác giả khác chỉ chấp nhận tiên đề thứ nhất
về tác dụng của mô hình RS, nhưng cho metric phụ thuộc vào thời gian để khảo sát
4
hiện tượng giãn nở, hay vấn đề về shortcut như được chúng tôi trình bày trong mục 8, 9.
3 Phương trình trường hấp dẫn 5D
Trong mục này, chúng tôi sẽ dẫn ra phương trình trường hấp dẫn 5 chiều và giải
cụ thể chúng.
3.1 Phương trình trường hấp dẫn
Lấy biến phân của hàm tác dụng S:
δS = δS
gravity
+ δS
vis
+ δS
hid
(3.1)
• Tính δS
gravity
Ta có:
S
gravity
=

d
4
x


π
−π
dφ
√
−G

−Λ + 2M
3
R

.
→ δS
gravity
= δ

d
4
x

π
−π
dφ
√
−G

−Λ + 2M
3
R

=


d
4
x

π
−π
dφ δ

√
−G

−Λ + 2M
3
R


.
(3.2)
Ta có:
δ

−Λ
√
−G

=
Λ
2
√

−G
δG =
Λ
2
√
−GG
AB
δG
AB
. (3.3)

d
4
x

π
−π
dφδ(R
√
−G) =

d
4
x

π
−π
dφδ(G
AB
R

AB
√
−G)
=

d
4
x

π
−π
dφ

R
AB
−
1
2
G
AB
R

δG
AB
√
−G

+

d

4
x

π
−π
dφG
AB
δR
AB
√
−G.
(3.4)
Ta đặt:
I =

d
4
x

π
−π
dφG
AB
δR
AB
√
−G.
5
Ta có:
G

AB
δR
AB
= G
AB

∂
∂x
C
δΓ
C
AB
−
∂
∂x
B
δΓ
B
AC

= G
AB
∂
∂x
C
δΓ
C
AB
− G
AC

∂
∂x
C
δΓ
B
AB
=
∂w
C
∂x
C
.
Với
w
C
= G
AB
δΓ
C
AB
− G
AC
δΓ
B
AB
.
→ G
AB
δR
AB

=
1
√
−G
∂
∂x
C

√
−Gw
C

.
Như vậy, ta có:

d
4
x

π
−π
dφG
AB
δR
AB
√
−G =

d
4

x

π
−π
dφ
∂

√
−Gw
C

∂x
C
. (3.5)
Theo định lý Gauss khi chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt ta được:

d
4
x

π
−π
dφ
∂

√
−Gw
C

∂x

C
=

F
dF
√
−Gw
C
. (3.6)
Trong đó: mặt F là mặt giới nội, chứa toàn bộ không-thời gian của vũ trụ.
Với giả thuyết trường hấp dẫn hữu hạn ở các điểm tới hạn ta có:

F
dF
√
−Gw
C
= 0. (3.7)
Thế (3.7) vào (3.5) và (3.6) ta được:
I =

d
4
x

π
−π
dφG
AB
δR

AB
√
−G = 0.
Thế vào phương trình (3.4) ta được:

d
4
x

π
−π
dφδ(R
√
−G) =

d
4
x

π
−π
dφ

R
AB
−
1
2
G
AB

R

δG
AB
√
−G

.
(3.8)
6
Thế (3.3) và (3.8) vào (3.2) ta được:
δS
gravity
= δ

d
4
x

π
−π
dφ
√
−G

−Λ + 2M
3
R

=


d
4
x

π
−π
dφ δ

√
−G

−Λ + 2M
3
R


=

d
4
x

π
−π
dφ

2M
3


R
AB
−
1
2
G
AB
R

+
Λ
2
G
AB

δG
AB
√
−G.
(3.9)
• Tính δS
vis
:
S
vis
=

d
4
x

√
−g
vis
{L
vis
− V
vis
}
=

d
4
x
√
−g
vis

−
1
2
g
µν
vis
∂
µ
χ∂
ν
χ −V
vis
(χ)


.
(3.10)
Tương tự chúng tôi thu được:
⇒ δS
vis
=

d
4
x

−
1
2

√
−g
vis
δ
µ
A
δ
ν
B
δ(φ −π)

∂
µ
χ∂

ν
χ
− G
µν

1
2
g
αβ
∂
α
χ∂
β
χ + V
vis
(χ)


δG
AB
.
(3.11)
Trường hợp thế năng vượt trội động năng (L
vis
 V
vis
, coi L
vis
= 0) ta thu được:
δS

vis
=

d
4
x
1
2
V
vis
√
−g
vis
δ
µ
A
δ
ν
B
δ(φ −π)δG
AB
. (3.12)
• Tính δS
hid
S
hid
=

d
4

x
√
−g
hid
{L
hid
− V
hid
}
=

d
4
x
√
−g
hid

−
1
2
(∇χ)
2
− V
hid
(χ)

=

d

4
x
√
−g
hid

−
1
2
g
µν
hid
∂
µ
χ∂
ν
χ −V
hid
(χ)

.
(3.13)
Tương tự, chúng tôi thu được:
7
⇒ δS
hid
=

d
4

x

−
1
2

√
−g
hid
δ
µ
A
δ
ν
B
δ(φ)

∂
µ
χ∂
ν
χ
− G
µν

1
2
G
αβ
∂

α
χ∂
β
χ + V
hid
(χ)


δG
AB
.
(3.14)
Trường hợp thế năng vượt trội động năng (L
hid
 V
hid
, coi L
hid
= 0) ta có:
δS
hid
=

d
4
x
1
2
V
hid

√
−g
hid
δ
µ
A
δ
ν
B
δ(φ)δG
AB
. (3.15)
chú thích:
δ

√
−g

= −
1
2
√
−g
δg =
1
2
√
−gg
µν
δg

µν
Thế các phương trình (3.9), (3.11), (3.14) vào phương trình (3.1) ta được:
δS =

d
4
x

−
1
2



π
−π
dφ

−4M
3

R
AB
−
1
2
G
AB
R


− ΛG
AB

δG
AB
√
−G
+
√
−g
vis
δ
µ
A
δ
ν
B
δ(φ −π)

