Giáo trình: Toán rời rạc - Đại học Thái Nguyên - chương II

Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

4

CHƯƠNG I
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. MỆNH ĐỀ
1.1.1. Định nghĩa mệnh đề
Một mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, chứ không
thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: Tất cả các câu sau đều là các mệnh đề
(1). 2 + 3 = 5
(2). 3 x 4 = 10
(3). Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau
(4). Thái Nguyên là thủ đô Kháng chiến
(5). Washington D.C. là thủ đô của Canada
Câu xác định "2 + 3 = 5", "Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau" và "Thái
Nguyên là thủ đô Kháng chiến" là các mệnh đề đúng. Các câu xác định "3 x 4
= 10" và "Washington D.C. là thủ đô của Canada" là các mệnh đề sai.
Như vậy, một mệnh đề có thể là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai. Hay
nói cách khác, một mệnh đề chỉ có thể lựa chọn 1 trong 2 giá trị là đúng hoặc
là sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: Xét các câu sau
(1). Hôm nay là thứ mấy ?
(2). Hãy đọc kỹ đọan văn này
(3). x + 1 = 2
(4). x + y = z
Câu "Hôm nay là thứ mấy ? " và " Hãy đọc kỹ đoạn văn này" không
phải là mệnh đề vì chúng không phải là câu khảng định. Còn các câu "x+1=2"

và "x+y=z" không phải là mệnh đề vì chúng chẳng đúng cũng chẳng sai bởi
các biến trong những câu đó chưa gán cho giá trị cụ thể nào.
Giá trị đúng, sai của một mệnh đề được gọi là giá trị chân lí của mệnh
đề đó. Giá trị chân lí của mệnh đề đúng ký hiệu là T (true), giá trị chân lí của
Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

5

mệnh đề sai ký hiệu là F (false). Bảng giá trị chân lí gọi tắt là bảng chân trị
(truth table) của mệnh đề bao gồm các trường hợp đúng, sai có thể xảy ra của
mệnh đề đó.
Mục đích của các họat động khoa học là phân biệt các mệnh đề để xác
định chân trị của nó. Sự xác định chân trị này dựa vào thực nghiệm và lý luận.
Vì thế, chúng ta cần nói đến "Đại số mệnh đề".
Bây giờ chúng ta xét các phương pháp tạo ra các mệnh đề mới từ các
mệnh đề đã có. Các phương pháp này được nghiên cứu bởi nhà toán học người
Anh Geogre Boole. Rất nhiều mệnh đề toán học được xây dựng bằng cách tổ
hợp một hoặc nhiều mệnh đề, khi đó các mệnh đề mới được gọi là mệnh đề
phức hợp.
1.1.2. Mệnh đề phủ định
Giả sử P là một mệnh đề. Câu "không phải là P" là một mệnh đề khác
được gọi là phủ định của mệnh đề P, nhận giá trị sai khi P đúng và giá trị đúng
khi P sai. Kí hiệu : ¬P (hay P ).
Ví dụ: P = " 2 > 0 "
¬P = " 2 ≤ 0 "
Bảng chân trị
P ¬P
T F
F T
1.1.3. Hội của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề "P và Q", được kí hiệu bởi
P∧Q, là đúng khi cả P và Q đều đúng, là sai trong các trường hợp còn lại.
Mệnh đề P∧Q được gọi là hội của P và Q.
Ví dụ: Cho 2 mệnh đề P và Q như sau
P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng
Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai
P ∧ Q = " 2> 0 và 2 = 0 " là mệnh đề sai.
Bảng chân trị
Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

6

P Q
P ∧
∧∧
∧ Q
T T T
T F F
F T F
F F F
1.1.4. Tuyển của hai mệnh đề
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề "P hoặc Q" được kí hiệu P∨Q,
là sai khi cả P và Q đều sai, là đúng trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề
P∨Q được gọi là tuyển của P và Q
Ví dụ : Cho 2 mệnh đề P và Q như sau
P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng
Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai
P ∨ Q = " 2 > 0 hoặc 2=0" là mệnh đề đúng.
Bảng chân trị
P Q

P ∨
∨∨
∨ Q
T T T
T F T
F T T
F F F
1.1.5. Tuyển loại của hai mệnh đề
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề tuyển loại của P và Q được kí
hiệu là P ⊕
⊕⊕
⊕ Q, là đúng khi một trong hai mệnh đề P và Q là đúng, là sai trong
các trường hợp còn lại.
Bảng chân trị
P Q
P ⊕
⊕⊕
⊕ Q
T T F
T F T
F T T
F F F

Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

7

1.1.6. Mệnh đề kéo theo
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề kéo theo, được kí hiệu P → Q,
là sai khi P đúng và Q sai, là đúng trong các trường hợp còn lại. Trong phép

kéo theo này P được gọi là giả thiết còn Q được gọi là kết luận.
Trong các suy luận toán học phép kéo theo P → Q được dùng để diễn
đạt “Nếu P thì Q”
Ví dụ: Cho hai mệnh đề P và Q như sau
P = " tam giác T là đều "
Q = " tam giác T có một góc bằng 60
0
"
P → Q = " nếu tam giác T là đều thì tam giác T có một góc bằng 60
0
"

P Q
P → Q
T T T
T F F
F T T
F F T

1.1.7. Mệnh đề tương đương
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề tương đương, được kí hiệu bởi
P⇔Q, là đúng khi P và Q có cùng giá trị chân lí, là sai trong các trường hợp
còn lại. Mệnh đề P ⇔ Q còn được gọi là mệnh đề hai điều kiện.
Trong các suy luận toán học phép tương đương P ⇔ Q được dùng để
diễn đạt “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P là cần và đủ đối với Q”

P Q
P ⇔ Q
T T T
T F F

F T F
F F T

Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

8

1.2. CÁC PHÉP TOÁN LOGIC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BÍT
Các máy tính dùng các bit để biểu diễn thông tin. Một bit có 2 giá trị
khả dĩ là 0 và 1. Bit cũng có thể được dùng để biểu diễn chân trị, vì giá trị
chân lí của một mệnh đề cũng chỉ có hai giá trị đúng hoặc sai. Thường người
ta dùng bit 1 để biểu diễn chân trị đúng (True) và bit 0 để biểu diễn chân trị
sai (False).
Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai
do đó cũng có thể dùng bit để biểu diễn một biến Boole
Các phép toán trên bit trong máy tính tương ứng với các liên từ logic.
Bằng cách thay đúng bằng 1 và sai bằng 0 trong bảng chân trị đối với các toán
tử phủ định, tuyển, hội, tuyển loại ta sẽ nhận được bảng các phép toán bit
tương ứng. Chúng ta sẽ dùng các kí hiêu NOT, OR, AND và XOR thay cho
các toán tử trên.
Thông tin thường được biển diễn bằng cách dùng các xâu bit, đó là các
dãy số 0 và 1. Khi đó các phép toán trên xâu bit cũng có thể được dùng để
thao tác thông tin trên đó.
Định nghĩa: Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) là dẫy không hoặc nhiều
bit. Độ dài của xâu là số các bit trong xâu đó.
Ví dụ: 101011 là một xâu bit có độ dài là 6
Có thể mở rộng các phép toán trên bit tới các xâu bit. Ta định nghĩa các
OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu bit có cùng độ dài là các xâu
có các bít của chúng là các OR, AND, XOR của các bit tương ứng trong 2
xâu tương ứng. (đảo bit được thực hiện bởi NOT bit)

Ví dụ: Tìm OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu sau đây
01 1011 0110
11 0001 1101
11 1011 1111 OR bit
01 0001 0100 AND bit
10 1010 1011 XOR bit
Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

9

1.3. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC MỆNH ĐỀ
Định nghĩa: Các mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu
P↔Q là hằng đúng. Kí hiệu P≡Q để chỉ P và Q là tương đương logic.
Một các để xác định hai mệnh đề có tương đương logic không là lập
bảng chân trị. Dựa vào bảng nếu các cột cho giá trị của chúng phù hợp với
nhau, từ đó kết luận rằng các mệnh đề đó là tương đương logic. Sau đây là ví
dụ minh họa
Ví dụ: Chứng minh rằng P→ Q và ¬Q→ ¬P là tương đương logic
P Q
P→ Q
¬P ¬Q
¬Q→ ¬P
T T T F F T
T F F F T F
F T T T F T
F F T T T T
Dựa vào bảng ta thấy cột 3 và cột 6 có các giá trị tương ứng phù hợp
với nhau. Vậy P→ Q và ¬Q→ ¬P là tương đương logic.(đpcm)
Ta nhận thấy rằng đối với một mệnh đề phức hợp việc lập bảng gặp
nhiều khó khăn vì nếu có n mệnh đề phải cần ít nhất 2

n
hàng. Do vậy trong
những trường hợp này người ta sử dụng các luật để chứng minh các tương
đương logic.

Các tương đương logic
Tương đương Tên gọi
p∧T≡p
p˅F≡p
Luật đồng nhất
p∧F≡F
p˅T≡T
Luật nuốt(luật trội)
p∧p≡p
p˅p≡p
Luật lũy đẳng
¬(¬p)≡p
Luật phủ định kép