Chuyên đề số phức (luyện thi đại học)

- 1 -
1
1
.
.


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
.
.


C
C
Á
Á
C

C


P
P
H
H
É
É
P
P


T
T
O
O
Á
Á
N
N


T
T
R
R
Ê
Ê
N

N


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C


1.1. Dạng đại số của số phức
 Số phức là biểu thức có dạng
,a bi
trong đó
,ab
là những số thực và
2
1.i

 Kí hiệu: số phức
,z a bi

với
a
là phần thực,
b
là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là
2
{ | , , 1}.a bi a b i

1.2. Số phức bằng nhau
Cho hai số phức
1 1 1
z a b i
và
2 2 2
.z a b i
Khi đó,
12
12
12
aa
zz
bb

1.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi số phức
z a bi
được biểu diễn bởi điểm

( ; ).M a b

1.4. Mođul của số phức
Mođul của số phức
z a bi
là
22
.z a b

1.5. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức
z a bi
là số phức
.z a bi

1.6. Cộng, trừ số phức
Cho hai số phức
1 1 1
z a b i
và
2 2 2
.z a b i
Khi đó,
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) .z z a a b b i

1.7. Phép nhân số phức
Cho
1 1 1
z a b i

và
2 2 2
.z a b i
Khi đó,
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
. ( ) ( ) .z z a a bb a b a b i

1.8. Phép chia số phức
Cho hai số phức
1 1 1
z a b i
và
2 2 2 2
, 0.z a b i z

Khi đó,
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
22
2 2 2
. ( ) ( )
.
.
z z z a a bb a b a b i
z z z
ab

2.
C
C
Ă

Ă
N
N


B
B
Ậ
Ậ
C
C


H
H
A
A
I
I


C
C
Ủ
Ủ
A
A


S

S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
.
.


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G

T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H


B
B
Ậ
Ậ
C
C


H
H
A
A
I
I

2.1. Căn bậc hai của số thực âm
Cho

a
là số thực âm. Khi đó,
a
có hai căn bậc hai đối nhau là
| |.ia

2.2. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức
,w a bi
mỗi số phức
z x yi
thoả
2
zw
được gọi là một
căn bậc hai của
.w
Khi đó,
22
x y a
và
2.xy b

2.3. Phương trình bậc hai hệ số thực :
2
0, 0, , ,Ax Bx C A A B C

2
4B AC
( là một số thực)


0:
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
2
B
x
A


0:
Phương trình có nghiệm thực
2
B
x
A
(nghiệm kép).

0:
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt
||
2
Bi
x
A

2.4. Phương trình bậc hai hệ số phức:
2
0, 0, , ,Ax Bx C A A B C

2

4B AC
( là một số phức)

- 2 -

0:
PT có nghiệm kép
2
B
x
A


0:
PT có hai nghiệm
,
2
B
x
A
với là một căn bậc hai của
.

3
3
.
.


D

D
Ạ
Ạ
N
N
G
G


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á
C
C

C
C
Ủ
Ủ
A
A


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C


3
3
.
.
1

1
.
.


Acgumen của số phức


3
3
.
.
1
1
.
.
1
1
.
.


Khái niệm


Cho số phức
0.z
Gọi
M
là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn

của số phức
.z
Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu
,Ox
tia
cuối
OM
được gọi là một acgumen của
.z


3
3
.
.
1
1
.
.
2
2
.
.


Nhận xét





Nếu là một acgumen của
z
thì mọi acgumen của
z
có dạng
2 , .kk






Acgumen của
z
và
z
sai khác nhau
2k
với
*
.


3
3
.
.
2

2
.
.


Dạng lượng giác của số phức


3
3
.
.
2
2
.
.
1
1
.
.


K
K
h
h
á
á
i
i

n
n
i
i
ệ
ệ
m
m


Cho số phức
0( , ).z a bi a b
Kí hiệu
r
là môđun của
z
và là
một acgumen của
.z
Khi đó,
cos sinz r i
được gọi là dạng
lượng giác của số phức
.z


3.2.2. Chú ý


22
,cos ,sin
ab
r a b
rr


0 0(cos sin ).z z i

3
3
.
.
3
3
.
.


Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác


Cho
(cos sin ), 0z r i r
và
(cos sin ), 0.z r i r
Khi đó







. . cos( ) sin( )z z r r i






cos( ) sin( ) , 0.
zr
ir
zr


3
3
.
.
4
4
.
.


Công thức Moa–vrơ


*

(cos sin cos sin , .
n
n
r i r n i n n


3
3
.
.
5
5
.
.