∂
µ
χ∂
ν
χ −G
µν

1
2
G
αβ

∂
α
χ∂
β
χ + V
vis
(χ)

δG
AB
+
√
−g
hid
δ
µ
A
δ
ν
B
δ(φ)

∂
µ
χ∂
ν
χ −G
µν

1

2
G
αβ
∂
α
χ∂
β
χ + V
hid
(χ)

δG
AB

.
(3.16)
Trong trường hợp thế năng vượt trội động năng, ta có:
δS =δS
gravity
+ δS
vis
+ δS
hid
=

d
4
x

π

−π
dφ

2M
3

R
AB
−
1
2
G
AB
R

+
Λ
2
G
AB

√
−G
+
1
2
V
vis
√
−g

vis
g
vis
µν
δ
µ
M
δ
ν
N
δ(φ −π) +
1
2
V
hid
√
−g
hid
g
hid
µν
δ
µ
M
δ
ν
N
δ(φ)

δG

AB
= 0.
Vì tính tùy ý của δG
AB
nên ta có:

R
AB
−
1
2
G
AB
R

√
−G ≡

G
AB
√
−G = −
1
4M
3

ΛG
AB
√
−G +

+ V
vis
√
−g
vis
g
vis
µν
δ
µ
M
δ
ν
N
δ(φ −π) + V
hid
√
−g
hid
g
hid
µν
δ
µ
M
δ
ν
N
δ(φ)


.
(3.17)
Phương trình (3.17) chính là phương trình Einstein trong extra-dimension ( trong
trường hợp thế năng vượt trội động năng).
8
3.2 Giải phương trình Einstein
Xét nghiệm của phương trình Einstein có dạng:
ds
2
= e
−2σ(φ)
η
µν
dx
µ
dx
ν
+ r
2
c
dφ
2
. (3.18)
Trong đó: Trong đó e
−2σ(φ)
với 0 ≤ φ ≤ π là hệ số "warp", r
c
là bán kính "compact",
η
µν

là tensor Minkowsky.
Qui ước:
- Các chỉ số µ, ν có thể nhận các giá trị từ 0 đến 3
- Các chỉ số A, B, C có thể nhận các giá trị từ 0 đến 4
Chọn c=1.
Như vậy ta có các thành phần của tensor metrix là:
G
AB
=






−e
−2σ(φ)
0 0 0 0
0 e
−2σ(φ)
0 0 0
0 0 e
−2σ(φ)
0 0
0 0 0 e
−2σ(φ)
0
0 0 0 0 r
2
c







.
→
√
−G = r
c
e
−4σ(φ)
(3.19)
Hay
G
AB
=






−e
2σ(φ)
0 0 0 0
0 e
2σ(φ)
0 0 0

0 0 e
σ(φ)
0 0
0 0 0 e
σ(φ)
0
0 0 0 0 r
−2
c






.
Suy ra
g
vis
µν
(x
µ
) ≡ G
µν
(x
µ
, φ = π) =





−e
−2σ(φ)
0 0 0
0 e
−2σ(φ)
0 0
0 0 e
−2σ(φ)
0
0 0 0 e
−2σ(φ)




.
→
√
−g
vis
= e
−4σ(φ)
(3.20)
g
hid
µν
(x
µ
) ≡ G

µν
(x
µ
, φ = 0) =




−e
−2σ(φ)
0 0 0
0 e
−2σ(φ)
0 0
0 0 e
−2σ(φ)
0
0 0 0 e
−2σ(φ)




.
9
→
√
−g
hid
= e

−4σ(φ)
. (3.21)
x
A
≡






x
0
x
1
x
2
x
3
x
4






≡







t
x
1
x
2
x
3
φ






1. Các số hạng Christoffel:
Γ
A
BC
=
1
2
g
AD

∂g
DB

∂x
C
+
∂g
DC
∂x
B
−
∂g
BC
∂x
D

. (3.22)
Khai triển (3.22) ta được:
Γ
A
BC
=
1
2
g
A0

∂g
0B
∂x
C
+
∂g

0C
∂x
B
−
∂g
BC
∂t

+
1
2
g
A1

∂g
1B
∂x
C
+
∂g
1C
∂x
B
−
∂g
BC
∂x
1

+

1
2
g
A2

∂g
2B
∂x
C
+
∂g
2C
∂x
B
−
∂g
BC
∂x
2

+
1
2
g
A3

∂g
3B
∂x
C

+
∂g
3C
∂x
B
−
∂g
BC
∂x
3

+
1
2
g
A4

∂g
4B
∂x
C
+
∂g
4C
∂x
B
−
∂g
BC
∂φ


.
(3.23)
Nhận xét:
Từ dạng khai triển của các số hạng Christoffel cùng với các thành phần của
Tensor metrix ta có: Γ
A
BC
chỉ khác 0 nếu chỉ có 1 trong 3 chỉ số A, BC bằng 4 và
phải có 2 chỉ số trùng nhau.
Do đó ta có:
•
Γ
0
04
=
1
2
g
00

∂g
00
∂φ
+
∂g
04
∂t
−
∂g

04
∂t

=
1
2
g
00
∂g
00
∂φ
=
1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
0
04
= −σ

(φ)
•

Γ
0
40
=
1
2
g
00

∂g
04
∂t
+
∂g
00
∂φ
−
∂g
40
∂t

=
1
2
g
00
∂g
00
∂φ
=

1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
0
40
= −σ

(φ),
10
•
Γ
1
14
=
1
2
g
11

∂g
11

∂φ
+
∂g
14
∂x
1
−
∂g
14
∂x
1

=
1
2
g
11
∂g
11
∂φ
=
1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)


∂φ
Γ
1
14
= −σ

(φ),
•
Γ
1
41
=
1
2
g
11

∂g
14
∂x
1
+
∂g
11
∂φ
−
∂g
41
∂x
1


=
1
2
g
11
∂g
11
∂φ
=
1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
1
41
= −σ

