tài liệu hướng dẫn tự học môn hình học 11

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƠNG DỤNG

Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
Đ


Phép đối xứng trục


Đ
ối xứng
Đ
O
Phép đối xứng tâm O
Đ
ối xứng
v
T


Phép tịnh tiến theo vectơ
v


T
ịnh tiến
),(


O
Q

Phép quay tâm O, góc quay 
Q
uay
),( kI
V

Phép vị tự tâm I, tỉ số k
T
ịnh tiến

() hoặc mp() Mặt phẳng 
A  ()
Điểm A thuộc mp() hay A nằm trên () hay ()
chứa A hay () qua A

A  ()
Điểm A khơng thuộc () hay A khơng nằm trên
() hay () khơng chứa A hay () khơng qua A

d

(

) d chứa trong mặt phẳng


d

() = {M}
d cắt mặt phẳng () tại M

()  () = 
mp(

) cắt mp(

) theo giao tuyến



S.ABCD Hình chóp S là đỉnh, ABCD là mặt
đáy
ABC.A'B'C' Hình lăng trụ tam giác

d(A,(

)) Khoảng cách từ A đến mp(

) Distance from A to (

)
d(

,()) Khoảng giữa đường thẳng

và mp(


)

d((),(

)) Khoảng giữa hai mp() và mp(

)

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
oOo


CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Vectơ:
a) Các định nghĩa:
 Độ dài vectơ
AB
kí hiệu
AB
bằng độ dài đoạn thẳng AB.
 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song
song hoặc trùng nhau.
 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.
 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và
cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ
a

kí hiệu là -
a

; vectơ đối của

MN
là
NM
nên ta có
NMMN 
.
 Hai vectơ
a

và
b

cùng phương  k  R:
a

= k
b

.

0.  baba








Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình

bình hành thì:

ACADAB 


Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:
ACBCAB 

CBACAB 

 A, B, C thẳng hàng 
ACkAB 
, k  R
 I là trung điểm AB 
0

 IBIA

 G là trọng tâm ABC  0

 GCGBGA
b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:
Cho hai vectơ
u

= (u
1
; u
2
),

v

= (v
1
; v
2
), ta có:


v
u



= (u
1
+ v
1
; u
2
+ v
2
)

v
u



= (u

1
- v
1
; u
2
- v
2
)
 k
u

= (ku
1
; ku
2
)

v
u


.
= u
1
v
1
+ u
2
v
2


2
2
2
1
uuu 









22
11
vu
vu
vu


Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y

B
), ta có:

AB
= (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
 AB =
AB

 Tọa độ trung điểm của AB: I(
2
;
2
BABA
yyxx


)
 Tọa độ trọng tâm ABC: G(
3
;
3
CBACBA

yyyxxx




)
2. Đường thẳng trong mặt phẳng:
 Phương trình tham số của đường thẳng :



 b)(a;VTCPcó
)y;M(xqui
00
u
là :





btyy
atxx
0
0
.
 Phương trình tổng qt của đường thẳng :




 B)(A;VTPTcó
)y;M(xqui
00
n
là: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0.
Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến
);( BAn


.
 Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương
);( bau


thì d có một vectơ pháp tuyến
);( abn



. Nếu đường
thẳng  có vectơ pháp tuyến
n

= (A; B) thì  có một vectơ chỉ phương là
);( ABu




.
 Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By + C
1
= 0 (C ≠ C
1
).
 Đường thẳng vng góc đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C
2
= 0.
= 2
v
u
= -
1
3
ba
b
a
v
u
hai vectơ bằng nhau
hai vectơ đối nhau
các cặp vectơ cùng phương
D
A
B
C
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

Tài liệu lưu hành nội bộ
3
3. Đường tròn:
 Đường tròn (C):



Rkínhbaùn
baItaâm );(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
.
 Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a
2
+ b
2
- c > 0.
Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R =
cba 
22
.

 Ghi chú:



























Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ

4
§1. PHÉP BIẾN HÌNH
 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được
bao nhiêu điểm M' như thế?
ĐỊNH NGHĨA:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó
được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua
phép biến hình F.
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi
điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình
F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
 Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với
điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?

 Ghi chú:












CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
§2. PHÉP TỊNH TIẾN

I- ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng cho vectơ
v

. Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M' sao cho
'
MM
=
v

được gọi là phép tịnh tiến
theo vectơ
v

.

 Phép tịnh tiến theo vectơ

v

thường được kí hiệu là
v
T

,
v

được gọi là vectơ tịnh tiến.
 Vậy:
vMMMMT
v


 '')(

 Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất.



Cho hai tam gi
á
c
đ
ề
u ABE v
à

BCD b

ằ
ng nhau. T
ì
m
phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba
điểm B, C, D.