Căn bậc hai số phức dạng lượng giác


S
S
ố
ố


p
p
h
h
ứ

ứ
c
c


(cos sin ), 0z r i r
c
c
ó
ó


h
h
a
a
i
i


c
c
ă
ă
n
n


b
b

ậ
ậ
c
c


h
h
a
a
i
i


l
l
à
à


cos sin
22
ri
và
cos sin cos sin .
2 2 2 2
r i r i


B

B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P


1. Tìm các số thực
,xy
biết
1.1.
3 – 2 2 1 1 – – 5x y i x y i

1.2.
(1 2 ) 3 5 (1 3 )x i y i

1.3.
2 2 – – 2 3 2 1x y y x i x y y x i

2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức
z
thỏa

2.1. Phần thực của
z
bằng
2

2.2. Phần ảo của
z
bằng 3

- 3 -
2.3. Phần thực của
z
thuộc khoảng
(1;2)

2.4. Phần ảo của
z
thuộc đoạn [1; 3]
2.5. Phần thực và phần ảo của
z
đều thuộc đoạn [–2; 2]
2.6.
2
z
là số thực âm
2.7.
2
z
là số ảo
2.8.

1
zi
là số ảo
2.9.
zi
zi
là số thực dương
2.10.
2 z i z
là số ảo
2.11.
1z

2.12.
1zi

2.13.
1
zi
zi

2.14.
34z z i

2.15.
22
zz

2.16.
34zz

2.17.
1 2;z z i

2.18.
2 | | | 2 |z i z z i

2.19.
,
z
k
zi
(
k
là số thực dương cho trước).
2.20.
2 1 3z z i z

2.21.
1z

2.22.
12z

3. Thực hiện các phép tính sau
3.1.
2012
1
i
i

3.2.
9
5 3 3
1 2 3
i
i

3.3.
2 3 2 4i i i

3.4.
2 3 2012
1 i i i i

3.5.
2 3 20
1 1 1 1 . 1i i i i

4. Cho
13
.
22
zi
Tính
2 3 2
1
, , ,( ) ,1 .z z z z z
z

5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
,z
biết
5.1.
7
5
13z i i


- 4 -
5.2.
10
9
1
3
i
z
i

5.3.
wi
z
wi
và
2
10
11
1 2 3 2 3
1
i

w i i i
ii

5.4.
1 tan
1 tan
i
z
i

5.5.
cos sin
33
zi

5.6.
2012
2012
1
zw
w
và
1
1.w
w

5.7.
1z
và phần ảo của bằng 1
6. Giải phương trình sau

6.1.
 
2 3 1i z z  

6.2.
20iz i  

6.3.
3 – 2 4 5 7 3i z i i

6.4.
1 3 – 2 5 2i z i i z

6.5.
2 1 3
12
ii
z
ii

6.6.
 
2 4 0iz  

6.7.
   
1 3 2 3 0iz z i z i    

6.8.
1

2 3 0
2
i z i iz
i

6.9.
2
0zz

6.10.
0
2
2
 zz

6.11.
2
40z 

6.12.
2
3 2 1 0zz   

6.13.
2
7 3 2 0zz  

6.14.
2
5 7 11 0zz  

6.15.
2
1zz

6.16.
2
2 5 0zz  

6.17.
1
1z
z

6.18.
1
2z
z

6.19.
42
60zz  

6.20.
42
7 10 0zz  

6.21.
3
10z 

6.22.
4
10z 

6.23.
4
40z 

6.24.
43
8 8 1z z z  


- 5 -
6.25.
01
2
2
34
 z
z
zz

6.26.
2
2
2
1 3 0zz

6.27.
2
(1 3 ) 2(1 ) 0z i z i    

6.28.
  
22
2 1 0z i z iz   

6.29.
1
2zi
z

6.30.
1
4









iz
iz

6.31.