(φ).
•
Γ
2

24
=
1
2
g
22

∂g
22
∂φ
+
∂g
24
∂x
2
−
∂g
24
∂x
2

=
1
2
g
22
∂g
22
∂φ
=

1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
2
24
= −σ

(φ),
•
Γ
2
42
=
1
2
g
22

∂g
24
∂x

2
+
∂g
22
∂φ
−
∂g
42
∂x
2

=
1
2
g
22
∂g
22
∂φ
=
1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ

,
Γ
2
42
= −σ

(φ),
•
Γ
3
34
=
1
2
g
33

∂g
33
∂φ
+
∂g
34
∂x
3
−
∂g
34
∂x
3


=
1
2
g
33
∂g
33
∂φ
=
1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
3
34
= −σ

(φ),
•
Γ
3

43
=
1
2
g
33

∂g
34
∂x
3
+
∂g
33
∂φ
−
∂g
43
∂x
3

=
1
2
g
33
∂g
33
∂φ
=

1
2
e
2σ(φ)
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
3
43
= −σ

(φ),
•
Γ
4
00
=
1
2
g
44

∂g
40
∂x

0
+
∂g
40
∂x
0
−
∂g
00
∂φ

= −
1
2
g
44
∂g
00
∂φ
=
1
2r
2
c
∂

e
−2σ(φ)

∂φ

,
Γ
4
00
= −
1
r
2
c
e
−2σ(φ)
σ

(φ),
11
•
Γ
4
11
=
1
2
g
44

∂g
41
∂x
1
+

∂g
41
∂x
1
−
∂g
11
∂φ

= −
1
2
g
44
∂g
11
∂φ
= −
1
2r
2
c
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ

4
11
=
1
r
2
c
e
−2σ(φ)
σ

(φ),
•
Γ
4
22
=
1
2
g
44

∂g
42
∂x
2
+
∂g
42
∂x

2
−
∂g
22
∂φ

= −
1
2
g
44
∂g
22
∂φ
= −
1
2r
2
c
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
4
22
=

1
r
2
c
e
−2σ(φ)
σ

(φ),
•
Γ
4
33
=
1
2
g
44

∂g
43
∂x
3
+
∂g
43
∂x
3
−
∂g

33
∂φ

= −
1
2
g
44
∂g
33
∂φ
= −
1
2r
2
c
∂

e
−2σ(φ)

∂φ
,
Γ
4
33
=
1
r
2

c
e
−2σ(φ)
σ

(φ).
2. Tensor Ricci
R
AB
=
∂Γ
C
AB
∂x
C
−
∂Γ
C
AC
∂x
B
+ Γ
C
AB
Γ
σ
Cσ
− Γ
σ
AC

Γ
C
Bσ
=
∂Γ
4
AB
∂φ
−
∂Γ
0
A0
∂x
B
−
∂Γ
1
A1
∂x
B
−
∂Γ
2
A2
∂x
B
−
∂Γ
3
A3

∂x
B
+ Γ
4
AB
Γ
0
40
+ Γ
4
AB
Γ
1
41
+ Γ
4
AB
Γ
2
42
+ Γ
4
AB
Γ
3
43
−

Γ
0

A0
Γ
0
B0
+ Γ
0
A4
Γ
4
B0
+ Γ
1
A1
Γ
1
B1
+ Γ
1
A4
Γ
4
B1

−

Γ
2
A2
Γ
2

B2
+ Γ
2
A4
Γ
4
B2
+ Γ
3
A3
Γ
3
B3
+ Γ
3
A4
Γ
4
B3

−

Γ
4
A0
Γ
0
B4
+ Γ
4

A1
Γ
1
B4
+ Γ
4
A2
Γ
2
B4
+ Γ
4
A3
Γ
3
B4
+ Γ
4
A4
Γ
4
B4

.
(3.24)
Nhận xét: Nếu A = B thì R
AB
=0
•
R

00
=
∂Γ
4
00
∂φ
+ Γ
4
00
Γ
0
40
+ Γ
4
00
Γ
1
41
+ Γ
4
00
Γ
2
42
+ Γ
4
00
Γ
3
43

−

Γ
0
04
Γ
4
00
+ Γ
4
00
Γ
0
04

,
R
00
=
1
r
2
c

4e
−2σ(φ)
σ

(φ)
2

− e
−2σ(φ)
σ

(φ)

.
12
•
R
11
=
∂Γ
4
11
∂φ
+ Γ
4
11
Γ
0
40
+ Γ
4
11
Γ
1
41
+ Γ
4

11
Γ
2
42
+ Γ
4
11
Γ
3
43
−

Γ
1
14
Γ
4
11
+ Γ
4
11
Γ
1
14

,
R
11
=
1

r
2
c

−4e
−2σ(φ)
σ

(φ)
2
+ e
−2σ(φ)
σ

(φ)

.
•
R
22
=
∂Γ
4
22
∂φ
+ Γ
4
22
Γ
0

40
+ Γ
4
22
Γ
1
41
+ Γ
4
22
Γ
2
42
+ Γ
4
22
Γ
3
43
−

Γ
2
24
Γ
4
22
+ Γ
4
22

Γ
2
24

,
R
22
=
1
r
2
c

−4e
−2σ(φ)
σ

(φ)
2
+ e
−2σ(φ)
σ

(φ)

.
•
R
33
=

∂Γ
4
33
∂φ
+ Γ
4
33
Γ
0
40
+ Γ
4
33
Γ
1
41
+ Γ
4
33
Γ
2
42
+ Γ
4
33
Γ
3
43
−


Γ
3
34
Γ
4
33
+ Γ
4
33
Γ
3
34

,
R
33
=
1
r
2
c

−4e
−2σ(φ)
σ

(φ)
2
+ e
−2σ(φ)

σ

(φ)