Phép tịnh tiến theo vectơ
v

biến hình H thành hình H'
Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tònh theo vectơ
v




II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Nếu
')( MMT
v


,
')( NNT
v


thì

MNNM ''
và từ đó suy ra M'N' = MN. Hay phép
tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của
M qua phép tònh tiến theo vectơ
v

, khi đóù:





byy
axx
'
'
(biểu thức tọa độ của phép tònh tiến
v
T

)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ

v

= (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến
v
T

.
Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0. Viết
phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến
v
T

.
Giải:




v
M'
M
D
C
E
A
B
H '

H
v
d
v
N
M
v
I
A
C
B
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
6

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0.
Tìm ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo vectơ
v

= (-2; 3).
Giải:

 Ghi chú:











BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AD
.
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác điïnh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AG
. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ
AG
biến D thành A.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:

a) A =
)(MT
v

; b) M =
)(AT
v

.
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có
phương trình x - 2y + 3 = 0.
a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

.
b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo
v

.
c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
v

.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)

2
+ (y + 2)
2
= 9. Tìm ảnh của
(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 5).
Bài 6: Chứng minh rằng: M' =
)'()( MTMMT
vv



.
Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao
nhiêu phép tịnh tiến như thế.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho
v

= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d
1

có phương trình 2x - 3y - 5 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua
v
T

.

b) Tìm tọa độ của
w

có giá vuông góc với đường thẳng d để d
1
là ảnh của d qua
w
T

.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ
có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường
thẳng d'.
Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn
(O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường
tròn.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI





Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M khơng thuộc

d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay
phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng
trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ
d
.

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H'
đối xứng với nhau qua d.
* Nhận xét:
 Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vng góc của M trên đường thẳng d. Khi
đó: M' = Đ
d
(M) 
MMMM
00
' 

  M' = Đ
d
(M)  M = Đ
d
(M').
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.
Giải:

Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đ
d
:















II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
M

0
d
M'
M
d
a
d
M
N
d
A
B
C
d
I
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:





yy
xx

'
'

Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy


2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:





yy
xx
'
'

Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy

 Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0 và đường tròn
(C) có phương trình x
2
+ y

2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Giải:


















III- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn
có cùng bán kính.
IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:
Đònh nghóa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H
thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:

 Ghi chú:


(x'; y')
(x; y)
M
0
x
O
y
d
M'
M
M'(x'; y')
(x; y)
M
0
x
O
y
d
M
D
E
F
A
B
C
E

B
C
D
A
C F
A
B
C
D
A
B
C
D
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
10





BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua
phép đối xứng trục Ox.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đường
thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua
phép đối xứng qua đường thẳng CD.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và
đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng?
V I E T N A M W T O
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của
M qua Đ
d
.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương
trình 5x - y - 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'.
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng.
Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD
có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI







Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
11

§4. PHÉP QUAY
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành
M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng  được gọi là phép quay tâm O góc .

Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi là góc
quay của phép quay đó.
Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là Q
(O,)
.

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của
đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của
kim đồng hồ.


Chiều quay dương Chiều quay âm
2) Với k là số nguyên ta luôn có:
 Phép quay Q
(O; 2k)
là phép đồng nhất.
 Phép quay Q
(O; (2k + 1))
là phép đối xứng tâm O.


 Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -90
0

.
Chứng minh AB = A'B'.
II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.


* Nhận xét: Phép quay góc  với 0 <  <

, biến
đường thẳng d thành đường thẳng d' sao cho góc giữa
d và d' bằng  (nếu 0 <  
2

), hoặc bằng  -  (nếu
2

 

Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB. Xác định ảnh của
tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60
0
.
Giải:

α

M'
O
M
α
M'
O
M
α
M'
O
M
M'
O
M
R
R
C'
A'
B'
I'
O
I
B
A
C
O
d
d'
α
α

I
H
H'
O
A
C
B
O
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay
tâm O góc 90
0
.
Giải:

 Ghi chuù:



BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Tìm
ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam
giác AMN qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60
0
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường

thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60
0
.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC. Chứng minh BMN đều.
Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và
B sao cho ABC là tam giác đều.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI





Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
§5. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:
Định nghĩa:
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'.
* Nhận xét:
1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình.
2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
quay tâm B góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ

AB
.

 Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép đối xứng qua đường thẳng BD.
II- TÍNH CHẤT:
Phép dời hình biến:
1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;
4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Chú ý:
a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm,
trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm,
tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
A'B'C'.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường
tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam giác OAB qua
phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép quay tâm O, góc 60
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
OE

.


Giải:

B
C
A
G'
H'
I'
A'
B'
O'
C'
G
H
I
O
C
B
A
F
A
B
C
D
O
E
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

Tài liệu lưu hành nội bộ
14








 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình
biến tam giác AEI thành tam giác FCH.

III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:


Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có
một phép dời hình biến hình này thành hình kia.


 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.

 Ghi chú:


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).
a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép

quay tâm O góc -90
0
.
b) Gọi tam giác A
1
B
1
C
1
là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm O góc -90
0
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A
1
B
1
C
1
.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

=(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời
hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
v


.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI. Xác định một phép dời hình
biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI



§6. PHÉP VỊ TỰ
I- ĐỊNH NGHĨA:
Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho
OMkOM .' 

được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V
(O,k)
.
Ví dụ:

O
M
M'
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
15

Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số

* Nhận xét:
1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.
3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
4) M' = V
(O,k)
(M)  M =
)'(
)
1
,(
MV
k
O
.
 Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC. Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.

II- TÍNH CHẤT:


Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm
M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì
MNkNM .'' 

và M'N' =
k
.MN




Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm;
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng;
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với
nó, biến góc thành góc bằng nó;
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường
tròn bán kính
k
R.


 Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C'.
Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.
Giải:









Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0. Hãy viết
phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vò tự tâm O tỉ số k = 2.
Giải:

N'
M'
M
N
O
B
A
C
B'
C'
A'
I
A
C
B
I
C'
A'
B'
R'
R
A'

O'
I
O
A