   
.0124
2
2
2
 zzzz

7. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa
độ trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số
.i

8. Chứng minh rằng
8.1. Phần thực của số phức
z
bằng
1
2
zz
, phần ảo của số phức bằng
1
2
zz
i

8.2. Số phức
z
là số ảo khi và chỉ khi
.zz
.
8.3. Số phức

z
là số thực khi và chỉ khi
.zz
.
8.4. Với mọi số phức z, z, ta có
' ', ' . 'z z z z zz z z   
và nếu z  0 thì
''zz
zz





9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, ta có
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;
m m m m
i i i i i i
  
     

10. Chứng minh rằng
10.1. Nếu điểm
M
biểu diễn số phức z thì
| | | |uz
và từ đó nếu hai điểm
12
,AA

theo
thứ tự biểu diễn số phức
12
,zz
thì
1 2 2 1
A A z z

10.2. Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì
'
'
z
z
zz


10.3. Với mọi số phức z, z, ta có
''z z z z  

11. Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có
10
29
1
1
1
z
z z z
z

    



12. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác
định)
12.1.
22
()zz

12.2.
33
()
zz
zz



12.3.
22
()
1
zz
zz



13. Gọi
,,A B C
là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
, , .z z z

Tìm số phức được
biểu diễn bởi trọng tâm tam giác
.ABC

14. Gọi
,,A B C
là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa
1 2 3
.z z z

Chứng minh rằng
,,A B C
là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
1 2 3
0.z z z


- 6 -
15. Giả sử
12
,zz
là hai nghiệm phương trình
2
0,az bz c
với
,,a b c
là các số thực

và
0.a
b Tính
12
zz
và
12
.zz
theo
, , .a b c

16. Cho số phức
.z a bi
Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận
z
và
z
làm nghiệm.
17. Chứng minh rằng nếu
z
là một căn bậc hai của
w
thì
.zw

18. Các phát biểu sau là đúng hay sai? Tại sao?
18.1. Công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương
trình bậc hai với hệ số phức không.
18.2. Nếu mọi phương trình bậc hai
2

0z Bz C
có hai nghiệm là hai số phức
liên hợp không thực thì có các hệ số
,BC
là số thực.
18.3. Nếu mọi phương trình bậc hai
2
0z Bz C
có các hệ số
,BC
là số thực thì
phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực.
19. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
20. Tìm số phức B để phương trình
2
30z Bz i  
có tổng bình phương hai nghiệm
bằng 8.
21. Tìm các số thực b, c để phương trình
2
0z bz c  
nhận
1zi
làm nghiệm.
22. Tìm các số thực a, b, c để phương trình
32
0z az bz c   
nhận
1zi
và z = 2

làm nghiệm.
23. Dùng công thức khai triển nhị thức
 
19
1 i
và công thức Moavrơ, tính
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
    
.
24. Cho số phức
1
13
2
wi
.
24.1. Tìm các số nguyên dương
n
để
n
w
là số thực.
24.2. Tìm các số nguyên dương
n
để
n
w
là số ảo.
25. Các điểm
12

,MM
trong mặt phẳng phức
theo thứ tự biểu diễn các số phức
12
,.zz
Chứng minh rằng
25.1.
1 2 1 2 1 2
1
.
2
OM OM z z z z

25.2.
1
OM
vuông góc
2
OM
khi và chỉ khi
1 2 1 2
z z z z

26. Tìm số phức
z
thỏa mãn đồng thời
1
1
z
zi

và
3
1.
zi
zi

27. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
27.1.
12
22
12
4
52
z z i
z z i

27.2.
12
22
12
55
52
z z i
z z i

28. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau
28.1.
13i

- 7 -
28.2.
cos sin
44
i

28.3.
sin cos
88
i

28.4.
1 sin cos ,0
2
i

29. Cho phương trình
2
1 0, 2 2.z kz k
Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm phương trình
đã cho thuộc đường tròn đơn vị
30. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i











33
33
là số thực, là
số ảo?
31. Viết dạng lượng giác số
13
22
zi
. Suy ra căn bậc hai số phức
.z

B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P

T
T
Ự
Ự


R
R
È
È
N
N


1. Tìm các số thực x, y sao cho
1.1. 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i
1.2. 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i
2. Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá
môđun của nó.
3. Giải phương trình sau trên tập phức
3.1. (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i
3.2. (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz
3.3.
2
3 7 8 0zz  

3.4.
4

80z 

3.5.
4
10z 

3.6.
   
2
3 6 3 13 0z i z i      

3.7.
2
33
3 4 0
22
iz iz
z i z i


  




3.8.
 
 
2
2

2
1 3 0zz   

3.9.
(1 5 ) 10 2 1 5i z i i    

3.10.
(3 2 ) 1 4i z i z   

3.11.
13
1
zi
ii
i

   


3.12.
23
1 3 2 1
1
i
z i z
i

   


3.13.
( 2 3) 2 3 2 2i z i i   

3.14.
2 1 3
12
ii
z
ii
  



3.15.
  
2
1 1 2 2
1
zi
z i i
i

    


3.16.
12
23
11
i z i

zi
ii
  
  



- 8 -
3.17.
 