.
R
44
= −
∂Γ
0
40
∂φ
−
∂Γ
1
41
∂φ
−
∂Γ
2
42
∂φ
−
∂Γ
3
43
∂φ
−

Γ

0
40
Γ
0
40
+ Γ
1
41
Γ
1
41
+ Γ
2
42
Γ
2
42
+ Γ
3
43
Γ
3
43

,
R
44
= −4σ

(φ)

2
+ 4σ

(φ).
3. Số hạng Ricci vô hướng
R = R
AB
G
AB
,
⇒ R =
1
r
2
c

− 4σ

(φ)
2
+ 4σ

(φ) −e
2σ(φ)

4e
−2σ(φ)
σ

(φ)

2
− e
−2σ(φ)
σ

(φ)

+ 3e
2σ(φ)

−4e
−2σ(φ)
σ

(φ)
2
+ e
−2σ(φ)
σ

(φ)

=
1
r
2
c

−20σ


(φ)
2
+ 8σ

(φ)

.
4. Thành phần Tensor Einstein
13
•

G
00
=R
00
−
1
2
RG
00
=
1
r
2
c

4e
−2σ(φ)
(σ


(φ))
2
− e
−2σ(φ)
σ

(φ)

+
1
2
e
−2σ(φ)
1
r
2
c

−20(σ

(φ))
2
+ 8σ

(φ)

=
3
r
2

c
e
−2σ(φ)

−2(σ

(φ))
2
+ σ

(φ)

.
(3.25)
Tương tự ta có thể tính các thành phần còn lại của tensor Einstein
•

G
11
=R
11
−
1
2
RG
11
=
1
r
2

c

−4e
−2σ(φ)
(σ

(φ))
2
+ e
−2σ(φ)
σ

(φ)

−
1
2
e
−2σ(φ)
1
r
2
c

−20(σ

(φ))
2
+ 8σ


(φ)

=
3
r
2
c
e
−2σ(φ)

2(σ

(φ))
2
− σ

(φ)

,
(3.26)
•

G
22
=R
22
−
1
2
RG

22
=
1
r
2
c

−4e
−2σ(φ)
(σ

(φ))
2
+ e
−2σ(φ)
σ

(φ)

−
1
2
e
−2σ(φ)
1
r
2
c

−20(σ


(φ))
2
+ 8σ

(φ)

=
3
r
2
c
e
−2σ(φ)

2(σ

(φ))
2
− σ

(φ)

,
(3.27)
•

G
33
=R

33
−
1
2
RG
33
=
1
r
2
c

−4e
−2σ(φ)
(σ

(φ))
2
+ e
−2σ(φ)
σ

(φ)

−
1
2
e
−2σ(φ)
1

r
2
c

−20(σ

(φ))
2
+ 8σ

(φ)

=
3
r
2
c
e
−2σ(φ)

2(σ

(φ))
2
− σ

(φ)

,
(3.28)

14
•

G
44
= R
44
−
1
2
RG
44
= −4σ

(φ)
2
+ 4σ

(φ) −
1
2r
2
c

−20σ

(φ)
2
+ 8σ


(φ)

r
2
c
= 6 (σ

(φ))
2
.
(3.29)
Chú thích: σ

(φ) là đạo hàm của σ theo φ.
Từ các phương trình (3.17) và (3.29) ta có: (khi A=4, B=4)

G
44
√
−G = −
1
4M
3

ΛG
44
√
−G +
+ V
vis

√
−g
vis
g
vis
µν
δ
µ
4
δ
ν
4
δ(φ −π) + V
hid
√
−g
hid
g
hid
µν
δ
µ
4
δ
ν
4
δ(φ)

= −
1

4M
3
ΛG
44
√
−G,
⇔

G
44
= −
1
4M
3
ΛG
44
= 6 (σ

(φ))
2
⇔ (σ

(φ))
2
=
−Λr
2
c
24M
3

.
(3.30)
→ σ

= r
c

−Λ
24M
3
Nghiệm của phương trình trên là bất biến với phép biến đổi φ → −φ nên ta có:
σ = r
c
|φ|

−Λ
24M
3
(3.31)
Từ phương trình (3.17) Với A=0, B=0
G
00
√
−G = −
1
4M
3

ΛG
00

√
−G + V
vis
√
−g
vis
g
vis
00
δ(φ −π) + V
hid
√
−g
hid
g
hid
00
δ(φ)

.
⇔ r
c
e
−4σ(φ)

1
r
2
c
e

−2σ(φ)

−6σ

(φ)
2
+ 3σ

(φ)

=
1
4M
3

Λe
−2σ(φ)
r
c
e
−4σ(φ)
+ V
vis
e
−4σ(φ)
e
−2σ(φ)
δ(φ −π) + V
hid
e

−4σ(φ)
e
−2σ(φ)
δ(φ)

.
(3.32)
⇔
−6
r
c
(σ

(φ))
2
−
3
r
c
σ

(φ) =
1
4M
3
[Λr
c
+ V
vis
δ(φ −π) + V

hid
δ(φ)].
Thế (3.30) vào ta được
−6
r
c
−Λr
2
c
24M
3
+
3
r
c
σ

(φ) =
1
4M
3
[Λr
c
+ V
vis
δ(φ −π) + V
hid
δ(φ)].
15
⇒

3
r
c
σ

(φ) =
V
vis
4M
3
δ(φ −π) +
V
hid
4M
3
δ(φ)
⇒ σ

(φ) =
V
vis
r
c
12M
3
δ(φ −π) +
V
hid
r
c

12M
3
δ(φ). (3.33)
Như vậy, đạo hàm cấp hai của σ(φ) phụ thuộc vào thế năng V
vis
và V
hid
trong Brane.
Đạo hàm (tới cấp 2) 2 vế của phương trình (3.31) ta được:
σ

(φ) = 2r
c

−Λ
24M
3
(δ(φ) −δ(φ −π).) (3.34)
Kết hợp (3.33) với (3.34) với giả thuyết V
vis
, V
hid
, Λ phụ thuộc vào cùng một thang
k. Khi đó, ta có:
V
hid
= −V
vis
= 24M
3


−Λ
24M
3
= 24M
3
k. (3.35)
Như vậy, ta có nghiệm của phương trình Einstein (trong trường hợp thế năng vượt trội
động năng) :
ds
2
= e
−2kr
c
|φ|
η
µν
+ r
2
c
dφ
2
. (3.36)
4 Hệ thống thứ bậc và vấn đề về hằng số vũ trụ
Bài toán thứ bậc được giải quyết khá tốt trong mô hình RSI[3], không-thời gian
Bulk 5D, với chiều thứ 5 (chiều ngoại phụ) compact, được mô tả bởi metric
dS
2
5
= e

−2kr
c
|φ|
η
µν
dx
µ
dx
ν
+ r
2
c
dφ
2
, (4.1)
Với
µ, ν = 0, 1, 2, 3; k là một hằng số, ở bậc của thang khối lượng Planck 5 chiều M
η
µν
là metric Minkowski 4D và r
c
là bán kính của chiều thêm vào.
Hệ số e
−2kr
c
|φ|
được gọi là hệ số warp.
Hàm tác dụng 5D của RSI khi bỏ qua hằng số vũ trụ có dạng sau:
S
(5)

g
=
M
3
16π

dx
5

−g
(5)
R
(5)
. (4.2)
Để thu được hệ thức giữa thang Planck 5D M và thang Planck 4D M
pl
, chúng ta
khảo sát những nhiễu loạn hấp dẫn cho bởi
dS
2
5
= e
−2kr
c
|φ|
[η
µν
+ h
µν
(x

λ
)]dx
µ
dx
ν
+ r
2
c
dφ
2
= g
(4)
(x, φ)(dx
µ
+ N
µ
dφ)(dx
ν
+ N
ν
dφ) + N
2
dφ
2
,
(4.3)
16
Trong đó, N
µ
= N

ν
= 0, N
2
= r
2
c
.
Từ biểu thức khoảng trên ta dẫn ra metric có dạng như sau:
g
(5)
=

g
(4)
g
0ν
g
µ0
g
55

=

g
(4)
g
(4)
N
µ
g

(4)
N
ν
N
2
+ g
(4)
N
µ
N
ν

=

A B
C D

(4.4)
Ta có:
det(g
(5)
) = det(A)det(D −CA
−1
B) = N
2
det(g
(4)
), (4.5)
ta suy ra:


−g
(5)
= r
c

−g
(4)
. (4.6)
Xem xét metric (4.1), chúng ta chiết suất ra metric 4 chiều có dạng e
−2kr
c
|φ|
η
µν
dx
µ
dx
ν
,
chỉ tỉ lệ với metric Minlowski một thành phần e
−2kr
c
|φ|
. Nên trong mô hình RSI, ta có
nhận xét là tensor Ricci 4 chiều lúc này hơn kém e
−2kr
c
|φ|
so với tensor Ricci tính từ
metric Minkowski.

Với dạng tác dụng (4.2) và (4.6) cùng với nhận xét về metric của mô hình RSI trên
ta thu gọn tác dụng 5D thành 4D có dạng sau:
S
(4)
g
=
M
3
16π

dx
4

π
−π
dφr
c
e
−2kr
c
|Φ|

−g
(4)
R
(4)
=
M
3
16π

1
k

dx
4
R
4

1 −e
−2kr
c
π

,
(4.7)
với g
4
= η
µν
+ h
µν
.
So sánh (4.7) với tác dụng Hilbert- Einstein 4D thông thường có dạng
S
4
g
=
M
2
pl

16π

d
4

−g
(4)
R
(4)
, (4.8)
ta suy ra được
M
2
pl
=
M
3
k

1 −e
−2kr
c
π

. (4.9)
Phương trình (4.9) cho thấy M
pl
chỉ phụ thuộc rất nhỏ vào r
c
trong giới hạn kr

c
lớn. Mô hình RSI dự đoán M và M
pl
cùng bậc:M ∼ M
pl
∼ 10
16
T eV . Hệ thống thứ bậc
giữa tham số khối lượng vật lý m và tham số khối lượng cơ bản m
0
có thể phát sinh
m = e
−kr
c
π
m
0
Nếu e
kr
c
π
ở bậc 10
15
, khi đó cơ chế này sinh ra thang khối lượng vật lý TeV từ các
tham số khối lượng cơ bản không khác nhiều so với thang Planck, 10
19
GeV.
17
Giá trị nhỏ quan sát được của hằng số vũ trụ làm nảy sinh vấn đề hằng số vũ trụ. Có
rất nhiều nỗ lực trong việc giải quyết vấn đề này thông qua các mô hình Braneworld.

Trong mô hình RS, hằng số vũ trụ hiệu dụng 4 chiều trên Brane được sinh ra bởi hằng
số vũ trụ Bulk 5 chiều Λ [5]. Từ phương trình (4.9) với k =

−Λ
24M
3
và ràng buộc
M
pl
∼ M, ta có
M
2
pl
=
M
3
pl

−Λ
24M
3
pl

1 −e
−2kr
c
π

⇔


−Λ
24M
3
pl
= M
pl

1 −e
−2kr
c
π

⇒ −Λ ∼ M
5
pl

1 −e
−2kr
c
π

2
= M
5
pl

2
,
(4.10)
Với  = 1 −e

−2kr
c
π
. Trở lại tác dụng của hấp dẫn 5D
S =

d
4
x
πr
c

−πr
c
dy
√
−G(−Λ + 2M
3
R)
và metric
dS
2
= e
−2k|y|
η
µν
dx
µ
dx
ν

+ dy
2
, ở đây, y = r
c
φ là chiều thêm vào. Thực hiện tính tích phân tác dụng S theo chiều thứ
5, ta được
S
Λ
=

d
4
x
√
−6M
3
Λ

1 −e
−4kr
c
π

. (4.11)
Nếu chúng ta đề xuất thang khối lượng 4 chiều M
pl
như là thang khối lượng cơ
bản, tức là nếu chúng ta đặt M
pl
∼ M, khi đó, hằng số vũ trụ Bulk lấy giá trị trong