22
1 5 5
1
iz i
i z i
i

   


3.18.
2
8(1 ) 12 16 0z i z i    

3.19.
 
2
2 2 0z i z i   

3.20.

 
2
2 1 4 0iz i z   

3.21.
 
2
5 8 0z i z i    

3.22.
42
6 25 0xx  

3.23.
42
16 100 0xx  

3.24.
42
3 3 3 0x x i   

3.25.
42
3(1 2 ) 8 6 0x i x i    

3.26.
4
7 24 0xi  

3.27.

4
28 96 0xi  

3.28.
2
zz

3.29.
2 2 4z z i  

3.30.
2
0zz

3.31.
2
43
1 0
2
z
z z z    

3.32. z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2

+ z + 1 =0
3.33. z
3
iz
2
2iz2 = 0
3.34. z
3
+(i3)z
2
+(44i)z7+4i = 0
4. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
5. Cho hai số phức
12
,zz
. Biết rằng
1 2 1 2
,z z z z
là hai số thực. Chứng tỏ
12
,zz
là hai
nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực.
6. Chứng minh rằng nếu
1zw
thì số
 
, 1 0
1
zw

zw
zw



là số thực.
7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
7.1. z =
2
( ) 2( ) 5x yi x yi   
. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
7.2.
5
(1 )i

7.3.
 
6
3 i
.
7.4.
 
8
3 i
.
7.5. 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)

20
.
8. Thực hiện các phép tính
8.1.
33
(1 2 ) (1 2 )ii  

8.2.
2010 2009
(1 ) (1 )ii  

8.3.
2 2 1 2
1 2 2 2
ii
ii




9. Biết
1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
3 3 0zz  
. Hãy tính:

9.1.
22
12
zz

9.2.
33
12
zz

9.3.
12
21
zz
zz


9.4.
22
12
zz

10. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:

- 9 -
10.1.
2 1 2z i z i    
và
1 10
10z



10.2.
2zi

10.3.
3
1
3
zi
zi




10.4.
1z z i  

10.5.
(2 3) 2 0i z i m   
(m là tham số thực)
10.6.
22z i z z i   

11. Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2

2 4 11 0zz  
. Tính giá trị của
biểu thức
 
22
12
2
12
zz
A
zz



.
12. Tìm số phức z thoả mãn:
22zi  
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
13. Tìm số phức z thỏa mãn:
13
1, 1
z z i
z i z i




14. Cho phương trình: (z + i)(z
2
2mz+m

2
2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số
m sao cho phương trình:
15. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
16. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
17. Có ba nghiệm phức.
18. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận

làm nghiệm biết:
18.1.

= 25i
18.2.

= 2i
3

18.3.

=
3 - 2i

19. Trong các số phức thỏa mãn
3
23
2
zi  
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
C
C

Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ề
Ề


T
T
H
H
I
I


Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I


H
H

Ọ
Ọ
C
C


–
–


C
C
A
A
O
O


Đ
Đ
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G


20. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
20.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn

2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z     
. Tìm phần thực và phần ảo của z.
20.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
4 3 7
2
zi
zi
zi



trên tập
.
21. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp
điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện
| (3 4 )| 2zi  
.
22. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả:
| (2 )| 10zi  
và
.zz
=
25.
23. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi
1
z

và
2
z
là hai nghiệm phức của phương
trình
2
2 10 0zz  
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
A z z
.
24. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)

- 10 -
24.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
     
2
2 3 4 1 3i z i z i    

24.2. Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình
 
2
1 6 3 0z i z i    

25. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa:
2z 
và
2

z
là số thuần
ảo
26. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu
diễn bởi số phức z thỏa
1 (1 )z i z  

27. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
27.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:
2
( 2 ) (1 2 )z i i  

27.2. Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i



. Tìm
môđun của số phức
z iz

28. (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối A)
28.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm tất cả các số phức
,z

biết
2
2
.z z z

28.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Tính môđun của số phức
,z
biết
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 .z i z i i

29. (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối B)
29.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức
,z
biết
53
1 0.
i
z
z

29.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
13
.
1
i
z
i

30. (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối D)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức
,z
biết
(2 3 ) 1 9 .z i z i

31. (Đề thi Cao đẳng 2011 – Khối A,B,D)
31.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức
z
thỏa mãn
2
(1 2 ) 4 20.i z z i
Tính môđun của
.z

31.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2(1 ) 2 0.z i z i
Tìm phần thực và phần ảo của
1
.
z