phương trình (4.10). Thế (4.10) vào (4.11), ta được
S
Λ
∼

d
4
x

6M
3
pl
M
5
pl

2

1 −e
−4kr
c
π

∼

d
4
xM
4
pl



1 −e
−4kr
c
π

.
(4.12)
So sánh kết quả này với tác dụng hiệu dụng 4 chiều trên Brane quan sát được đặt
tại y = r
c
π với tensor metric g
vis
µν
= e
−2kr
c
π
η
µν
S
eff
=

d
4
x
√
−g

vis
(−Λ
vis
(4)
) =

d
4
xe
−4kr
c
π
(−Λ
vis
(4)
)
18
ta suy ra được
−Λ
vis
(4)
∼ M
4
pl

1 −e
−4kπr
c
e
−4kπr

c
= M
4
pl


e
4kπr
c
− 1

= M
4
pl
δ. (4.13)
Ta thấy rằng, nếu δ ở bậc 10
−120
, khi đó, −Λ
vis
(4)
∼ (10
18
)
4
.10
−120
. Như vậy, mô
hình này sinh ra một hằng số vũ trụ hiệu dụng 4D nhỏ
−Λ
vis

(4)
∼ 10
−47
GeV
4
Tương tự với Brane ẩn đặt tại y = 0, tác dụng hiệu dụng là
S
eff
=

d
4
x
√
−g
hid
(−Λ
hid
(4)
)
với g
hid
µν
= η
µν
. Trên Brane này, hằng số vũ trụ rất nhỏ và bằng
−Λ
hid
(4)
∼ M

4
pl
(1 −e
−4kπr
c
)
Như vậy, để sinh ra thứ bậc lớn δ = (1 − e
−2kr
c
π
)

e
4kπr
c
− 1

= 10
−120
giữa giá trị
bản chất và giá trị quan sát được của hằng số vũ trụ đòi hỏi r
c
phải cực nhỏ. Khi đó,
chúng ta có thể thu được hằng số vũ trụ hiệu dụng nhỏ trên cả hai Brane. Vấn đề về
hằng số vũ trụ đã được giải quyết trong mô hình RS.
Ta chú ý rằng, trong RS, để sinh ra hệ thống thứ bậc dạng hàm e-mũ e
kπr
c
giữa
thang TeV và thang Planck đòi hỏi kr

c
∼ 10 để độ lớn của chiều thêm vào là
r
c
∼ 10
18
GeV ∼ 10
−34
m
Với giá trị r
c
cực nhỏ để giải quyết vấn đề về hằng số vũ trụ sẽ là quá nhỏ để giải
quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc. Điều này có nghĩa rằng trong mô hình RS, khi giải
quyết được bài toán thứ bậc về thang đo planck lai sinh ra một bài toán thứ bậc khác,
bài toán thứ bậc giữa bán kính cong (r
c
) hay độ cong µ
c
=
1
r
c
và thang đo plack (hoặc
thang điện-yếu).
5 Hấp dẫn 4D trên Brane trong không gian Bulk
5D
Trong các mô hình Braneworld, trường hấp dẫn có thể truyền trong không-thời
gian Bulk nhiều chiều, có nghĩa là hấp dẫn đã bị biến đổi. Mô hình RSII khảo sát cách
khôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên Brane gắn trong không-thời gian Bulk 5 chiều. Mô
hình này dựa trên các thành phần cơ bản sau[2]:

19
• Không-thời gian Bulk 5 chiều trống rỗng nhưng đóng góp một hằng số vũ trụ âm
Λ = −
6
l
2
l là kích thước của chiều thêm vào.
• Một Brane tự hấp dẫn, đóng góp một áp suất dương σ và có tính đối xứng Z
2
Phương trình Einstein 5D được cho bởi
G
MN
+ Λg
MN
= κ
2
T
MN
κ là hằng số liên kết hấp dẫn. Khối lượng Planck 5 chiều M được định nghĩa
κ
2
= M
−3
Phương trình Einstein 5D thừa nhận nghiệm tĩnh sau[2, 4, 6]
dS
2
= a
2
(y)η
µν

dx
µ
dx
ν
+ dy
2
= a
2
(z)(η
µν
dx
µ
dx
ν
+ dy
2
).
(5.1)
a(y) = e
−l|y|
, a(z) =
1
1 + l|z|
là hệ số warp theo tọa độ vật lý và tọa độ conformal
z =

dy
a(y)
[6]. Khảo sát mô hình RSII, chúng ta sẽ chúng tỏ rằng định luật Newton
về hấp dẫn được khôi phục trên Brane có áp suất dương gắn trên chiều thêm vào vô

hạn, tức ta sẽ thu lại được thế hấp dẫn V (r) ∼
−Gm
1
m
2
r
như trong hấp dẫn 4D chuẩn.
Chúng ta bắt đầu với hai Brane: Brane quan sát được đặt tại y = y
r
, z = z
r
và
Brane ẩn đặt tại y = z = 0. Áp suất trên hai Brane lần lượt là σ và −σ. Để khảo sát
sâu hơn tính chất của hấp dẫn và tìm ra thế hiệu dụng của một vật điểm trên Brane,
chúng ta phải xét đến các nhiễu loạn g
MN
= η
MN
+ h
MN
, trong đó h
yy
= 0, h
yµ
=
0, ∂
µ
h
µ
ν

= 0, h
ν
µ
= 0. Từ đây, phương trình Einstein tuyến tính hóa rút gọn thành [2, 4]

a
−
2∂
2
(4)
+ ∂
2
y
−
4
l
2
+
4
l
δ(y)

h
µν
= 0. (5.2)
Nghiệm của phương trình có thể được viết dưới dạng chồng chập của các mode riêng
h(x
µ
, y) = Φ
m

(y)e
ip
µ
x
µ
với p
m
up
µ
= −m
2
là khối lượng 4 chiều của kích thích Kaluza-Klein. Sự phụ thuộc
vào chiều thứ 5 của các mode bị chi phối bởi phương trình gần giống phương trình
Schrodinger
d
2
ψ
m
dz
2
− V (z)ψ
m
= −m
2
ψ
m
20
ψ
m
= a

−1/2
Φ
m
, thế V (z) có dạng
V (z) =
15
(4|z| + l)
2
−
3
l
δ(z)
và dần tới không ở vô hạn. Chúng ta có thể chia các nghiệm của phương trình giống
Schrodinger thành:
• 1 mode zero (m = 0), tập trung gần Brane và gây ra tính chất của hấp dẫn 4D
thông thường
• 1 miền liên tục các mode có khối lượng (m > 0) liên kết yếu với Brane và gây
biến đổi hấp dẫn 4D chuẩn.
Theo [7], các phương trình vũ trụ học chính xác được khôi phục nếu chúng ta ổn định
khoảng cách giữa 2 Brane. Để thực hiện điều này, nhóm tác giả [7] đã đưa vào một
trường vô hướng không khối lượng gọi là Radion. Trong trường hợp của chúng ta,
trường Radion φ với số hạng động năng
1
2
φ
,α
φ
,α
được cho bởi [6]
φ =





3
2
M
3
ly
2
r
e
2ly
r
− 1
S
S là một trường vô hướng. Với một nguồn đặt trên Brane y = 0 và một nguồn khác
đặt tai điểm y, thế hấp dẫn giữa hai nguồn là [6]
V (r, y) = −
m
1
m
2
8πM
3
e
2ly
r

l

1 −e
−2ly
r
+
4
3

m>0
Φ
m
(0)Φ
m
(y)e
−mr
1
3

ly
y
r
+
le
−2ly
r
1 −e
−2ly
r


.

(5.3)
Đóng góp vào thế gồm có 3 thành phần:
- Thành phần mode zero ứng với số hạng thứ nhất
- Thành phần miền liên tục của các mode có khối lượng (m > 0) ứng với số hạng thứ
2
- Thành phần thứ 3 là đóng góp của trường Radion.
Với cả hai nguồn trên Brane y = 0, thế V (r, y) rút gọn thành
V (r) = −
m
1
m
2
8πM
3
r

l
1 −e
−2ly
r
+
4
3

m>0
Φ
2
m
(0)e
−mr

+
1
3
le
−2ly
r
1 −e
−2ly
r

= −
m
1
m
2
8πM
3
r
l

1 +
1
3
e
−2ly
r

1 −e
−2ly
r





1 +
4
3
1 −e
−2ly
r
l

1 +
1
3
e
−2ly
r


m>0
Φ
2
m
(0)e
−mr





.
(5.4)
21
Nếu chúng ta bao gồm cả Radion trong định nghĩa khối lượng Planck 4 chiều hiệu
dụng
M
2
pl
=
M
3
l
1 −e
−2ly
r
1 +
1
3
e
−2ly
r
khi đó thế V(r) trở thành
V (r) = −
m
1
m
2
8πM
2
pl

r







1 +
4
3
1 −e
−2ly
r
l

1 +
1
3
e
−2ly
r


m>0
Φ
2
m
(0)e
−mr








=
−Gm
1
m
2
r







1 +
4
3
1 −e
−2ly
r
l

1 +
1

3
e
−2ly
r


m>0
Φ
2
m
(0)e
−mr







,
(5.5)
Với G = (8πM
2
pl
)
−1
là hằng số hấp dẫn. Như vậy, trường vô hướng không khối lượng
Radion vừa cho đóng góp đối với thế vừa cho đóng góp đối với khối lượng Planck 4
chiều hiệu dụng. Ta thấy rằng, đóng góp của Radion biến mất trong giới hạn y
r

→ ∞.
Nếu bỏ qua đóng góp của miền liên tục các mode có khối lượng thì
V (r) ∼ −
Gm
1
m
2
r
có nghĩa là chúng ta đã khôi phục lại được hấp dẫn 4D trong giới hạn khoảng cách
lớn, tức chiều thêm vào mở rộng ra vô hạn.
6 Năng-xung lượng trong mô hình Randall-Sundrum
Trong lý thuyết tương đối rộng, định luật bảo toàn năng-xung lượng đối với trường
hấp dẫn là một trong những vấn đề cơ bản nhất. Theo lý thuyết trường, đại lượng mô
tả các thuộc tính năng-xung lượng của hệ vật lý chính là tensor năng-xung lượng. Đối
với trường hấp dẫn, vấn đề có phức tạp hơn. Ngoài tensor năng-xung lượng T
µν
của
vật chất, còn tồn tại giả tensor năng-xung lượng t
µν
của trường hấp dẫn [8]
(−g
(4)
) (T
µν
+ t
µν
) =
∂
∂x
λ

h
µνλ
t
µν
với h
µνλ
là siêu thế của trường hấp dẫn. T
µν
+ t
µν
thỏa định luật bảo toàn
∂
µ

(−g
(4)
) (T
µν
+ t
µν
)

= 0
22
Tương tự như trong trường hợp (3 + 1) chiều, để tìm hiểu rõ hơn về hấp dẫn nhiều
chiều trong các mô hình Braneworld cụ thể là mô hình Braneworld Randall-Sundrum,
chúng ta cũng cần xác định các định luật bảo toàn. Tác dụng cổ điển trong RS được
cho bởi [3, 4]
S = S
g

+ S
h
+ S
v
(6.1)
Với S
g
=

d
4
xdy
√
−G(−Λ + 2M
3
R) là đóng góp của Bulk. Các thành phần đóng góp
của Brane quan sát được S
v
đặt tại y = πr và Brane ẩn S
h
đặt tại y = 0 cho bởi
S
v
= −σ

d
4
x
√
−g

v
S
h
= σ

d
4
x
√
−g
h
Theo lý thuyết trường, hàm tác dụng liên hệ với Lagrangian L qua phương trình
S =

d
D
xL. (6.2)
So sánh (6.1) và (6.2), ta suy ra mật độ Lagrangian đối với mô hình RS có dạng
L = L
g
+ L
m
Ở đây, L
m
là Lagrangian của thành phần vật chất.
L
g
=
√
−G(2M

3
R −Λ) − σ
√
−g
v
δ(y) + σ
√
−g
h
δ(y −πr)
Đối với hệ RS, tensor năng xung lượng gồm hai thành phần[9]
-T
µ
a
là đóng góp của thành phần vật chất
-t
µ
a
là mật độ năng-xung lượng của trường hấp dẫn.
Mật độ năng-xung lượng toàn phần của một hệ hấp dẫn có thể được biểu diễn thông
qua siêu thế V
µν
a
√
−G(T
µ
a
+ t
µ
a

) = ∂
ν
V
µν
a
ở đây, a = 0, 1, 2, 3, 4, µ = 0, 1, 2, 3. (T
µ
a
+ t
µ
a
) tuân theo định luật bảo toàn năng-xung
lượng
∂
µ

√
−G(T
µ
a
+ t
µ
a
)

= 0
Các thành phần năng-xung lượng của hệ bao gồm[9]
P
a
=


6
M
6
M
2
pl
(1 −e
−3kπr
)(1 −e
−2kπr
)v, 0, 0, 0, 0

23
Trong đó, v là thể tích của không-thời gian 3 chiều thông thường. Như vậy, đối với hệ
RS, thành phần xung lượng của hệ triệt tiêu. Ta chỉ thu được thành phần năng lượng
E = 6
M
6
M
2
pl
(1 −e
−3kπr
)(1 −e
−2kπr
)v
Ta thấy rằng, khi bán kính r của chiều thêm vào được lấy trong giới hạn r → 0, tức
là chiều thêm vào biến mất, Bulk suy biến thành vũ trụ phẳng của chúng ta và năng
lượng vũ trụ triệt tiêu.

7 Lạm phát trong mô hình Randall-Sundrum
Nghiên cứu lạm phát vũ trụ học trong các mô hình Braneworld đã thu hút nhiều
sự quan tâm trong những năm gần đây. Công cụ mạnh mẽ nhất để nghiên cứu động
lực học lạm phát là phép gần đúng lăn chậm. Trong mô hình RSII, hình thức luận lăn
chậm đã được thiết lập[10] và động lực học lạm phát được khảo sát với các dạng thế
khác nhau như thế dạng lũy thừa nghịch đảo V (φ) = µ
α+4
/φ
α
, thế dạng hàm e-mũ
V (φ) = V
0
e
−βφ
[11].
Chúng ta bắt đầu với phương trình Friedmann trong mô hình vũ trụ Braneworld[12]
H
2
=
Λ
4
3
+
8π
3M
3
4
+
4π
3M

3
ρ
2
+
C
a
4
, (7.1)
M
4
là khối lượng Planck 4 chiều. Trong RSII, hằng số vũ trụ 4 chiều Λ
4
= 0 và lạm
phát làm cho số hạng bức xạ tối
C
a
4
không đáng kể. Khi đó, tham số Hubble H tỉ lệ
với mật độ năng lượng ρ như sau
H
2
=
8π
3M
2
4
ρ

1 +
ρ

2σ

. (7.2)
Ta thấy rằng, khi ρ  σ, chúng ta thu lại được phương trình Friedmann 4D thông
thường H
2
=
8π
3M
2
4
ρ. Trường vô hướng bị giới hạn trong Brane, vì vậy tuân theo phương
trình chuyển động [13]
¨
φ + 3H
˙
φ + V

= 0, (7.3)
Dấu (’) chỉ đạo hàm theo φ và dấu (.) chỉ đạo hàm theo thời gian. Mật độ năng lượng
của trường vô hướng.
ρ = V +
˙
φ
2
2
(7.4)
24
Đối với vũ trụ chuẩn hình thức luận lăn chậm được khảo sát chi tiết trong [14]. Hai
tham số lăn chậm được định nghĩa như sau


H
= 3
˙
φ
2
/2
V +
˙
φ
2
/2
=
M
2
4
H
2
4πH
2
, η
H
= −3
¨
φ
3H
˙
φ
=
M

2
4
H

4πH
. (7.5)
Điều kiện xảy ra lạm phát ¨a > 0 bây giờ chuyển thành 
H
< 0 hay |η
H
| < 0.
Đối với mô hình Braneworld, theo cách tiếp cận của Hawkins và Lidsey[15], một
đại lượng mới n(φ) được đưa ra, giữ vai trò tương tự H(φ) trong vũ trụ chuẩn.
n
2
=
ρ/2σ
1 + ρ/2σ
, (7.6)
Hệ thức ngược lại
ρ =
2σn
2
1 −n
2
. (7.7)
Ở năng lượng thấp ρ  σ thì n
2
→ 0, trong khi ở năng lượng cao ρ  σ thì n
2

→ 1.
Phương trình (7.2) có thể biểu diễn theo n như sau:
Ta có
H
2
=
8π
3M
2
4
ρ

1 +
ρ
2σ

thế (7.7) vào ta được
H
2
=
8π
3M
2
4
2σn
2
1 −n
2

1 +

2σn
2
2σ(1 −n
2
)

=
16πσ
3M
2
4
n
2
(1 −n
2
)
2
.
(7.8)
Vậy, tham số Hubble có thể biểu diễn theo n dưới dạng
H =

16πσ
3M
2
4

1/2
n
1 −n

2
. (7.9)
Để biểu diễn
˙
φ theo n(φ), ta trở lại phương trình (7.4) ρ = V +
˙
φ
2
2
. Đạo hàm hai vế
phương trình theo thời gian, ta được
dρ
dφ
˙
φ =
˙
φ
¨
φ +
dV
dφ
˙
φ ⇒
dρ
dφ
=
¨
φ +
dV
dφ

⇒
¨
φ = ρ

− V

, (7.10)
Với
ρ =
2σn
2
1 −n
2
⇒ ρ

=
4σnn

(1 −n
2
)
2
.
25